Bài tập Toán 12: Tìm cực trị của hàm số cho bởi công thức

Tập xác định: ; ; .

Bảng biến thiên

Vậy ; .

Ta có :

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên: Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 2.

Ta có: .

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu nhận thấy hàm số có điểm cực trị.

.

.

Ta có: Hàm số đạt cực tiểu tại ; .

Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là .

Ta có:

.

Bảng xét dấu của

Vậy hàm số đã cho có hai điểm cực tiểu là và .

Có nên hàm số không có cực trị.

Ta có

.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số có điểm cực đại.

Ta có . Do là nghiệm đơn, còn các nghiệm và là nghiệm bội chẵn nên chỉ đổi khi đi qua .

Hàm số có điểm cực trị.

Ta có:

Bảng biến thiên

Khi đó:

Ta có

Lại có:

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta thấy giá trị cực đại của hàm số bằng

Cách 1.

Ta có: ;

Lập bảng biến thiên. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại và giá trị cực tiểu bằng .

Cách 2.

Ta có ;

. Khi đó: ; .

Nên hàm số đạt cực tiểu tại và giá trị cực tiểu bằng .

Ta có

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho có điểm cực trị.

Phương trình

Do có ba nghiệm phân biệt và đổi dấu qua ba nghiệm này nên hàm số có ba điểm cực trị.

Ta có

Vì nghiệm là nghiệm bội lẻ và là nghiệm bội chẵn nên số điểm cực trị của hàm số là 1.

Ta có:

.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho có điểm cực tiểu.

Ta có:

có nghiệm bội lẻ và hệ số dương nên có cực tiểu

Ta có

Bảng xét dấu :

Từ bảng xét dấu suy ra hàm số có đúng điểm cực đại

Ta có

Do đó hàm số đạt cực tiểu tại .

Tập xác định .

Khi đó  .

Suy ra đồ thị có hàm số có điểm cực trị có tung độ là số dương.

Cách 1: Sử dụng MTCT chọn một số nằm giữa các khoảng suy ra bảng xét dấu

đổi dấu 3 lần qua ,,. suy ra hàm số có 3 cực trị.

Cách 2: Sử dụng nghiệm bội chẵn lẻ, nghiệm đơn.

đổi dấu qua 3 nghiệm đơn. 2 nghiệm bội chẵn không đổi dấu nên có 3 cực trị.

Ta có:

.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên của hàm số , ta thấy hàm số có đúng 1 điểm cực trị.

Ta có:

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có 1 điểm cực trị .

Ta có:

Bảng xét dấu:

Hàm số có điểm cực trị, đồng biến trên khoảng ; và nghịch biến trên khoảng ; . Vậy mệnh đề , , đúng.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị đó là điểm cực tiểu .

Ta có: .

Ta thấy chỉ đổi dấu qua nghiệm nên hàm số có đúng một điểm cực trị là .

Vậy tổng các điểm cực trị của hàm số bằng .

Ta có

.

Lập bảng xét dấu của như sau:

Ta thấy đổi dấu khi đi qua các điểm và , do đó hàm số có hai điểm cực trị.

Ta có:

.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Vậy hàm số đã cho có một điểm cực đại.

Ta có

Bảng xét dấu đạo hàm.

Suy ra hàm số  đạt cực tiểu tại

Xét dấu của đạo hàm:

Ta thấy đạo hàm đổi dấu đúng 1 lần nên hàm số đã cho có đúng 1 điểm cực trị