Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tích phân hàm lượng giác: Phương pháp giải nhanh và ví dụ minh họa dễ hiểu

Cách tính tích phân lượng giác

Bài trước

Tải về

Bài sau

Dạng tài liệu: Chuyên đề Toán Lớp 12

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Chuyên đề toán 12: Tích phân hàm lượng giác

A. MỘT SỐ CÔNG THỨC VÀ KĨ NĂNG BIẾN ĐỔI
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

Bạn đang tìm cách giải các dạng tích phân hàm lượng giác một cách nhanh chóng và dễ hiểu? Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn những phương pháp giải hiệu quả cùng các công thức tích phân lượng giác quan trọng, đi kèm ví dụ minh họa chi tiết, giúp bạn tự tin xử lý mọi bài toán từ cơ bản đến nâng cao.

A. MỘT SỐ CÔNG THỨC VÀ KĨ NĂNG BIẾN ĐỔI

Các công thức nguyên hàm của hàm lượng giác

$\int_{}^{}{\cos(ax + b)dx = \frac{1}{a}\sin(ax + b) + C}$ $\int_{}^{}{\cos(ax + b)dx = \frac{1}{a}\sin(ax + b) + C}$
$\int_{}^{}{\sin(ax + b)dx = - \frac{1}{a}\cos(ax + b) + C}$ $\int_{}^{}{\sin(ax + b)dx = - \frac{1}{a}\cos(ax + b) + C}$
$\int_{}^{}{\frac{dx}{cos^{2}x(ax + b)} = \frac{1}{a}\tan(ax + b) + C}$ $\int_{}^{}{\frac{dx}{cos^{2}x(ax + b)} = \frac{1}{a}\tan(ax + b) + C}$
$\int_{}^{}{\frac{dx}{sin^{2}(ax + b)} = - \frac{1}{a}\cot(ax + b) + C}$ $\int_{}^{}{\frac{dx}{sin^{2}(ax + b)} = - \frac{1}{a}\cot(ax + b) + C}$

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

Dạng 1: Tính tích phân: $I_{1} = \int_{a_{1}}^{b_{1}}{\left( \sin x \right)^{n}dx};I_{2} = \int_{a_{2}}^{b_{2}}{\left( \cos x \right)^{n}dx}$ $I_{1} = \int_{a_{1}}^{b_{1}}{\left( \sin x \right)^{n}dx};I_{2} = \int_{a_{2}}^{b_{2}}{\left( \cos x \right)^{n}dx}$Phương pháp chung

1. Nếu n chẵn thì ta sử dụng công thức hạ bậc.

2. Nếu $n = 3$ thì ta sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi theo trường hợp 3.

3. Nếu $n \geq 3$ $n \geq 3$ và n lẻ $(n = 2p + 1)$ thì ta thực hiện biến đổi.

$I_{1} = \int_{a_{1}}^{b_{1}}{\left( \sin x \right)^{n}dx}$ $I_{1} = \int_{a_{1}}^{b_{1}}{\left( \sin x \right)^{n}dx}$ $= \int_{a_{1}}^{b_{1}}{\left( \sin x \right)^{2p + 1}dx} = \int_{a_{1}}^{b_{1}}{\left( \sin x \right)^{2p}.sinxdx}$ $= \int_{a_{1}}^{b_{1}}{\left( \sin x \right)^{2p + 1}dx} = \int_{a_{1}}^{b_{1}}{\left( \sin x \right)^{2p}.sinxdx}$ $= - \int_{a_{1}}^{b_{1}}{\left( 1 - cos^{2}x \right)^{p}d\left( \cos x \right)}$ $= - \int_{a_{1}}^{b_{1}}{\left( 1 - cos^{2}x \right)^{p}d\left( \cos x \right)}$

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển $\left( 1 - cos^{2}x \right)^{p}$ $\left( 1 - cos^{2}x \right)^{p}$ .

Từ đây ta giải quyết dc bài toán.

$I_{2} = \int_{a_{2}}^{b_{2}}\left( \cos x \right)^{n}dx = \int_{a_{2}}^{b_{2}}{\left( \cos x \right)^{2p + 1}dx}$ $I_{2} = \int_{a_{2}}^{b_{2}}\left( \cos x \right)^{n}dx = \int_{a_{2}}^{b_{2}}{\left( \cos x \right)^{2p + 1}dx}$

$= \int_{a_{2}}^{b_{2}}{\left( \cos x \right)^{2p}.cosx.dx} = \int_{a_{2}}^{b_{2}}{\left( 1 - sin^{2}x \right)^{p}d\left( \sin x \right)}$ $= \int_{a_{2}}^{b_{2}}{\left( \cos x \right)^{2p}.cosx.dx} = \int_{a_{2}}^{b_{2}}{\left( 1 - sin^{2}x \right)^{p}d\left( \sin x \right)}$

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển $\left( 1 - sin^{2}x \right)^{p}$ $\left( 1 - sin^{2}x \right)^{p}$.

Từ đây ta giải quyết dc bài toán.

Ví dụ 1: Cho $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{10}}{cos^{4}3xdx}$ $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{10}}{cos^{4}3xdx}$. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $I = \left. \ \left\lbrack \frac{3}{8}x + \frac{1}{12}sin6x + \frac{1}{96}sin12x \right\rbrack \right|_{0}^{\frac{\pi}{10}}$ $I = \left. \ \left\lbrack \frac{3}{8}x + \frac{1}{12}sin6x + \frac{1}{96}sin12x \right\rbrack \right|_{0}^{\frac{\pi}{10}}$ B. $I = \left. \ \left\lbrack \frac{1}{12}sin6x + \frac{1}{96}sin12x \right\rbrack \right|_{0}^{\frac{\pi}{10}}$ $I = \left. \ \left\lbrack \frac{1}{12}sin6x + \frac{1}{96}sin12x \right\rbrack \right|_{0}^{\frac{\pi}{10}}$

C. $I = \left. \ \left\lbrack - \frac{3}{8}x + \frac{1}{12}sin6x + \frac{1}{96}sin12x \right\rbrack \right|_{0}^{\frac{\pi}{10}}$ $I = \left. \ \left\lbrack - \frac{3}{8}x + \frac{1}{12}sin6x + \frac{1}{96}sin12x \right\rbrack \right|_{0}^{\frac{\pi}{10}}$ D. $I = \left. \ \left\lbrack \frac{3}{8}x - \frac{1}{96}sin12x \right\rbrack \right|_{0}^{\frac{\pi}{10}}$ $I = \left. \ \left\lbrack \frac{3}{8}x - \frac{1}{96}sin12x \right\rbrack \right|_{0}^{\frac{\pi}{10}}$

Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Ta có:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{10}}{\left( \frac{1 + cos6x}{2} \right)^{2}dx}$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{10}}{\left( \frac{1 + cos6x}{2} \right)^{2}dx}$ $= \frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{10}}{\left( 1 + 2cos6x + cos^{2}6x \right)dx}$ $= \frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{10}}{\left( 1 + 2cos6x + cos^{2}6x \right)dx}$

$= \frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{10}}{\left( 1 + 2cos6x + \frac{1 + cos12x}{2} \right)dx}$ $= \frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{10}}{\left( 1 + 2cos6x + \frac{1 + cos12x}{2} \right)dx}$

$= \left. \ \left\lbrack \frac{3}{8}x + \frac{1}{12}sin6x + \frac{1}{96}sin12x \right\rbrack \right|_{0}^{\frac{\pi}{10}}$ $= \left. \ \left\lbrack \frac{3}{8}x + \frac{1}{12}sin6x + \frac{1}{96}sin12x \right\rbrack \right|_{0}^{\frac{\pi}{10}}$.

