Cho tứ diện
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Ta có ,
sao cho
.
Khi đó: là trọng tâm tam giác
nên
là trung điểm
nên
là trung điểm
nên
.
Phương trình mặt phẳng là:
hay
Vậy khoảng cách từ đến mặt phẳng
là:
.
Trong chương trình Toán lớp 12, ứng dụng tọa độ trong không gian là một phần kiến thức quan trọng thuộc chuyên đề hình học Oxyz. Đây là công cụ hữu hiệu giúp giải quyết nhanh gọn các bài toán phức tạp về điểm, đường thẳng, mặt phẳng trong không gian ba chiều. Bài viết dưới đây sẽ cung cấp hệ thống bài tập Toán 12 ứng dụng tọa độ không gian, có lời giải chi tiết, nhằm giúp học sinh củng cố kiến thức và luyện tập thành thạo kỹ năng giải hình học không gian.
Cho tứ diện
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Ta có ,
sao cho
.
Khi đó: là trọng tâm tam giác
nên
là trung điểm
nên
là trung điểm
nên
.
Phương trình mặt phẳng là:
hay
Vậy khoảng cách từ đến mặt phẳng
là:
.
Cho hình chóp
Hình vẽ minh họa
Hình chiếu của trên mặt phẳng
là
Góc giữa
và mặt đáy là góc giữa
và
và bằng góc
.
Tam giác vuông cân tại
.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có: ,
,
,
,
,
.
,
mặt phẳng
có véctơ pháp tuyến
.
Vậy .
Trong không gian với hệ tọa độ
Hình vẽ minh họa:
Tứ giác là hình chữ nhật nên
.
là trung điểm của
.
Viết phương trình mặt phẳng :
,
.
có một véc tơ pháp tuyến
.
Suy ra có phương trình:
.
Vậy .
Một phần sân trường được định vị bởi các điểm
Bước đầu chúng được lấy “ thăng bằng” để có cùng độ cao, biết
Hình vẽ minh họa
Chọn hệ trục tọa độ sao cho:
, tia
; tia
.
Khi đó, ;
;
;
.
Khi hạ độ cao các điểm ở các điểm ,
,
xuống thấp hơn so với độ cao ở
là
,
,
tương ứng ta có các điểm mới
;
;
.
Theo bài ra có bốn điểm ;
;
;
đồng phẳng.
Phương trình mặt phẳng .
Do nên có:
.
Vậy .
Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt
Tính khoảng cách từ điểm
Ta có:
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm
và có vectơ pháp tuyến
là:
Kkhoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
là:
Một công trình đang xây dựng được gắn hệ trục
Tính khoảng giữa hai bức tường
Trước hết thực hiện kiểm tra tính song song hoặc vuông góc giữa các bức tường của tòa nhà.
có vectơ pháp tuyến là
có vectơ pháp tuyến là
. có vectơ pháp tuyến là
Ta có nên hai bức tường
và
song song nhau
nên bức tường
vuông góc với hai bức tường
và
,
Chọn điểm
Do hai bức tường và
song song nhau nên:
Một công trình đang xây dựng được gắn hệ trục
Tính chiều rộng bức tường
Ta có:
có vectơ pháp tuyến là
có vectơ pháp tuyến là
có vectơ pháp tuyến là
có vectơ pháp tuyến là
Ta có:
nên hai bức tường
và
song song nhau
nên hai bức tường
và
song song nhau
nên bức tường
vuông góc với hai bức tường
và
nên bức tường
vuông góc với hai bức tường
và
Do hai bức tường và
song song nhau nên chiều rộng bức tường
là khoảng cách giữa hai bức tường
và
.
Chọn điểm
Do hai bức tường và
song song nhau nên:
Trong không gian với hệ trục tọa độ
Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm là
Phương trình mặt phẳng
H là chân đường cao vẽ từ A của tứ diện S.ABC nên H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng
Mặt phẳng qua
với VTPT
.
Phương trình mặt phẳng
.
Cho hình chóp
Hình vẽ minh họa
Xét hình chóp trong hệ tọa độ
như hình vẽ.
Khi đó ta có:
Có MN // AD nên suy ra P là trung điểm của CD.
Theo công thức trung điểm, ta suy ra
Ta có:
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (HMN) là
Phương trình mặt phẳng (HMN) là
Vậy khoảng cách cần tìm là:
Cho hình vuông
Hình vẽ minh họa
Đặt hình vẽ vào hệ trục tọa độ sao cho
trùng với O(0; 0; 0), B thuộc Ox và có tọa độ B(a; 0; 0), D thuộc Oy và có thọa độ D(0; a; 0).
Khi đó ta được .
(AEF) có một vectơ pháp tuyến là
=> cũng là vectơ pháp tuyến của (CEF)
(CEF) có một vtơ pháp tuyến là:
cũng là vectơ pháp tuyến của (CEF).
.
Trong không gian với hệ trục toạ độ
Ta có:
Giả sử khi đó ta có:
Mà
Trong không gian với hệ tọa độ
Giả sử A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c là các số thực dương do OA, OB, OC khác 0.
Khi đó phương trình mặt phẳng (P) qua A, B, C có phương trình là
Mà M ∈ (P) nên , do đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
T đạt giá trị nhỏ nhất nên ta có dấu bằng xảy ra, tức là:
Vậy phương trình mặt phẳng (P) là .
Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây: