Chuyên đề Tìm tham số m để hàm số có cực trị
Bài tập Toán 12 Tìm cực trị của hàm số chứa tham số
Chào mừng các bạn đến với chuyên đề Tìm tham số m để hàm số có cực trị – một trong những dạng bài tập nâng cao và thử thách nhất trong chương trình Toán 12. Dạng toán này đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về lý thuyết cực trị, kỹ năng giải phương trình, bất phương trình và sử dụng định lý Vi-ét. Để giúp các em vượt qua thử thách này một cách hiệu quả, chúng tôi đã tổng hợp và biên soạn chuyên đề này với những phương pháp giải chi tiết, các ví dụ minh họa đa dạng và đặc biệt là hệ thống bài tập trắc nghiệm Toán 12 có đáp án. Hãy cùng khám phá những chiến lược tối ưu để "giải mã" tham số m và tự tin chinh phục mọi bài toán cực trị nhé!
A. Bài tập trắc nghiệm tìm cực trị của hàm số chứa tham số
Câu 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số 
\(m\) để hàm số \(y
= x^{3} - 3mx^{2} + 6mx + m\) có hai điểm cực trị.
A. \(m \in (0;2)\) B. \(m \in ( - \infty;0) \cup (8; +
\infty)\)
C. \(m \in ( - \infty;0)\cup (2; +\infty)\) D. \(m \in (0;8)\)
Câu 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y= \frac{m}{3}x^{3} + x^2 + x + 2017\) có cực trị.
A. \(m \in ( -
\infty;1\rbrack\) B. \(m \in ( - \infty;0) \cup
(0;1)\)
C. \(m \in ( - \infty;0) \cup
(0;1\rbrack\) D. \(m \in ( - \infty;1)\)
Câu 3: Biết rằng hàm số \(y = (x + a)^{3} +
(x + b)^{3} - x^{3}\) có hai điểm cực trị. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. \(ab > 0\) B. \(ab < 0\) C. \(ab \geq 0\) D. \(ab \leq 0\)
Câu 4: Tìm các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y
= (m - 3)x^{3} - 2mx^{2} + 3\) không có cực trị.
A. \(m = 3\) B. \(m = 0\), \(m = 3\). C. \(m = 0\) D. \(m \neq 3\)
Câu 5: Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}x^{3} -
\frac{1}{2}(3m + 2)x^{2} + \left( 2m^{2} + 3m + 1 \right)x - 4\). Tìm giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số có hai điểm cực trị là \(x = 3\) và \(x = 5\).
A. \(m = 0\) B. \(m = 1\) C. \(m = 2\) D. \(m = 3\)
Câu 6: Cho hàm số \(y = 2x^{3} + bx^{2} +
cx + 1.\) Biết \(M(1; -6)\) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Tìm tọa độ điểm cực đại \(N\) của đồ thị hàm số.
A. \(N(2;21).\) B. \(N( - 2;21).\) C. \(N( - 2;11).\) D. \(N(2;6).\)
Câu 7: Cho hàm số \(y = ax^{3} + bx^{2} +
cx + d\). Biết \(M(0;2)\), \(N(2; - 2)\) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số. Tính giá trị của hàm số tại \(x = -
2\).
A. \(y( - 2) = 2\) B. \(y( - 2) = 22\) C. \(y( - 2) = 6\) D. \(y( - 2) = - 18\)
Câu 8: Biết rằng hàm số \(y = ax^{3} +
bx^{2} + cx\) \((a \neq 0)\) nhận \(x = - 1\) là một điểm cực trị. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. \(a + c = b\) B. \(2a - b = 0\) C. \(3a + c = 2b\) D. \(3a + 2b + c = 0\)
Câu 9: Cho hàm số \(y = \frac{x^{3}}{3} -
(m + 1)x^{2} + \left( m^{2} - 3 \right)x + 1\) với \(m\) là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số đạt cực trị tại \(x = - 1\).
A. \(m = 0\) B. \(m = - 2\) C. \(m = 0,\ m = - 2\). D. \(m = 0,\ m = 2\)
Câu 10: Biết rằng hàm số \(y = 3x^{3} -
mx^{2} + mx - 3\) có một điểm cực trị \(x_{1} = - 1\). Tìm điểm cực trị còn lại \(x_{2}\) của hàm số.
A. \(x_{2} = \frac{1}{4}\) B. \(x_{2} = \frac{1}{3}\) C. \(x_{2} = - \frac{1}{3}\) D. \(x_{2} = - 2\)
Câu 11: Cho hàm số \(y = x^{3} - 3mx^{2} +
3\left( m^{2} - 1 \right)x - 3m^{2} + 5\) với \(m\) là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\).
A. \(m = 0,\ m = 2.\) B. \(m = 2.\) C. \(m = 1.\) D. \(m =0.\)
Câu 12: Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}x^{3} -
mx^{2} + \left( m^{2} - 4 \right)x + 5\) với \(m\) là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = - 1\).
A. \(m = 1.\) B. \(m = - 3\) C. \(m = 1\), \(m = - 3\). D. \(- 3 \leq m \leq 1.\)
Câu 13: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y
= 4x^{3} + mx^{2} - 12x\) đạt cực tiểu tại điểm \(x = - 2.\)
A. \(m = - 9.\) B. \(m = 2.\) C. \(m = 9.\) D. Không có \(m.\)
Câu 14: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(a\) để hàm số \(y= ax^{3} - ax^2 + 1\) có điểm cực tiểu \(x = \frac{2}{3}\).
A. \(a = 0\) B. \(a > 0\) C. \(a = 2\) D. \(a < 0\)
Câu 15: Gọi \(x_{1},\ \ x_{2}\) là hai điểm cực trị của hàm số \(y = x^{3} -
3mx^{2} + 3\left( m^{2} - 1 \right)x - m^{3} + m\). Tìm các giá trị của tham số \(m\) để \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1}x_{2} =
7.\)
A. \(m = 0\) B. \(m = \pm \frac{9}{2}\) C. \(m = \pm \frac{1}{2}\) D. \(m = \pm 2\)
C. Đáp án tổng quát trắc nghiệm
|
1 - C |
2 - D |
3 - A |
4 - C |
5 - C |
6 – B |
|
7 - D |
8 - C |
9 - A |
10 - B |
11 - B |
12 – B |
|
13 - D |
14 - B |
15 - D |
16 - A |
17 - B |
18 – D |
|
19 - B |
20 - A |
21 - B |
22 - B |
23 - D |
24 – D |
|
25 - D |
26 - D |
27 - B |
28 - C |
29 - C |
30 - C |
|
31 - A |
32 - A |
|
|
|
|
D. Hướng dẫn giải chi tiết bài tập
Câu 1:
Ta có \(y' = 3x^{2} - 6mx + 6m =
3\left( x^{2} - 2mx + 2m \right)\).
Để hàm số có hai điểm cực trị \(\Leftrightarrow x^{2} - 2mx + 2m = 0\) có hai nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow \Delta' = m^{2} - 2m
> 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
m < 0 \\
m > 2 \\
\end{matrix} \right.\ .\)
Câu 2:
Nếu \(m = 0\) thì \(y = x^{2} + x + 2017\): Hàm bậc hai luôn có cực trị.
Khi \(m \neq 0\), ta có \(y' = mx^{2} + 2x + 1\).
Để hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình \(mx^{2} + 2x + 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m \neq 0 \\
\Delta' = 1 - m > 0 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow 0 \neq m < 1.\)
Hợp hai trường hợp ta được \(m <
1\).
Câu 3:
Ta có \(y' = 3(x + a)^2 + 3(x +b)^{2} - 3x^{2},\ \ \forall x\mathbb{\in R}\).
Có \(y' = 0 \Leftrightarrow (x + a)^2+ (x + b)^{2} - x^{2} = 0\)
\(\Leftrightarrow x^{2} + 2(a + b)x + a^{2}
+ b^{2} = 0\) \((*)\)
Để hàm số đã cho đạt cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi \((*)\) có hai nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow \Delta' = (a + b)^{2}
- \left( a^{2} + b^{2} \right) > 0 \Leftrightarrow ab >
0\).
Câu 4:
● Nếu \(m = 3\) thì \(y = - 6x^{2} + 3\). Đây là một Parabol nên luôn có một cực trị.
● Nếu \(m \neq 3\), ta có \(y' = 3(m - 3)x^{2} - 4mx\).
Để hàm số có không có cực trị khi \(y'
= 0\) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm
\(\Leftrightarrow \Delta' = 4m^{2} \leq
0 \Leftrightarrow m = 0.\)
Câu 5:
Ta có \(y' = x^{2} - (3m + 2)x + \left(
2m^{2} + 3m + 1 \right)\).
Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm \(x = 3\) hoặc \(x = 5\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
9 - 3(3m + 2) + \left( 2m^{2} + 3m + 1 \right) = 0 \\
25 - 5(3m + 2) + \left( 2m^{2} + 3m + 1 \right) = 0 \\
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
2m^{2} - 6m + 4 = 0 \\
2m^{2} - 12m + 16 = 0 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = 2\).
Câu 6:
Đạo hàm \(y' = 6x^{2} + 2bx +
c\) và \(y'' = 12x +
2b\).
Điểm \(M(1; - \ 6)\) là điểm cực tiểu \(\Leftrightarrow \ \ \left\{
\begin{matrix}
y'(1) = 0 \\
y(1) = - \ 6 \\
y''(1) > 0 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
2b + c = - \ 6 \\
b + c = - \ 9 \\
2b + 12 > 0 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
b = 3 \\
c = - \ 12 \\
\end{matrix} \right.\ .\)
Khi đó \(y = f(x) = 2x^{3} + 3x^{2} - 12x +
1\).
Ta có \(f'(x) = 6x^2 + 6x -12\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
x = 1 \\
x = - 2 \\
\end{matrix} \right.\ \rightarrow \left\{ \begin{matrix}
f( - 2) = 21 \\
f''( - 2) < 0 \\
\end{matrix} \right.\)
Suy ra \(N( - \ 2;21)\) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
Câu 7:
Ta có \(y' = 3ax^{2} + 2bx +
c\).
Vì \(M(0;2),\ N(2; - 2)\) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số nên
\(\left\{ \begin{matrix}
y'(0) = 0 \\
y'(2) = 0 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
c = 0 \\
12a + 4b + c = 0 \\
\end{matrix} \right.\ ;\) \((1)\)
\(\left\{ \begin{matrix}
y(0) = 2 \\
y(2) = - 2 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
d = 2 \\
8a + 4b + 2c + d = - 2 \\
\end{matrix} \right.\ .\) \((2)\)
Giải hệ \((1)\) và \((2)\), ta được
\(\left\{ \begin{matrix}
a = 1 \\
b = - 3 \\
c = 0 \\
d = 2 \\
\end{matrix} \right.\ \overset{}{\rightarrow}y = x^{3} - 3x^{2} +
2\overset{}{\rightarrow}y( - 2) = - 18.\)
Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!
---------------------------------------------------------------------
Hy vọng rằng chuyên đề Tìm tham số m để hàm số có cực trị cùng với hệ thống bài tập trắc nghiệm Toán 12 có đáp án đã cung cấp cho các bạn những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các dạng bài tập khó. Việc nắm vững các điều kiện để hàm số có cực trị, biết cách cô lập tham số m và vận dụng linh hoạt các kiến thức đại số sẽ là chìa khóa thành công. Hãy tiếp tục luyện tập, đối chiếu với đáp án và không ngừng tìm tòi các phương pháp mới. Chúc các bạn học tập thật tốt và đạt được kết quả xuất sắc trong các kỳ thi sắp tới!
