Tích phân hàm lượng giác: Phương pháp giải nhanh và ví dụ minh họa dễ hiểu
Chuyên đề toán 12: Tích phân hàm lượng giác
Bạn đang tìm cách giải các dạng tích phân hàm lượng giác một cách nhanh chóng và dễ hiểu? Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn những phương pháp giải hiệu quả cùng các công thức tích phân lượng giác quan trọng, đi kèm ví dụ minh họa chi tiết, giúp bạn tự tin xử lý mọi bài toán từ cơ bản đến nâng cao.
A. MỘT SỐ CÔNG THỨC VÀ KĨ NĂNG BIẾN ĐỔI
Các công thức nguyên hàm của hàm lượng giác
\(\int_{}^{}{\cos(ax + b)dx =
\frac{1}{a}\sin(ax + b) + C}\)- \(\int_{}^{}{\sin(ax + b)dx = -
\frac{1}{a}\cos(ax + b) + C}\)
- \(\int_{}^{}{\frac{dx}{cos^{2}x(ax + b)} =
\frac{1}{a}\tan(ax + b) + C}\)
- \(\int_{}^{}{\frac{dx}{sin^{2}(ax + b)} =
- \frac{1}{a}\cot(ax + b) + C}\)
B. CÁC DẠNG TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
Dạng 1: Tính tích phân: \(I_{1} =
\int_{a_{1}}^{b_{1}}{\left( \sin x \right)^{n}dx};I_{2} =
\int_{a_{2}}^{b_{2}}{\left( \cos x \right)^{n}dx}\)Phương pháp chung
1. Nếu n chẵn thì ta sử dụng công thức hạ bậc.
2. Nếu \(n = 3\) thì ta sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi theo trường hợp 3.
3. Nếu \(n \geq 3\) và n lẻ \((n = 2p + 1)\) thì ta thực hiện biến đổi.
\(I_{1} = \int_{a_{1}}^{b_{1}}{\left( \sin
x \right)^{n}dx}\)\(= \int_{a_{1}}^{b_{1}}{\left( \sin x \right)^{2p +
1}dx} = \int_{a_{1}}^{b_{1}}{\left( \sin x \right)^{2p}.sinxdx}\)\(= -
\int_{a_{1}}^{b_{1}}{\left( 1 - cos^{2}x \right)^{p}d\left( \cos x
\right)}\)
Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển \(\left( 1 - cos^{2}x \right)^{p}\) .
Từ đây ta giải quyết dc bài toán.
\(I_{2} = \int_{a_{2}}^{b_{2}}\left( \cos x
\right)^{n}dx = \int_{a_{2}}^{b_{2}}{\left( \cos x \right)^{2p + 1}dx}\)
\(=
\int_{a_{2}}^{b_{2}}{\left( \cos x \right)^{2p}.cosx.dx} =
\int_{a_{2}}^{b_{2}}{\left( 1 - sin^{2}x \right)^{p}d\left( \sin x
\right)}\)
Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển \(\left( 1 - sin^{2}x \right)^{p}\).
Từ đây ta giải quyết dc bài toán.
Ví dụ 1: Cho \(I =
\int_{0}^{\frac{\pi}{10}}{cos^{4}3xdx}\). Đẳng thức nào sau đây đúng?
A. \(I = \left. \ \left\lbrack \frac{3}{8}x
+ \frac{1}{12}sin6x + \frac{1}{96}sin12x \right\rbrack
\right|_{0}^{\frac{\pi}{10}}\)
B. \(I = \left. \ \left\lbrack
\frac{1}{12}sin6x + \frac{1}{96}sin12x \right\rbrack
\right|_{0}^{\frac{\pi}{10}}\)
C. \(I = \left. \ \left\lbrack -
\frac{3}{8}x + \frac{1}{12}sin6x + \frac{1}{96}sin12x \right\rbrack
\right|_{0}^{\frac{\pi}{10}}\)
D. \(I = \left. \ \left\lbrack \frac{3}{8}x
- \frac{1}{96}sin12x \right\rbrack
\right|_{0}^{\frac{\pi}{10}}\)
Đáp án A.
