Bài tập Tìm tham số m để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng
Điều kiện để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng
Trong quá trình ôn tập khảo sát hàm số, dạng tìm tham số m để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng là bài toán quan trọng, thường xuất hiện trong các đề ôn thi THPT Quốc gia môn Toán. Bài viết này tổng hợp hệ thống bài tập chọn lọc, phân tích điều kiện loại bỏ tiệm cận đứng và hướng dẫn giải chi tiết theo từng bước. Nội dung được trình bày rõ ràng, dễ áp dụng, giúp học sinh hiểu bản chất và tránh những sai lầm thường gặp khi làm dạng toán này.
A. Phương pháp giải toán
Xét bài toán tìm điều kiện để đồ thị hàm số 
\(y = \frac{f(x)}{(x - a)^{m}}\) không có tiệm cận đứng khi và chỉ khi \(f(x) =
0\) có nghiệm bội \(x = a\) bậc \(n \geq m\).
Điều này tương đương với hệ điều kiện \(\left\{ \begin{matrix}
f(a) = 0 \\
f'(a) = 0 \\
... \\
f^{(m - 1)}(a) = 0
\end{matrix} \right.\)
B. Bài tập minh họa tìm m để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng
Bài tập 1. Biết đồ thị hàm số \(y =
\frac{x^{3} + ax^{2} + bx + c}{(x - 2)^{2}}\) không có tiệm cận đứng. Tính \(S = b + c\).
A. \(S = 9\). B. \(S = 4\). C. \(S =
1\). D. \(S = 7\).
Hướng dẫn giải
Chọn B
Cách 1:
Từ giả thiết ta có thể phân tích \(x^{3} +
ax^{2} + bx + c = (x - 2)(x - 2)A(x)\)
Thực hiện phép chia ta thức ta có:
\(x^{3} + ax^{2} + bx + c\)
\(= (x - 2)\left( x^{2} + (a + 2)x + 2a + b
+ 4 \right) + 4a + 2b + c + 8\);
\(x^{2} + (a + 2)x + 2a + b +
4\)
\(= (x - 2)(x + a + 4) + 4a + b +
12\)
Để đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng thì phần dư của hai phép chia trên phải bằng \(0\)
Do đó ta có hệ phương trình \(\left\{
\begin{matrix}
4a + 2b + c + 8 = 0 \\
4a + b + 12 = 0
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow b + c = 4\).
Cách 2. Áp dụng công thức phần lí thuyết ta có đồ thị hàm số \(y = \frac{x^{3} + ax^{2} + bx + c}{(x -
2)^{2}}\) không có tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình \(x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0\) có nghiệm bội \(x = 2\) bậc \(n \geq 2\).
Ta có hệ \(\left\{ \begin{matrix}
f(2) = 0 \\
f^{'(2)} = 0
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
4a + 2b + c + 8 = 0 \\
4a + b + 12 = 0
\end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow b + c = 4\)
Bài tập 2. Biết rằng đồ thị hàm số \(y =
\frac{\sqrt{3x + 1} + ax + b}{(x - 1)^{2}}\) không có tiệm cận đứng. Tính \(S = ab\).
A. \(S = - 2\). B. \(S = 2\). C. \(S =
\frac{15}{16}\). D. \(S = -
\frac{15}{16}\).
Hướng dẫn giải
Chọn C
Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow f(x) =
\sqrt{3x + 1} + ax + b = 0\) có nghiệm bội hai \(x = 1\) khi và chỉ khi
\(\left\{ \begin{gathered}
f\left( 1 \right) = 0 \hfill \\
f'\left( 1 \right) = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
a + b = - 2 \hfill \\
a = - \frac{3}{4} \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
a = - \frac{3}{4} \hfill \\
b = - \frac{5}{4} \hfill \\
\end{gathered} \right.\).
Do đó \(ab = \frac{15}{16}\).
Bài tập 3. Biết đồ thị hàm số \(y =
\frac{\sqrt{5x + 1} + ax + b}{(x - 3)^{2}}\) không có tiệm cận đứng. Tính\(S = a + 2b\).
A. \(S = - \frac{11}{4}\). B. \(S = \frac{29}{8}\). C. \(S = - \frac{39}{8}\). D. \(S = - \frac{27}{8}\).
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Đồ thị hàm số \(y = \frac{\sqrt{5x + 1} +
ax + b}{(x - 3)^{2}}\) không có tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình \(\sqrt{5x + 1} + ax + b =
0\) có nghiệm bội \(x = 3\) bậc \(n \geq 2\).
Ta có hệ phương trình
\(\left\{\begin{matrix}4 + 3a + b = 0 \\\dfrac{5}{8} + a = 0\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}a = \dfrac{5}{8} \\b = - \dfrac{47}{8}\end{matrix} \right.\)
Vậy \(S = a + 2b = -
\frac{39}{8}\).
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!
-------------------------------------
Hy vọng các bài tập trong chuyên đề đã giúp bạn thành thạo cách xác định m để đồ thị hàm số không xuất hiện tiệm cận đứng. Việc luyện tập nhiều dạng tương tự sẽ giúp bạn phản xạ nhanh, xét điều kiện chính xác và nâng cao hiệu quả làm bài trong kỳ thi. Hãy tiếp tục ôn luyện thêm các chuyên đề về đường tiệm cận để hoàn thiện kỹ năng khảo sát hàm số một cách toàn diện.
