VnDoc.com

Tổng hợp Bài tập Tính Nguyên hàm Toán 12 Lời giải chi tiết từng bước

Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 10

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Mức độ: Trung bình

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Các dạng nguyên hàm lớp 12 - Có đáp án

A. Bài tập Tính nguyên hàm của hàm số
B. Đáp án tổng quan bài tập tính nguyên hàm
C. Hướng dẫn giải chi tiết bài tập tính nguyên hàm của hàm số

Tính nguyên hàm là một trong những chuyên đề trọng tâm của Toán 12 và luôn xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia. Việc nắm vững phương pháp và các dạng bài nguyên hàm giúp học sinh giải quyết hiệu quả các câu hỏi về tích phân, ứng dụng hình học và nhiều chuyên đề nâng cao khác. Bài viết này tổng hợp bài tập tính nguyên hàm Toán 12 với lời giải chi tiết từng bước, giúp học sinh không chỉ tìm ra đáp án mà còn hiểu sâu cách tư duy và lập luận trong quá trình giải.

A. Bài tập Tính nguyên hàm của hàm số

Câu 1: Tìm nguyên hàm $I = \int_{}^{}{(2x - 1)e^{- x}dx}$ .

A. $I = - (2x + 1)e^{- x} + C$ . B. $I = - (2x - 1)e^{- x} + C$ .

C. $I = - (2x + 3)e^{- x} + C$ . D. $I = - (2x - 3)e^{- x} + C$ .

Câu 2: Tìm nguyên hàm $I = \int_{}^{}{x\ln(2x - 1)dx}$ .

A. $I = \frac{4x^{2} - 1}{8}\ln|2x - 1| + \frac{x(x + 1)}{4} + C$ .

B. $I = \frac{4x^{2} + 1}{8}\ln|2x - 1| + \frac{x(x + 1)}{4} + C$ .

C. $I = \frac{4x^{2} - 1}{8}\ln|2x - 1| - \frac{x(x + 1)}{4} + C$ .

D. $I = \frac{4x^{2} + 1}{8}\ln|2x - 1| - \frac{x(x + 1)}{4} + C$ .

Câu 3: Cho là các hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ . Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau?

A. $\int_{}^{}{k.f(x)dx = k.\int_{}^{}{f(x)dx}}$ với k là hằng số.

B. $\int_{}^{}{\left\lbrack f(x) - g(x) \right\rbrack dx = \int_{}^{}{f(x)dx - \int_{}^{}{g(x)dx}}}$ .

C. $\int_{}^{}{\left\lbrack f(x).g(x) \right\rbrack dx = \int_{}^{}{f(x)dx.}\int_{}^{}{g(x)dx}}$ .

D. $\int_{}^{}{\left\lbrack f(x) + g(x) \right\rbrack dx = \int_{}^{}{f(x)dx} + \int_{}^{}{g(x)dx}}$ .

Câu 4: Nguyên hàm của hàm số $f = e^{- 2017x}$ là:

A. $\frac{1}{2017}e^{- 2017x} + C$ . B. $e^{- 2017x} + C$ .

C. $- 2017.e^{- 2017x} + C$ . D. $\frac{- 1}{2017}e^{- 2017x} + C$ .

Câu 5: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = x\sqrt{x}$ .

A. $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{2}{5}x^{2}\sqrt{x} + C}$ . B. $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{2}{5}x\sqrt{x} + C}$ .

C. $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{1}{2}x^{2}\sqrt{x} + C}$ . D. $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{3}{2}\sqrt{x} + C}$ .

Câu 6: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = (2x - 3)^{2}$ .

A. $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{(2x - 3)^{3}}{3} + C}$ . B. $\int_{}^{}{f(x)dx = (2x - 3)^{3} + C}$ .

C. $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{(2x - 3)^{3}}{6} + C}$ . D. $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{(2x - 3)^{3}}{2} + C}$ .

Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^{x} - e^{- x}$ .

A. $\int_{}^{}{f(x)dx = e^{x} + e^{- x} + C}$ . B. $\int_{}^{}{f(x)dx = - e^{x} + e^{- x} + C}$ .

C. $\int_{}^{}{f(x)dx = e^{x} - e^{- x} + C}$ . D. $\int_{}^{}{f(x)dx = - e^{x} - e^{- x} + C}$ .

Câu 8: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sqrt{3x + 4}$ , biết .

