VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Bài tập Phương trình mặt phẳng mức độ Thông hiểu Vận Dụng

Chuyên đề Toán 12 Có đáp án chi tiết

Bài tập phương trình mặt phẳng có lời giải

Trong chương trình Toán lớp 12, chuyên đề phương trình mặt phẳng đóng vai trò quan trọng trong phần hình học không gian. Không chỉ yêu cầu học sinh nắm vững lý thuyết, chuyên đề này còn đòi hỏi khả năng vận dụng linh hoạt vào các dạng bài thực tế và thi cử. Bài viết dưới đây cung cấp hệ thống bài tập phương trình mặt phẳng ở mức độ Thông hiểu và Vận dụng, kèm lời giải chi tiết, rõ ràng, giúp học sinh từng bước củng cố kiến thức và nâng cao tư duy giải toán. Đây là tài liệu hữu ích cho quá trình ôn thi học kỳ và kỳ thi THPT Quốc gia.

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 35 câu
Điểm số bài kiểm tra: 35 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Thông hiểu
Xác định phương trình mặt phẳng
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x + 2y - z + 1 = 0$ . Gọi mặt phẳng $(Q)$ là mặt phẳng đối xứng của mặt phẳng $(P)$ qua trục tung. Khi đó phương trình mặt phẳng $(Q)$ là?
- A.
  $x - 2y - z - 1 = 0$
- B.
  $x - 2y - z + 1 = 0$
- C.
  $x + 2y - z - 1 = 0$
- D.
  $x + 2y + z + 1 = 0$
Hướng dẫn:
Gọi $M(x,y,z)$ là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng $(P)$ .

Điểm $M'( - x,y, - z)$ là điểm đối xứng của $M$ qua trục tung $\Rightarrow (Q): - x + 2y + z + 1 = 0$ là mặt phẳng đi qua $M'$ và là mặt phẳng đối xứng của $(P)$

Vậy $x - 2y - z - 1 = 0$ .
Câu 2: Vận dụng
Viết phương trình mặt phẳng (P)
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , gọi $(P)$ là mặt phẳng song song với mặt phẳng $Oxz$ và cắt mặt cầu $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + z^{2} = 12$ theo đường tròn có chu vi lớn nhất. Phương trình của $(P)$ là:
- A.
  $y + 1 = 0$ .
- B.
  $y - 2 = 0$ .
- C.
  $x - 2y + 1 = 0$ .
- D.
  $y + 2 = 0$ .
Hướng dẫn:
Mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + z^{2} = 12$ theo đường tròn có chu vi lớn nhất nên mặt phẳng $(P)$ đi qua tâm $I(1; - 2;0)$ .

Phương trình mặt phẳng $(P)$ song song với mặt phẳng $Oxz$ có dạng : $Ay + B = 0$

Do $(P)$ đi qua tâm $I(1; - 2;0)$ có phương trình dạng: $y + 2 = 0$ .
Câu 3: Thông hiểu
Xác định số mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt phẳng $(P):\ \ x + y + z - 6 = 0$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 12$ ?
- A.
  1.
- B.
  3.
- C.
  2
- D.
  Không có.
Hướng dẫn:
+) Mặt phẳng $(Q)$ song song với mặt phẳng $(P)$ có dạng: $x + y + z + D = 0\ \ (D \neq - 6)$ .

+) Do mặt phẳng $(Q)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 12$ nên $d(I;(Q)) = R$ với $I$ là tâm cầu, $R$ là bán kính mặt cầu.

Tìm được $D = 6$ hoặc $D = - 6$ (loại) Vậy có 1 mặt phẳng thỏa mãn.
Câu 4: Nhận biết
Xác định phương trình mặt phẳng (P)
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(2;1;3);B(3;0;2);C(0; - 2;1)$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A,B$ và cách $C$ một khoảng lớn nhất?
- A. $(P):3x + 2y + z - 11 = 0$
- B. $(P):3x + y + 2z - 13 = 0$
- C. $(P):2x - y + 3z - 12 = 0$
- D. $(P):x + y - 3 = 0$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu $C$ của lên mp $(P)$ và doạn thẳng $AB$

Ta có : $CH = d\left( I,(P) \right) \leq CK \Rightarrow d\left( C,(P) \right)$ lớn nhất khi $H \equiv K$ . Khi đó mặt phẳng $(P)$ đi qua $A,B$ và vuông với mặt phẳng $(ABC)$

Ta có $\overrightarrow{n_{p}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right\rbrack \land \overrightarrow{AB} = ( - 9, - 6, - 3)$

$\Rightarrow (P):3x + 2y + z - 11 = 0$
Câu 5: Thông hiểu
Xác lập phương trình mặt phẳng
Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P)x + y + z - 3 = 0$ , $(Q):2x + 3y + 4z - 1 = 0$ . Lập phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $A(1;0;1)$ và chứa giao tuyến của hai mặt phẳng $(P),(Q)$ ?
- A.
  $(\alpha):7x + 8y + 9z - 16 = 0$ .
- B.
  $(\alpha):7x + 8y + 9z - 17 = 0$ .
- C.
  $(\alpha):2x - 2y + z - 3 =0$ .
- D.
  $(\alpha):2x + 3y + z - 3 = 0$ .
Hướng dẫn:
Gọi $M,N$ là các điểm thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng $(P),(Q)$ .

$M,N$ thỏa hệ phương trình : $\left\{ \begin{matrix} x + y + z - 3 = 0 \\ 2x + 3y + 4z - 1 = 0 \\ \end{matrix} \right.$

Cho $x = 7 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} y + z = - 4 \\ 3y + 4z = - 13 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = - 3 \\ z = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow M(7; - 3; - 1)$ .

Cho $x = 6 \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} y + z = - 3 \\ 3y + 4z = - 11 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} y = - 1 \\ z = - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow N(6; - 1; - 2)$ .

