Các bài toán tối ưu kinh tế trong thực tế - Giải chuẩn từng bước

Trong đời sống và hoạt động sản xuất – kinh doanh, việc đưa ra quyết định sao cho lợi nhuận đạt mức cao nhất hoặc chi phí được giảm thiểu luôn là bài toán then chốt. Dưới góc nhìn Toán học, những vấn đề này được mô hình hóa thành các bài toán tối ưu kinh tế trong thực tế, nơi học sinh và người học vận dụng kiến thức đạo hàm để phân tích và lựa chọn phương án hiệu quả.

A. Bài tập minh họa tối ưu kinh tế

Hướng dẫn giải

Chọn D

Gọi x là số tivi mỗi lần đặt hàng thì x ∈ [1; 2500]

Khi đó, số lượng tivi trung bình gửi trong kho sẽ là .

Do đó, chi phí gửi hàng trong khi mỗi năm sẽ là .

Số lần đặt hàng mỗi năm sẽ là .

Do đó chi phí đặt hàng mỗi năm sẽ là .

Suy ra, chi phí hàng tồn kho là .

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của C(x) với .

Ta có:

Do nên

Khi đó số lần đặt hàng mỗi năm sẽ là 2500 : 100 = 25 lần.

Vậy để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất thì cửa hàng cần đặt hàng 25 lần mỗi năm và 100 cái mỗi lần.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Gọi x (nghìn VNĐ) là số tiền công ty sẽ tăng thêm đối với một khách.

Khi đó số khách sẽ giảm đi là khách nên còn 10 000 - 50x khách.

Khi đó, 10 000 - 50x > 0 ⇔ x < 200.

Khi đó số tiền thu được sau khi tăng giá vé là f(x) = (50 + x)(10 000 - 50x).

Ta có (nghìn VNĐ).

Vậy số tiền thu được tăng thêm lớn nhất là 781 250 - 50 . 10 000 = 281 250 nghìn VNĐ khi 50 + x = 200 - x ⇔ x = 75 nghìn VNĐ.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ở tháng thu nhập của công ty cao nhất, gọi số căn hộ bị bỏ trống là x thì số tiền thuê mỗi phòng là 2 000 000 + 50 000x, khi đó số tiền thu được là:

f(x) = (2 000 000 + 50 000x)(50 - x)

= -50 000x² + 500 000x + 100 000 000.

Ta cần tìm x ∈ (0; 50) để f(x) lớn nhất.

Ta có f'(x) = -100 000x + 500 000, f'(x) = 0 ⇔ x = 5

Bảng biến thiên:

Vậy mỗi tháng lợi nhuận cao nhất thu được của công ty là 101 250 000.

B. Bài tập vận dụng có hướng dẫn giải chi tiết

Bài tập 1. Một cửa hàng bán bưởi Đoan Hùng của Phú Thọ với giá bán mỗi quả là 50 000 đồng. Với giá bán này thì cửa hàng chỉ bán được khoảng 40 quả bưởi. Cửa hàng này dự định giảm giá bán, ước tính nếu cửa hàng cứ giảm mỗi quả 5 000 đồng thì số bưởi bán được tăng thêm là 50 quả. Xác định giá bán để cửa hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu mỗi quả là 30 000 đồng.

A. 44 000 đồng. B. 43 000 đồng. C. 42 000 đồng. D. 41 000 đồng.

Bài tập 2. Một xưởng in có máy in, mỗi máy in được 3600 bản in trong một giờ. Chi phí để vận hành một máy trong mỗi lần in là 50 nghìn đồng. Chi phí cho máy chạy trong một giờ là 10(6n + 10)nghìn đồng. Hỏi nếu in 50 000 tờ quảng cáo thì phải sử dụng bao nhiêu máy in để được lãi nhiều nhất?

A. 4 máy. B. 6 máy. C. 5 máy. D. 7 máy.

Bài tập 3. Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng P(n) = 480 - 20n (gram). Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?

A. 10 B. 12 C. 16 D. 24

Bài tập 4. Một chuyến xe bus có sức chứa tối đa là hành khách. Nếu một chuyến xe chở x hành khách thi giá cho mỗi hành khách là . Chọn câu đúng:

A. Xe thu được lợi nhuận cao nhất khi có 60 hành khách.

B. Xe thu được lợi nhuận cao nhất bằng .

C. Xe thu được lợi nhuận cao nhất bằng .

D. Không có đáp án đúng.

Bài tập 5. Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái ti vi mỗi năm. Chi phí gởi trong kho là 10$ một cái mỗi năm. Để đặt hàng chi phí cố định cho mỗi lần đặt là 20$ cộng thêm 9$ mỗi cái. Cửa hàng nên đặt hàng bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi lần bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất?

A. 23500 B. 1223500 C. 43500 D. 24500

Bài tập 6. Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay, doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe honda Future Fi với chi phí mua vào một chiếc là 27 (triệu đồng) và bán với giá 31 (triệu đồng) mỗi chiếc. Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong một năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm 1 (triệu đồng) mỗi chiếc thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm 200 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu để sau khi đã thực hiện giảm giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất (đơn vị triệu đồng)?

A. 30,5. B. 305. C. 40,5. D. 30.

Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu

------------------------------------------------

Thông qua việc rèn luyện các bài toán tối ưu kinh tế, người học không chỉ nắm chắc phương pháp tìm lợi nhuận lớn nhất, chi phí nhỏ nhất mà còn phát triển tư duy phân tích và ra quyết định hợp lý. Việc giải bài theo từng bước rõ ràng giúp hạn chế sai sót, đồng thời tạo nền tảng vững chắc để xử lý những dạng toán ứng dụng nâng cao.

Hy vọng nội dung bài viết sẽ trở thành tài liệu tham khảo hữu ích, hỗ trợ bạn học tốt Toán ứng dụng và vận dụng hiệu quả vào các bài toán thực tế trong các đề thi THPT Quốc gia.