Từ đây ta giải quyết được bài toán.

Ví dụ 2: Cho: $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{(sin5x)^{9}dx}$ $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{(sin5x)^{9}dx}$ $= - \frac{1}{5}\left. \ \left( cos5x + acos^{3}5x + bcos^{5}5x + ccos^{7}5x + \frac{1}{9}cos^{9}5x \right) \right|_{0}^{\frac{\pi}{3}}$ $= - \frac{1}{5}\left. \ \left( cos5x + acos^{3}5x + bcos^{5}5x + ccos^{7}5x + \frac{1}{9}cos^{9}5x \right) \right|_{0}^{\frac{\pi}{3}}$. Đặt $S = a + b + c$. Giá trị của S bằng:

A. $S = 3$ B. $S = - \frac{74}{105}$ $S = - \frac{74}{105}$ C. $S = - \frac{5}{4}$ $S = - \frac{5}{4}$ D. $S = \frac{1}{9}$ $S = \frac{1}{9}$

Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Ta có $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{(sin5x)^{8}sin5xdx} = - \frac{1}{5}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\left( 1 - cos^{2}5x \right)^{4}d(cos5x)}$ $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{(sin5x)^{8}sin5xdx} = - \frac{1}{5}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\left( 1 - cos^{2}5x \right)^{4}d(cos5x)}$

$= - \frac{1}{5}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\left\lbrack 1 - 4cos^{2}5x + 6cos^{4}5x - 4cos^{6}5x + cos^{8}5x \right\rbrack d(cos5x)}$ $= - \frac{1}{5}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\left\lbrack 1 - 4cos^{2}5x + 6cos^{4}5x - 4cos^{6}5x + cos^{8}5x \right\rbrack d(cos5x)}$

$= \left. \ - \frac{1}{5}\left( cos5x - \frac{4}{3}cos^{3}5x + \frac{6}{5}cos^{5}5x - \frac{4}{7}cos^{7}5x + \frac{1}{9}cos^{9}5x \right) \right|_{0}^{\frac{\pi}{3}}$ $= \left. \ - \frac{1}{5}\left( cos5x - \frac{4}{3}cos^{3}5x + \frac{6}{5}cos^{5}5x - \frac{4}{7}cos^{7}5x + \frac{1}{9}cos^{9}5x \right) \right|_{0}^{\frac{\pi}{3}}$

$\Rightarrow a = - \frac{4}{3};b = \frac{6}{5};c = - \frac{4}{7} \Rightarrow S = - \frac{74}{105}$ $\Rightarrow a = - \frac{4}{3};b = \frac{6}{5};c = - \frac{4}{7} \Rightarrow S = - \frac{74}{105}$.

Dạng 2*: Tính tích phân $I = \int_{a}^{b}{sin^{m}x.cos^{n}x}dx$ $I = \int_{a}^{b}{sin^{m}x.cos^{n}x}dx$.

Phương pháp chung

a. Trường hợp 1: m; n là các số nguyên

1. Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.

2. Nếu m chẵn, n lẻ $(n = 2p + 1)$ thì biến đổi

$I = \int_{a}^{b}{\left( \sin x \right)^{m}\left( \cos x \right)^{2p + 1}}dx = \int_{a}^{b}{\left( \sin x \right)^{m}\left( \cos x \right)^{2p}\cos xdx}$ $I = \int_{a}^{b}{\left( \sin x \right)^{m}\left( \cos x \right)^{2p + 1}}dx = \int_{a}^{b}{\left( \sin x \right)^{m}\left( \cos x \right)^{2p}\cos xdx}$

$= \int_{a}^{b}{\left( \sin x \right)^{m}\left( 1 - sin^{2}x \right)^{2}d\left( \sin x \right)}$ $= \int_{a}^{b}{\left( \sin x \right)^{m}\left( 1 - sin^{2}x \right)^{2}d\left( \sin x \right)}$.

