Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Toán 12 Chuyên đề Toán 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Bài tập Toán 12 Ứng dụng tọa độ không gian giải bài toán hình học

Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán

Trong chương trình Toán lớp 12, ứng dụng tọa độ trong không gian là một phần kiến thức quan trọng thuộc chuyên đề hình học Oxyz. Đây là công cụ hữu hiệu giúp giải quyết nhanh gọn các bài toán phức tạp về điểm, đường thẳng, mặt phẳng trong không gian ba chiều. Bài viết dưới đây sẽ cung cấp hệ thống bài tập Toán 12 ứng dụng tọa độ không gian, có lời giải chi tiết, nhằm giúp học sinh củng cố kiến thức và luyện tập thành thạo kỹ năng giải hình học không gian.

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 12 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 12 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng
    Tính góc giữa hai mặt phẳng

    Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Trên hai tia Bt,Ds vuông góc và nằm cùng phía với mặt phẳng (ABCD) lần lượt lấy hai điểm E;F sao cho BE = \frac{a}{2};DF = a. Tính góc \varphi giữa hai mặt phẳng (AEF);(CEF).

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Đặt hình vẽ vào hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A trùng với O(0; 0; 0), B thuộc Ox và có tọa độ B(a; 0; 0), D thuộc Oy và có thọa độ D(0; a; 0).

    Khi đó ta được E\left( a;0;\frac{a}{2} \right),C(a;a;0),F(0;a;a).

    (AEF) có một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n_{1}'} = \left\lbrack \overrightarrow{AE};\overrightarrow{AF} \right\rbrack = \left( \frac{- a^{2}}{2}; - a^{2};a^{2} \right)

    => \overrightarrow{n_{1}} = (1;2; - 2) cũng là vectơ pháp tuyến của (CEF)

    (CEF) có một vtơ pháp tuyến là:

    \overrightarrow{n_{2}'} = \left\lbrack \overrightarrow{CE};\overrightarrow{CF} \right\rbrack = \left( - a^{2};\frac{- a^{2}}{2}; - a^{2} \right)

    \Rightarrow \overrightarrow{n_{2}} = (2;1;2)cũng là vectơ pháp tuyến của (CEF).

    \overrightarrow{n_{1}}.\overrightarrow{n_{2}} = 0 \Rightarrow \varphi = 90^{0}.

  • Câu 2: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt OAGD.BCFEcó hai đáy song song với nhau. Mặt sân OAGD là hình chữ nhật và được gắn hệ trục Oxyz như hình vẽ dưới (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mặt sân OAGD có chiều dài OA = 100m, chiều rộng OD = 60m và tọa độ điểm B(10;10;8).

    Tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (OBED).

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \overrightarrow{OD} = (0;60;0),\overrightarrow{OB} = (10;10;8)

    Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OBED)là \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{OD},\overrightarrow{OB} \right\rbrack = (480;0; - 600) = 120(4;0; - 5)

    Phương trình mặt phẳng (OBED) đi qua điểm O(0;0;0) và có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (4;0; - 5) là:

    4x - 5z = 0

    Kkhoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (OBED) là:

    d\left( G,(OBED) \right) = \frac{|4.100 - 5.0|}{\sqrt{16 + 25}} = \frac{400\sqrt{41}}{41} \approx 62,5m

  • Câu 3: Vận dụng
    Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, \widehat{ABC} = 60^{0}, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H,M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,SA,SD và P là giao điểm của (HMN) với CD. Khoảng cách từ trung điểm K của đoạn thẳng SP đến mặt phẳng (HMN) bằng:

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Xét hình chóp S.ABCD trong hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ.

    Khi đó ta có:

    H(0;0;0),A\left( - \frac{a}{2};0;0 \right),B\left( \frac{a}{2};0;0 \right)

    S\left( 0;0;\frac{a\sqrt{3}}{2} \right),C\left( 0;\frac{a\sqrt{3}}{2};0 \right),D\left( - a;\frac{a\sqrt{3}}{2};0 \right)

    Có MN // AD nên suy ra P là trung điểm của CD.

    Theo công thức trung điểm, ta suy ra

    M\left( \frac{- a}{4};0;\frac{a\sqrt{3}}{4} \right),N\left( \frac{- a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{4};\frac{a\sqrt{3}}{4} \right)

    P\left( \frac{- a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0 \right),K\left( \frac{- a}{4};\frac{a\sqrt{3}}{4};\frac{a\sqrt{3}}{4} \right)

    Ta có: \overrightarrow{MN} = \left( \frac{a}{4};\frac{a\sqrt{3}}{4};0 \right);\overrightarrow{HM} = \left( - \frac{a}{4};0;\frac{a\sqrt{3}}{4} \right)

    Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (HMN) là \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{MN};\overrightarrow{HM} \right\rbrack = \left( \frac{3a^{2}}{16};\frac{a^{3}\sqrt{3}}{16};\frac{a^{3}\sqrt{3}}{16} \right)

    Phương trình mặt phẳng (HMN) là

    \frac{3a^{2}}{16}(x - 0) + \frac{a^{3}\sqrt{3}}{16}(y - 0) + \frac{a^{3}\sqrt{3}}{16}(z - 0) = 0

    \Leftrightarrow \sqrt{3}x + y + z = 0

    Vậy khoảng cách cần tìm là:

    d\left\lbrack K,(HMN) \right\rbrack = \dfrac{\left| - \dfrac{a\sqrt{3}}{4} + \dfrac{a\sqrt{3}}{4} + \dfrac{a\sqrt{3}}{4} \right|}{\sqrt{3 + 1 + 1}} = \dfrac{a\sqrt{15}}{20}

  • Câu 4: Thông hiểu
    Chọn kết quả đúng

    Một công trình đang xây dựng được gắn hệ trục Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Ba bức tường (P),(Q),(R) (như hình vẽ) của tòa nhà lần lượt có phương trình: (P):x + 2y - 2z + 1 = 0, (Q):2x + y + 2z - 3 = 0,(R):2x + 4y - 4z - 19 = 0.

    Tính khoảng giữa hai bức tường (P) và (R) của tòa nhà.

    Hướng dẫn:

    Trước hết thực hiện kiểm tra tính song song hoặc vuông góc giữa các bức tường (P),(Q),(R) của tòa nhà.

    (P):x + 2y - 2z + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là {\overrightarrow{n}}_{P} = (1;2; - 2)

    (Q):2x + y + 2z - 3 = 0 có vectơ pháp tuyến là {\overrightarrow{n}}_{Q} = (2;1;2)

    (R):2x + 4y - 4z - 19 = 0. có vectơ pháp tuyến là {\overrightarrow{n}}_{R} = (2;4; - 4)

    Ta có {\overrightarrow{n}}_{R} = (2;4; - 4) = 2(1;2; - 2) \Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{R} = 2{\overrightarrow{n}}_{P} nên hai bức tường (P) và (R)song song nhau

    {\overrightarrow{n}}_{P}.{\overrightarrow{n}}_{Q} = 1.2 + 2.1 + ( - 2).2 = 0 \Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{P}\bot{\overrightarrow{n}}_{Q} nên bức tường (Q) vuông góc với hai bức tường (P) và (R),

    Chọn điểm M( - 1;0;0) \in (P)

    Do hai bức tường (P) và (R)song song nhau nên:

    d\left( (P),(R) \right) = d\left( M,(R) \right)= \frac{\left| 2.( - 1) + 4.0 - 4.0 - 19 \right|}{\sqrt{4 + 16 + 16}} = \frac{21}{6} = 3,5m

  • Câu 5: Vận dụng
    Tính chiều rộng bức tường

    Một công trình đang xây dựng được gắn hệ trục Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Ba bức tường (P),(Q),(R),(T) (như hình vẽ) của tòa nhà lần lượt có phương trình: (P):2x - y - z + 1 = 0, (Q):x + 3y - z - 2 = 0,(R):4x - 2y - 2z + 9 = 0,(T):2x + 6y - 2z + 15 = 0.

    Tính chiều rộng bức tường (Q)của tòa nhà.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    (P):2x - y - z + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là {\overrightarrow{n}}_{P} = (2; - 1; - 1)

    (Q):x + 3y - z - 2 = 0 có vectơ pháp tuyến là {\overrightarrow{n}}_{Q} = (1;3; - 1)

    (R):4x - 2y - 2z + 9 = 0 có vectơ pháp tuyến là {\overrightarrow{n}}_{R} = (4; - 2; - 2)

    (T):2x + 6y - 2z + 15 = 0 có vectơ pháp tuyến là {\overrightarrow{n}}_{T} = (2;6; - 2)

    Ta có:

    {\overrightarrow{n}}_{R} = (4; - 2; - 2) = 2(2; - 1; - 1) \Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{R} = 2{\overrightarrow{n}}_{P} nên hai bức tường (P) và (R)song song nhau

    {\overrightarrow{n}}_{T} = (2;6; - 2) = 2(1;3; - 1) \Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{T} = 2{\overrightarrow{n}}_{Q} nên hai bức tường (T) và (Q) song song nhau

    {\overrightarrow{n}}_{P}.{\overrightarrow{n}}_{Q} = 2.1 + ( - 1).3 + ( - 1).( - 1) = 0 \Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{P}\bot{\overrightarrow{n}}_{Q} nên bức tường (Q) vuông góc với hai bức tường (P) và (R)

    {\overrightarrow{n}}_{R}.{\overrightarrow{n}}_{Q} = 4.1 + ( - 2).3 + ( - 2).( - 1) = 0 \Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{R}\bot{\overrightarrow{n}}_{Q} nên bức tường (R) vuông góc với hai bức tường (Q) và (T)

    Do hai bức tường (P) và (R)song song nhau nên chiều rộng bức tường (Q) là khoảng cách giữa hai bức tường (P) và (R).

    Chọn điểm N(0;0;1) \in (P)

    Do hai bức tường (P) và (R) song song nhau nên:

    d\left( (P),(R) \right) = d\left( N,(R)\right)= \frac{|4.0 - 2.0 - 2.1 + 9|}{\sqrt{4 + 1 + 1}} =\frac{7}{\sqrt{6}} \approx 2,9m

  • Câu 6: Thông hiểu
    Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

    Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang vuông tại A và D, SA\bot(ABCD). Góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng 45^{o}, E là trung điểm của SD, AB = 2a, AD = DC = a. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACE).

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Hình chiếu của SB trên mặt phẳng (ABCD) là AB \Rightarrow Góc giữa SB và mặt đáy là góc giữa SB và AB và bằng góc \widehat{SBA} = 45^{o}.

    Tam giác SAB vuông cân tại A \Rightarrow SA = 2a.

    Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có: A(0;0;0), B(0;2a;0), C(a;a;0), D(a;0;0), S(0;0;2a), E\left( \frac{a}{2};0;a \right).

    \overrightarrow{AC} = (a;a;0), \overrightarrow{AE} = \left( \frac{a}{2};0;a \right) \Rightarrow \overrightarrow{AC} \land \overrightarrow{AE} = \left( a^{2}; - a^{2}; - \frac{a^{2}}{2} \right)

    \Rightarrow mặt phẳng (ACE) có véctơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (2; - 2; - 1) \Rightarrow (ACE):2x - 2y - z = 0.

    Vậy d\left( B,(ACE) \right) = \frac{|2.2a|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{4a}{3}.

  • Câu 7: Vận dụng
    Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

    Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm M thoả mãn OM = 7. Biết rằng khoảng cách từ M tới mặt phẳng (Oxz),(Oyz) lần lượt là 2 và 3. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Oxy).

    Hướng dẫn:

    Ta có: (Oxz):y = 0,(Oyz):x = 0

    Giả sử M(a;b;c) khi đó ta có:

    \left\{ \begin{matrix} OM = 7 \\ d\left( M;(Oxz) \right) = 2 \\ d\left( M;(Oyz) \right) = 3 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a^{2} + b^{2} + c^{2} = 49 \\ b^{2} = 4 \\ a^{2} = 9 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow c^{2} = 36

    Mà d\left( M;(Oxy) \right) = \sqrt{c^{2}} = 6

  • Câu 8: Vận dụng
    Lập phương trình mặt phẳng

    Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm S( - 1;6;2),A(0;0;6),B(0;3;0),C( -2;0;0). Gọi H là chân đường cao vẽ từ S của tứ diện S.ABC. Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm S;H;B.

    Hướng dẫn:

    Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm S;H;B là x + 5y - 7z - 15 = 0

    Phương trình mặt phẳng \frac{x}{- 2} +\frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 1\Leftrightarrow - 3x + 2y + z - 6 =0

    H là chân đường cao vẽ từ A của tứ diện S.ABC nên H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) \Rightarrow H\left( \frac{19}{14};\frac{31}{7};\frac{17}{14} \right)

    Mặt phẳng (SBH) qua B(0;3;0) với VTPT \left\lbrack\overrightarrow{BH};\overrightarrow{SB} \right\rbrack = \left( \frac{11}{14};\frac{55}{14};\frac{- 11}{2} \right) = \frac{11}{4}(1;5; - 7).

    Phương trình mặt phẳng (SBH) x + 5(y - 3) - 7z = 0

    \Leftrightarrow x + 5y - 7z - 15 = 0.

  • Câu 9: Vận dụng
    Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

    Cho tứ diện OABC, có OA,OB,OC đôi một vuông góc và OA = 5,OB = 2,OC = 4. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của OBvà OC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Khoảng cách từ G đến mặt phẳng (AMN) là:

    Hướng dẫn:

    Chọn hệ trục tọa độ Oxyznhư hình vẽ.

    Ta có O(0;0;0), A \in Oz,\ \ B \in Ox,\ \ C \in Oy sao cho AO = 5,\ \ OB = 2,\ \ OC = 4

    \Rightarrow A(0;0;5),\ \ B(2;0;0),\ \ C(0;4;0).

    Khi đó: G là trọng tâm tam giácABC nên G\left( \frac{2}{3};\frac{4}{3};\frac{5}{3} \right)

    Mlà trung điểm OBnên M(1;0;0)

    Nlà trung điểm OCnên N(0;2;0).

    Phương trình mặt phẳng (AMN) là: \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{5} = 1 hay 10x + 5y + 2z - 10 = 0

    Vậy khoảng cách từ G đến mặt phẳng (AMN) là:

    d\left( G,(AMN) \right) = \dfrac{\left| \dfrac{20}{3} + \dfrac{20}{3} + \dfrac{10}{3} - 10 \right|}{\sqrt{100 + 25 + 4}} = \dfrac{20}{3\sqrt{129}}.

  • Câu 10: Vận dụng cao
    Tìm tọa độ điểm M

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm A;B;C sao cho T = \frac{1}{OA^{2}} + \frac{1}{OB^{2}} + \frac{1}{OC^{2}} đạt giá trị nhỏ nhất là:

    Hướng dẫn:

    Giả sử A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c là các số thực dương do OA, OB, OC khác 0.

    Khi đó phương trình mặt phẳng (P) qua A, B, C có phương trình là \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

    Mà M ∈ (P) nên \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1, do đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:

    T = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}= \frac{1}{14}\left( 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} \right)\left( \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} \right)

    \geq \frac{1}{14}\left( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} \right)^{2} = \frac{1}{14}

    T đạt giá trị nhỏ nhất nên ta có dấu bằng xảy ra, tức là: \left\{ \begin{matrix} a = 2b = 3c \\ \dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 14 \\ b = \dfrac{14}{2} \\ c = \dfrac{14}{3} \\ \end{matrix} \right.

    Vậy phương trình mặt phẳng (P) là x + 2y + 3z - 14 = 0.

  • Câu 11: Vận dụng cao
    Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết A(0;0;0),D(2;0;0),B(0;4;0),S(0;0;4). Gọi M là trung điểm của SB. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (CDM).

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa:

    Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên \left\{ \begin{matrix} x_{A} + x_{C} = x_{B} + x_{D} \\ y_{A} + y_{C} = y_{B} + y_{D} \\ z_{A} + z_{C} = z_{B} + z_{D} \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x_{C} = 2 \\ y_{C} = 4 \\ z_{C} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow C(2;4;0).

    M là trung điểm của SB \Rightarrow M(0;2;2).

    Viết phương trình mặt phẳng (CDM):

    \overrightarrow{CD} = (0; - 4;0), \overrightarrow{CM} = ( - 2; - 2;2) \Rightarrow \overrightarrow{CD} \land \overrightarrow{CM} = ( - 8;0; - 8).

    (CDM) có một véc tơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = (1;0;1).

    Suy ra (CDM) có phương trình: x + z - 2 = 0.

    Vậy d\left( B;(CDM) \right) = \frac{|0 + 0 - 2|}{\sqrt{1^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} = \sqrt{2}.

  • Câu 12: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Một phần sân trường được định vị bởi các điểm A,B,C,D, như hình vẽ.

    Bước đầu chúng được lấy “ thăng bằng” để có cùng độ cao, biết ABCD là hình thang vuông ở A và B với độ dài AB = 25\ m, AD = 15\ m, BC = 18\ m. Do yêu cầu kĩ thuật, khi lát phẳng phần sân trường phải thoát nước về góc sân ở C nên người ta lấy độ cao ở các điểm B, C, D xuống thấp hơn so với độ cao ở A là 10\ cm, a\ cm, 6\ cmtương ứng. Giá trị của a là số nào sau đây?

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: O \equiv A, tia Ox \equiv AD; tia Oy \equiv AB.

    Khi đó, A(0;\ 0;\ 0); B(0;\ 2500;\ 0); C(1800;\ 2500;\ 0);D(1500;\ 0;\ 0).

    Khi hạ độ cao các điểm ở các điểm B, C, D xuống thấp hơn so với độ cao ở A là 10\ cm, a\ cm, 6\ cm tương ứng ta có các điểm mới B'(0\ ;\ 2500\ ;\ - 10); C'(1800\ ;\ 2500\ ;\ - a);D'(1500\ ;\ 0\ ;\ - 6).

    Theo bài ra có bốn điểm A; B'; C'; D' đồng phẳng.

    Phương trình mặt phẳng (AB'D'):x + y + 250z = 0.

    Do C'(1800\ ;\ \ 2500\ ;\ - a) \in (AB'D') nên có:

    1800 + 2500 - 250a = 0 \Leftrightarrow a = 17,2.

    Vậy a = 17,2\ cm.

0/12
12 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (25%):
    2/3
  • Thông hiểu (50%):
    2/3
  • Vận dụng (25%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé! Mua ngay
1
23 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này
🖼️

Thi THPT Quốc gia môn Toán
Xem thêm