Lúc đó mặt phẳng $(\alpha)$ chứa 3 điểm $A,N,M \Rightarrow (\alpha):7x + 8y + 9z - 16 = 0$ .
Câu 6: Thông hiểu
Tìm tọa độ điểm M
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ ,tọa độ điểm $M$ nằm trên trục $Oy$ và cách đều hai mặt phẳng: $(P):x + y - z + 1 = 0$ và $(Q):x - y + z - 5 = 0$ là:
- A.
  $M(0;3;0)$ .
- B.
  $M(0; - 3;0)$ .
- C.
  $M(0;1;0)$ .
- D.
  $M(0; - 2;0)$ .
Hướng dẫn:
Ta có $M \in Oy \Rightarrow M(0;m;0)$

Giả thiết có $d\left( M,(P) \right) = d\left( M,(Q) \right)$

$\Leftrightarrow \frac{|m + 1|}{\sqrt{3}} = \frac{| - m - 5|}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow m = - 3$

Vậy $M(0; - 3;0)$
Câu 7: Vận dụng cao
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 9$ , điểm $A(0;0;2)$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và cắt mặt cầu $(S)$ theo thiết diện là hình tròn $(C)$ có diện tích nhỏ nhất ?
- A.
  $(P):x + 2y + z - 2 = 0$ .
- B.
  $(P):3x + 2y + 2z - 4 = 0$ .
- C.
  $(P):x - 2y + 3z - 6 = 0$ .
- D.
  $(P):x + 2y + 3z - 6 = 0$ .
Hướng dẫn:
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1,2,3),R = 3$ .

Ta có $IA < R$ nên điểm $A$ nằm trong mặt cầu.

Ta có : $d\left( I,(P) \right) = \sqrt{R^{2} - r^{2}}$

Diện tích hình tròn $(C)$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow r$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow d\left( I,(P) \right)$ lớn nhất.

Do $d\left( I,(P) \right) \leq IA \Rightarrow \max d\left( I,(P) \right) = IA$ Khi đó mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và nhận $\overrightarrow{IA}$ làm vtpt

$\Rightarrow (P):x + 2y + z - 2 = 0$
Câu 8: Vận dụng
Viết phương trình mặt phẳng
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho điểm $N(1;1;1)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ cắt các trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A,B,C$ (không trùng với gốc tọa độ $O$ ) sao cho $N$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ ?
- A.
  $(P):x + y - z + 1 = 0$ .
- B.
  $(P):x + y + z - 3 = 0$ .
- C.
  $(P):x - y - z + 1 = 0$ .
- D.
  $(P):x + 2y + z - 4 = 0$ .
Hướng dẫn:
Gọi $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ lần lượt là giao điểm của $(P)$ với các trục $Ox,Oy,Oz$

$\Rightarrow (P):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1(a,b,c \neq 0)$

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {N \in \left( P \right)} \\ {NA = NB} \\ {NA = NC} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1} \\ {\left| {a - 1} \right| = \left| {b - 1} \right|} \\ {\left| {a - 1} \right| = \left| {c - 1} \right|} \end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow a = b = c = 3 \Rightarrow x + y + z - 3 = 0$
Câu 9: Thông hiểu
Chọn phương án thích hợp
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ ,cho hai đường thẳng $d_{1},d_{2}$ lần lượt có phương trình $d_{1}:\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{3}$ , $d_{2}:\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 1}{4}$ . Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ cách đều hai đường thẳng $d_{1},d_{2}$ là:
- A.
  $7x - 2y - 4z + 3 = 0$ .
- B.
  $14x - 4y - 8z + 3 = 0$ .
- C.
  $7x - 2y - 4z = 0$ .
- D.
  $2x + y + 3z + 3 = 0$ .
Hướng dẫn:
Ta có $d_{1}$ đi qua $A(2;2;3)$ và có $\overrightarrow{u_{d_{1}}} = (2;1;3)$ , $d_{2}$ đi qua $B(1;2;1)$ và có $\overrightarrow{u_{d_{2}}} = (2; - 1;4)$

$\overrightarrow{AB} = ( - 1;1; - 2);\left\lbrack \overrightarrow{u_{d_{1}}};\overrightarrow{u_{d_{2}}} \right\rbrack = (7; - 2; - 4)$ ;

$\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{u_{d_{1}}};\overrightarrow{u_{d_{2}}} \right\rbrack\overrightarrow{AB} = - 1 \neq 0$ nên $d_{1},d_{2}$ chéo nhau.

Do $(\alpha)$ cách đều $d_{1},d_{2}$ nên $(\alpha)$ song song với $d_{1},d_{2} \Rightarrow \overrightarrow{n_{\alpha}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{d_{1}}};\overrightarrow{u_{d_{2}}} \right\rbrack = (7; - 2; - 4)$

$\Rightarrow (\alpha)$ có dạng $7x - 2y - 4z + d = 0$

Theo giả thiết thì $d\left( A,(\alpha) \right) = d\left( B,(\alpha) \right)$

$\Leftrightarrow \frac{|d - 2|}{\sqrt{69}} = \frac{|d - 1|}{\sqrt{69}} \Leftrightarrow d = \frac{3}{2}$

$\Rightarrow (\alpha):14x - 4y - 8z + 3 = 0$
Câu 10: Thông hiểu
Chọn phương án thích hợp
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua hai điểm $A(1;1;1)$ , $B(0;2;2)$ đồng thời cắt các tia $Ox,Oy$ lần lượt tại hai điểm $M,N$ (không trùng với gốc tọa độ $O$ ) sao cho $OM = 2ON$
- A.
  $(P):x - 2y - z + 2 = 0$ .
- B.
  $(P):3x + y + 2z - 6 = 0$ .
- C.
  $(P):2x + 3y - z - 4 = 0$ .
- D.
  $(P):x + 2y - z - 2 = 0$ .
Hướng dẫn:
Gọi $M(a;0;0),N(0;b;0)$ lần lượt là giao điểm của $(P)$ với các tia $Ox,Oy(a,b > 0)$

Do $OM = 2ON \Leftrightarrow a = 2b \Rightarrow \overrightarrow{MN}( - 2b;b;0) = - b(2; - 1;0)$ .

