Giải nhanh bài toán cực trị bằng máy tính cầm tay
CASIO giải cực trị Toán 12
Trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán, dạng bài toán cực trị luôn xuất hiện với tần suất cao và đóng vai trò quan trọng trong phân loại học sinh. Đặc biệt với hình thức trắc nghiệm, việc giải cực trị bằng phương pháp tự luận thường mất thời gian, dễ sai sót nếu không chính xác từng bước.
May mắn là bạn có thể giải nhanh bài toán cực trị bằng máy tính cầm tay một cách hiệu quả – đây là phương pháp hỗ trợ cực kỳ hữu ích giúp tiết kiệm thời gian và kiểm tra kết quả nhanh chóng. Trong bài viết này, bạn sẽ được hướng dẫn chi tiết các thao tác sử dụng CASIO để giải bài toán cực trị hàm số bậc cao, từ đơn giản đến nâng cao, giúp bạn nâng cao hiệu suất làm bài và tối ưu điểm số.
A. Điểm cực đại, cực tiểu
Hàm số f liên tục trên (a; b) chứa điểm 
\(x_{0}\) và có đạo hàm trên các khoảng \(\left( a;x_{0} \right)\) và \(\left( x_{0};b \right)\). Khi đó”
Nếu \(f'\left( x_{0} \right)\) đổi dấu từ âm sang dương khi \(x\) qua điểm \(x_{0}\) thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x_{0}\).
Nếu \(f'\left( x_{0} \right)\) đổi dấu từ dương sang âm khi \(x\) qua điểm \(x_{0}\) thì hàm số đạt cực đại tại điểm \(x_{0}\).
B. Bài tập ví dụ minh họa bấm máy tính giải bài toán cực trị
Ví dụ 1. Cho hàm số \(y = (x -
5)\sqrt[3]{x^{2}}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2
C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 D. Hàm số không có cực tiểu
Hướng dẫn giải
Cách 1. Casio
Dể kiểm tra đáp án A ta tính đạo hàm của y tại \(x = 1\) (tiếp tục màn hình casio đang dùng)
Ta thấy đạo hàm \(y'(1) \neq
0\). Vậy đáp án A sai
Tương tự với đáp án B (tiếp tục màn hình Casio đang dùng)
Ta thấy \(y'(2) = 0\). Đây là điều kiện cần để x = 2 là điểm cực tiểu của hàm số y
Kiểm tra \(y'(2 - 0,1) = - 0,1345...
< 0\)
Tóm lại \(f'(2) = 0\) và dấu của y’ đổi từ (-) sang (+)
Vậy hàm số y đạt cực tiểu tại x = 2.
=> Đáp án B chính xác
Cách 2. Tự luận
Tính đạo hàm
\(y' = \sqrt[3]{x^{2}} + (x -
5).\frac{2}{3}.\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = \frac{3x + 2(x -
5)}{3\sqrt[3]{x}} = \frac{5(x - 2)}{3\sqrt[3]{x}}\)
Ta có: \(y' = 0 \Leftrightarrow 5(x -
2) = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
\(y' > 0 \Leftrightarrow \frac{5(x
- 2)}{3\sqrt[3]{x}} > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left\lbrack \begin{matrix}
x - 2 > 0 \\
x > 0
\end{matrix} \right.\ \\
\left\lbrack \begin{matrix}
x - 2 < 0 \\
x < 0
\end{matrix} \right.\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x > 2 \\
x < 0
\end{matrix} \right.\)
\(y' < 0 \Leftrightarrow 0 < x
< 2\)
Vậy \(y'(2) = 0\) và y’ đổi dấu từ âm sang dương qua điểm x = 2.
Nhận xét: Trong các bài toán tính đạo hàm phức tạp thù cách Caiso càng tỏ ra có hiệu quả vì tránh được nhầm lẫn khi tính đạo hàm và xét dấu của đạo ham.
Ví dụ 2. Với giá trị nguyên nào của k thì hàm số \(y = kx^{4} + (4k - 5)x^{2} + 2017\) có 3 cực trị?
A. \(k = 1\) B. \(k = 2\) C. \(k =
3\) D. \(k = 4\)
Hướng dẫn giải
Cách 1: Casio
Tính đạo hàm \(y' = 4kx^{3} + 2(4k -
5)x\)
Ta hiểu: Để hàm số y có 3 cực trị thì y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt ( khi đó đường nhiên sẽ không cso nghiệm kép nào)
Ta chỉ cần giải phương trình bậc 3: \(4kx^{3} + 2(4k - 5)x = 0\) với \(a = 4k;b = 0;c = 8k - 10;d = 0\)
Để làm việc này ta sử dụng máy tính Casio với chức năng giải phương trình bậc 3: MODE 5
Thử đáp án A với k = 1
Ta thu được ba nghiệm: \(x_{1} =
\frac{\sqrt{2}}{2};x_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2};x_{3} = 0\)
=> Đáp án A là chính xác.