Lời giải
Ta có
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{10}}{\left( \frac{1
+ cos6x}{2} \right)^{2}dx}\)\(= \frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{10}}{\left(
1 + 2cos6x + cos^{2}6x \right)dx}\)
\(=
\frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{10}}{\left( 1 + 2cos6x + \frac{1 +
cos12x}{2} \right)dx}\)
\(= \left. \ \left\lbrack \frac{3}{8}x +
\frac{1}{12}sin6x + \frac{1}{96}sin12x \right\rbrack
\right|_{0}^{\frac{\pi}{10}}\).
Từ đây ta giải quyết được bài toán.
Ví dụ 2: Cho:\(I =
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{(sin5x)^{9}dx}\) \(= - \frac{1}{5}\left. \ \left(
cos5x + acos^{3}5x + bcos^{5}5x + ccos^{7}5x + \frac{1}{9}cos^{9}5x
\right) \right|_{0}^{\frac{\pi}{3}}\). Đặt \(S = a + b + c\). Giá trị của S bằng
A. \(S = 3\) B. \(S = - \frac{74}{105}\) C. \(S = - \frac{5}{4}\) D. \(S = \frac{1}{9}\)
Đáp án B.
Lời giải
Ta có \(I =
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{(sin5x)^{8}sin5xdx} = -
\frac{1}{5}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\left( 1 - cos^{2}5x
\right)^{4}d(cos5x)}\)
\(= -
\frac{1}{5}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\left\lbrack 1 - 4cos^{2}5x +
6cos^{4}5x - 4cos^{6}5x + cos^{8}5x \right\rbrack d(cos5x)}\)
\(= \left. \ - \frac{1}{5}\left( cos5x -
\frac{4}{3}cos^{3}5x + \frac{6}{5}cos^{5}5x - \frac{4}{7}cos^{7}5x +
\frac{1}{9}cos^{9}5x \right) \right|_{0}^{\frac{\pi}{3}}\)
\(\Rightarrow a = - \frac{4}{3};b =
\frac{6}{5};c = - \frac{4}{7} \Rightarrow S = -
\frac{74}{105}\).
Dạng 2*: Tính tích phân \(I =
\int_{a}^{b}{sin^{m}x.cos^{n}x}dx\).
Phương pháp chung
a. Trường hợp 1: m; n là các số nguyên
1. Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.
2. Nếu m chẵn, n lẻ \((n
= 2p + 1)\) thì biến đổi
\(I = \int_{a}^{b}{\left( \sin x
\right)^{m}\left( \cos x \right)^{2p + 1}}dx = \int_{a}^{b}{\left( \sin
x \right)^{m}\left( \cos x \right)^{2p}\cos xdx}\)
\(= \int_{a}^{b}{\left( \sin x
\right)^{m}\left( 1 - sin^{2}x \right)^{2}d\left( \sin x
\right)}\).
Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển và giải quyết bài toán.
3. Nếu m lẻ \((m = 2p +
1)\), n chẵn thì ta biến đổi
\(I = \int_{a}^{b}{\left( \sin x
\right)^{2p + 1}.\left( \cos x \right)^{n}dx} = \int_{a}^{b}{\left( \sin
x \right)^{2p}.\left( \cos x \right)^{n}.sinxdx}\)
\(= - \int_{a}^{b}{\left( 1 - cos^{2}x
\right)^{p}.\left( \cos x \right)^{n}d\left( \cos x
\right)}\).
Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển và giải quyết bài toán.
4. Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi 2 hoặc 3 cho số mũ lẻ bé hơn.
b. Trường hợp 2: m; n là các số hữu tỉ
\(I = \int_{a}^{b}{sin^{m}x.cos^{n}xdx}\)\(=
\int_{a}^{b}{\left( \sin x \right)^{m}.\left( cos^{2}x \right)^{\frac{n
- 1}{2}}\cos xdx}\)
\(= \int_{\sin a}^{\sin b}{u^{m}\left( 1 - u^{2}
\right)^{\frac{n - 1}{2}}du}(*)\)
Ví dụ 1: Cho \(I =
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{(sin2x)^{7}.(cos2x)^{100}dx}\). Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. \(I = \left. \ \left\lbrack
\frac{(cos2x)^{101}}{10} - \frac{3(cos2x)^{103}}{103} +
\frac{3(cos2x)^{105}}{105} - \frac{(cos2x)^{107}}{107} \right\rbrack
\right|_{0}^{\frac{\pi}{3}}\).
