Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Toán 12 Thi Tốt Nghiệp THPT

Công thức tính lãi suất

Bài toán lãi suất Toán 12
Lớp: Lớp 12
Môn: Toán
Loại File: Word + PDF
Phân loại: Tài liệu Tính phí

Công thức lãi suất

Trong chương trình Toán 12, đặc biệt ở phần Giải tích, bài toán lãi suất là một trong những ứng dụng thực tế quan trọng và thú vị nhất. Không chỉ giúp học sinh hiểu rõ hơn về bản chất của lãi suất đơn, lãi suất kép mà còn trang bị kiến thức hữu ích cho cuộc sống sau này. Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn bạn chi tiết công thức tính lãi suất, cách áp dụng vào bài tập và phân tích các ví dụ minh họa giúp bạn nắm chắc kiến thức để tự tin vượt qua kỳ thi THPT Quốc gia.

1. Công thức lãi đơn

- Lãi đơn: là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hàn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn tiếp theo cho dù đến kì hạn người gửi không đến gửi tiền ra.

- Công thức tính lãi đơn: Khách hàng gửi vào ngân hàng M đồng với lãi suất đơn a%/kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n,\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right) kì hạn là:

S=M\left( 1+n.a \right)

2. Công thức lãi kép

- Lãi kép: là tiền lại của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn tiếp theo

- Công thức tính lãi kép: Khách hàng gửi vào ngân hàng M đồng với lãi suất kép a%/kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n,\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right) kì hạn là:

S=M{{\left( 1+a \right)}^{n}}

3. Tiền gửi vào ngân hàng

- Mỗi tháng gửi cùng một số tiền vào một thời gian cố định

- Công thức tính gốc lãi trả đều hàng tháng: Khách hàng gửi vào ngân hàng M đồng với lãi suất kép a%/tháng thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n,\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right) tháng là:

S=\frac{M}{a}\left[ {{\left( 1+a \right)}^{n}}-1 \right]\left( 1+a \right)

4. Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng

- Công thức tính lãi ngân hàng: Gửi vào ngân hàng số tiền M đồng với lãi suất hàng tháng là a%, mỗi tháng rút ra m đồng vào ngày ngân hàng tính lãi. Hỏi sau n tháng, số tiền còn lại là bao nhiêu?

S=M{{\left( 1+a \right)}^{n}}-m.\frac{{{\left( 1+a \right)}^{n}}-1}{a}

5. Bài toán vay vốn trả góp

- Công thức tính: Vay M đồng với lãi suất a%/tháng. Hỏi hàng tháng phải trả bao nhiêu tiền để sau n tháng thì hết nợ?

- Giả sử số tiền hàng tháng phải trả là: T (đồng)

- Ta có công thức sau:

T=\frac{M.a{{\left( 1+a \right)}^{n}}}{{{\left( 1+a \right)}^{n}}-1}

6. Bài toán tăng lương

- Một người được lĩnh lương khởi điểm là K đồng/tháng. Cứ sau n tháng thì người đó được tăng thêm a%/lần. Hỏi sau x tháng thì người đó lĩnh được bao nhiêu tiền?

- Công thức tính lương: S=K.\frac{x}{n}.\frac{{{\left( 1+a \right)}^{\frac{x}{n}}}}{a}

7. Bài toán rút sổ tiết kiệm theo định kỳ

Một người gửi vào sổ tiết kiệm ngân hàng số tiền N đồng Lãi suất r%/tháng. Nếu mỗi tháng người đó rút ra một số tiền như nhau là A đồng vào ngày ngân hàng trả lãi thì hàng tháng anh ta rút ra bao nhiêu tiền (làm tròn đến 1000 đồng) để sau đúng n năm sẽ vừa hết số tiền cả vốn lẫn lãi?

Sau tháng thứ n số tiền trong sổ anh ta vừa hết số tiền ta có công thức như sau:

Công thức tính lãi suất

Thực chất bài toán này giống như bài toán vay trả góp, trong toán vay trả góp thì người vay nợ ngân hàng, còn trong bài toán rút tiền này thì ngân hàng nợ người vay => bản chất không có gì khác

8. Bài toán tăng trưởng dân số

Công thức tính: S = A.en.r

Dân số ban đầu là A.

n: sau n thời gian

r: Tỉ lệ tăng

S: Tổng số dân số sau n năm

Ví dụ: Sự tăng trưởng dân số được ước tính theo công thức tăng trưởng mũ. Biết rằng tỉ lệ tăng dân số thế giới hàng năm là 1,32%, năm 2013 dân số thế giới vào khoảng 7095 triệu người. Dự đoán dân số năm 2020?

