Hướng dẫn giải chi tiết đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán 2025

Giải đề thi THPT Quốc gia môn Toán 2025

Bạn đang tìm kiếm lời giải chi tiết và phân tích đầy đủ đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia môn Toán 2025? Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn nắm chắc kiến thức, hiểu rõ cấu trúc đề thi và các phương pháp giải nhanh – chính xác cho từng câu hỏi. Cùng theo dõi hướng dẫn giải đề thi môn Toán 2025 để tự tin đạt điểm cao trong kỳ thi quan trọng này!

PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Cho hình lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\) (xem hình dưới). Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{A'C'} = \overrightarrow{BC'}\).                   B. \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{A'C'} = \overrightarrow{C'B'}\).

C. \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{A'C'} = \overrightarrow{BC}\).                    D. \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{A'C'} = \overrightarrow{A'A}\).

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{A'C'}//\overrightarrow{AC} \\ \overrightarrow{A'C'} = \overrightarrow{AC} \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{A'C'} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}\).

Chọn đáp án C.

Câu 2. Cho hình hộp \(ABCD \cdot A'B'C'D'\) (xem hình dưới). Đường thẳng \(AB\) song song với mặt phẳng nào sau đây?

A. \((CC'A'A)\).            B. \((BB'C'C)\).             C. \((A'B'C'D')\).                D. \((AA'D'D)\).

Hướng dẫn giải: 

Ta có: \(\left\{ \begin{matrix} AB//A'B' \\ A'B' \subset (A'B'C'D') \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow AB//(A'B'C'D')\).

Chọn đáp án C.

Câu 3. Một người chia thời lượng (đơn vị: giây) thực hiện các cuộc gọi điện thoại của mình trong một tuần thành sáu nhóm và lập bảng tần số ghép nhóm như sau.

Nhóm	\(\lbrack 0;40)\)	\(\lbrack 40;80)\)	\(\lbrack 80;120)\)	\(\lbrack 120;160)\)	\(\lbrack 160;200)\)	\(\lbrack 200;240)\)
Tần số	11	10	6	8	4	1

Tứ phân vị thứ ba \(Q_{3}\) (đơn vị: giây) của mẫu số liệu ghép nhóm trên bằng

A. 145.             B. 140.                C. 135.             D. 130.

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(n = 40 \Rightarrow \frac{3n}{4} = 30\)

Nhóm	\(\lbrack 0;40)\)	\(\lbrack 40;80)\)	\(\lbrack 80;120)\)	\(\lbrack 120;160)\)	\(\lbrack 160;200)\)	\(\lbrack 200;240)\)
Tần số	11	10	6	8	4	1
Tần số tích lũy	11	21	27	35	39	40

Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là: \(\lbrack 120;160)\)

\(\Rightarrow Q_{3} = 120 + \frac{\frac{3}{4}.40 - 27}{8}.40 = 135\)

Chọn đáp án C.

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \((d):\frac{x - 3}{4} = \frac{y + 2}{- 5} = \frac{z - 1}{2}\). Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \((d)\) ?

A. \(\overrightarrow{v_{3}} = (4;5;2)\).          B. \(\overrightarrow{v_{1}} = (3; - 2;1)\).          C. \(\overrightarrow{v_{4}} = (3;2;1)\).            D. \(\overrightarrow{v_{2}} = (4; - 5;2)\).

Hướng dẫn giải:

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \((d):\frac{x - 3}{4} = \frac{y + 2}{- 5} = \frac{z - 1}{2}\) là: \(\overrightarrow{v_{2}} = (4; - 5;2)\)

Chọn đáp án D

Câu 5. Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x^{2}\) là

A. \(\frac{1}{3}x^{3} + C\).            B. \(2x^{3} + C\).              C. \(3x^{3} + C\).           D. \(\frac{1}{2}x^{3} + C\).

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}x^{2}dx = \frac{x^{3}}{3} + C\)

Chọn đáp án A.

Câu 6. Cho cấp số cộng \(\left( u_{n} \right)\) có \(u_{1} = 4\) và công sai \(d = - 3\). Giá trị của \(u_{5}\) bằng

A. 16.             B. 19.              C. -8.              D. -11.

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(u_{5} = u_{1} + 4d = 4 + 4.( - 3) = - 8\)

Chọn đáp án C.

Câu 7. Tập nghiệm của phương trình \(\sin x = 0\) là

A. \(S = \left\{ \left. \ \frac{\pi}{2} + k\pi \right|\ k \in \mathbb{Z} \right\}\).                    B. \(S = \left\{ k2\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}\).

C. \(S = \left\{ \left. \ \frac{\pi}{2} + k2\pi \right|\ k \in \mathbb{Z} \right\}\).                  D. \(S = \left\{ k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}\).

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} \right)\)

Chọn đáp án D.

Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = 2x - 3\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,x = 2\) được xác định bằng công thức

A. \(S = \pi\int_{1}^{2}|2x - 3|dx\).                 B. \(S = \int_{1}^{2}|2x - 3|dx\).

C. \(S = \pi\int_{1}^{2}(2x - 3)^{2}\ dx\).              D. \(S = \left| \int_{1}^{2}(2x - 3)dx \right|\).

Hướng dẫn giải:

Diện tích \(S\) của hình phẳng được giới hạn bởi các đường đã cho được xác định bởi công thức \(S = \int_{1}^{2}{|2x - 3|dx}\)

Chọn đáp án B.

Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), mặt phẳng đi qua điểm \(A(2;1; - 4)\) nhận \(\overrightarrow{n} = (3;2; - 1)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là

A. \(3(x - 2) + 2(y - 1) - (z + 4) = 0\).                B. \(2(x + 3) + (y + 2) - 4(z - 1) = 0\).

C. \(3(x + 2) + 2(y + 1) - (z - 4) = 0\).                D. \(2(x - 3) + (y - 2) - 4(z + 1) = 0\).

Hướng dẫn giải:

Phương trình mặt phẳng đi qua các điểm \(A(2;1; - 4)\) nhận \(\overrightarrow{n} = (3;2; - 1)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là \(3(x - 2) + 2(y - 1) - (z + 4) = 0\).

Chọn đáp án A.

Câu 10. Nghiệm của phương trình \(log_{3}(2x - 1) = 2\) là

A. \(x = \frac{7}{2}\).               B. \(x = \frac{5}{2}\).                C. \(x = 5\).                  D. \(x = 4\).

Hướng dẫn giải:

Điều kiện xác định \(2x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}\)

Ta có:

\(log_{3}(2x - 1) = 2 \Leftrightarrow 2x - 1 = 3^{2}\)

\(\Leftrightarrow 2x - 1 = 9 \Leftrightarrow x = 5(tm)\)

Vậy phương trinh đã cho có nghiệm \(x = 5\).

Chọn đáp án C.

Câu 11. Cho hàm số \(y = \frac{ax + b}{cx + d}(ac \neq 0,ad - bc \neq 0)\) có đồ thị như hình dưới. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là

A. \(y = 2\).                    B. \(x = - 1\).                      C. \(y = - 1\).               D. \(x = 2\).

Hướng dẫn giải:

Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là \(x = - 1\)

Chọn đáp án B.

Câu 12. Cho hình chóp\(S \cdot ABC\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng ( \(ABC\) ), tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và \(SA = 3,AB = 4,AC = 5\). Thể tích của khối chóp \(S \cdot ABC\) bằng

A. 30.                  B. 20.                    C. 60.               D. 10.

Hướng dẫn giải:

Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) là:

\(V = \frac{1}{3}.\left( \frac{1}{2}.4.5 \right).3 = 10\)

Chọn đáp án D.

PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Cho hàm số \(f(x) = x^{3} - 12x - 8\).

Mệnh đề	Đúng	Sai
a) Hàm số đã cho có đạo hàm là .\(f'(x) = 3x^{2} - 12\)	x
b) Phương trình \(f'(x) = 0\) có tập nghiệm là \(S = \left\{ 2 \right\}\).		x
c) .\(f(2) = 24\)		x
d) Giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)\) trên đoạn [-3;3] bằng 24.		x

Hướng dẫn giải

a) Hàm số đã cho có đạo hàm là \(f'(x) = 3x^{2} - 12\).

Ta có: \(f(x) = x^{3} - 12x - 8 \Rightarrow f'(x) = 3x^{2} - 12\).

Mệnh đề Đúng

b) Phương trình \(f'(x) = 0\) có tập nghiệm là \(S = \left\{ 2 \right\}\).

Ta có: \(f'(x) = 3x^{2} - 12\)

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^{2} - 12 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \\ x = - 2 \\ \end{matrix} \right.\ (tm)\)

Vậy phương trình \(f'(x) = 0\) có tập nghiệm là \(S = \left\{ \pm 2 \right\}\)

Mệnh đề Sai

c) \(f(2) = 24\).

Ta có: \(f(2) = 2^{3} - 12.2 - 8 = - 24 \neq 24\)

Mệnh đề Sai

d) Giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)\) trên đoạn [-3;3] bằng 24.

Xét hàm số \(f(x) = x^{3} - 12x - 8\) trên đoạn [-3;3] ta có: \(f'(x) = 3x^{2} - 12\)

Khi đó \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^{2} - 12 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \in \lbrack - 3;3\rbrack \\ x = - 2 \in \lbrack - 3;3\rbrack \\ \end{matrix} \right.\)

Lại có: \(f( - 3) = 1;f( - 2) = 8;f(2) = - 24;f(3) = 17\)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)\) trên đoạn \(\lbrack - 3;3\rbrack\) bằng \(8\).

Mệnh đề Sai.

Câu 2. Đối với ngành nuôi trồng thủy sản, việc kiểm soát lượng thuốc tồn dư trong nước là một nhiệm vụ quan trọng nhằm đáp ứng các tiêu chuẩn an toàn về môi trường. Khi nghiên cứu một loại thuốc trị bệnh trong nuôi trồng thủy sản, người ta sử dụng thuốc đó một lần và theo dõi nồng độ thuốc tồn dư trong nước kể từ lúc sử dụng thuốc. Kết quả cho thấy nồng độ thuốc \(y(t)\) (đơn vị: mg/lít) tồn dư trong nước tại thời điểm \(t\) ngày \((t \geq 0)\) kể từ lúc sử dụng thuốc, thỏa mãn \(y(t) > 0\) và \(y'(t) = k \cdot y(t)(t \geq 0)\), trong đó \(k\) là hằng số khác không. Đo nồng độ thuốc tồn dư trong nước tại các thời điểm \(t = 6\) (ngày); \(t = 12\) (ngày) nhận được kết quả lần lượt là \(2mg/\) lít; \(1mg/\) lít. Cho biết \(y(t) = e^{g(t)}(t \geq 0)\).

Mệnh đề	Đúng	Sai
a)  \(g(t) = kt + C(t \geq 0)\)  với \(C\) là một hằng số xác định.	x
b) \(k = \frac{ln2}{6}\).		x
c) \(C = 2ln2\).	x
d) Nồng độ thuốc tồn dư trong nước tại thời điểm \(t = 25\) (ngày) kể từ lúc sử dụng thuốc lớn hơn \(0,25mg\)/lít.		x

Hướng dẫn giải

a) \(g(t) = kt + C(t \geq 0)\)với \(C\) là một hằng số xác định.

Do \(y'(t) = k.y(t);(t \geq 0)\) nên \(\int_{}^{}{\frac{y'(t)}{y(t)}dt = k.t + C}\)

Suy ra \(\ln y(t) = k.t + C = g(t)\)

Mệnh đề Đúng

b) \(k = \frac{ln2}{6}\).

Ta có: \(t = 6\) thì \(y(t) = 2\) nên \(g(t) = ln2\)

\(t = 12\) thì \(y(t) = 1\) nên \(g(t) = 0\)

Khi đó: \(\left\{ \begin{matrix} 6k + C = ln2 \\ 12k + C = 0 \\ \end{matrix} \right.\)nên \(\left\{ \begin{matrix} k = \frac{- ln2}{6} \\ C = ln2 \\ \end{matrix} \right.\)

Mệnh đề Sai

c) \(C = 2ln2\).

Theo câu (b) ta được \(C = ln2\)

Mệnh đề Đúng

d) Nồng độ thuốc tồn dư trong nước tại thời điểm \(t = 25\) (ngày) kể từ lúc sử dụng thuốc lớn hơn \(0,25mg\) /lít.

Ta có: \(g(t) = \frac{- ln2}{6}.t + 2ln2\) nên \(t = 25\) thì \(g(25) = \frac{- ln2}{6}.25 + 2ln2\)

Suy ra \(y(25) = e^{g(25)} = e^{\frac{- ln2}{6}.t + 2ln2} \approx 0,222725(mg/l)\)

Mệnh đề Sai

Câu 3. Mô hình toán học sau đây được sử dụng trong quan sát chuyển động của một vật. Trong không gian cho hệ tọa độ \(Oxyz\) có \(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\) lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục \(Ox,Oy,Oz\) và độ dài của mỗi vectơ đơn vị đó bằng 1 mét. Cho hai điểm \(A\) và \(B\), trong đó điểm \(A\) có tọa độ là \((5;5;0)\). Một vật (coi như là một hạt) chuyển động thẳng với tốc độ phụ thuộc thời gian \(t\) (giây) theo công thức \(v(t) = \beta t + 300(\ m/\) giây \()\), trong đó \(\beta\) là hằng số dương và \(0 \leq t \leq 6\). Ở thời điểm ban đầu \((t = 0)\), vật đi qua \(A\) với tốc độ \(300\ m/\) giây và hướng tới \(B\). Sau 2 giây kể từ thời điểm ban đầu, vật đi được quãng đường 604 m. Gọi \(\overrightarrow{u} = (a;b;c)\) là vectơ cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow{AB}\). Biết rằng \(\left| \overrightarrow{u} \right| = 1\) và góc giữa vectơ \(\overrightarrow{u}\) lần lượt với các vectơ \(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\) có số đo tương ứng bằng \(60^{\circ},60^{\circ},45^{\circ}\).

Mệnh đề	Đúng	Sai
a) \(a = cos60^{\circ}\)	x
b) Phương trình đường thẳng là \(\frac{x - 5}{1} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z}{2}\).		x
c) \(\beta = 2\).	x
d) Giả sử sau 5 giây kể từ thời điểm ban đầu, vật đến điểm \(B\left( x_{B};y_{B};z_{B} \right)\). Khi đó \(x_{B} > 768\)		x

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

a) \(a = cos60^{\circ}\).

Vì góc giữa \(\overrightarrow{u};\overrightarrow{i}\) là \(60^{0}\) nên ta có: \(cos60^{0} = \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{i} \right) = \frac{a.1 + b.0 + c.0}{\left| \overrightarrow{u} \right|} = a\)

\(\Rightarrow a = cos60^{\circ} = \frac{1}{2}\)

Mệnh đề Đúng

b) Phương trình đường thẳng \(AB\) là \(\frac{x - 5}{1} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z}{2}\).

Ta có:

\(cos60^{0} = \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{j} \right) = \frac{a.0 + b.1 + c.0}{\left| \overrightarrow{u} \right|} = b\)

\(\Rightarrow b = cos60^{0} = \frac{1}{2}\)

\(cos45^{0} = \cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{k} \right) = \frac{a.0 + b.0 + c.1}{\left| \overrightarrow{u} \right|} = c\)

\(\Rightarrow c = cos40^{0} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Vậy \(\overrightarrow{u} = \left( \frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{\sqrt{2}}{2} \right)\)

Theo giả thiết \(\overrightarrow{u}\) là vecto cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow{AB}\) nên \(\overrightarrow{u}\) là VTCP của AB.

Vậy đường thẳng AB có \(A(5;5;0) \in AB\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{v} = 2\overrightarrow{u} = \left( 1;1;\sqrt{2} \right)\)

Nên phương trình chính tắc của đường thẳng AB là: \(\frac{x - 5}{1} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z}{\sqrt{2}}\)

Mệnh đề Sai

c) \(\beta = 2\).

Ở thời điểm ban đầu (t = 0) vật đi qua A và hướng tới B. Sau 2 giây kể từ thời điểm ban đầu, vật đi được quãng đường 604m.

Ta có

\(S_{1} = \int_{0}^{2}{v(t)dt} = \int_{0}^{2}{(2t + 300)dt} = 604\)

\(\Leftrightarrow \beta.\frac{2^{2}}{2} + 300.2 = 604 \Leftrightarrow \beta = 2\)

Mệnh đề Đúng

d) Giả sử sau 5 giây kể từ thời điểm ban đầu, vật đến điểm \(B\left( x_{B};y_{B};z_{B} \right)\). Khi đó \(x_{B} > 768\).

Sau 5 giây kể từ thời điểm ban đầu, vật đến B

Ta có: \(AB = S = \int_{0}^{5}{v(t)dt} = \int_{0}^{5}{(2t + 300)dt} = \left( t^{2} + 300 \right)|_{0}^{5} = 5^{2} + 300.5 = 1525\)

Thoe giả thiết \(\overrightarrow{u}\) là vectơ cùng hướng với \(\overrightarrow{AB}\) nên:

\(\overrightarrow{AB} = k.\overrightarrow{u}\left( k > 0;k = \frac{AB}{\left| \overrightarrow{u} \right|} = \frac{1525}{1} = 1525 \right)\)

\(\Rightarrow x_{B} - x_{A} = k.x_{\overrightarrow{u}} \Rightarrow x_{B} - 5 = \frac{1}{2}.1525\)

\(\Rightarrow x_{B}767,5 < 768\)

Mệnh đề Sai

Câu 4. Một phần mềm nhận dạng tin nhắn quảng cáo trên điện thoại bằng cách dựa theo từ khóa để đánh dấu một số tin nhắn được gửi đến. Qua một thời gian dài sử dụng, người ta thấy rằng trong số tất cả các tin nhắn gửi đến, có \(15\%\) số tin nhắn bị đánh dấu. Trong số các tin nhắn bị đánh dấu, có \(10\%\) số tin nhắn không phải là quảng cáo. Trong số các tin nhắn không bị đánh dấu, có \(5\%\) số tin nhắn là quảng cáo.

Chọn ngẫu nhiên một tin nhắn được gửi đến điện thoại.

Mệnh đề	Đúng	Sai
a) Xác suất để tin nhắn đó không bị đánh dấu bằng 0,85.	x
b) Xác suất để tin nhắn đó không phải là quảng cáo, biết rằng nó không bị đánh dấu, bằng 0,95.	x
c) Xác suất để tin nhắn đó không phải là quảng cáo bằng 0,85.		x
d) Xác suất để tin nhắn đó không bị đánh dấu, biết rằng nó không phải là quảng cáo, lớn hơn 0,95.	x

Hướng dẫn giải

Gọi A: “Tin nhắn bị đánh dấu”; B: “Tin nhắn là quảng cáo”

Theo đề bài ra ta có: \(P(A) = 0,15;P\left( \overline{B}|A \right) = 0,1;P\left( B|\overline{A} \right) = 0,05\)

Chọn ngẫu nhiên một tin nhắn được gửi đến điện thoại.

a) Xác suất để tin nhắn đó không bị đánh dấu bằng 0,85.

Xác suất để tin nhắn đó không bị đánh dấu là:

\(P\left( \overline{A} \right) = 1 - P(A) = 1 - 0,15 = 0,85\)

Mệnh đề Đúng

b) Xác suất để tin nhắn đó không phải là quảng cáo, biết rằng nó không bị đánh dấu, bằng 0,95.

Xác suất để tin nhắn không phải là quảng cáo, biết rằng nó không bị đánh dấu là:

\(P\left( \overline{B}|\overline{A} \right) = 1 - P\left( B|\overline{A} \right) = 1 - 0,05 = 0,95\)

Mệnh đề Đúng

c) Xác suất để tin nhắn đó không phải là quảng cáo bằng 0,85.

Xác suất để tin nhắn đó không phải là quảng cái là:

\(P\left( \overline{B} \right) = P(A).P\left( \overline{B}|A \right) + P\left( \overline{A} \right).P\left( \overline{B}|\overline{A} \right)\)

\(P\left( \overline{B} \right) = 0,15.0,1 + 0,85.0,05 = 0,8225\)

Mệnh đề Sai

d) Xác suất để tin nhắn đó không bị đánh dấu, biết rằng nó không phải là quảng cáo, lớn hơn 0,95.

Xác suất để tin nhắn đó không bị đánh dấu, biết rằng nó không phải là quảng cáo là:

\(P\left( \overline{A}|\overline{B} \right) = \frac{P\left( \overline{A} \right).P\left( \overline{B}|\overline{A} \right)}{P(B)} = \frac{0,85.0,95}{0,8225} = \frac{323}{329} \approx 0,98 > 0,95\)

Mệnh đề Đúng

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1. Bạn Nam tham gia cuộc thi giải một mật thư. Theo quy tắc của cuộc thi, người chơi cần chọn ra sáu số từ tập \(S = \left\{ 11;12;13;14;15;16;17;18;19 \right\}\) và xếp mỗi số vào đúng một vị trí trong sáu vị trí \(A,B,C,M,N,P\) như hình bên sao cho mỗi vị trí chỉ được xếp một số. Mật thư sẽ được giải nếu các bộ ba số xuất hiện ở những bộ ba vị trí \((A,M,B);(B,N,C);(C,P,A)\) tạo thành các cấp số cộng theo thứ tự đó. Bạn Nam chọn ngẫu nhiên sáu số trong tập \(S\) và xếp ngẫu nhiên vào các vị trí được yêu cầu. Gọi xác suất để bạn Nam giải được mật thư ở lần chọn và xếp đó là \(a\). Giá trị của \(\frac{1}{a}\) bằng bao nhiêu?

Trả lời: 1260

Hướng dẫn giải

Bộ ba số xuất hiện ở những bộ ba vị trí \((A,M,B);(B,N,C);(C,P,A)\) tạo thành các cấp số cộng theo thứ tự đó thì: \(\left\{ \begin{matrix} 2M = A + B \\ 2N = B + C \\ 2P = A + C \\ \end{matrix} \right.\). Khi đó \(A;B;C\) phải là cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Các trường hợp không hợp lệ:

Nếu \(\left\{ A;B;C \right\}\) là một cấp số cộng (giả sử A = x; B = x + d; C = x+ 2d) thì d phải là số chẵn để \(A;B;C\) cùng tính chẵn lẻ. Khi đó \(M = x + \frac{d}{2};N = x + \frac{3d}{2};P = x + d\).

Giá trị \(P = x + d\) trùng với \(B = x + d\). Vì 6 số được sắp xếp phải dôi một khác nhau nên mọi bộ \(\left\{ A;B;C \right\}\) là cấp số cộng sẽ không hợp lệ.

Số cách chọn 6 bộ từ 9 số và xếp là: \(n(\Omega) = A_{9}^{6} = 60480\)

Trường hợp 1: \(A;B;C\) đều chẵn:

Số cách chọn 3 số chẵn \(C_{4}^{3} = 4\)

Các bộ 3 số chẵn là cấp số cộng: \(\left\{ 12;14;16 \right\},\left\{ 14;16;18 \right\}\) hai bộ này không hợp lệ

Vậy số bộ 3 hợp lệ là 4 – 2 = 2

Số trường hợp thuận lợi khi \(A;B;C\) đều chẵn là \(2.3! = 12\)

Trường hợp 2: \(A;B;C\) đều lẻ

Số cách chọn 3 số lẻ: \(C_{5}^{3} = 10\)

Các bộ 3 số lẻ là cấp số cộng có \(\left\{ 11;13;15 \right\},\left\{ 13;15;17 \right\},\left\{ 15;17;19 \right\},\left\{ 11;15;19 \right\}\) các bộ số này không hợp lệ

Số bộ 3 số lẻ hợp lệ là: 10 – 4 = 6

Số trường hợp thuận lợi khi \(A;B;C\) đều lẻ là: \(6.3! = 36\)

Cả hai trường hợp có số kết quả thuận lợi là: \(n(A) = 12 + 36 = 48\)

Xác suất cần tìm là: \(a = \frac{48}{60840} = \frac{1}{1260} \Rightarrow \frac{1}{a} = 1260\)

Câu 2. Nếu một doanh nghiệp sản xuất \(x\) sản phẩm trong một tháng \(\left( x \in \mathbb{N}^{*};1 \leq x \leq 4500 \right)\) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là \(F(x) = - 0,01x^{2} + 300x\) (nghìn đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho mỗi sản phẩm là \(G(x) = \frac{30000}{x} + 200\) (nghìn đồng). Giả sử số sản phẩm sản xuất ra luôn được bán hết. Trong một tháng, doanh nghiệp đó cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được lớn hơn 100 triệu đồng?

Trả lời: 1536

Hướng dẫn giải

Tổng chi phí sản xuất x sản phẩm là: \(C(x) = x.G(x) = x\left( \frac{30000}{x} + 200 \right) = 30000 + 200x\)

Lợi nhuận P(x) thu được khi bán x sản phẩm là:

\(P(x) = F(x) - C(x) = - 0,01x^{2} + 100x - 30000\)

Để lợi nhuận lớn hơn 100 triệu đồng thì \(P(x) > 100000\)

\(\Leftrightarrow - 0,01x^{2} + 100x - 130000 > 0\)

\(\Leftrightarrow 1535,9 < x < 8464,1\)

Kết hợp điều kiện \(x \in \mathbb{N}^{*};1 \leq x \leq 4500\)

Vậy doanh nghiệp cần phải sản xuất ít nhất 1536 sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn hơn 100 triệu đồng.

\(\Rightarrow 1536 \leq x \leq 4500\)

Câu 3. Để gây quỹ từ thiện, câu lạc bộ thiện nguyện của một trường THPT tổ chức hoạt động bán hàng với hai mặt hàng là nước chanh và khoai chiên. Câu lạc bộ thiết kế hai thực đơn. Thực đơn 1 có giá 30 nghìn đồng, bao gồm hai cốc nước chanh và một túi khoai chiên. Thực đơn 2 có giá 50 nghìn đồng, bao gồm ba cốc nước chanh và hai túi khoai chiên. Biết rằng câu lạc bộ chỉ làm được không quá 165 cốc nước chanh và 100 túi khoai chiên. Số tiền lớn nhất mà câu lạc bộ có thể nhận được sau khi bán hết hàng bằng bao nhiêu nghìn đồng?

Trả lời: 2650

Hướng dẫn giải:

Gọi \(x;y\mathbb{\in Z};x \geq 0;y \geq 0\) lần lượt là số thực đơn 1 và số thực đơn 2 câu lạc bộ bán được:

Số tiền thu được là: \(F(x;y) = 30x + 50y\) (nghìn đồng)

Theo bài ra ta có: x; y thỏa mãn hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{matrix} x;y\mathbb{\in Z};x \geq 0;y \geq 0 \\ 2x + 3y \leq 165 \\ x + 2y \leq 100 \\ \end{matrix} \right.\)

Hệ có miền nghiệm là miền tứ giác OABC như hình vẽ:

Với các điểm cực biên \(O(0;0);A(82,5;0);B(30;35);C(0;50)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{matrix} F(0;0) = 0 \\ F(82,5;0) = 2475 \\ F(30;35) = 2650 \\ F(0;50) = 2500 \\ \end{matrix} \right.\)

Số tiền lớn nhất mà cậu lạc bộ có thể nhận được sau khi bán hết hàng là 2650 nghìn đồng.

Câu 4. Cho hình chóp\(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi với \(\widehat{ABC} = 60^{\circ}\) và \(AB = 2\). Biết rằng hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt phẳng \((ABCD)\) là trọng tâm \(H\) của tam giác \(ABC\) và \(SH = \sqrt{3}\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(SD\) bằng bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

Trả lời: 1,04

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Gọi O là tâm hình thoi ABCD, K nằm trên đoạn SH sao cho \(HK = \frac{1}{4}SH = \frac{\sqrt{3}}{4}\)

Ta có: \(SD//OK \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} SD//(ACK) \\ AC \subset (ACK) \\ \end{matrix} \right.\)

\(\Rightarrow d(SA;AC) = d\left( SD;(ACK) \right) = d\left( S;(ACK) \right) = 3d\left( H;(ACK) \right)\)

Kẻ HI vuông góc với OK; I thuộc OK)

\(\Rightarrow HI\bot(ACK) \Rightarrow d\left( H;(ACK) \right) = HI\)

Tam giác ABC đều nên ta có: \(BO = \frac{AB\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3};HO = \frac{1}{3}BO = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(HI = \frac{HK.HO}{\sqrt{HK^{2} + HO^{2}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4}.\frac{\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{\frac{3}{16} + \frac{3}{9}}} = \frac{\sqrt{3}}{5}\)

\(\Rightarrow d(SD;AC) = \frac{3\sqrt{3}}{5} \approx 1,04\)

Câu 5. Có bốn ngăn (trong một giá để sách) được đánh số thứ tự \(1,2,3,4\) và bảy quyển sách khác nhau. Bạn An xếp hết bảy quyển sách nói trên vào bốn ngăn đó sao cho mỗi ngăn có ít nhất một quyển sách và các quyển sách được xếp thẳng đứng thành một hàng ngang với gáy sách quay ra ngoài ở mỗi ngăn. Khi đã xếp xong bảy quyển sách, hai cách xếp của bạn An được gọi là giống nhau nếu chúng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau đây:

+ Với từng ngăn, số lượng quyển sách ở ngăn đó là như nhau trong cả hai cách xếp;

+ Với từng ngăn, thứ tự từ trái sang phải của các quyển sách được xếp là như nhau trong cả hai cách xếp.

Gọi \(T\) là số cách xếp đôi một khác nhau của bạn An. Giá trị của \(\frac{T}{100}\) bằng bao nhiêu?

Trả lời: 1008

Hướng dẫn giải

Giả sử giá để sách chưa có vách ngăn, số cách sắp xếp 7 quyển sách là 7! cách.

Vì giá để sách có bốn ngăn và mỗi ngăn phải có ít nhất một quyển sách, nên ta cần 3 vách ngăn.

Giữa các quyển sách có 6 khoảng trống để xếp 3 vách ngăn. Do đó số cách xếp 3 vách ngăn vào 6 khoảng trống là: \(C_{6}^{3}\) cách.

Vậy số cách xếp thảo mãn yêu cầu bài toán là: \(T = 7!.C_{6}^{3} = 100800\) (cách)

Suy ra \(\frac{T}{100} = \frac{100800}{100} = 1008\)

Câu 6. Để đặt được một vật trang trí trên mặt bàn, người ta thiết kế một chân đế như sau. Lấy một khối gỗ có dạng khối chóp cụt tứ giác đều với độ dài hai cạnh đáy lần lượt bằng \(7,4\ cm\) và \(10,4\ cm\), bề dày của khối gỗ bằng \(1,5\ cm\). Sau đó khoét bỏ đi một phần của khối gỗ sao cho phần đó có dạng vật thể \(H\), ở đó \(H\) nhận được bằng cách cắt khối cầu bán kính \(5,8\ cm\) bởi một mặt phẳng cắt mà mặt cắt là hình tròn bán kính \(3,5\ cm\) (xem hình dưới).

Thể tích của khối chân đế bằng bao nhiêu centimét khối (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười)?

Trả lời: 96,5

Hướng dẫn giải

Thể tích khối gỗ:

\(\frac{1,5}{3}.\left( 7,4^{2} + 10,4^{2} + \sqrt{7,4^{2}.10,4^{2}} \right) = 119,94\left( cm^{3} \right)\)

Gọi I là tâm đường tròn mặt cắt và M là một điểm trên đường tròn này

\(OI = \sqrt{OM^{2} - MI^{2}} = \sqrt{5,8^{2} - 3,5^{2}} = \sqrt{21,39}\)

Mặt phẳng (Oxy) cắt mặt cầu theo đường tròn tâm O bán kính 5,8cm nên đường tròn này có phương trình là: \(x^{2} + y^{2} = 5,8^{2} \Rightarrow y^{2} = 5,8^{2} - x^{2} = 33,64 - x^{2}\)

Thể tích hình (H) là:

\(\pi\int_{\sqrt{21,39}}^{5,8}{\left( - x^{2} + 33,64 \right)dx} = \left. \ \left( - \frac{1}{3}x^{2} + 33,64x \right) \right|_{\sqrt{21,39}}^{5,8}\)

\(= \pi\left\lbrack - \frac{1}{3}\left( 5,8^{3} - {\sqrt{21,39}}^{3} \right) + 33,64.(5,8 - 21,39) \right\rbrack\)

Thể tích chân đế là:

\(119,94 - \pi\left\lbrack - \frac{1}{3}\left( 5,8^{3} - {\sqrt{21,39}}^{3} \right) + 33,64.(5,8 - 21,39) \right\rbrack \approx 96,5\left( cm^{3} \right)\)

------------------ HẾT ------------------

Hy vọng với hướng dẫn giải chi tiết đề thi THPT Quốc gia môn Toán 2025 trên đây, bạn đã có thêm nhiều kinh nghiệm và chiến lược hiệu quả để chinh phục đề thi. Đừng quên luyện tập thường xuyên, ôn lại các dạng bài trọng tâm và cập nhật các đề thi thử mới nhất để chuẩn bị thật tốt cho kỳ thi sắp tới. Chúc bạn ôn thi hiệu quả và đạt điểm tuyệt đối môn Toán!