B. \(I = - 2\left. \ \left\lbrack
\frac{(cos2x)^{101}}{10} + \frac{3(cos2x)^{103}}{103} +
\frac{3(cos2x)^{105}}{105} + \frac{(cos2x)^{107}}{107} \right\rbrack
\right|_{0}^{\frac{\pi}{3}}\)
C. \(I = - \frac{1}{2}\left. \ \left\lbrack
\frac{(cos2x)^{101}}{10} - \frac{3(cos2x)^{103}}{103} +
\frac{3(cos2x)^{105}}{105} - \frac{(cos2x)^{107}}{107} \right\rbrack
\right|_{0}^{\frac{\pi}{3}}\)
D. \(I = \left. \ \frac{1}{2}\left\lbrack
\frac{(cos2x)^{101}}{101} - \frac{3(cos2x)^{103}}{103} +
\frac{3(cos2x)^{105}}{105} - \frac{(cos2x)^{107}}{107} \right\rbrack
\right|_{0}^{\frac{\pi}{3}}\)
Đáp án C.
Lời giải
Nhận xét: Trong bài toán này, ta thấy m lẻ, n chẵn nên ta áp dụng phương pháp 3 trong bài toán tổng quát phía trên.
Ta có:
\(I =
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{(cos2x)^{100}.(sin2x)^{6}.sin2xdx}\)
\(= -
\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{(cos2x)^{100}\left( 1 - cos^{2}2x
\right)^{3}d(cos2x)}\)
\(= -
\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{(cos2x)^{100}.\left( 1 - 3cos^{2}2x
+ 3cos^{4}2x - cos^{6}2x \right)d(cos2x)}\)
\(= \left. \ - \frac{1}{2}\left\lbrack
\frac{(cos2x)^{101}}{101} - \frac{3(cos2x)^{103}}{103} +
\frac{3(cos2x)^{105}}{105} - \frac{(cos2x)^{107}}{107} \right\rbrack
\right|_{0}^{\frac{\pi}{3}}\).
Dạng 3: Tính tích phân \(I_{1} =
\int_{a_{1}}^{b_{1}}{\left( \tan x \right)^{n}dx};I_{2} =
\int_{a_{2}}^{b_{2}}{\left( \cot x \right)^{n}dx}\ \left( n \in
\mathbb{N}^{*} \right)\).
Phương pháp chung
Sử dụng các công thức sau:
- \(\int_{}^{}{\left( 1 + tan^{2}x \right)dx
= \int_{}^{}{\frac{dx}{cos^{2}x} = \int_{}^{}{d\left( \tan x \right)} =
\tan x + C}}\)
- \(\int_{}^{}{\left( 1 + cot^{2}x \right)dx
= \int_{}^{}\frac{dx}{sin^{2}x} = - \int_{}^{}{d\left( \cot x \right) =
- \cot x + C}}\)
- \(\int_{}^{}{\tan xdx =
\int_{}^{}{\frac{\sin x}{\cos x}dx = - \int_{}^{}{\frac{d\left( \cos x
\right)}{\cos x} = - \ln\left| \cos x \right| + C}}}\)
- \(\int_{}^{}{\cot xdx} =
\int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin x}dx = \int_{}^{}{\frac{d\left( \sin x
\right)}{\sin x} = \ln\left| \sin x \right| + C}}\)
Dạng 4*: Tích phân liên kết.