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển và giải quyết bài toán.

3. Nếu m lẻ $(m = 2p + 1)$, n chẵn thì ta biến đổi

$I = \int_{a}^{b}{\left( \sin x \right)^{2p + 1}.\left( \cos x \right)^{n}dx} = \int_{a}^{b}{\left( \sin x \right)^{2p}.\left( \cos x \right)^{n}.sinxdx}$ $I = \int_{a}^{b}{\left( \sin x \right)^{2p + 1}.\left( \cos x \right)^{n}dx} = \int_{a}^{b}{\left( \sin x \right)^{2p}.\left( \cos x \right)^{n}.sinxdx}$

$= - \int_{a}^{b}{\left( 1 - cos^{2}x \right)^{p}.\left( \cos x \right)^{n}d\left( \cos x \right)}$ $= - \int_{a}^{b}{\left( 1 - cos^{2}x \right)^{p}.\left( \cos x \right)^{n}d\left( \cos x \right)}$.

Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển và giải quyết bài toán.

4. Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi 2 hoặc 3 cho số mũ lẻ bé hơn.

b. Trường hợp 2: m; n là các số hữu tỉ

$I = \int_{a}^{b}{sin^{m}x.cos^{n}xdx}$ $I = \int_{a}^{b}{sin^{m}x.cos^{n}xdx}$ $= \int_{a}^{b}{\left( \sin x \right)^{m}.\left( cos^{2}x \right)^{\frac{n - 1}{2}}\cos xdx}$ $= \int_{a}^{b}{\left( \sin x \right)^{m}.\left( cos^{2}x \right)^{\frac{n - 1}{2}}\cos xdx}$

$= \int_{\sin a}^{\sin b}{u^{m}\left( 1 - u^{2} \right)^{\frac{n - 1}{2}}du}(*)$ $= \int_{\sin a}^{\sin b}{u^{m}\left( 1 - u^{2} \right)^{\frac{n - 1}{2}}du}(*)$

Ví dụ 1: Cho $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{(sin2x)^{7}.(cos2x)^{100}dx}$ $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{(sin2x)^{7}.(cos2x)^{100}dx}$. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. $I = \left. \ \left\lbrack \frac{(cos2x)^{101}}{10} - \frac{3(cos2x)^{103}}{103} + \frac{3(cos2x)^{105}}{105} - \frac{(cos2x)^{107}}{107} \right\rbrack \right|_{0}^{\frac{\pi}{3}}$ $I = \left. \ \left\lbrack \frac{(cos2x)^{101}}{10} - \frac{3(cos2x)^{103}}{103} + \frac{3(cos2x)^{105}}{105} - \frac{(cos2x)^{107}}{107} \right\rbrack \right|_{0}^{\frac{\pi}{3}}$.

B. $I = - 2\left. \ \left\lbrack \frac{(cos2x)^{101}}{10} + \frac{3(cos2x)^{103}}{103} + \frac{3(cos2x)^{105}}{105} + \frac{(cos2x)^{107}}{107} \right\rbrack \right|_{0}^{\frac{\pi}{3}}$ $I = - 2\left. \ \left\lbrack \frac{(cos2x)^{101}}{10} + \frac{3(cos2x)^{103}}{103} + \frac{3(cos2x)^{105}}{105} + \frac{(cos2x)^{107}}{107} \right\rbrack \right|_{0}^{\frac{\pi}{3}}$

C. $I = - \frac{1}{2}\left. \ \left\lbrack \frac{(cos2x)^{101}}{10} - \frac{3(cos2x)^{103}}{103} + \frac{3(cos2x)^{105}}{105} - \frac{(cos2x)^{107}}{107} \right\rbrack \right|_{0}^{\frac{\pi}{3}}$ $I = - \frac{1}{2}\left. \ \left\lbrack \frac{(cos2x)^{101}}{10} - \frac{3(cos2x)^{103}}{103} + \frac{3(cos2x)^{105}}{105} - \frac{(cos2x)^{107}}{107} \right\rbrack \right|_{0}^{\frac{\pi}{3}}$

D. $I = \left. \ \frac{1}{2}\left\lbrack \frac{(cos2x)^{101}}{101} - \frac{3(cos2x)^{103}}{103} + \frac{3(cos2x)^{105}}{105} - \frac{(cos2x)^{107}}{107} \right\rbrack \right|_{0}^{\frac{\pi}{3}}$ $I = \left. \ \frac{1}{2}\left\lbrack \frac{(cos2x)^{101}}{101} - \frac{3(cos2x)^{103}}{103} + \frac{3(cos2x)^{105}}{105} - \frac{(cos2x)^{107}}{107} \right\rbrack \right|_{0}^{\frac{\pi}{3}}$

Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Nhận xét: Trong bài toán này, ta thấy m lẻ, n chẵn nên ta áp dụng phương pháp 3 trong bài toán tổng quát phía trên.

Ta có:

$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{(cos2x)^{100}.(sin2x)^{6}.sin2xdx}$ $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{(cos2x)^{100}.(sin2x)^{6}.sin2xdx}$

$= - \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{(cos2x)^{100}\left( 1 - cos^{2}2x \right)^{3}d(cos2x)}$ $= - \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{(cos2x)^{100}\left( 1 - cos^{2}2x \right)^{3}d(cos2x)}$

$= - \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{(cos2x)^{100}.\left( 1 - 3cos^{2}2x + 3cos^{4}2x - cos^{6}2x \right)d(cos2x)}$ $= - \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{(cos2x)^{100}.\left( 1 - 3cos^{2}2x + 3cos^{4}2x - cos^{6}2x \right)d(cos2x)}$

$= \left. \ - \frac{1}{2}\left\lbrack \frac{(cos2x)^{101}}{101} - \frac{3(cos2x)^{103}}{103} + \frac{3(cos2x)^{105}}{105} - \frac{(cos2x)^{107}}{107} \right\rbrack \right|_{0}^{\frac{\pi}{3}}$ $= \left. \ - \frac{1}{2}\left\lbrack \frac{(cos2x)^{101}}{101} - \frac{3(cos2x)^{103}}{103} + \frac{3(cos2x)^{105}}{105} - \frac{(cos2x)^{107}}{107} \right\rbrack \right|_{0}^{\frac{\pi}{3}}$.

Dạng 3: Tính tích phân $I_{1} = \int_{a_{1}}^{b_{1}}{\left( \tan x \right)^{n}dx};I_{2} = \int_{a_{2}}^{b_{2}}{\left( \cot x \right)^{n}dx}\ \left( n \in \mathbb{N}^{*} \right)$ $I_{1} = \int_{a_{1}}^{b_{1}}{\left( \tan x \right)^{n}dx};I_{2} = \int_{a_{2}}^{b_{2}}{\left( \cot x \right)^{n}dx}\ \left( n \in \mathbb{N}^{*} \right)$.

Phương pháp chung

Sử dụng các công thức sau:

$\int_{}^{}{\left( 1 + tan^{2}x \right)dx = \int_{}^{}{\frac{dx}{cos^{2}x} = \int_{}^{}{d\left( \tan x \right)} = \tan x + C}}$ $\int_{}^{}{\left( 1 + tan^{2}x \right)dx = \int_{}^{}{\frac{dx}{cos^{2}x} = \int_{}^{}{d\left( \tan x \right)} = \tan x + C}}$
$\int_{}^{}{\left( 1 + cot^{2}x \right)dx = \int_{}^{}\frac{dx}{sin^{2}x} = - \int_{}^{}{d\left( \cot x \right) = - \cot x + C}}$ $\int_{}^{}{\left( 1 + cot^{2}x \right)dx = \int_{}^{}\frac{dx}{sin^{2}x} = - \int_{}^{}{d\left( \cot x \right) = - \cot x + C}}$
$\int_{}^{}{\tan xdx = \int_{}^{}{\frac{\sin x}{\cos x}dx = - \int_{}^{}{\frac{d\left( \cos x \right)}{\cos x} = - \ln\left| \cos x \right| + C}}}$ $\int_{}^{}{\tan xdx = \int_{}^{}{\frac{\sin x}{\cos x}dx = - \int_{}^{}{\frac{d\left( \cos x \right)}{\cos x} = - \ln\left| \cos x \right| + C}}}$
$\int_{}^{}{\cot xdx} = \int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin x}dx = \int_{}^{}{\frac{d\left( \sin x \right)}{\sin x} = \ln\left| \sin x \right| + C}}$ $\int_{}^{}{\cot xdx} = \int_{}^{}{\frac{\cos x}{\sin x}dx = \int_{}^{}{\frac{d\left( \sin x \right)}{\sin x} = \ln\left| \sin x \right| + C}}$

Dạng 4*: Tích phân liên kết

Phương pháp chung

Bài toán 1: Tính tích phân $I = \int_{a}^{b}\frac{\cos xdx}{\sin x + \cos x}$ $I = \int_{a}^{b}\frac{\cos xdx}{\sin x + \cos x}$

* $I_{1} = \int_{a}^{b}\frac{\cos xdx}{\sin x + \cos x}$ $I_{1} = \int_{a}^{b}\frac{\cos xdx}{\sin x + \cos x}$. Xét tích phân liên kết $I_{2} = \int_{a}^{b}\frac{\sin xdx}{\sin x + \cos x}$ $I_{2} = \int_{a}^{b}\frac{\sin xdx}{\sin x + \cos x}$

Ta có $\left\{ \begin{matrix} I_{1} + I_{1} = \int_{a}^{b}{dx} = \left. \ x \right|_{a}^{b} \\ I_{1} - I_{2} = \int_{a}^{b}{\frac{\cos x - \sin x}{\sin x + \cos x}dx} = \int_{a}^{b}\frac{d\left( \sin x + \cos x \right)}{\sin x + \cos x} = \left. \ \ln\left| \sin x + \cos x \right| \right|_{a}^{b} \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} I_{1} + I_{1} = \int_{a}^{b}{dx} = \left. \ x \right|_{a}^{b} \\ I_{1} - I_{2} = \int_{a}^{b}{\frac{\cos x - \sin x}{\sin x + \cos x}dx} = \int_{a}^{b}\frac{d\left( \sin x + \cos x \right)}{\sin x + \cos x} = \left. \ \ln\left| \sin x + \cos x \right| \right|_{a}^{b} \\ \end{matrix} \right.$

Giải hệ phương trình ta được $\left\{ \begin{matrix} I_{1} = \left. \ \left\lbrack \frac{1}{2}\left( x + \ln\left| \sin x + \cos x \right| \right) \right\rbrack \right|_{a}^{b} \\ I_{2} = \left. \ \left\lbrack \frac{1}{2}\left( x - \ln\left| \sin x + \cos x \right| \right) \right\rbrack \right|_{a}^{b} \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} I_{1} = \left. \ \left\lbrack \frac{1}{2}\left( x + \ln\left| \sin x + \cos x \right| \right) \right\rbrack \right|_{a}^{b} \\ I_{2} = \left. \ \left\lbrack \frac{1}{2}\left( x - \ln\left| \sin x + \cos x \right| \right) \right\rbrack \right|_{a}^{b} \\ \end{matrix} \right.$

Bài toán 2: Tính tích phân $I_{1} = \int_{\alpha}^{\beta}\frac{\sin xdx}{a\cos x + b\sin x}$ $I_{1} = \int_{\alpha}^{\beta}\frac{\sin xdx}{a\cos x + b\sin x}$

Phương pháp chung

Xét tính phân liên kết với $I_{1}$ $I_{1}$ là $I_{2} = \int_{\alpha}^{\beta}\frac{\cos xdx}{a\cos x + b\sin x}$ $I_{2} = \int_{\alpha}^{\beta}\frac{\cos xdx}{a\cos x + b\sin x}$

Ta có $bI_{1} + aI_{2} = \int_{\alpha}^{\beta}{\frac{a\cos x + b\sin x}{a\cos x + b\sin x}dx} = \int_{\alpha}^{\beta}{dx} = \left. \ x \right|_{\alpha}^{\beta}$ $bI_{1} + aI_{2} = \int_{\alpha}^{\beta}{\frac{a\cos x + b\sin x}{a\cos x + b\sin x}dx} = \int_{\alpha}^{\beta}{dx} = \left. \ x \right|_{\alpha}^{\beta}$

$bI_{2} - aI_{1} = \int_{\alpha}^{\beta}{\frac{b\cos x - a\sin x}{a\cos x + b\sin x}dx}$ $bI_{2} - aI_{1} = \int_{\alpha}^{\beta}{\frac{b\cos x - a\sin x}{a\cos x + b\sin x}dx}$ $= \int_{\alpha}^{\beta}\frac{d\left( a\cos x + b\sin x \right)}{a\cos x + b\sin x} = \left. \ \ln\left| a\cos x + b\sin x \right| \right|_{\alpha}^{\beta}$ $= \int_{\alpha}^{\beta}\frac{d\left( a\cos x + b\sin x \right)}{a\cos x + b\sin x} = \left. \ \ln\left| a\cos x + b\sin x \right| \right|_{\alpha}^{\beta}$

Giải hệ phương trình ta được $I_{1};I_{2}$ $I_{1};I_{2}$.

Chú ý:

Các trường hợp thường gặp:

$I_{1} = I_{2}$ $I_{1} = I_{2}$ khi đó tính $I_{1} + I_{2} = \alpha$ $I_{1} + I_{2} = \alpha$ $\Rightarrow I_{1} = I_{2} = \frac{\alpha}{2}$ $\Rightarrow I_{1} = I_{2} = \frac{\alpha}{2}$.
$I_{2}$ $I_{2}$ là một tích phân đơn giản, thường thì các hàm số dưới dấu tích phân $f(x)$; $g(x)$ (của hai tích phân liên kết) thường có tính cân xứng hoặc bổ sung cho nhau như ở bài toán 1 và bài toán 2.

Việc tìm được tích phân liên kết phụ thuộc vào kinh nghiệm giải toán của người đọc.

Mở rộng kiến thức

Từ hai bài toán trên ta đưa ra kết luận về tích phân liên kết như sau:

Trong một số bài toán tính tích phân $I_{1} = \int_{a}^{b}{f(x)dx}$ $I_{1} = \int_{a}^{b}{f(x)dx}$, ta sẽ sử dụng tích phân $I_{2} = \int_{a}^{b}{g(x)dx}$ $I_{2} = \int_{a}^{b}{g(x)dx}$ là tích phân liên kết của $I_{1}$ $I_{1}$ sao cho ta có thể xác lập được mối quan hệ ràng buộc giữa $I_{1}$ $I_{1}$ và $I_{2}$ $I_{2}$ thành hệ phương trình như sau:

$\left\{ \begin{matrix} mI_{1} + nI_{2} = \alpha \\ pI_{1} + qI_{2} = \beta \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} mI_{1} + nI_{2} = \alpha \\ pI_{1} + qI_{2} = \beta \\ \end{matrix} \right.$

Giải hệ phương trình ta dễ dàng tìm được $I_{1};I_{2}$ $I_{1};I_{2}$.

--------------------------

FAQ?

1. Tích phân hàm lượng giác là gì?

Tích phân hàm lượng giác là dạng tích phân có chứa các hàm như $\sin x$ , $\cos x$ , $\tan x$ , $\cot x$ hoặc các biểu thức lượng giác kết hợp. Khi giải, học sinh cần nhận dạng cấu trúc biểu thức để lựa chọn phương pháp phù hợp như biến đổi lượng giác, đặt ẩn phụ hoặc sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản.

2. Cách tính tích phân hàm lượng giác như thế nào?

Để tính tích phân hàm lượng giác, trước hết cần rút gọn và biến đổi biểu thức về dạng quen thuộc. Sau đó có thể áp dụng công thức nguyên hàm lượng giác, đổi biến số hoặc sử dụng các hằng đẳng thức lượng giác để đưa bài toán về tích phân cơ bản. Với tích phân xác định, cần chú ý thay đúng cận sau mỗi bước biến đổi.

3. Những công thức nào thường dùng khi giải tích phân lượng giác?

Một số công thức quan trọng thường được sử dụng gồm công thức nguyên hàm của $\sin x$ , $\cos x$ , $\tan x$ , $\cot x$ , cùng các hệ thức như $\sin^2x+\cos^2x=1$ , công thức nhân đôi và các công thức hạ bậc. Việc ghi nhớ đúng công thức giúp rút ngắn đáng kể thời gian xử lý bài tích phân trong các đề thi Toán 12.

4. Khi nào nên dùng công thức hạ bậc để tính tích phân lượng giác?

Công thức hạ bậc đặc biệt hữu ích khi gặp tích phân chứa $\sin^2x$ , $\cos^2x$ hoặc các lũy thừa chẵn của hàm lượng giác. Mục tiêu là biến đổi biểu thức thành tổng hoặc hiệu của những hàm có nguyên hàm quen thuộc, từ đó tính tích phân nhanh và hạn chế các bước biến đổi phức tạp.

5. Tích phân chứa $\sin x$ và $\cos x$ nên giải theo phương pháp nào?

Không có một phương pháp duy nhất cho mọi bài toán. Nếu biểu thức có một hàm lượng giác và đạo hàm của hàm còn lại xuất hiện kèm theo, đặt ẩn phụ thường là lựa chọn hiệu quả. Nếu xuất hiện lũy thừa của $\sin x$ , $\cos x$ , cần xét số mũ chẵn hoặc lẻ để quyết định cách tách và biến đổi phù hợp.

6. Làm thế nào để tính nhanh tích phân lượng giác trong bài thi THPT Quốc gia?

Cách làm nhanh là nhận dạng dạng toán ngay từ đầu thay vì biến đổi theo nhiều hướng. Học sinh nên kiểm tra cấu trúc của tích phân, xác định công thức lượng giác cần dùng, lựa chọn đặt ẩn phụ hoặc biến đổi tương đương rồi mới thực hiện tính toán. Với câu hỏi trắc nghiệm, có thể kết hợp kỹ năng biến đổi nhanh và máy tính cầm tay để kiểm tra kết quả khi cần.

7. Có thể dùng phương pháp đổi biến để giải tích phân hàm lượng giác không?

Có. Đổi biến là một trong những phương pháp quan trọng khi tính tích phân lượng giác. Chẳng hạn, nếu biểu thức có dạng hàm hợp với phần đạo hàm xuất hiện trong tích phân, việc đặt $u$ thích hợp có thể chuyển bài toán về một tích phân đơn giản hơn.

-----------------------------------

Hy vọng bài viết đã giúp bạn nắm vững cách giải tích phân hàm lượng giác thông qua các phương pháp đơn giản và ví dụ thực tiễn. Hãy luyện tập thêm nhiều dạng bài khác nhau để củng cố kỹ năng và sẵn sàng chinh phục mọi đề thi có tích phân lượng giác.

Tải về

Chọn file muốn tải về: