Bài tập Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng đoạn
Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng - Có đáp án
Dạng toán tìm tham số m để hàm số nghịch biến trên một khoảng hoặc đoạn cho trước là nội dung thường gặp trong chương Ứng dụng đạo hàm Toán 12, đặc biệt xuất hiện ở các câu hỏi vận dụng trong đề thi THPT Quốc gia. Bài viết này tổng hợp hệ thống bài tập chọn lọc, hướng dẫn cách xét dấu đạo hàm theo khoảng xác định, kèm đáp án rõ ràng, giúp học sinh nắm chắc phương pháp giải và hạn chế sai sót khi xử lý hàm số có tham số.
A. Cách tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng
Cách 1. Hàm số 
\(y = f(x)\)nghịch biến trên khoảng \((a,b)\)khi và chỉ khi \(f'(x) \leq 0\)với mọi giá trị x thuộc khoảng \((a,b)\). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.
-
Hàm số
\(f(x) = \frac{ax + b}{cx +
d},(ad - bc \neq 0,c \neq 0)\)nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi \(ad - bc <
0\) -
Hàm số
\(g(x) = \frac{ax + b}{cx +
d}(ad - bc \neq 0,c \neq 0)\)nghịch biến trên khoảng \((p,q)\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{matrix}
cx + d \neq 0,\forall x \in (p,q) \\
ad - bc < 0
\end{matrix} \right.\)
Cách 2. Cô lập tham số m
Cho hàm số \(y = f(x)\)có đạo hàm trên khoảng \((p;q)\)
-
Bước 1: Tìm y’
-
Bước 2: Cô lập m ta sẽ thu được phương trình ví dụ
\(m \geq f(x)\) -
Bước 3: Xét dấu với hàm
\(f(x)\) theo bảng quy tắc sau:
\(m \geq f(x),\forall x \in (p,q)
\Leftrightarrow m \geq \max_{(p,q)}f(x)\)
\(m > f(x),\forall x \in (p,q)
\Leftrightarrow m > \max_{(p,q)}f(x)\)
\(m \leq f(x),\forall x \in (p,q)
\Leftrightarrow m \leq \min_{(p,q)}f(x)\)
\(m < f(x),\forall x \in (p,q)
\Leftrightarrow m < \min_{(p,q)}f(x)\)
B. Bài tập minh họa tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng
Ví dụ 1. Tập hợp các giá trị của \(m\) để hàm số \(y
= x^{3} - 3(2m - 3)x^{2} - 72mx + 12m^{2}\) nghịch biến trên \(\lbrack - 2\ ;4\rbrack\) là
A. \(\lbrack 2\ ;\ 5\rbrack\). B. \(\lbrack 2\ ;\ + \infty)\). C. \(\lbrack 1\ ;\ + \infty)\). D. \(( - \infty\ ;\ 3\rbrack\).
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có \(y' = 3x^{2} - 6(2m - 3)x -
72m\).
Để hàm số nghịch biến trên \(\lbrack - 2\
;\ 4\rbrack \Leftrightarrow y' \leq 0\) với \(\forall x \in \lbrack - 2;4\rbrack\).
\(\Leftrightarrow x^{2} - 2(2m - 3)x - 24m
\leq 0\) với \(\forall x \in \lbrack -
2;4\rbrack\).
\(\Leftrightarrow m(4x + 24) \geq x^{2} +
6x\) với \(\forall x \in \lbrack -
2;4\rbrack\).
\(\Leftrightarrow m \geq \frac{x^{2} +
6x}{4x + 24} = \frac{x}{4}\) với \(\forall x \in \lbrack - 2;4\rbrack\).\(\Rightarrow m \geq 1\).
Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá thực của tham số \(m\) sao cho hàm số \(y = 2x^{3} - 3x^{2} - 6mx + m\) nghịch biến trên khoảng \(( - 1;\ 1)\).
A. \(m \leq - \frac{1}{4}\). B. \(m \geq \frac{1}{4}\). C. \(m \geq 2\). D. \(m \geq 0\).
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có \(y' = 6x^{2} - 6x -
6m\).
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(( - 1;\
1)\) khi và chỉ khi \(y' \leq
0\) với \(\forall x \in ( - 1;\
1)\) hay \(m \geq x^{2} - x\) với \(\forall x \in ( - 1;\ 1)\).
Xét \(f(x) = x^{2} - x\) trên khoảng \(( - 1;\ 1)\) ta có \(f'(x) = 2x - 1\) ; \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x =
\frac{1}{2}\).
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta có \(m \geq
f(x)\)với \(\forall x \in ( - 1;\ 1)
\Leftrightarrow m \geq 2\).
Có thể sử dụng \(y' \leq 0\) với \(\forall x \in ( - 1;\ 1) \Leftrightarrow
\left\{ \begin{matrix}
y'( - 1) \leq 0 \\
y'(1) \leq 0
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
- 6m \leq 0 \\
12 - 6m \leq 0
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m \geq 0 \\
m \geq 2
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m \geq 2\).
Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y
= 2x^{3} + x^{2} - mx + 2m - 1\) nghịch biến trên đoạn \(\lbrack - 1\ ;\ 1\rbrack\).
A. \(m \leq - \frac{1}{6}\). B. \(m \geq - \frac{1}{6}\). C. \(m \leq 8\). D. \(m \geq 8\).
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có: \(y' = 6x^{2} + 2x -
m\).
Hàm số nghịch biến trên đoạn \(\lbrack - 1\
;\ 1\rbrack\) khi và chỉ khi \(y'
\leq 0\), \(\forall x \in \lbrack - 1\
;\ 1\rbrack\).
\(\Leftrightarrow 6x^{2} + 2x - m \leq
0\), \(\forall x \in \lbrack - 1\ ;\
1\rbrack\) \(\Leftrightarrow 6x^{2} +
2x \leq m\), \(\forall x \in \lbrack -
1\ ;\ 1\rbrack\).
Xét hàm \(g(x) = 6x^{2} + 2x\) trên đoạn \(\lbrack - 1\ ;\ 1\rbrack\).
\(g'(x) = 12x + 2\); \(g'(x) = 0\) \(\Leftrightarrow x = - \frac{1}{6}\).
Bảng biến thiên:
Để \(6x^{2} + 2x \leq m\), \(\ \ \forall x \in \lbrack - 1\ ;\
1\rbrack\) thì đồ thị của hàm \(g(x)\) nằm phía dưới đường thẳng \(y = m\).
Từ bảng biến thiên ta có \(m \geq
8\).
C. Bài tập vận dụng có hướng dẫn chi tiết
Bài tập 1. Điều kiện của tham số \(m\) để hàm số \(f(x) = 2x^{3} + 3x^{2} + 6mx - 1\) nghịch biến trên \((0\ ;\ 2)\) là
A. \(m \leq - 6\). B. \(m < - 6\). C. \(m \geq \frac{1}{4}\). D. \(- 6 \leq m \leq \frac{1}{4}\).
Bài tập 2. Tính tổng các giá trị nguyên của tham số \(m \in \lbrack - 50;50\rbrack\) sao cho bất phương trình \(mx^{4} - 4x + m \geq 0\) nghiệm đúng với mọi \(x\mathbb{\in
R}\).
A. \(1272\). B. \(1\). C. \(1275\). D. \(0\).
Bài tập 3. Cho hàm số \(y = - 2sin^{3}x +
3sin^{2}x + 6(2m - 1)\sin x + 2019.\) Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số \(m\) thuộc khoảng \(( - 2016\ ;\ 2019)\) để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(
\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} \right)\)?
A. \(2019\). B. \(2017\). C. \(2021\). D. \(2018\).
Bài tập 4. Bất phương trình \(4^{x} - (m +
1)2^{x + 1} + m \geq 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \geq 0\). Tập tất cả các giá trị của \(m\) là
A. \(( - \infty\ ;12)\). B. \(( - \infty\ ; - 1\rbrack\). C. \(( - \infty\ ;0\rbrack\). D. \(( - 1\ ;16\rbrack\).
Bài tập 5. Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để bất phương trình \(x + 3 \geq m\sqrt{x^{2} + 1}\) có nghiệm trên \((0; + \infty)\).
A. \(1\). B. \(2\). C. \(3\). D. \(4\).
Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu
-----------------------------------
Sau khi luyện tập các bài toán tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng, đoạn, bạn sẽ thành thạo kỹ năng phân tích điều kiện đạo hàm và tự tin hơn khi làm bài trắc nghiệm Toán 12. Chuyên đề này là nền tảng quan trọng để chinh phục các câu hỏi vận dụng – vận dụng cao trong kỳ thi THPT Quốc gia. Hãy kết hợp thêm các dạng đồng biến, cực trị để hoàn thiện tư duy khảo sát hàm số.