Phương pháp chung
Bài toán 1: Tính tích phân \(I =
\int_{a}^{b}\frac{\cos xdx}{\sin x + \cos x}\)
* \(I_{1} = \int_{a}^{b}\frac{\cos
xdx}{\sin x + \cos x}\). Xét tích phân liên kết \(I_{2} = \int_{a}^{b}\frac{\sin xdx}{\sin x + \cos
x}\)
Ta có \(\left\{ \begin{matrix}
I_{1} + I_{1} = \int_{a}^{b}{dx} = \left. \ x \right|_{a}^{b} \\
I_{1} - I_{2} = \int_{a}^{b}{\frac{\cos x - \sin x}{\sin x + \cos x}dx}
= \int_{a}^{b}\frac{d\left( \sin x + \cos x \right)}{\sin x + \cos x} =
\left. \ \ln\left| \sin x + \cos x \right| \right|_{a}^{b} \\
\end{matrix} \right.\)
Giải hệ phương trình ta được \(\left\{
\begin{matrix}
I_{1} = \left. \ \left\lbrack \frac{1}{2}\left( x + \ln\left| \sin x +
\cos x \right| \right) \right\rbrack \right|_{a}^{b} \\
I_{2} = \left. \ \left\lbrack \frac{1}{2}\left( x - \ln\left| \sin x +
\cos x \right| \right) \right\rbrack \right|_{a}^{b} \\
\end{matrix} \right.\)
Bài toán 2: Tính tích phân \(I_{1} =
\int_{\alpha}^{\beta}\frac{\sin xdx}{a\cos x + b\sin x}\)
Phương pháp chung
Xét tính phân liên kết với \(I_{1}\) là \(I_{2} = \int_{\alpha}^{\beta}\frac{\cos
xdx}{a\cos x + b\sin x}\)
Ta có \(bI_{1} + aI_{2} =
\int_{\alpha}^{\beta}{\frac{a\cos x + b\sin x}{a\cos x + b\sin x}dx} =
\int_{\alpha}^{\beta}{dx} = \left. \ x
\right|_{\alpha}^{\beta}\)
\(bI_{2} - aI_{1} =
\int_{\alpha}^{\beta}{\frac{b\cos x - a\sin x}{a\cos x + b\sin
x}dx}\) \(=
\int_{\alpha}^{\beta}\frac{d\left( a\cos x + b\sin x \right)}{a\cos x +
b\sin x} = \left. \ \ln\left| a\cos x + b\sin x \right|
\right|_{\alpha}^{\beta}\)
Giải hệ phương trình ta được \(I_{1};I_{2}\).
Chú ý:
Các trường hợp thường gặp:
- \(I_{1} = I_{2}\) khi đó tính \(I_{1} + I_{2} = \alpha\) \(\Rightarrow I_{1} = I_{2} =
\frac{\alpha}{2}\).
- \(I_{2}\) là một tích phân đơn giản, thường thì các hàm số dưới dấu tích phân \(f(x)\); \(g(x)\) (của hai tích phân liên kết) thường có tính cân xứng hoặc bổ sung cho nhau như ở bài toán 1 và bài toán 2.
Việc tìm được tích phân liên kết phụ thuộc vào kinh nghiệm giải toán của người đọc.
Mở rộng kiến thức
Từ hai bài toán trên ta đưa ra kết luận về tích phân liên kết như sau:
Trong một số bài toán tính tích phân \(I_{1} = \int_{a}^{b}{f(x)dx}\), ta sẽ sử dụng tích phân \(I_{2} =
\int_{a}^{b}{g(x)dx}\) là tích phân liên kết của \(I_{1}\) sao cho ta có thể xác lập được mối quan hệ ràng buộc giữa \(I_{1}\) và \(I_{2}\) thành hệ phương trình như sau:
\(\left\{ \begin{matrix}
mI_{1} + nI_{2} = \alpha \\
pI_{1} + qI_{2} = \beta \\
\end{matrix} \right.\)
Giải hệ phương trình ta dễ dàng tìm được \(I_{1};I_{2}\).
--------------------------
Hy vọng bài viết đã giúp bạn nắm vững cách giải tích phân hàm lượng giác thông qua các phương pháp đơn giản và ví dụ thực tiễn. Hãy luyện tập thêm nhiều dạng bài khác nhau để củng cố kỹ năng và sẵn sàng chinh phục mọi đề thi có tích phân lượng giác.