Đặt $\overrightarrow{u}(2; - 1;0)$

Gọi $\overrightarrow{n}$ là môt vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P) \Rightarrow \overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{u},\overrightarrow{AB} \right\rbrack = ( - 1;2;1)$

Phương trình măt phẳng $(P):x - 2y - z + 2 = 0$ .
Câu 11: Thông hiểu
Định phương trình mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho tứ diện $ABCD$ có các đỉnh $A(1;2;1)$ , $B( - 2;1;3)$ , $C(2; - 1;3)$ và $D(0;3;1)$ . Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $A,B$ đồng thời cách đều $C,D$
- A.
  $\left( P_{1} \right):3x + 5y + 7z - 20 = 0;\left( P_{2} \right):x + 3y + 3z - 10 = 0$ .
- B.
  $\left( P_{1} \right):6x - 4y + 7z - 5 = 0;\left( P_{2} \right):3x + y + 5z + 10 = 0$ .
- C.
  $\left( P_{1} \right):6x - 4y + 7z - 5 = 0;\left( P_{2} \right):2x + 3z - 5 = 0$ .
- D.
  $\left( P_{1} \right):4x + 2y + 7z - 15 = 0;\left( P_{2} \right):x - 5y - z + 10 = 0$ .
Hướng dẫn:
Trường hợp 1: $CD \parallel (P)$

$\overrightarrow{n_{P}} = \overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{CD} = ( - 6; - 10; - 14) = - 2(3;5;7) \Rightarrow (P):3x + 5y + 7z - 20 = 0$

Trường hợp 2: $(P)$ đi qua trung điểm $I(1;1;2)$ của $CD$

$\overrightarrow{n_{P}} = \overrightarrow{AB} \land \overrightarrow{AI} = (1;3;3) \Rightarrow (P):x + 3y + 3z - 10 = 0$ .
Câu 12: Thông hiểu
Tìm các giá trị thực của tham số m và n
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(\alpha):3x + (m - 1)y + 4z - 2 = 0$ , $(\beta):nx + (m + 2)y + 2z + 4 = 0$ . Với giá trị thực của $m,n$ bằng bao nhiêu để $(\alpha)$ song song $(\beta)$
- A.
  $m = 3;n = 6$ .
- B.
  $m = - 3;n = - 6$ .
- C.
  $m = - 3;n = 6$
- D.
  $m = 3;n = - 6$ .
Hướng dẫn:
Để $(\alpha)$ song song $(\beta) \Rightarrow \frac{3}{n} = \frac{m - 1}{m + 2} = \frac{4}{2} \neq \frac{4}{- 2}$

$\Leftrightarrow m = - 3;n = 6$ .

Vậy $m = - 3;n = 6$ .
Câu 13: Vận dụng
Xác định phương trình mặt phẳng
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho hình cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 16$ . Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ chứa $Oy$ cắt hình cầu $(S)$ theo thiết diện là đường tròn có chu vi bằng $8\pi$
- A.
  $(\alpha):3x + z = 0$
- B.
  $(\alpha):x - 3z = 0$
- C.
  $(\alpha):3x + z + 2 = 0$
- D.
  $(\alpha):3x - z = 0$
Hướng dẫn:
Phương trình mặt phẳng $(\alpha):Ax + Cz = 0\left( A^{2} + C^{2} \neq 0 \right)$

Ta có : $2\pi r = 8\pi \Leftrightarrow r = 4$ .

Mà $(S)$ có tâm $I(1,2,3),R=4$

Do $R = r = 4 \Rightarrow I \in (\alpha) \Leftrightarrow A + 3C = 0$

Chọn $A = 3,C = - 1 \Rightarrow(\alpha):3x - z = 0$
Câu 14: Vận dụng
Tìm phương trình mặt phẳng thích hợp
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $M(1;2;3)$ và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại $A$ , $B$ , $C$ ( khác gốc toạ độ $O$ ) sao cho $M$ là trực tâm tam giác $ABC$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình là:
- A. $x + 2y + 3z + 14 = 0$ .
- B. $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} - 1 = 0$ .
- C. $x + 2y + 3z - 14 = 0$ .
- D. $3x + 2y + z - 10 = 0$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Cách 1: Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $C$ trên $AB$ , $K$ là hình chiếu vuông góc $B$ trên $AC$ . $M$ là trực tâm của tam giác $ABC$ khi và chỉ khi $M = BK \cap CH$

Ta có : $\left. \ \begin{matrix} AB\bot CH \\ AB\bot CO \\ \end{matrix} \right\} \Rightarrow AB\bot(COH) \Rightarrow AB\bot OM\ (1)$ (1)

Chứng minh tương tự, ta có: $AC\bot OM$ (2).

Từ (1) và (2), ta có: $OM\bot(ABC)$

Ta có: $\overrightarrow{OM}(1;2;3)$ .

Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $M(1;2;3)$ và có một VTPT là $\overrightarrow{OM}(1;2;3)$ nên có phương trình là:

$(x - 1) + 2(y - 2) + 3(z - 3) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 14 = 0$ .

Cách 2:

+) Do $A,B,C$ lần lượt thuộc các trục $Ox,Oy,Oz$ nên $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ ( $a,b,c\ \ \neq 0$ ).

Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng $(ABC)$ là: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ .

+) Do $M$ là trực tâm tam giác $ABC$ nên $\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC} = 0 \\ \overrightarrow{BM}.\overrightarrow{AC} = 0 \\ M \in (ABC) \\ \end{matrix} \right.$ .

Giải hệ điều kiện trên ta được $a,b,c$

Vậy phương trình mặt phẳng: $x + 2y + 3z - 14 = 0$ .
Câu 15: Thông hiểu
Tìm phương trình mặt phẳng thích hợp
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng có phương trình $(P)x + 2y + 2z - 1 = 0(Q):x + 2y - z - 3 = 0$ và mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + z^{2} = 5$ . Mặt phẳng $(\alpha)$ vuông với mặt phẳng $(P),(Q)$ đồng thời tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ .
- A.
  $2x + y - 1 = 0;\ 2x + y + 9 = 0$ .
- B.
  $x - 2y + 1 = 0;\ x - 2y - 9 = 0$ .
- C.
  $2x - y + 1 = 0;\ \ 2x - y - 9 = 0$ .
- D.
  $2x - y - 1 = 0;\ 2x - y + 9 = 0$ .
Hướng dẫn:
Mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} + z^{2} = 5$ có tâm $I(1; - 2;0)$ và bán kính $R = \sqrt{5}$

Gọi $\overrightarrow{n_{\alpha}}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$

Ta có : ${\overrightarrow{n}}_{\alpha} = \overrightarrow{n_{P}} \land {\overrightarrow{n}}_{Q} \Rightarrow \overrightarrow{n_{\alpha}} = ( - 6;3;0) = - 3(2; - 1;0) = - 3\overrightarrow{n_{1}}$

Lúc đó mặt phẳng $(\alpha)$ có dạng : $2x - y + m = 0$ .

Do mặt phẳng $(\alpha)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$

$\Rightarrow d\left( I,(\alpha) \right) = \sqrt{5} \Leftrightarrow \frac{|m + 4|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = - 9 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ : $2x - y + 1 = 0$ hoặc $2x - y - 9 = 0$ .
Câu 16: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M(1;2;3).$ Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng chứa trục $Oy$ và cách $M$ một khoảng lớn nhất. Phương trình của $(\alpha)$ là:
- A.
  $x + 2z = 0$ .
- B.
  $x + 3z = 0$ .
- C.
  $x - 3z = 0$ .
- D.
  $x = 0$ .
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

+) Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ trên mặt phẳng $(\alpha)$ và trục $Oy$ .

Ta có : $K(0;2;0)$

$d(M,(\alpha)) = MH \leq MK$

Vậy khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(\alpha)$ lớn nhất khi mặt phẳng $(\alpha)$ qua $K$ và vuông góc với $MK$ .

Phương trình mặt phẳng: $x + 3z = 0$
Câu 17: Thông hiểu
Chọn đáp án thích hợp
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng song song với mặt phẳng $(\beta):2x - 4y + 4z + 3 = 0$ và cách điểm $A(2; - 3;4)$ một khoảng $k = 3$ . Phương trình của mặt phẳng $(\alpha)$ là:
- A.
  $x - 2y + 2z - 25 = 0$ .
- B.
  $x - 2y + 2z - 25 = 0$ hoặc $x - 2y + 2z - 7 = 0$ .
- C.
  $2x - 4y + 4z - 5 = 0$ hoặc $2x - 4y + 4z - 13 = 0$ .
- D.
  $x - 2y + 2z - 7 = 0$ .
Hướng dẫn:
Vì $(\alpha)//(\beta) \Rightarrow (\alpha):2x - 4y + 4z + m = 0(m \neq 3)$

Giả thiết có $d\left( A,(\alpha) \right) = 3 \Leftrightarrow \frac{|32 + m|}{6} = 3$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 14 \\ m = - 50 \\ \end{matrix} \right.$

Vậy $(\alpha):x - 2y + 2z - 7 = 0$ , $(\alpha):x - 2y + 2z - 25 = 0$
Câu 18: Thông hiểu
Viết phương trình mặt phẳng
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $M(5;4;3)$ và cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ các đoạn bằng nhau có phương trình là:
- A.
  $x + y + z = 0$
- B.
  $x - y + z = 0$
- C.
  $x + y + z - 12 = 0$
- D.
  $5x + 4y + 3z - 50 = 0$
Hướng dẫn:
Gọi $A(a;0;0),\ B(0;a;0),\ C(0;0;a)(a \neq 0)$ là giao điểm của mặt phẳng $(\alpha)$ và các tia $Ox,Oy,Oz$ .

Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ qua A, B, C là: $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} + \frac{z}{a} = 1$ .

Mặt phẳng $(\alpha)$ qua điểm $M(5;4;3) \Rightarrow a = 12$

Ta có $\frac{x}{12} + \frac{y}{12} + \frac{z}{12} = 1 \Leftrightarrow x + y + z - 12 = 0$
Câu 19: Thông hiểu
Xác định số cặp mặt phẳng song song với nhau
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho 4 mặt phẳng $(P):x - 2y + 4x - 3 = 0$ , $(Q) - 2x + 4y - 8z + 5 = 0$ , $(R):3x - 6y + 12z - 10 = 0$ , $(W):4x - 8y + 8z - 12 = 0$ . Có bao nhiêu cặp mặt phẳng song song với nhau.
- A.
  2.
- B.
  0.
- C.
  1.
- D.
  3.
Hướng dẫn:
Hai mặt phẳng song song khi $\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} \neq \frac{d}{d'}$

Xét $(P)$ và $(Q)$ : $\frac{1}{- 2} = \frac{- 2}{4} = \frac{4}{- 8} \neq \frac{- 3}{5} \Rightarrow (P) \parallel (Q)$

Xét $(P)$ và $(R)$ : $\frac{1}{3} = \frac{- 2}{- 6} = \frac{4}{12} \neq \frac{- 3}{- 10} \Rightarrow (P) \parallel (R)$

$\Rightarrow (Q) \parallel(R)$

Xét $(P)$ và $(W)$ : $\frac{1}{4} = \frac{- 2}{- 8} \neq \frac{4}{8}$

Xét $(Q)$ và $(W)$ : $\frac{- 2}{4} = \frac{4}{- 8} \neq \frac{- 8}{8}$

Xét $(R)$ và $(W)$ : $\frac{3}{4} = \frac{- 6}{- 8} \neq \frac{12}{8}$ .

Vậy có 3 cặp mặt phẳng song song.
Câu 20: Vận dụng cao
Viết phương trình mặt phẳng
Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$ , cho tứ diện $ABCD$ có điểm $A(1;1;1),B(2;0;2)$ , $C( - 1; - 1;0),D(0;3;4)$ . Trên các cạnh $AB,AC,AD$ lần lượt lấy các điểm $B',C',D'$ thỏa: $\frac{AB}{AB'} + \frac{AC}{AC'} + \frac{AD}{AD'} = 4$ . Viết phương trình mặt phẳng $(B'C'D')$ biết tứ diện $AB'C'D'$ có thể tích nhỏ nhất?
- A.
  $16x - 40y - 44z + 39 = 0$ .
- B.
  $16x - 40y - 44z - 39 = 0$ .
- C.
  $16x + 40y + 44z - 39 = 0$ .
- D.
  $16x + 40y - 44z + 39 = 0$ .
Hướng dẫn:
Áp dụng bất đẳng thức $AM - GM$ ta có:

$4 = \frac{AB}{AB'} + \frac{AC}{AC'} + \frac{AD}{AD'} \geq 3\sqrt[3]{\frac{AB.AC.AD}{AB'.AC'.AD'}}$

$\Rightarrow \frac{AB^{'}.AC^{'}.AD^{'}}{AB.AC.AD} \geq \frac{27}{64}$

$\Rightarrow \frac{V_{AB'C'D'}}{V_{ABCD}} = \frac{AB'.AC'.AD'}{AB.AC.AD} \geq \frac{27}{64}$

$\Rightarrow V_{AB'C'D'} \geq \frac{27}{64}V_{ABCD}$

Để $V_{AB'C'D'}$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $\frac{AB'}{AB} = \frac{AC'}{AC} = \frac{AD'}{AD} = \frac{3}{4}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB'} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} \Rightarrow B'\left( \frac{7}{4};\frac{1}{4};\frac{7}{4} \right)$

Lúc đó mặt phẳng $(B'C'D')$ song song với mặt phẳng $(BCD)$ và đi qua $B'\left( \frac{7}{4};\frac{1}{4};\frac{7}{4} \right)$

$\Rightarrow (B'C'D'):16x + 40y - 44z + 39 = 0$ .
Câu 21: Vận dụng
Tìm các giá trị b và c theo yêu cầu
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho $A(1;0;0)$ , $B(0;b;0)$ , $C(0;0;c)$ , $(b > 0,c > 0)$ và mặt phẳng $(P):y - z + 1 = 0$ . Xác định b và c biết mặt phẳng $(ABC)$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ và khoảng cách từ $O$ đến $(ABC)$ bằng $\frac{1}{3}$ .
- A.
  $b = 1,c = \frac{1}{2}$
- B.
  $b = \frac{1}{2},c = \frac{1}{2}$
- C.
  $b = \frac{1}{2},c = 1$
- D.
  $b = \frac{1}{\sqrt{2}},c = \frac{1}{\sqrt{2}}$
Hướng dẫn:
Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ có dạng $\frac{x}{1} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \Leftrightarrow bcx + cy + bz - bc = 0$

Theo giả thiết: $\left\{ \begin{matrix} (ABC)\bot(P) \\ d\left( O,(ABC) \right) = \frac{1}{3} \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} c - b = 0 \\ \frac{| - bc|}{\sqrt{(bc)^{2} + c^{2} + b^{2}}} = \frac{1}{3} \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} b = c \\ \frac{b^{2}}{\sqrt{b^{4} + 2b^{2}}} = \frac{1}{3} \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow 3b^{2} = \sqrt{b^{4} + 2b^{2}} \Leftrightarrow 8b^{4} = 2b^{2}$

$\Leftrightarrow b = \frac{1}{2} \Rightarrow c = \frac{1}{2}$
Câu 22: Thông hiểu
Tìm các giá trị thực của tham số m thỏa mãn yêu cầu
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $(P):x + my + (m - 1)z + 2 = 0$ , $(Q):2x - y + 3z - 4 = 0$ . Giá trị số thực $m$ để hai mặt phẳng $(P),(Q)$ vuông góc
- A.
  $m = \frac{1}{2}$
- B.
  $m = - \frac{1}{2}$
- C.
  $m = 1$
- D.
  $m = 2$
Hướng dẫn:
Để 2 mặt phẳng $(P),(Q)$ vuông góc

$\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{p}.\overrightarrow{n_{Q}} = 0 \Leftrightarrow 1.2 + m.( - 1) + (m - 1).3 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}$ .

Vậy $m = \frac{1}{2}$ .
Câu 23: Vận dụng
Lập phương trình mặt phẳng theo yêu cầu
Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$ ,cho $\mathbf{3}$ điểm $A(1;1; - 1)$ , $B(1;1;2)$ , $C( - 1;2; - 2)$ và mặt phẳng $(P):x - 2y + 2z + 1 = 0$ . Lập phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $A$ , vuông góc với mặt phẳng $(P)$ cắt đường thẳng $BC$ tại $I$ sao cho $IB = 2IC$ biết tọa độ điểm $I$ là số nguyên
- A.
  $(\alpha):2x + 3y + 2z - 3 = 0$ .
- B.
  $(\alpha):6x + 2y - z - 9 = 0$ .
- C.
  $(\alpha):2x - y - 2z - 3 = 0$ .
- D.
  $(\alpha):4x + 3y - 2z - 9 = 0$ .
Hướng dẫn:
Do $I,B,C$ thẳng hàng và $IB = 2IC$