A. $F(x) = \frac{1}{3}\sqrt{3x + 4} + \frac{38}{3}$ . B. $F(x) = \frac{2}{3}(3x + 4)\sqrt{3x + 4} + \frac{16}{3}$ .

C. $F(x) = \frac{2}{9}(3x + 4)\sqrt{3x + 4} + \frac{56}{9}$ . D. $F(x) = \frac{2}{3}(3x + 4)\sqrt{3x + 4} + \frac{8}{3}$ .

Câu 9: Tìm nguyên hàm $I = \int_{}^{}{\frac{1}{4 - x^{2}}dx}$ ?

A. $I = \frac{1}{2}\ln\left| \frac{x + 2}{x - 2} \right| + C$ . B. $I = \frac{1}{2}\ln\left| \frac{x - 2}{x + 2} \right| + C$ .

C. $I = \frac{1}{4}\ln\left| \frac{x - 2}{x + 2} \right| + C$ . D. $I = \frac{1}{4}\ln\left| \frac{x + 2}{x - 2} \right| + C$ .

Câu 10: Cho hàm số $f(x) = \frac{1}{2x - 3}$ . Gọi là một nguyên hàm của . Chọn phương án sai.

A. $F(x) = \frac{\ln|2x - 3|}{2} + 10$ . B. $F(x) = \frac{\ln|4x - 6|}{4} + 10$ .

C. $F(x) = \frac{\ln(2x - 3)^{2}}{4} + 5$ . D. $F(x) = \frac{\ln\left| x - \frac{3}{2} \right|}{2} + 1$ .

Câu 11: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{x^{2} + x - 1}{\sqrt{x^{2} - 1}}.e^{x}$ ?

A. $F(x) = \sqrt{x^{2} - 1}.e^{x} + C$ . B. $F(x) = - \sqrt{x^{2} - 1}.e^{x} + C$ .

C. $F(x) = - 2x\sqrt{x^{2} - 1}.e^{- 2x} + C$ . D. $F(x) = \sqrt{x^{1} - 1}.e^{- x} + C$ .

Câu 12: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{3x - 7}{x + 2}$ ?

A. $\int_{}^{}{f(x)dx = x - 13ln|x + 2| + C}$ . B. $\int_{}^{}{f(x)dx = \ln|x + 2| + C}$ .

C. $\int_{}^{}{f(x)dx = 3x - 13ln|x + 2| + C}$ . D. $\int_{}^{}{f(x)dx = 3x - 7ln|x + 2| + C}$ .

Câu 13: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{x^{4} + 5}{x + 1}$ .

A. $\int_{}^{}{f(x)dx} = \frac{1}{4}x^{4} - \frac{1}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} + x - 6ln|x + 1| + C$ .

B. $\int_{}^{}{f(x)dx} = \frac{1}{4}x^{4} - \frac{1}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} - x + 6ln|x + 1| + C$ .

C. $\int_{}^{}{f(x)dx = x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 6ln|x + 1| + C}$ .

D. $\int_{}^{}{f(x)dx = x^{4} - x^{3} + x^{2} - x - 6ln|x + 1| + C}$ .

Câu 14: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{x\sqrt{x^{2} + 1}}$ ?

A. $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{1}{2}.ln\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{\sqrt{x^{2} + 1} + 1} + C}$ .

B. $\int_{}^{}{f(x)dx = \ln\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{\sqrt{x^{2} + 1} + 1} + C}$ .

C. $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{1}{2}.ln\frac{\sqrt{x^{2} + 1} + 1}{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}} + C$ .

D. $\int_{}^{}{f(x)dx =\frac{1}{2}.ln\frac{1 - \sqrt{x^2 + 1}}{1 + \sqrt{x^{2} + 1}} +C}$ .

Câu 15: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1}}$ .

A. $\int_{}^{}{f(x)dx = \left\lbrack (x + 1)^{\frac{2}{3}} - (x - 1)^{\frac{2}{3}} \right\rbrack + C}$ .

B. $\int_{}^{}{f(x)dx = \left\lbrack (x + 1)^{\frac{3}{2}} - (x - 1)^{\frac{3}{2}} \right\rbrack + C}$ .

C. $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{1}{3}}\left\lbrack (x + 1)^{\frac{2}{3}} - (x - 1)^{\frac{3}{2}} \right\rbrack + C$ .

D. $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{1}{3}\left\lbrack (x + 1)^{\frac{3}{2}} - (x - 1)^{\frac{3}{2}} \right\rbrack + C}$ .

Câu 16: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{e^{x} + 3}$ .

A. $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{1}{3}\ln\left| \frac{e^{x}}{e^{x} + 3} \right| + C}$ B. $\int_{}^{}{f(x)dx = \ln\left| \frac{e^{x}}{e^{x} + 3} \right| + C}$ C. $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{1}{3}\ln\left\lbrack e^{x}\left( e^{x} + 3 \right) \right\rbrack + C}$ D. $\int_{}^{}{f(x)dx =\frac{1}{6}\ln\left\lbrack e^{x}\left( e^{x} + 3 \right) \right\rbrack +C}$

Câu 17: Biết là nguyên hàm của $f(x) = 4^{x}$ và $F(1) = \frac{1}{\ln2}$ . Khi đó giá trị bằng:

A. $\frac{7}{ln2}$ B. $\frac{8}{ln2}$ C. $\frac{9}{\ln2}$ D. $\frac{3}{ln2}$

Câu 18: Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{4x - 3}{x^{2} - 3x + 2}$ là:

A. $F(x) = 4\ln|x - 2| + \ln\left| \frac{x- 1}{x - 2} \right| + C$ B. $F(x) = 4ln|x - 2| - \ln\left| \frac{x - 1}{x - 2} \right| + C$

C. $F(x) = - 4ln|x - 2| - \ln\left| \frac{x - 2}{x - 1} \right| + C$ D. $F(x) = 4ln|x - 2| - \ln\left| \frac{x - 2}{x - 1} \right| + C$

Câu 19: Nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{2x}{(1 - x)^{3}}$ ?

A. $F(x) = \frac{2}{x - 1} + \frac{1}{(x - 1)^{2}} + C$ B. $F(x) = \frac{2}{x - 1} - \frac{1}{(x - 1)^{2}} + C$

C. $F(x) = \frac{1}{1 - x} + \frac{1}{4(1- x)^{4}} + C$ D. $F(x) = \frac{1}{1 - x} - \frac{1}{4(1 - x)^{4}} + C$

Câu 20: Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{5x - 2}$ .

A. $\int_{}^{}{\frac{dx}{5x - 2} = \frac{1}{5}\ln|5x - 2| + C}$ B. $\int_{}^{}{\frac{dx}{5x - 2} = -\frac{1}{2}(\ln5x - 2) + C}$

C. $\int_{}^{}{\frac{dx}{5x - 2} = 5ln|5x - 2| + C}$ D. $\int_{}^{}{\frac{dx}{5x - 2} = \ln|5x - 2| + C}$

B. Đáp án tổng quan bài tập tính nguyên hàm

1 - A	2 - C	3 - C	4 - D	5 - A	6 – C
7 - A	8 - C	9 - D	10 - B	11 - A	12 – C
13 - B	14 - A	15 - D	16 - A	17 - A	18 – B
19 - B	20 - A	21 - B	22 - D	23 - B	24 – D
25 - A	26 - D	27 - C	28 - B	29 - A	30 – D
31 – C	32 - D	33 - B	34 - A

C. Hướng dẫn giải chi tiết bài tập tính nguyên hàm của hàm số

Câu 1:

Đặt $u = 2x - 1 \Rightarrow du = 2dx$ ;

$e^{- x}dx = dv \Rightarrow v = - e^{- x}$

Lúc này ta có

$\int_{}^{}{(2x - 1)e^{- x}dx = - (2x - 1).e^{- x} + \int_{}^{}{2e^{- x}dx}}$

$= - (2x - 1).e^{- x} - 2e^{- x} + C = - (2x + 1)e^{- x} + C$

Câu 2:

Đặt $u = \ln(2x - 1) \Rightarrow du = \frac{2}{2x - 1}dx;dv = xdx \Rightarrow v = \frac{x^{2}}{2}$

Khi đó

$\int_{}^{}{x\ln(2x - 1)dx} = \frac{x^{2}}{2}.ln(2x - 1) - \int_{}^{}{\frac{x^{2}}{2}.\frac{2}{2x - 1}}dx$

$= \frac{x^{2}}{2}.ln|2x - 1| - \int_{}^{}{\frac{x^{2}}{2x - 1}dx}$

$= \frac{x^{2}}{2}.ln|2x - 1| - \int_{}^{}{\left( \frac{x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4(2x - 1)} \right)dx}$

$= \frac{x^{2}}{2}.ln|2x - 1| - \left( \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} + \frac{1}{8}.ln\left| (2x - 1) \right| \right) + C$

$= \frac{4x^{2} - 1}{8}.ln|2x - 1| - \frac{x(x + 1)}{4} + C$

Câu 3:

Đáp án sai là: $\int_{}^{}{\left\lbrack f(x).g(x) \right\rbrack dx = \int_{}^{}{f(x)dx.}\int_{}^{}{g(x)dx}}$ .

Câu 4:

Ta có $\int_{}^{}{e^{- 2017x}dx = \frac{1}{- 2017}e^{- 2017x} + C}$

Câu 5:

Ta có:

$\int_{}^{}{x\sqrt{x}dx = \int_{}^{}{x^{\frac{3}{2}}dx = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + C = \frac{2}{5}x^{2}\sqrt{x} + C}}$ .

Câu 6:

Ta có $\int_{}^{}{f(x)dx = \frac{1}{3.2}(2x - 3)^{3} + C}$

Câu 7:

Ta có: $\int_{}^{}{f(x)dx = e^{x} + e^{- x} + C}$ ,

Câu 8:

Ta có:

$F(x) = \int_{}^{}{\sqrt{3x + 4}dx = \int_{}^{}{(3x + 4)^{\frac{1}{2}}dx = \frac{2}{9}.(3x + 4)^{\frac{3}{2}} + C}}$

$= \frac{2}{9}.(3x + 4)\sqrt{3x + 4} + C$

Mà $F(0) = 8 \Rightarrow C = \frac{56}{9}$

Vậy đáp án cần tìm là: $F(x) = \frac{2}{9}(3x + 4)\sqrt{3x + 4} + \frac{56}{9}$

Câu 9:

Ta có

$\int_{}^{}{\frac{1}{a^{2} - x^{2}}dx = \int_{}^{}{\frac{1}{(a + x)(a - x)}dx}}$

$= \frac{1}{2a}\int_{}^{}{\left( \frac{1}{a - x} + \frac{1}{a + x} \right)dx}$

$= \frac{1}{2a}.ln\left| \frac{x + a}{x - a} \right| + C$

Áp dụng vào bài ta chọn $I = \frac{1}{4}\ln\left| \frac{x + 2}{x - 2} \right| + C$ .

Câu 10:

Ta có $F(x) = \int_{}^{}\frac{1}{2x - 3}dx = \int_{}^{}{\frac{1}{2}.\frac{1}{(2x - 3)}d(2x - 3)}$

$= \frac{\ln|2x - 3|}{2} + C$

Từ đây ta thấy $F(x) = \frac{\ln|2x - 3|}{2} + 10$ đúng.

Với $F(x) = \frac{\ln|4x - 6|}{4} + 10$ ta thấy

$\frac{\ln|4x - 6|}{4} + 10 = \frac{ln2 + \ln|2x - 3|}{4} + 10 \neq F(x)$ , vậy $F(x) = \frac{\ln|4x - 6|}{4} + 10$ sai.

Câu 11:

Ta có

$f(x) = \frac{x^{2} + x - 1}{\sqrt{x^{2} - 1}}.e^{x} = \frac{\left( x^{2} - 1 \right) + x}{\sqrt{x^{2} - 1}}.e^{x}$

$= \left\lbrack \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} + \sqrt{x^{2} - 1} \right\rbrack e^{x} = \left\lbrack \left( \sqrt{x^{2} - 1} \right)' + \sqrt{x^{2} - 1} \right\rbrack e^{x}$

$\Rightarrow F(x) = \sqrt{x^{2} - 1}.e^{x} + C$

Câu 12:

Ta có

$\int_{}^{}{f(x)dx = \int_{}^{}{\frac{3x - 7}{x + 2}dx = \int_{}^{}{\frac{3(x + 2) - 13}{x + 2}dx}}}$

$= \int_{}^{}{\left( 3 - \frac{13}{x + 2} \right)dx = \int_{}^{}{3dx - 13\int_{}^{}\frac{d(x + 2)}{x + 2}}}$

.

📥 Để xem trọn vẹn nội dung và ví dụ minh họa, bạn vui lòng tải tài liệu tham khảo tại đây.

-----------------------------------------------

Gợi ý tham khảo:

Nắm chắc kỹ năng tính nguyên hàm là chìa khóa để chinh phục điểm số cao trong kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán. Bộ bài tập kèm lời giải từng bước trong bài viết sẽ giúp các em dễ dàng tiếp cận, hiểu bản chất vấn đề và tránh lỗi sai phổ biến. Hãy luyện tập thường xuyên với nhiều dạng đề khác nhau để tăng tốc độ làm bài, rèn kỹ năng xử lý linh hoạt và tự tin bước vào kỳ thi quan trọng phía trước.

Luyện tập mở rộng

Tải về

Chọn file muốn tải về: