Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +10
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!

Công thức và cách tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm

Công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm

Phương sai là một trong những chỉ số quan trọng trong thống kê, giúp đo lường sự biến động của dữ liệu. Khi làm việc với mẫu số liệu ghép nhóm, việc hiểu rõ công thức tính phương sai là vô cùng cần thiết. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn công thức và cách tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kèm theo ví dụ minh họa chi tiết giúp bạn dễ dàng áp dụng trong các bài tập thực tế. Bạn sẽ học được cách tính phương sai một cách chính xác và hiệu quả nhất.

A. Cách tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm

Phương pháp

Xét mẫu số liệu ghép nhóm được cho ở bảng sau:

Nhóm

\left\lbrack a_{1};a_{2}
\right)[a1;a2) ...... \left\lbrack a_{i};a_{i + 1}
\right)[ai;ai+1) ...... \left\lbrack a_{k};a_{k + 1}
\right)[ak;ak+1)

Tần số

m_{1}m1 ...... m_{i}mi ...... m_{k}mk

Phương sai s^{2}s2 được tính như sau:

  • Bước 1: Tính giá trị đại diện mỗi nhóm x_{i} = \frac{a_{i} + a_{i + 1}}{2}\ ;\ i =
1,2,3,...,kxi=ai+ai+12 ; i=1,2,3,...,k.
  • Bước 2: Tính n = m_{1} + m_{2} + ... +
m_{k}n=m1+m2+...+mk.
  • Bước 3: \overline{x} = \frac{m_{1}.x_{1}
+ m_{2}.x_{2} + ... + m_{k}.x_{k}}{n}x=m1.x1+m2.x2+...+mk.xkn.
  • Bước 4: s^{2} = \frac{m_{1}.\left( x_{1}
- \overline{x} \right)^{2} + m_{2}.\left( x_{2} - \overline{x}
\right)^{2} + ... + m_{k}.\left( x_{k} - \overline{x}
\right)^{2}}{n}s2=m1.(x1x)2+m2.(x2x)2+...+mk.(xkx)2n

Hoặc: s^{2} = \frac{1}{n}\left(
m_{1}.{x_{1}}^{2} + m_{2}.{x_{2}}^{2} + ... + m_{k}.{x_{k}}^{2} \right)
- \left( \overline{x} \right)^{2}s2=1n(m1.x12+m2.x22+...+mk.xk2)(x)2.

B. Bài tập tính phương sai có hướng dẫn chi tiết

Bài tập 1. Cân nặng (kg) của một số quả mít trong một khu vườn được thống kê ở bảng sau:

Cân nặng (kg)

\lbrack 4;6)[4;6) \lbrack 6;8)[6;8) \lbrack 8;10)[8;10) \lbrack 10; 12)[10;12) \lbrack 12;14)[12;14)

Số cây giống

6

12

19

9

4

Hãy tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Hướng dẫn giải

Ta có giá trị đại diện được thể hiện trong bảng sau:

Cân nặng (kg)

\lbrack 4;6)[4;6) \lbrack 6;8)[6;8) \lbrack 8;10)[8;10) \lbrack 10; 12)[10;12) \lbrack 12;14)[12;14)

Giá trị đại diện

5

7

9

11

13

Số cây giống

6

12

19

9

4

Cỡ mẫu: n = 50n=50.

Số trung bình

\overline{x} =\frac{m_{1}.x_{1} + m_{2}.x_{2} + ... + m_{k}.x_{k}}{n}x=m1.x1+m2.x2+...+mk.xkn= \frac{6.5 +12.7 + 19.9 + 9.11 + 4.13}{50} = 8,72=6.5+12.7+19.9+9.11+4.1350=8,72.

Phương sai:

s^{2} = \frac{1}{n}\left(m_{1}.{x_{1}}^{2} + m_{2}.{x_{2}}^{2} + ... + m_{k}.{x_{k}}^{2} \right)- \left( \overline{x} \right)^{2}s2=1n(m1.x12+m2.x22+...+mk.xk2)(x)2

= \frac{1}{50}\left( 6.5^{2} +12.7^{2} + 19.9^{2} + 9.11^{2} + 4.13^{2} \right) - (8,72)^{2} =4,8016=150(6.52+12.72+19.92+9.112+4.132)(8,72)2=4,8016.

Bài tập 2. Thống kê điểm trung bình của hai lớp 12A và 12B được cho ở bảng sau:

Điểm trung bình

\lbrack 5;6)[5;6) \lbrack 6;7)[6;7) \lbrack 7;8)[7;8) \lbrack 8;9)[8;9) \lbrack 9;10)[9;10)

Số học sinh lớp 12A

1

0

11

22

6

Số học sinh lớp 12B

0

6

8

14

12

Nếu so sánh phương sai thì học sinh lớp nào có điểm trung bình ít phân tán hơn?

Hướng dẫn giải

Ta có bảng thống kê điểm trung bình theo giá trị đại diện như sau:

Điểm trung bình

\lbrack 5;6)[5;6) \lbrack 6;7)[6;7) \lbrack 7;8)[7;8) \lbrack 8;9)[8;9) \lbrack 9;10)[9;10)

Giá trị đại diện

5,5

6,5

7,5

8,5

9,5

Số học sinh lớp 12A

1

0

11

22

6

Số học sinh lớp 12B

0

6

8

14

12

Xét mẫu số liệu lớp 12A:

Cỡ mẫu: n_{1} = 40n1=40.

Số trung bình:

\overline{x} = \frac{m_{1}.x_{1} +
m_{2}.x_{2} + ... + m_{k}.x_{k}}{n_{1}}x=m1.x1+m2.x2+...+mk.xkn1

= \frac{1.5,5 + 0.6,5 + 11.7,5 + 22.8,5 +
6.9,5}{40} = 8,3=1.5,5+0.6,5+11.7,5+22.8,5+6.9,540=8,3.

Phương sai:

{s_{1}}^{2} = \frac{1}{n_{1}}\left(m_{1}.{x_{1}}^{2} + m_{2}.{x_{2}}^{2} + ... + m_{k}.{x_{k}}^{2} \right)- \left( \overline{x} \right)^{2}s12=1n1(m1.x12+m2.x22+...+mk.xk2)(x)2

= \frac{1}{40}\left( 1.5,5^{2} +0.6,5^{2} + 11.7,5^{2} + 22.8,5^{2} + 6.9,5^{2} \right) - (8,3)^{2} =0,61=140(1.5,52+0.6,52+11.7,52+22.8,52+6.9,52)(8,3)2=0,61.

Xét mẫu số liệu lớp 12B:

Cỡ mẫu: n_{2} = 40n2=40.

Số trung bình:

\overline{y} = \frac{m_{1}.y_{1} +
m_{2}.y_{2} + ... + m_{k}.y_{k}}{n_{2}}y=m1.y1+m2.y2+...+mk.ykn2

= \frac{0.5,5 + 6.6,5 + 8.7,5 + 14.8,5 +
12.9,5}{40} = 8,3=0.5,5+6.6,5+8.7,5+14.8,5+12.9,540=8,3.

Phương sai:

{s_{2}}^{2} =\frac{1}{n_{2}}\left( m_{1}.{y_{1}}^{2} + m_{2}.{y_{2}}^{2} + ... +m_{k}.{y_{k}}^{2} \right) - {\overline{y}}^{2}s22=1n2(m1.y12+m2.y22+...+mk.yk2)y2

= \frac{1}{40}\left(0.5,5^{2} + 6.6,5^{2} + 8.7,5^{2} + 14.8,5^{2} + 12.9,5^{2} \right) -(8,3)^{2} = 1,06=140(0.5,52+6.6,52+8.7,52+14.8,52+12.9,52)(8,3)2=1,06.

\overset{}{\rightarrow}{s_{1}}^{2} < {s_{2}}^{2}s12<s22 nên điểm trung bình của học sinh lớp 12B phân tán ít hơn điểm trung bình của học sinh lớp 12A.

Bài tập 3. Tuổi thọ của một số linh kiện điện tử (đơn vị: năm) được sản xuất bởi hai phân xưởng được cho như sau:

Tuổi thọ (năm)

\lbrack 1,5;2)[1,5;2) \lbrack 2;2,5)[2;2,5) \lbrack 2,5;3)[2,5;3) \lbrack 3;3,5)[3;3,5) \lbrack 3,5;4)[3,5;4)

Số linh kiện của phân xưởng 1

4

9

13

8

6

Số linh kiện của phân xưởng 2

2

8

20

7

3

Tính phương sai của mỗi mẫu số liệu ghép nhóm và nhận xét về độ phân tán của tuổi thọ các linh kiện điện tử được sản xuất bởi mỗi phân xưởng.

Hướng dẫn giải

Ta có bảng thống kê điểm trung bình theo giá trị đại diện như sau:

Tuổi thọ (năm)

\lbrack 1,5;2)[1,5;2) \lbrack 2;2,5)[2;2,5) \lbrack 2,5;3)[2,5;3) \lbrack 3;3,5)[3;3,5) \lbrack 3,5;4)[3,5;4)

Giá trị đại diện

1,75

2,25

2,75

3,25

3,75

Số linh kiện của phân xưởng 1

4

9

13

8

6

Số linh kiện của phân xưởng 2

2

8

20

7

3

Xét mẫu số liệu Phân xưởng 1:

Tổng số linh kiện: 4 + 9 + 13 + 8 + 6 =
404+9+13+8+6=40

Giá trị trung bình

{\overline{x}}_{1} =
\frac{1,75.4 + 2,25.9 + 2,75.13 + 3,25.8 + 3,75.6}{4 + 9 + 13 + 8 + 6} =
\frac{223}{80}x1=1,75.4+2,25.9+2,75.13+3,25.8+3,75.64+9+13+8+6=22380

Phương sai:

s_{1}^{2} =\frac{1}{40}\left( 1,75^{2}.4 + 2,25^{2}.9 + 2,75^{2}.13 + 3,25^{2}.8 +3,75^{2}.6 \right)s12=140(1,752.4+2,252.9+2,752.13+3,252.8+3,752.6)

- \left( \frac{223}{80} \right)^{2} =\frac{2271}{6400} \approx 0,354(22380)2=227164000,354

Xét mẫu số liệu Phân xưởng 2:

Tổng số linh kiện: 2 + 8 + 20 + 7 + 3 =
402+8+20+7+3=40

Giá trị trung bình {\overline{x}}_{2} =
\frac{1,75.2 + 2,25.8 + 2,75.20 + 3,25.7 + 3,75.3}{2 + 8 + 20 + 7 + 3} =
\frac{221}{80}x2=1,75.2+2,25.8+2,75.20+3,25.7+3,75.32+8+20+7+3=22180

Phương sai:

s_{2}^{2} =\frac{1}{40}\left( 1,75^{2}.2 + 2,25^{2}.8 + 2,75^{2}.20 + 3,25^{2}.7 +3,75^{2}.3 \right)s22=140(1,752.2+2,252.8+2,752.20+3,252.7+3,752.3)

- \left( \frac{221}{80} \right)^{2} =\frac{1399}{6400} \approx 0,218(22180)2=139964000,218

\overset{}{\rightarrow}{s_{1}}^{2} > {s_{2}}^{2}s12>s22 nên số linh kiện phân xưởng 2 phân tán nhiều hơn số linh kiện phân xưởng 1.

----------------------------------------------------

Hy vọng rằng với các công thức và cách tính phương sai trong bài viết, bạn đã có thêm kiến thức để áp dụng vào việc giải các bài toán thống kê, đặc biệt là với mẫu số liệu ghép nhóm. Để làm quen với phương pháp này, hãy thực hành thêm nhiều bài tập và chắc chắn rằng bạn nắm vững kỹ năng tính toán này. Đừng quên theo dõi các bài viết tiếp theo để cập nhật thêm nhiều kiến thức thống kê hữu ích!

Chia sẻ, đánh giá bài viết
1
Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
🖼️

Gợi ý cho bạn

Xem thêm
🖼️

Thi THPT Quốc gia môn Toán

Xem thêm
Chia sẻ
Chia sẻ FacebookChia sẻ TwitterSao chép liên kếtQuét bằng QR Code
Mã QR Code
Đóng