$\Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \overrightarrow{IB} = 2\overrightarrow{IC} \\ \overrightarrow{IB} = - 2\overrightarrow{IC} \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} I( - 3;3; - 6) \\ I\left( - \frac{1}{3};\frac{5}{3}; - \frac{2}{3} \right) \\ \end{matrix} \right.$

Vì tọa độ điểm $I$ là số nguyên nên $I( - 3;3; - 6)$

Lúc đó mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $A,I( - 3;3; - 6)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$

$\Rightarrow (\alpha):2x - y - 2z - 3 = 0$ .
Câu 24: Thông hiểu
Định phương trình mặt phẳng (Q)
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):2x - 3y + 5z - 4 = 0$ . Gọi mặt phẳng $(Q)$ là mặt phẳng đối xứng của mặt phẳng $(P)$ qua mặt phẳng $(Oxz)$ . Khi đó phương trình mặt phẳng $(Q)$ là?
- A.
  $(P):2x - 3y + 5z - 4 = 0$
- B.
  $(P):2x - 3y + 5z + 4 = 0$
- C.
  $(P):2x + 3y + 5z - 4 = 0$
- D.
  $(P):2x - 3y - 5z - 4 = 0$
Hướng dẫn:
Gọi $M(x,y,z)$ là điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng $(P)$ .

Điểm $M'(x, - y,z)$ là điểm đối xứng của $M$ qua trục tung

$\Rightarrow (Q):2x + 3y + 5z - 4 = 0$ là mặt phẳng đi qua $M'$ và là mặt phẳng đối xứng của $(P)$ .

Vậy $(P):2x + 3y + 5z - 4 = 0$ .
Câu 25: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $G(1;2;3)$ và cắt các trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$ (khác gốc $O$ ) sao cho $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ . Khi đó mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình:
- A.
  $6x + 3y + 2z - 18 = 0$ .
- B.
  $3x + 6y + 2z + 18 = 0$ .
- C.
  $2x + y + 3z - 9 = 0$ .
- D.
  $6x + 3y + 2z + 9 = 0$ .
Hướng dẫn:
Phương pháp tự luận

Gọi A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0;0;c) là giao điểm của mặt phẳng $(\alpha)$ các trục Ox, Oy, Oz

Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ : $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ $(a,b,c \neq 0)$ .

Ta có $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{a}{3} = 1 \\ \frac{b}{3} = 2 \\ \frac{c}{3} = 3 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 3 \\ b = 6 \\ c = 9 \\ \end{matrix} \right.$

$\Rightarrow (\alpha):\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 18 = 0$
Câu 26: Thông hiểu
Viết phương trình mặt phẳng
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , $(\alpha)$ là mặt phẳng đi qua điểm $A(2; - 1;5)$ và vuông góc với hai mặt phẳng $(P):3x - 2y + z + 7 = 0$ và $(Q):5x - 4y + 3z + 1 = 0$ . Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ là:
- A.
  $x + 2y - z + 5 = 0$ .
- B.
  $x + 2y + z - 5 = 0$ .
- C.
  $2x + 4y + 2z + 10 = 0$ .
- D.
  $2x - 4y - 2z - 10 = 0$ .
Hướng dẫn:
Mặt phẳng (P) có một VTPT là $\overrightarrow{n_{P}} = (3; - 2;1)$

Mặt phẳng (Q) có một VTPT là $\overrightarrow{n_{Q}} = (5; - 4;3)$

Mặt phẳng $(\alpha)$ vuông góc với $2$ mặt phẳng $(P):3x - 2y + z + 7 = 0$ , $(Q):5x - 4y + 3z + 1 = 0$ nên có một VTPT là $\overrightarrow{n_{P}} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{P}},\overrightarrow{n_{Q}} \right\rbrack = ( - 2; - 4; - 2)$ .

Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ là: $x + 2y + z - 5 = 0$
Câu 27: Thông hiểu
Chọn phương án đúng
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $G(1;4;3)$ . Viết phương trình mặt phẳng cắt các trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A,B,C$ sao cho $G$ là trọng tâm tứ diện $OABC$ ?
- A.
  $\frac{x}{4} + \frac{y}{16} + \frac{z}{12} = 1$ .
- B.
  $\frac{x}{3} + \frac{y}{12} + \frac{z}{9} = 1$ .
- C.
  $\frac{x}{4} + \frac{y}{16} + \frac{z}{12} = 0$ .
- D.
  $\frac{x}{3} + \frac{y}{12} + \frac{z}{9} = 0$ .
Hướng dẫn:
+) Do $A,B,C$ lần lượt thuộc các trục $Ox,Oy,Oz$ nên $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ .

+) Do $G$ là trọng tâm tứ diện $OABC$ nên $\left\{ \begin{matrix} x_{G} = \frac{x_{O} + x_{A} + x_{B} + x_{C}}{4} \\ y_{G} = \frac{y_{O} + y_{A} + y_{B} + y_{C}}{4} \\ z_{G} = \frac{y_{O} + y_{A} + y_{B} + y_{C}}{4} \\ \end{matrix} \right.$

suy ra $a = 4,b = 16,c = 12$ .

+) Vậy phương trình đoạn chắn của mặt phẳng $(ABC)$ là: $\frac{x}{4} + \frac{y}{16} + \frac{z}{12} = 1$ .
Câu 28: Thông hiểu
Tìm phương trình mặt phẳng thích hợp
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , cho hình cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 3)^{2} = 1$ . Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ chứa trục $Oz$ và tiếp xúc với $(S)$
- A.
  $(\alpha):3x - 4y = 0.$
- B.
  $(\alpha):4x - 3y = 0.$
- C.
  $(\alpha):3x + 4y = 0.$
- D.
  $(\alpha):4x - 3y + 2 = 0.$
Hướng dẫn:
Mặt phẳng $(\alpha)$ chứa trục $Oz$ có dạng: $Ax + By = 0\left( A^{2} + B^{2} \neq 0 \right)$

Ta có: $d\left( I,(\alpha) \right) = 3 \Leftrightarrow \frac{|A + 2B|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} = 1$

$\Leftrightarrow 4AB + B^{2} = 0 \Leftrightarrow 4A + B = 0$ .

Chọn $A = 3,B = - 4 \Rightarrow (\alpha):3x - 4y = 0$
Câu 29: Thông hiểu
Chọn kết quả thích hợp
Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$ ,cho 2 đường thẳng $d_{1}:\frac{x}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{1}d_{2}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{1}$ . Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ vuông góc với $d_{1}$ ,cắt $Oz$ tại $A$ và cắt $d_{2}$ tại $B$ (có tọa nguyên) sao cho $AB = 3$ .
- A.
  $(\alpha):4x - 2y + 2z + 1 = 0$ .
- B.
  $(\alpha):2x - y + z + 1 = 0$ .
- C.
  $(\alpha):10x - 5y + 5z + 1 = 0$ .
- D.
  $(\alpha):2x - y + z + 2 = 0$ .
Hướng dẫn:
Do mặt phẳng $(\alpha)$ vuông góc với $d_{1} \Rightarrow 2x - y + z + m = 0$ .

Mặt phẳng $(\alpha)$ cắt $Oz$ tại $A(0;0; - m)$ , cắt $d_{2}$ tại $B\left( {m + 1,2m,m - 1} \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB} = (m + 1,2m,2m - 1) \Rightarrow \sqrt{9m^{2} - 2m + 2} = 3$

$\Leftrightarrow 9m^{2} - 2m - 7 = 0 \Leftrightarrow m = 1,m = - \frac{7}{9}$ .

Vậy mặt phẳng $(\alpha):2x - y + z + 1 = 0$ .
Câu 30: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ ,cho $(P):x + 4y - 2z - 6 = 0$ , $(Q):x - 2y + 4z - 6 = 0$ . Lập phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ chứa giao tuyến của $(P),(Q)$ và cắt các trục tọa độ tại các điểm $A,B,C$ sao cho hình chóp $O.ABC$ là hình chóp đều.
- A.
  $x + y - z - 6 = 0$ .
- B.
  $x + y + z - 6 = 0$ .
- C.
  $x + y + z + 6 = 0$ .
- D.
  $x + y + z - 3 = 0$ .
Hướng dẫn:
Chọn $M(6;0;0),N(2;2;2)$ thuộc giao tuyến của $(P),(Q)$

Gọi $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ lần lượt là giao điểm của $(\alpha)$ với các trục $Ox,Oy,Oz$

$\Rightarrow (\alpha):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1(a,b,c \neq 0)$

$(\alpha)$ chứa $M,N \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{6}{a} = 1 \\ \frac{2}{a} + \frac{2}{b} + \frac{2}{c} = 1 \\ \end{matrix} \right.$

Hình chóp $O.ABC$ là hình chóp đều $\Rightarrow OA = OB = OC$

$\Rightarrow |a| = |b| = |c|$

Vây phương trình $x + y + z - 6 = 0$ .
Câu 31: Thông hiểu
Tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ , tam giác $ABC$ có $A(1,2, - 1)$ , $B( - 2,1,0)$ , $C(2,3,2)$ . Điểm $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ . Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(OGB)$ bằng bao nhiêu?
- A.
  $\frac{\sqrt{174}}{29}$
- B.
  $\frac{3\sqrt{174}}{29}$
- C.
  $\frac{2\sqrt{174}}{29}$
- D.
  $\frac{4\sqrt{174}}{29}$
Hướng dẫn:
Do $G$ là trọng tâm tam giác $\Delta ABC \Rightarrow G\left( \frac{1}{3},2,\frac{1}{3} \right)$

Gọi $\overrightarrow{n}$ là một vtpt của mặt phẳng $(OGB)$

$\Rightarrow \overrightarrow{n} = \overrightarrow{OG} \land \overrightarrow{OB} = \left( - \frac{1}{3}, - \frac{2}{3},\frac{13}{3} \right)$

Phương trình mặt phẳng:

$(OGB):x + 2y - 13z = 0 \Rightarrow d\left( A,(OGB) \right) = \frac{3\sqrt{174}}{29}$
Câu 32: Thông hiểu
Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ . Cho hai mặt phẳng $(\alpha):x - 2y + 2z - 3 = 0$ , $(\beta):x - 2y + 2z - 8 = 0$ . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(\alpha),(\beta)$ là bao nhiêu?
- A.
  $d\left( (\alpha),(\beta) \right) = \frac{4}{3}$
- B.
  $d\left( (\alpha),(\beta) \right) = 5$
- C.
  $d\left( (\alpha),(\beta) \right) = \frac{11}{3}$
- D.
  $d\left( (\alpha),(\beta) \right) = \frac{5}{3}$
Hướng dẫn:
Lấy $M(1,0,1)$ thuộc mặt phẳng $(\alpha)$ .

Ta có $d\left( (\alpha),(\beta) \right) = d\left( M,(\beta) \right) = \frac{5}{\sqrt{1 + ( - 2)^{2} + 2^{2}}} = \frac{5}{3}$ .

Vậy $d\left( (\alpha),(\beta) \right) = \frac{5}{3}$ .
Câu 33: Vận dụng cao
Viết phương trình mặt phẳng
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P):x + 2y - 2z + 1 = 0$ , 2 điểm $A(1;0;0),B( - 1;2;0)(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} = 25$ . Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ vuông với mặt phẳng $(P)$ , song song với đường thẳng $AB$ , đồng thời cắt mặt cầu $(S)$ theo đường tròn có bán kính bằng $r = 2\sqrt{2}$ ?
- A.
  $2x - 2y + 3z - 11 = 0;\ \ 2x - 2y + 3z + 23 = 0$ .
- B.
  $2x - 2y + 3z + 11 = 0;\ \ 2x - 2y + 3z - 23 = 0$ .
- C.
  $2x + 2y + 3z - 11 = 0;\ \ 2x + 2y + 3z + 23 = 0$ .
- D.
  $2x + 2y + 3z + 11 = 0;\ \ 2x + 2y + 3z - 23 = 0$ .
Hướng dẫn:
Mặt cầu $(S):(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + z^{2} = 5$ có tâm $I(1;2;0)$ và bán kính $R = \sqrt{5}$

Gọi $\overrightarrow{n_{\alpha}}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$

Ta có : ${\overrightarrow{n}}_{\alpha} = \left\lbrack \overrightarrow{n_{P}},\overrightarrow{AB} \right\rbrack \Rightarrow \overrightarrow{n_{\alpha}} = (4;4;6) = 2(2;2;3) = 2\overrightarrow{n_{1}}$

Lúc đó mặt phẳng $(\alpha)$ có dạng: $2x + 2y + 3z + m = 0$

Gọi $J$ là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $(\alpha)$

Ta có : $R^{2} = r^{2} + IJ^{2} \Rightarrow IJ^{2} = 17$

$\Rightarrow d\left( I,(\alpha) \right) = \sqrt{17} \Leftrightarrow |6 + m| = 17 \Leftrightarrow m = 11$ hoặc $m = - 23$

Vậy phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ : $2x + 2y + 3z + 11 = 0$ hoặc $2x + 2y + 3z - 23 = 0$
Câu 34: Thông hiểu
Viết phương trình mặt phẳng
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa trục $Oy$ và tạo với mặt phẳng $y + z + 1 = 0$ góc $60^{0}$ . Phương trình mặt phẳng $(P)$ là:
- A.
  $\left\lbrack \begin{matrix} x - y = 0 \\ x + y = 0 \\ \end{matrix} \right.$
- B.
  $\left\lbrack \begin{matrix} x - 2z = 0 \\ x + z = 0 \\ \end{matrix} \right.$
- C.
  $\left\lbrack \begin{matrix} x - z - 1 = 0 \\ x - z = 0 \\ \end{matrix} \right.$
- D.
  $\left\lbrack \begin{matrix} x - z = 0 \\ x + z = 0 \\ \end{matrix} \right.$
Hướng dẫn:
+) Mặt phẳng $(P)$ chứa trục $Oy$ nên có dạng: $Ax + Cz = 0\ \ \ \ (A^{2} + C^{2} \neq 0)$ .

+) Mặt phẳng $(P)$ tạo với mặt phẳng $y + z + 1 = 0$ góc $60^{0}$ nên $cos60^{0} = \frac{\left| \overrightarrow{n_{(P)}}.\overrightarrow{n_{(Q)}} \right|}{\left| \overrightarrow{n_{(P)}} \right|.\left| \overrightarrow{n_{(Q)}} \right|}$ .

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{|C|}{\sqrt{A^{2} + C^{2}}.\sqrt{2}} \Leftrightarrow \sqrt{A^{2} + C^{2}} = \sqrt{2}|C|$

$\Leftrightarrow A^{2} - C^{2} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} A = C \\ A = - C \\ \end{matrix} \right.$

Phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $\left\lbrack \begin{matrix} x - z = 0 \\ x + z = 0 \\ \end{matrix} \right.$
Câu 35: Vận dụng
Tìm mặt phẳng (P) thỏa mãn điều kiện cho trước
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M(1;2;3).$ Mặt phẳng $(P)$ qua $M$ cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A,B,C$ sao cho thể tích khối tứ diện $OABC$ nhỏ nhất có phương trình là:
- A.
  $x + 2y + 3z - 14 = 0$ .
- B.
  $6x + 3y + 2z - 18 = 0$ .
- C.
  $x + y + z - 6 = 0$ .
- D.
  $6x + 3y + 2z = 0$ .
Hướng dẫn:
+) Mặt phẳng $(P)$ cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A,B,C$ nên

$A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ ( $a,b,c > 0$ ).

Phương trình mặt phẳng $(P)\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ .

+) Mặt phẳng $(P)$ qua $M$ nên $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1$ .

Ta có $1 = \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{6}{abc}} \Leftrightarrow abc \geq 162$

+) Thể tích khối tứ diện $OABC$ bằng $V = \frac{1}{6}abc \geq 27$ .

Thể tích khối tứ diện $OABC$ nhỏ nhất khi $\frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{3}{c} = \frac{1}{3}$ suy ra $a = 3,b = 6,c = 9$ .

Phương trình mặt phẳng $(P)\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1$ hay $6x + 3y + 2z - 18 = 0$ .

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:

Nhận biết (3%):

2/3
Thông hiểu (60%):

2/3
Vận dụng (29%):

2/3
Vận dụng cao (9%):

2/3

Thời gian làm bài: 00:00:00
Số câu làm đúng: 0
Số câu làm sai: 0
Điểm số: 0
Điểm thưởng: 0

Làm lại

Chia sẻ bởi:
Bơ

1

30

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Thi THPT Quốc gia môn Toán

Xem thêm

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Bài tập Phương trình mặt phẳng mức độ Thông hiểu Vận Dụng

Bài tập phương trình mặt phẳng có lời giải

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

A. CHUYÊN ĐỀ TRỌNG TÂM

B. CHUYÊN ĐỀ TRẮC NGHIỆM

Lớp 12

Toán 12

Chuyên đề Toán 12

Thi Tốt Nghiệp THPT

Thi THPT Quốc gia môn Toán

Thi THPT Quốc gia môn Toán

Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán - Đề 8

Phương pháp giải hệ phương trình thường gặp trong đề thi đại học

Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán - Đề 10

Đáp án Đề thi THPT quốc gia môn Toán năm 2019 chính thức từ Bộ GD&ĐT

Đáp án chính thức của Bộ 2021

Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán - Đề 9