Theo công thức tăng trưởng mũ thì dự đoán dân số năm 2020 là S = 7095.e7.0,0132 ≈ 7781 triệu.

9. Khái niệm lãi suất

Trong nền kinh tế thị trường, lãi suất là một trong những biến số kinh tế vĩ mô được quan tâm và theo dõi chặt chẽ. Trong kinh doanh, hiện tượng thừa thiếu vốn tạm thời thường xuyên xảy ra đối với các chủ thể kinh tế. Với tư cách trung gian tài chính, hệ thống ngân hàng và các tổ chức tín dụng ra đời thu hút mọi khoản tiền nhàn rỗi, cung ứng cho nền kinh tế dưới nhiều hình thức, đẩy mạnh quá trình vận động, luân chuyển của đồng tiền, góp phần điều hoà và phân bổ hợp lý nguồn vốn trong nền kinh tế.

Khi nghiên cứu về tư bản, Mác đã kết luận: Lãi suất cũng là phần giá trị thặng dư được tạo ra do kết quả bóc lột lao động làm thuê và bị bọn tư bản - chủ ngân hàng chiếm đoạt. Vì thế, lãi suất là giá cả của một số tiền vay.

Lý thuyết chung về việc làm, lãi suất và tiền tệ của Keynes lại cho rằng: Lãi suất chính là sự trả công cho số tiền vay, là phần thưởng cho "sở thích chi tiêu tư bản ". Lãi suất do đó còn được gọi là công trả cho sự chia li với của cải tiền tệ.

Còn Samuelson, đại diện cho trường phái trọng tiền đứng trên giác độ chi phí, coi lãi suất là chi phí cơ hội của việc giữ tiền.

Cho dù lãi suất được hiểu theo khái niệm nào thì về bản chất, lãi suất là tỷ lệ % của phần tăng thêm so với phần vốn vay ban đầu, là giá cả của quyền được sử dụng vốn vay trong một thời gian nhất định mà người sử dụng trả cho người sở hữu nó.

9. Bài toán lãi suất và tăng trưởng

Bài 1. Chú Việt gửi vào ngân hàng 10 triệu đồng với lãi suất 5%/năm. Tiền lãi năm trước được cộng dồn vào tiền gốc để tính tiền lãi năm sau. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì chú Việt thu được gấp đôi số tiền đã gửi?

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức: n = log_{(1 + r)}\left( \frac{S_{n}}{A} \right)

Trong đó: A = 10,r = 5;S_{n} = 20

Ta được: 14,20669908.

Bài 2. Chú Tư gửi vào ngân hàng 50 triệu đồng với lãi suất 0,6%/tháng. Sau mỗi tháng, chú Tư đến ngân hàng rút mỗi tháng 3 triệu đồng để chi tiêu cho đến khi hết tiền thì thôi. Sau một số tròn tháng thì chú Tư rút hết tiền cả gốc lẫn lãi. Biết trong suốt thời gian đó, ngoài số tiền rút mỗi tháng chú Tư không rút thêm một đồng nào kể cả gốc lẫn lãi và lãi suất không đổi. Vậy tháng cuối cùng chú Tư sẽ rút được số tiền là bao nhiêu (làm tròn đến đồng)?

A. 1840270 đồng. B. 3000000 đồng. C. 18 4 0 2 6 9 đồng. D. 1840268 đồng.

Hướng dẫn giải

Cách 1. Làm theo hướng tự luận

Áp dụng công thức tính số tiền còn lại sau n tháng \boxed{S_{n} = A(1 + r)^{n} - X\frac{(1 + r)^{n} - 1}{r}}

Với A = 50 triệu đồng, r = 0,6 và X = 3 triệu đồng ta được S_{n} = 50.1,006^{n} - 3.\frac{1,006^{n} - 1}{0,006}.

Để rút hết số tiền thì ta tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho S_{n} < 0 \Leftrightarrow 50.1,006^{n} - 3.\frac{1,006^{n} - 1}{0,006}\Leftrightarrow 500 - 450.1,006^{n} < 0 \Leftrightarrow n > log_{1,006}\frac{500}{450} \Rightarrow n = 18

Khi đó số tiền tháng cuối cùng mà chú Tư rút là

S_{17}.1,006 = \left\lbrack 5 0.1,00 6^{17}- 3.\dfrac{1, 006^{17} - 1}{0,006} \right\rbrack. 1,006 \approx 1,84026 9833 triệu đồng \approx 184 0 2 7 0 đồng

Cách 2. Làm theo hướng trắc nghiệm

Nhập lên màn hình máy tính 50.1,006^{X} - 3.\frac{1,006^{X} - 1}{0,006}, tính giá trị chạy từ 10 đến 20 với step bằng 1 ta được bằng giá trị tương ứng và số tiền còn lại nhơ hơn 3 ứng với X = 17.

Từ đó tính được số tiền rút ra ở tháng cuối cùng là S_{17}.1,006 = \left\lbrack 50.1,006^{17} - 3.\frac{1,006^{17} - 1}{0,006} \right\rbrack.1,006 \approx 1,840269833 triệu đồng

Bài 3. Ông Năm gửi 320 triệu đồng ở hai ngân hàng X và Y theo phương thức lãi kép. Số tiền thứ nhất gửi ở ngân hàng X với lãi suất 2,1\% một quý trong thời gian 15 tháng. Số tiền còn lại gửi ở ngân hàng Y với lãi suất 0,73\% một tháng trong thời gian 9 tháng. Tổng lợi tức đạt được ở hai ngân hàng là 27\ 507\ 768,13 (chưa làm tròn). Hỏi số tiền ông Năm lần lượt gửi ở ngân hàng X và Y là bao nhiêu?

A.140 triệu và 180 triệu. B.180 triệu và 140 triệu.

C. 200 triệu và 120 triệu. D. 120 triệu và 200 triệu.

Hướng dẫn giải

Tổng số tiền cả vốn và lãi (lãi chính là lợi tức) ông Năm nhận được từ cả hai ngân hàng là 347\ ,507\ 76813 triệu đồng.

Gọi x (triệu đồng) là số tiền gửi ở ngân hàng X, khi đó 320 - x (triệu đồng) là số tiền gửi ở ngân hàng Y.

Theo giả thiết ta có:

x(1 + 0,021)^{5} + (320 - x)(1 + 0,0073)^{9} = 347,\ 507\ 76813

Ta được x = 140. Vậy ông Năm gửi 140 triệu ở ngân hàng X và 180 triệu ở ngân hàng Y.

Đáp án: A.

Bài 4. Anh Bình vay ngân hàng 2 tỷ đồng để xây nhà và trả dần mỗi năm 500 triệu đồng. Kỳ trả đầu tiên là sau khi nhận vốn với lãi suất trả chậm 9\% một năm. Hỏi sau mấy năm anh Bình mới trả hết nợ đã vay?

Hướng dẫn giải

Kỳ trả nợ đầu tiên là sau khi nhận vốn nên đây là bài toán vay vốn trả góp đầu kỳ.

Gọi A là số tiền vay ngân hàng, B là số tiền trả trong mỗi chu kỳ, d = r\% là lãi suất trả chậm (tức là lãi suất cho số tiền còn nợ ngân hàng) trên một chu kỳ, n là số kỳ trả nợ.

Số tiền còn nợ ngân hàng (tính cả lãi) trong từng chu kỳ như sau:

+ Đầu kỳ thứ nhất là A - B.

+ Đầu kỳ thứ hai là (A - B)(1 + d) - B = A(1 + d) - B\left\lbrack (1 + d) + 1 \right\rbrack.

+ Đầu kỳ thứ ba là \left\lbrack A(1 + d) - B\left( (1 + d) + 1 \right) \right\rbrack(1 + d) - B = A(1 + d)^{2} - B\left\lbrack (1 + d)^{2} + (1 + d) + 1 \right\rbrack.

……

+ Theo giả thiết quy nạp, đầu kỳ thứ n là A(1 + d)^{n - 1} - B\left\lbrack (1 + d)^{n - 1} + ... + (1 + d) + 1 \right\rbrack = A(1 + d)^{n - 1} - B\frac{(1 + d)^{n} - 1}{d}

Vậy số tiền còn nợ (tính cả lãi) sau n chu kỳ là A(1 + d)^{n - 1} - B\frac{(1 + d)^{n} - 1}{d}.

Trở lại bài toán, để sau n năm (chu kỳ ở đây ứng với một năm) anh Bình trả hết nợ thì ta có

A(1 + d)^{n - 1} - B\frac{(1 + d)^{n} - 1}{d} = 0 \Leftrightarrow 2.1,09^{n - 1} - 0,5.\frac{1,09^{n} - 1}{0,09} = 0 \Leftrightarrow n \approx 4,7.

Vậy phải sau 5 năm anh Bình mới trả hết nợ đã vay.

Bài 5. Lãi suất tiền gửi tiết kiệm của một số ngân hàng hiện nay là 8,2\% một năm đối với kỳ hạn một năm. Để khuyến mãi, ngân hàng A đưa ra dịch vụ mới như sau: nếu khách hàng gửi tiết kiệm năm đầu thì lãi suất là 8,2\% một năm; sau đó, lãi suất năm sau hơn lãi suất năm trước đó là 0,12\%. Hỏi nếu gửi 1,5 triệu đồng theo dịch vụ đó thì sau 7 năm số tiền sẽ nhận được cả gốc và lãi là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng đơn vị)

Hướng dẫn giải

Ta nhập vào MTCT như sau:

Thiết lập:1500000\boxed{SHIFT}\boxed{RCL}A, 0,082\boxed{SHIFT}\boxed{RCL}B; 0\boxed{SHIFT}\boxed{RCL}D(biến đếm).

Phép lặp: D = D + 1:A = A \times (1 + B):B = B + 0,0012.

Bấm CALC = = =…, đến khi D = 7 ta được A = 2\ 665\ 463,087.

Bài 6. Theo chính sách tín dụng của chính phủ hỗ trợ sinh viên vay vốn trang trải học tập: mỗi sinh viên được vay tối đa 900\ 000 đồng/ tháng (9 triệu/ năm học), với lãi suất 0,45\% một tháng. Mỗi năm lập thủ tục vay 2 lần ứng với 2 học kỳ và được nhận tiền vay đầu mỗi học kỳ (mỗi lần nhận tiền vay là 4,5 triệu). Giả sử sinh viên A trong thời gian học đại học 5 năm vay tối đa theo chính sách thì tổng sợ tiền nợ bao gồm cả lãi là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng đơn vị)

A. 52\ 343\ 156 B. 52\ 343\ 155 C.46\ 128\ 921 D. 96\ 128\ 922

Hướng dẫn giải

Sau 5 năm học đại học tức là 10 học kỳ, ta nhập vào MTCT như sau:

Thiết lập:0\boxed{SHIFT}\boxed{RCL}A, 0\boxed{SHIFT}\boxed{RCL}D(biến đếm).

Phép lặp: D = D + 1:A = (A + 4500000) \times 1,0045^{6}.

Bấm CALC = = =…, đến khi D = 10 ta được A = 52\ 343\ 155,61

Bài 7: Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng khoảng tiền cố định với lãi suất 0.6%/tháng và lãi suất hàng tháng được nhập vào vốn. Hỏi sau bao lâu thì người đó thu được số tiền gấp hơn ba ban đầu?

A. 184 tháng B. 183 tháng C. 186 tháng D. 185 tháng

Hướng dẫn giải

T_{n} = 3T_{0} \Leftrightarrow 3T_{0} = T_{0}(1 + r)^{n} \Leftrightarrow n = log_{(1 + r)}3

Bài 8: Một người vay ngân hàng số tiền 350 triệu đồng, mỗi tháng trả góp 8 triệu đồng và lãi suất cho số tiền chưa trả là 0,79\% một tháng. Kỳ trả đầu tiên là cuối tháng thứ nhất. Hỏi số tiền phải trả ở kỳ cuối là bao nhiêu để người này hết nợ ngân hàng? (làm tròn đến hàng nghìn)

A. 2\ 921\ 000. B. 7\ 084\ 000. C. 2\ 944\ 000. D. 7\ 140\ 000.

Hướng dẫn giải

Kỳ trả đầu tiên là cuối tháng thứ nhất nên đây là bài toán vay vốn trả góp cuối kỳ.

Gọi A là số tiền vay ngân hàng, B là số tiền trả trong mỗi chu kỳ, d = r\% là lãi suất cho số tiền chưa trả trên một chu kỳ, n là số kỳ trả nợ.

Số tiền còn nợ ngân hàng (tính cả lãi) trong từng chu kỳ như sau:

+ Đầu kỳ thứ nhất là A.

+ Cuối kỳ thứ nhất là A(1 + d) - B.

+ Cuối kỳ thứ hai là \left( A(1 + d) - B \right)(1 + d) - B = A(1 + d)^{2} - B\left\lbrack (1 + d) + 1 \right\rbrack.

+ Cuối kỳ thứ ba là

\left\lbrack A(1 + d)^{2} - B\left( (1 + d) + 1 \right) \right\rbrack(1 + d) - B= A(1 + d)^{3} - B\left\lbrack (1 + d)^{2} + (1 + d) + 1 \right\rbrack.

……

+ Theo giả thiết quy nạp, cuối kỳ thứ n là

A(1 + d)^{n} - B\left\lbrack (1 + d)^{n - 1} + ... + (1 + d) + 1 \right\rbrack= A(1 + d)^{n} - B\frac{(1 + d)^{n} - 1}{d}

Vậy số tiền còn nợ (tính cả lãi) sau n chu kỳ là A(1 + d)^{n} - B\frac{(1 + d)^{n} - 1}{d}.

Trở lại bài toán, gọi n (tháng) là số kỳ trả hết nợ.

Khi đó, ta có:

A(1 + d)^{n} - B\frac{(1 + d)^{n} - 1}{d} = 0

\Leftrightarrow 350.1,0079^{n} - 8.\frac{1,0079^{n} - 1}{0,0079} = 0 \Leftrightarrow n \approx 53,9.

Tức là phải mất 54 tháng người này mới trả hết nợ.

Cuối tháng thứ 53, số tiền còn nợ (tính cả lãi) là S_{53} = 350.1,0079^{53} - 8.\frac{1,0079^{53} - 1}{0,0079} (triệu đồng).

Kỳ trả nợ tiếp theo là cuối tháng thứ 54, khi đó phải trả số tiền S_{53} và lãi của số tiền này nữa là:

S_{53} + 0,0079.S_{53} = S_{53}.1,0079 \approx 7,139832 (triệu đồng).

Bài 9: Trong một phòng khoảng cách hai bức tường là L và chiều cao tường là H có Bài 9: Lãi suất của tiền gửi tiết kiệm của một số ngân hàng thời gian vừa qua liên tục thay đổi. Bạn Châu gửi số tiền ban đầu là 5 triệu đồng với lãi suất 0,7% tháng chưa đầy một năm, thì lãi suất tăng lên 1,15% tháng trong nửa năm tiếp theo và bạn Châu tiếp tục gửi; sau nửa năm đó lãi suất giảm xuống còn 0,9% tháng, bạn Châu tiếp tục gửi thêm một số tháng tròn nữa, khi rút tiền bạn Châu được cả vốn lẫn lãi là 5 747 478,359 đồng (chưa làm tròn). Hỏi bạn Châu đã gửi tiền tiết kiệm trong bao nhiêu tháng?

Hướng dẫn giải

Gọi X,Y \left( X,Y \in \mathbb{Z}^{+}:X,Y \leq 12 \right) lần lượt là số tháng bạn Châu đã gửi với lãi suất 0,7%/tháng và 0,9%/tháng thì ta có

\ \ \ \ \ 5.10^{6}.1,007^{X}.1,0115^{6}.1,009^{Y} = 5747478,359

\Leftrightarrow 1,009^{Y} = \frac{5747478,359}{5.10^{6}.1,007^{X}.1,0115^{6}}

\Leftrightarrow Y = log_{1,009}\frac{5747478,359}{5.10^{6}.1,007^{X}.1,0115^{6}}

Nhập vào máy tính \boxed{Mode}\boxed{7} nhập hàm số f(X) = log_{1,009}\frac{5747478,359}{5.10^{6}.1,007^{X}.1,0115^{6}}, cho giá trị X chạy từ 1 đến 10 với STEP 1. Nhìn vào bảng kết quả ta được cặp số nguyên là X = 5;Y = 4.

Vậy bạn Châu đã gửi tiền tiết kiệm trong 5 + 6 + 4 = 15 tháng.

Bài 10: Đầu mỗi tháng anh Thắng gửi vào ngân hàng số tiền 3 triệu đồng với lãi suất 0,6%/tháng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng (khi ngân hàng đã tính lãi) thì anh Thắng được số tiền cả gốc lẫn lãi từ 100 triệu trở lên?

Hướng dẫn giải

n = log_{1,006}\left( \frac{100.0,006}{3.1,006} + 1 \right) \approx 30,31174423

Vậy anh Thắng phải gửi ít nhất là 31 tháng mới được số tiền cả gốc lẫn lãi từ 100 triệu trở lên.

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Mua ngay
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
30 lượt tải tài liệu
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
17
136.591 Bài viết đã được lưu
Mục lục

Có thể bạn quan tâm

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này