Cách 2: Tự luận
Tính đạo hàm \(y' = 4kx^{3} + 2(4k -
5)x\)
Ta hiểu: Để hàm y có 3 cực trị thì y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt (khi đó đương nhiên sẽ không có nghiệm kép nào)
\(y' = 0 \Leftrightarrow 4kx^{3} +
2(4k - 5)x = 0\)
\(\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
x = 0 \\
4kx^{2} - (10 - 8k) = 0\ \ (2)
\end{matrix} \right.\)
Để y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0.
\(\Leftrightarrow x^{2} = \frac{18 -
8k}{4k} \Leftrightarrow 0 < k < 2\)
Vậy k = 1 thỏa mãn
Nhận xét:
Đạo hàm là phương trình bậc 3 có dạng \(ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0;(a \neq 0)\) nếu có 3 nghiệm thì sẽ tách được thành \(a\left( x - x_{1} \right)\left( x - x_{2}
\right)\left( x - x_{3} \right) = 0\) nên vế trái luôn đổi dấu qua các nghiệm
=> Có 3 cực trị.
Tuy nhiên nếu đạo hàm là phương trình bậc 3 chỉ có 2 nghiệm thì sẽ tách thành \(a\left( x - x_{1} \right)\left( x
- x_{2} \right)^{2} = 0\) và sẽ có 1 nghiệm kép
=> Có 1 cực trị
Mở rộng thêm: Nếu đạo hàm là một phương trình bậc ba có 1 nghiệm thì chỉ đổi dấu 1 lần
=> Có 1 cực trị.
Ví dụ 3. Số điểm cực trị của hàm số \(y =
|x|^{3} - 4x^{2} + 3\) bằng:
A. 2 B. 0 C. 3 D. 4
Hướng dẫn giải
Tính đạo hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối:
\(\left( |x|^{3} \right)' =
\left\lbrack \left( {\sqrt{x^{2}}}^{3} \right) \right\rbrack' =
\left\lbrack \left( x^{2} \right)^{\frac{3}{2}} \right\rbrack' =
\frac{3}{2}.\left( x^{2} \right)^{\frac{1}{2}}.2x = 3x|x|\)
Vậy \(y' = \left( |x|^{3} - 4x^{2} + 3
\right)' = 3x|x| - 8x\)
Số điểm cực trị tương ứng với số nghiệm của phương trình y’ = 0
. Ta sử dụng chức năng MODE 7 để dò nghiệm và sự đổi dấu của y’ qua nghiệm
Ta thấy y’ đổi dấu 3 lần => Có 3 cực trị
=> Đáp án C là chính xác.
C. Bài tập tự rèn luyện bài tập tìm cực trị bằng máy tính cầm tay
Bài tập 1: Hàm số \(y = x^{4} + x^{2} +
1\) đạt cực tiểu tại:
A. \(x = - 1\) B. \(x = 1\) C. \(x =
0\) D. \(x = - 2\)
Bài tập 2: Giá trị của m để hàm số \(y = -
x^{3} - 2x^{2} + mx + 2m\) đạt cực tiểu tại \(x = - 1\) là:
A. \(m < - 1\) B. \(m \neq - 1\) C. \(m = - 1\) D. \(m
> - 1\)
Bài tập 3: Tìm giá trị cực đại của hàm số \(y = x^{3} - 3x + 2\)?
A. 4 B. 0 C. 2 D. 3
Bài tập 4: Đồ thị hàm số \(y = e^{x}\left(
x^{2} - 3x - 5 \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
Bài tập 5: Hàm số \(y = |x|^{3} - x^{2} +
4\) có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
Bài tập 6. Cho hàm số \(y = (x - 1)(x +
2)^{2}\). Trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên đường thẳng nào?
A. \(2x + y + 4 = 0\) B. \(x + y + 1 = 0\)
C. \(x + 2y + 4 = 0\) D. \(x - y - 2 = 0\)
----------------------------------------------------------
Sử dụng máy tính cầm tay để giải nhanh bài toán cực trị là kỹ năng cần thiết với học sinh lớp 12 đang ôn thi THPT Quốc gia. Phương pháp này không thay thế hoàn toàn lời giải tự luận, nhưng sẽ giúp bạn kiểm tra nhanh đáp án, rút ngắn thời gian làm bài và tăng khả năng đạt điểm tối đa ở các câu hỏi liên quan đến cực trị.
Để sử dụng hiệu quả, bạn cần luyện tập thành thạo các thao tác như sử dụng chế độ TABLE, CALC, MODE 7, kết hợp tư duy phân tích bài toán trước khi bấm máy. Ngoài ra, việc áp dụng linh hoạt giữa lý thuyết và công cụ hỗ trợ sẽ giúp bạn không bị “quá lệ thuộc” vào máy tính mà vẫn nắm chắc kiến thức nền tảng.
Nếu bạn muốn khám phá thêm nhiều mẹo giải toán bằng CASIO, các chuyên đề trọng tâm lớp 12, hoặc bộ đề luyện thi THPT Quốc gia có đáp án chi tiết, đừng quên theo dõi [Tên website của bạn]. Chúng tôi luôn cập nhật tài liệu mới nhất, sát chương trình học – giúp bạn học đúng hướng và thi đúng trọng tâm.
