Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Cách tìm hình chiếu của điểm lên đường thẳng và mặt phẳng

Ôn thi THPT quốc gia môn Toán

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Tìm tọa độ hình chiếu của điểm lên đường thẳng và mặt phẳng

1. Thế nào là hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng?
2. Cách tìm tọa độ hình chiếu của điểm lên đường thẳng
3. Cách tìm tọa độ hình chiếu của điểm lên mặt phẳng
4. Bài tập áp dụng tìm tọa độ hình chiếu của điểm lên đường thẳng và mặt phẳng

Trong quá trình ôn thi THPT Quốc gia môn Toán, các bài toán hình học không gian luôn là phần khiến nhiều học sinh gặp khó khăn, đặc biệt là dạng tìm hình chiếu của điểm lên đường thẳng và mặt phẳng.

Đây là dạng toán không chỉ yêu cầu tư duy hình học tốt mà còn cần nắm vững phương pháp giải nhanh, chính xác để tiết kiệm thời gian làm bài. Nếu biết cách tiếp cận đúng, bạn hoàn toàn có thể biến dạng toán này thành “câu ăn điểm” trong đề thi. Bài viết dưới đây sẽ hệ thống đầy đủ kiến thức, phương pháp và ví dụ minh họa giúp bạn tự tin chinh phục dạng toán này.

1. Thế nào là hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng?

Định nghĩa 1: Trong không gian, cho điểm M và đường thẳng d.

Nếu M ∈ d thì hình chiếu của M trên đường thẳng d là chính nó.
Nếu M ∉ d thì hình chiếu của M trên đường thẳng d là điểm H ∈ d sao cho MH ⊥ d.

Định nghĩa 2: Trong không gian, cho điểm M và mặt phẳng (P).

Nếu M ∈ d thì hình chiếu của M trên mặt phẳng (P) là chính nó.
Nếu M ∉ d thì hình chiếu của M trên mặt phẳng (P) là điểm H ∈ (P) sao cho MH ⊥ (P).

2. Cách tìm tọa độ hình chiếu của điểm lên đường thẳng

Để tìm hình chiếu H của điểm M lên đường thẳng d, ta làm theo một trong hai cách sau:

Cách 1:

Bước 1: Do điểm H thuộc đường thẳng d nên tham số tọa độ điểm H theo tham sốt .
Bước 2: Do MH ⊥ d nên $\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{u_{d}} = 0$ , từ đó giải tìm t.
Bước 3: Thay t vào tọa độ điểm H đã tham số ở bước 1.

Cách 2:

Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d.

Bước 2: Do điểm H thuộc đường thẳng d nên tham số tọa độ điểm H theo tham số t.
Bước 3: Thay tọa độ điểm H vào phương trình mặt phẳng (P) rồi giải tìm t.
Bước 4: Thay t vào tọa độ điểm H đã tham số ở bước 1.

Đặc biệt: Điểm M(x_M; y_M; z_M) có

Hình chiếu trên trục Ox là M₁(x_M; 0; 0).
Hình chiếu trên trục Oy là M₂(0; y_M; 0).
Hình chiếu trên trục Oz là M₃(0; 0; z_M) .

3. Cách tìm tọa độ hình chiếu của điểm lên mặt phẳng

Để tìm hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng (P), ta làm như sau:

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với mặt phẳng P.
Bước 2: Tìm tọa độ giao điểm H của đường thẳng và mặt phẳng (P).

Đặc biệt: Điểm M(x_M; y_M; z_M) có

Hình chiếu trên mặt phẳng Oxy là M₁ = (x_M, y_M; 0).
Hình chiếu trên trục Oyz là M₂ = (0; y_M; z_M).
Hình chiếu trên trục Ozx là M₃ = (x_M; 0; z_M).

4. Bài tập áp dụng tìm tọa độ hình chiếu của điểm lên đường thẳng và mặt phẳng

Câu 1. Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A(1; 2; 5) trên trục Ox?

Hướng dẫn giải

Hình chiếu vuông góc của điểm A(1;2;5) trên trục Ox có tọa độ là (1;0;0).

Câu 2. Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(2; -2; 1) trên mặt phẳng có tọa độ là

A.(2; 0; 1). B.(2; -2; 0). C.(0; -2; 1). D. (0; 0; 1).

Hướng dẫn giải

Ta có hình chiếu của điểm M(x₀; y₀; z₀) trên mặt phẳng (Oxy) là điểm M'(x₀; y₀; 0).

Do đó hình chiếu của điểm M(2; -2; 1) trên mặt phẳng (Oxy) là điểm M'(2; -2; 0).

Câu 3. Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(2; 1; -1) trên trục Oz có tọa độ là

A.(2; 0; 0). B.(0; 1; 0). C.(2; 1; 0). D.(0; 0; -1).

Hướng dẫn giải

Hình chiếu vuông góc của điểm M(2; 1; -1) trên trục có tọa độ là: (0; 0; -1).

Câu 4. Trong không gian Oxyz, tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A(3; 2; -1) lên mặt phẳng (α): x + y + z = 0 là:

A.(-2; 1; 1). B. $\left( \frac{5}{3};\frac{2}{3}; - \frac{7}{3} \right)$ . C.(1; 1; -2). D. $\left( \frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{4} \right)$ .

Hướng dẫn giải

Gọi H là hình chiếu của A(3; 2; -1) lên mặt phẳng (α): x + y + z = 0 .

Khi đó: AH nhận $\overrightarrow{n}(1;1;1)$ là vectơ chỉ phương suy ra phương trình $AH:\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{1}$ .

Do H ∈ AH => H(3 + t; 2 + t; -1 + t)

Do H ∈ (α) => 3 + t + 2 + t - 1 + t = 0

$\Leftrightarrow t = - \frac{4}{3} \Rightarrow H\left( \frac{5}{3};\frac{2}{3}; - \frac{7}{3} \right)$ .

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(-4; 0; 0) và đường thẳng $\Delta:\left\{ \begin{matrix} x = 1 - t \\ y = - 2 + 3t \\ z = - 2t \\ \end{matrix} \right.$ . Gọi H(a; b; c) là hình chiếu của M lên Δ. Tính a + b + c.

A. 5. B. -1. C. -3. D. 7.

Hướng dẫn giải

Gọi H là hình chiếu của M lên Δ nên tọa độ của H có dạng H(1 - t; -2 + 3t; -2t) và $\overrightarrow{MH}\bot\overrightarrow{u_{\Delta}}$

$\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{u_{\Delta}} = 0 \Leftrightarrow 14t - 11 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{11}{14}$

$\Rightarrow H(\frac{3}{14};\frac{5}{14};\frac{- 22}{14})$ => a + b + c = -1

Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xác định tọa độ điểm M' là hình chiếu vuông góc của điểm M(2; 3; 1)lên mặt phẳng M(2; 3; 1).

Hướng dẫn giải

Gọi Δ là đường thẳng qua M và vuông góc với.

Phương trình tham số của Δ là: $\left\{ \begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 3 - 2t \\ z = 1 + t \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)$ .

Ta có: M' = Δ ∩ (α).

Xét phương trình:

2 + t - 2(3 - 2t) + 1 + t = 0 $\Leftrightarrow t = \frac{1}{2}$ .

Vậy $M'\left( \frac{5}{2};2;\frac{3}{2} \right)$ .

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng $d:\frac{x - 12}{4} = \frac{y - 9}{3} = \frac{z - 1}{1},$ và mặt thẳng (P): 3x + 5y -z - 2 = 0 . Gọi d' là hình chiếu của d lên (P). Phương trình tham số của d' là:

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Gọi A = d ∩ (P)

A ∈ d => A(12 + 4a; 9 + 3a; 1 + a)

A ∈ (P) => a = - 3 => A(0;0; - 2)

d đi qua điểm B(12; 9; 1)

Gọi H là hình chiếu của B lên (P)

(P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{P}} = (3;5; - 1)$

BH đi qua B(12; 9; 1) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{BH}} = \overrightarrow{n_{P}} = (3;5; - 1)$

$BH:\left\{ \begin{matrix} x = 12 + 3t \\ y = 9 + 5t \\ z = 1 - t \end{matrix} \right.$ $H \in BH$ => H(12 + 3t;9 + 5t;1 - t)

$H \in (P) \Rightarrow t = - \frac{78}{35} \Rightarrow H\left( \frac{186}{35}; - \frac{15}{7};\frac{113}{35} \right)$

$\overrightarrow{AH} = \left( \frac{186}{35}; - \frac{15}{7};\frac{183}{35} \right)$

d' đi qua A(0; 0; -2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{d'}} = (62; - 25;61)$

Vậy phương trình tham số của d' là $\left\{ \begin{matrix} x = 62t \\ y = - 25t \\ z = - 2 + 61t \end{matrix} \right.$

Cách 2:

Gọi (Q) qua d và vuông góc với (P)

d đi qua điểm B(12; 9; 1) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{d}} = (4;3;1)$

(P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{P}} = (3;5; - 1)$

(Q) qua B(12; 9; 1) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{Q}} = \left\lbrack \overrightarrow{a_{d}},\overrightarrow{n_{P}} \right\rbrack = ( - 8;7;11)$

(Q):8x - 7y - 11z - 22 = 0

d' là giao tuyến của (Q) và (P)

Tìm một điểm thuộc d', bằng cách cho y = 0

Ta có hệ $\left\{ \begin{matrix} 3x - z = 2 \\ 8x - 11z = 22 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x = 0 \\ y = - 2 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow M(0;0; - 2) \in d'$

d' đi qua điểm M(0; 0; -2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_{d}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{P}};\overrightarrow{n_{Q}} \right\rbrack = (62; - 25;61)$

Vậy phương trình tham số của d' là $\left\{ \begin{matrix} x = 62t \\ y = - 25t \\ z = - 2 + 61t \end{matrix} \right.$ ..

----------------------------------------------

FAQ – Cách tìm hình chiếu của điểm lên đường thẳng và mặt phẳng

1. Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng hoặc mặt phẳng là gì?

Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng hoặc mặt phẳng là chân đường vuông góc được hạ từ điểm đó xuống đường thẳng hoặc mặt phẳng. Đây là kiến thức nền tảng trong hình học không gian Toán 12, thường được sử dụng để giải các bài toán khoảng cách, góc và tọa độ trong không gian.

2. Làm thế nào để tìm hình chiếu của một điểm lên đường thẳng trong không gian?

Các bước thực hiện gồm:

Xác định phương trình hoặc phương trình tham số của đường thẳng.
Gọi tọa độ điểm cần tìm là điểm thuộc đường thẳng.
Sử dụng điều kiện vuông góc giữa vectơ nối hai điểm và vectơ chỉ phương của đường thẳng.
Giải hệ phương trình để tìm tọa độ hình chiếu.
Kiểm tra lại điểm tìm được có thuộc đường thẳng hay không.

Đây là phương pháp phổ biến trong các bài toán tọa độ Oxyz.

3. Cách tìm hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng như thế nào?

Để tìm hình chiếu lên mặt phẳng, học sinh thường:

Viết phương trình mặt phẳng.
Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Lập đường thẳng đi qua điểm đã cho và vuông góc với mặt phẳng.
Tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Giao điểm đó chính là hình chiếu vuông góc cần tìm.

Phương pháp này được áp dụng nhiều trong các bài toán hình học giải tích không gian.

4. Hình chiếu của điểm được sử dụng để giải những dạng toán nào?

Kiến thức về hình chiếu thường xuất hiện trong các dạng toán:

Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Chứng minh vuông góc.
Tìm tọa độ điểm trong không gian Oxyz.
Bài toán cực trị hình học không gian.

Đây đều là các dạng toán quen thuộc trong đề thi THPT Quốc gia.

5. Làm sao để nhận biết bài toán cần tìm hình chiếu?

Đề bài thường có các cụm từ như:

Tìm chân đường vuông góc.
Hình chiếu vuông góc của điểm.
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
Điểm gần nhất trên đường thẳng hoặc mặt phẳng.

Đây là những dấu hiệu giúp lựa chọn đúng phương pháp giải.

--------------------------------------------------------

Có thể thấy, việc thành thạo cách tìm hình chiếu của điểm lên đường thẳng và mặt phẳng không chỉ giúp bạn giải nhanh các bài toán hình học không gian mà còn góp phần nâng cao tư duy logic tổng thể. Khi luyện tập, bạn nên kết hợp giữa việc hiểu bản chất hình học và áp dụng linh hoạt các phương pháp tọa độ để đạt hiệu quả cao nhất.

Đừng chỉ học công thức một cách máy móc, hãy rèn luyện kỹ năng phân tích đề bài để nhận diện dạng toán ngay từ bước đầu tiên. Ngoài ra, việc luyện tập đa dạng từ cơ bản đến nâng cao sẽ giúp bạn làm quen với nhiều dạng biến thể trong đề thi. Hãy tận dụng các đề minh họa và đề thi thử để kiểm tra năng lực của bản thân. Nếu kiên trì luyện tập đúng phương pháp, bạn hoàn toàn có thể đạt điểm cao trong phần hình học không gian. Đây chính là lợi thế giúp bạn bứt phá trong kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán.

Xem thử Tải về

Chọn file muốn tải về: