Bài tập Toán 12 Ứng dụng tọa độ không gian giải bài toán hình học

Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình thang vuông tại $A$ và $D$, $SA\mathrm{\perp }(ABCD)$. Góc giữa $SB$ và mặt phẳng đáy bằng ${45}^o$, $E$ là trung điểm của $SD$, $AB=2a$, $AD=DC=a$. Tính khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(ACE)$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Biết $A(0;0;0)$,$D(2;0;0)$,$B(0;4;0)$,$S(0;0;4)$. Gọi $M$ là trung điểm của $SB$. Tính khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(CDM)$.

Một phần sân trường được định vị bởi các điểm $A,B,C,D$, như hình vẽ.

Bước đầu chúng được lấy “ thăng bằng” để có cùng độ cao, biết $ABCD$ là hình thang vuông ở $A$ và $B$ với độ dài $AB=25m$, $AD=15m$, $BC=18m$. Do yêu cầu kĩ thuật, khi lát phẳng phần sân trường phải thoát nước về góc sân ở $C$ nên người ta lấy độ cao ở các điểm $B$, $C$, $D$ xuống thấp hơn so với độ cao ở $A$ là $10cm$, $acm$, $6cm$tương ứng. Giá trị của $a$ là số nào sau đây?

Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt $OAGD.BCFE$có hai đáy song song với nhau. Mặt sân $OAGD$ là hình chữ nhật và được gắn hệ trục $Oxyz$ như hình vẽ dưới (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mặt sân $OAGD$ có chiều dài $OA=100m$, chiều rộng $OD=60m$ và tọa độ điểm $B(10;10;8)$.

Tính khoảng cách từ điểm $G$ đến mặt phẳng $(OBED)$.

Một công trình đang xây dựng được gắn hệ trục $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Ba bức tường $(P),(Q),(R)$ (như hình vẽ) của tòa nhà lần lượt có phương trình: $(P):x+2y-2z+1=0$, $(Q):2x+y+2z-3=0$,$(R):2x+4y-4z-19=0$.

Tính khoảng giữa hai bức tường $(P)$ và $(R)$ của tòa nhà.

Một công trình đang xây dựng được gắn hệ trục $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Ba bức tường $(P),(Q),(R),(T)$ (như hình vẽ) của tòa nhà lần lượt có phương trình: $(P):2x-y-z+1=0$, $(Q):x+3y-z-2=0$,$(R):4x-2y-2z+9=0$,$(T):2x+6y-2z+15=0$.

Tính chiều rộng bức tường $(Q)$của tòa nhà.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho bốn điểm $S(-1;6;2),A(0;0;6),$$B(0;3;0),C(-2;0;0)$. Gọi $H$ là chân đường cao vẽ từ $S$ của tứ diện $S.ABC$. Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $S;H;B$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a$, $\widehat{ABC}={60}^0$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $H,M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,SA,SD$ và $P$ là giao điểm của $(HMN)$ với $CD$. Khoảng cách từ trung điểm $K$ của đoạn thẳng $SP$ đến mặt phẳng $(HMN)$ bằng:

Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh $a$. Trên hai tia $Bt,Ds$ vuông góc và nằm cùng phía với mặt phẳng $(ABCD)$ lần lượt lấy hai điểm $E;F$ sao cho $BE=\frac{a}{2};DF=a$. Tính góc $\phi$ giữa hai mặt phẳng $(AEF);(CEF)$.

Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho điểm $M$ thoả mãn $OM=7$. Biết rằng khoảng cách từ $M$ tới mặt phẳng $(Oxz),(Oyz)$ lần lượt là 2 và 3. Tính khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(Oxy)$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(1;2;3)$ và cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại các điểm $A;B;C$ sao cho $T=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất là: