Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R

Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R được VnDoc.com sưu tầm và xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.

Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

I. Phương pháp giải bài toán tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)

- Định lí: Cho hàm số _{\(y=f\left( x \right)\)} có đạo hàm trên khoảng _{\(\left( a,b \right):\)}

+ Hàm số _{\(y=f\left( x \right)\)} đồng biến trên khoảng \(\left( a,b \right)\) khi và chỉ khi _{\(f'\left( x \right)\ge 0\)} với mọi giá trị x thuộc khoảng _{\(\left( a,b \right)\)}. Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

+ Hàm số \(y=f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( a,b \right)\) khi và chỉ khi _{\(f'\left( x \right)\le 0\)} với mọi giá trị x thuộc khoảng _{\(\left( a,b \right)\)}. Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

- Để giải bài toán này trước tiên chúng ta cần biết rằng điều kiện để hàm số y=f(x) đồng biến trên R thì điều kiện trước tiên hàm số phải xác định trên \(\mathbb{R}\).

+ Giả sử hàm số y=f(x) xác định và liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Khi đó hàm số y=f(x) đơn điệu trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi thỏa mãn hai điều kiện sau:

• Hàm số y=f(x) xác định trên \(\mathbb{R}\).
• Hàm số y=f(x) có đạo hàm không đổi dấu trên \(\mathbb{R}\).

+ Đối với hàm số đa thức bậc nhất:

• Hàm số y = ax + b _{\((a \ne 0)\)} đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi a > 0.
• Hàm số y = ax + b \((a \ne 0)\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi a < 0.

- Đây là dạng bài toán thường gặp đối với hàm số đa thức bậc 3. Nên ta sẽ áp dụng như sau:

Xét hàm số \(y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\Rightarrow y'=3a{{x}^{2}}+2bx+c\) TH1: \(a=0\) (nếu có tham số) TH2: \(a\ne 0\) + Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a>0 \\ \Delta \le 0 \\ \end{matrix} \right.\) + Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a<0 \\ \Delta \le 0 \\ \end{matrix} \right.\)

Chú ý: Hàm số đa thức bậc chẵn không thể đơn điệu trên R được.

- Các bước tìm điều kiện của m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)

Bước 1. Tìm tập xác định \(\mathbb{R}\).
Bước 2. Tính đạo hàm y’ = f’(x).
Bước 3. Biện luận giá trị m theo bảng quy tắc.
Bước 4. Kết luận giá trị m thỏa mãn.

II. Ví dụ minh họa tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên _{\(\mathbb{R}\)}

Ví dụ 1: Cho hàm số \(y=-\frac{1}{3}{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+\left( 3m-2 \right)x+1\). Tìm tất cả giá trị của m để hàm số nghịch biến trên _{\(\mathbb{R}.\)}

\(A. \left( -2,-1 \right)\)	\(B. \left[ -2,-1 \right]\)
\(C.\left( -\infty ,-2 \right)\cup \left( -1,+\infty \right)\)	\(D. \left( -\infty ,-2 \right]\cup \left[ -1,+\infty \right)\)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(y'=-{{x}^{2}}+2mx+3m-2\)

Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a<0 \\ \Delta \le 0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} -1<0 \\ 4{{m}^{2}}-4\left( 3m-2 \right)\le 0 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow {{m}^{2}}-3m+2\le 0 \right.\Leftrightarrow m\in \left[ -2,-1 \right]\)

Đáp án B

Ví dụ 2: Cho hàm số _{\(y=\frac{1}{3}\left( m-1 \right){{x}^{3}}-\left( m-1 \right){{x}^{2}}-x+1\)}. Tìm m để hàm số nghịch biến trên _{\(\mathbb{R}\)}.

\(A. -3\le m\le 1\)	\(B. 0\le m\le 1\)
\(C.\left( 0,1 \right]\)	\(D. \left[ 0,1 \right)\)

Hướng dẫn giải

Ta có: _{\(y'=\left( m-1 \right){{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x-1\)}

TH1: _{\(m-1=0\Rightarrow m=1\Rightarrow y'=-1<0\)}. Hàm số nghịch biến trên _{\(\mathbb{R}\)}

TH2: _{\(m\ne 1\)}. Hàm số nghịch biến trên _{\(\mathbb{R}\)} khi:

\(\left\{ \begin{matrix} a<0 \\ \Delta '\le 0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m<1 \\ {{\left( m-1 \right)}^{2}}+\left( m-1 \right)\le 0 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m<1 \\ {{m}^{2}}-m\le 0 \\ \end{matrix} \right. \right.\Leftrightarrow m\in \left[ 0,1 \right)\)

Đáp án D

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số _{\(y={{x}^{3}}+2\left( m+1 \right){{x}^{2}}-3mx+5m-2\)} đồng biến trên _{\(\mathbb{R}\)}.

\(A. -4\le m\le -\frac{1}{4}\)	\(B. -4< m< -\frac{1}{4}\)
\(C.\left[ \begin{matrix} m<-4 \\ m>-\frac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.\)	\(D. \left[ \begin{matrix} m\le -4 \\ m\ge -\dfrac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.\)

Hướng dẫn giải

\(y'=3{{x}^{2}}+4\left( m+1 \right)x-3m\)

Để hàm số đồng biến trên _{\(\mathbb{R}\)} thì:

\(\left\{ \begin{matrix} a>0 \\ \Delta '\le 0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1>0 \\ 4{{\left( m+1 \right)}^{2}}+9m \\ \end{matrix}\Leftrightarrow m\in \left[ -4,-\frac{1}{4} \right] \right.\)

Đáp án A

Ví dụ 4: Cho hàm số _{\(y=\frac{1-m}{3}{{x}^{3}}-2\left( 2-m \right){{x}^{2}}+2\left( 2-m \right)x+5\)}. Tìm tất cả giá trị của m sao cho hàm số luôn nghịch biến.

Hướng dẫn giải

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)

Tính đạo hàm: _{\(y'=\left( 1-m \right){{x}^{2}}-4\left( 2-m \right)x+4-2m\)}

TH1: Với m = 1 ta có _{\(y'=-4x+2\le 0\Leftrightarrow x\ge \frac{1}{2}\)}

Vậy m = 1 không thỏa mãn điều kiện đề bài.

TH2: Với _{\(m\ne 1\)} ta có:

Hàm số luôn nghịch biến _{\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1-m<0 \\ 2{{m}^{2}}-10m+12\le 0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m>1 \\ 2\le m\le 3 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \right.2\le m\le 3\)}

Ví dụ 5: Tìm m để hàm số \(y=\frac{1}{3}\left( m+3 \right){{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+mx\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)

Hướng dẫn giải

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)

Đạo hàm: \(y'=\left( m+3 \right){{x}^{2}}-4x+m\)

TH1: Với m = -3 \(\Rightarrow y'=-4x-3\Rightarrow m=-3\)(thỏa mãn)

Vậy m = -3 hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)

TH2: Với \(m\ne -3\)

Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(y'\le 0,\forall x\)

\(\begin{align} & \Rightarrow \left( m+3 \right){{x}^{2}}-4x+m\le 0,\forall x\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m+3<0 \\ -{{m}^{2}}-3m+4\le 0 \\ \end{matrix} \right. \\ & \Leftrightarrow m\le -4 \\ \end{align}\)

II. Bài tập tự luyện

Câu 1: Hàm số nào đồng biến trên _{\(\mathbb{R}\)}?

\(A. f\left( x \right)={{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+4\)	\(B. f\left( x \right)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+10x+2\)
\(C.f\left( x \right)=-\frac{4}{5}{{x}^{5}}+\frac{4}{3}{{x}^{3}}-x\)	\(D. f\left( x \right)={{x}^{3}}+10x-{{\cos }^{2}}x\)

Câu 2: Cho hàm số _{\(y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\)}. Hỏi hàm số đồng biến trên khi nào?

\(A. \left[ \begin{matrix} a=b=c=0 \\ a<0,{{b}^{2}}-3ac<0 \\ \end{matrix} \right.\)	\(B. \left[ \begin{matrix} a=b=0,c>0 \\ a<0,{{b}^{2}}-3ac\le 0 \\ \end{matrix} \right.\)
\(C. \left[ \begin{matrix} a=b=0,c>0 \\ a>0,{{b}^{2}}-3ac\le 0 \\ \end{matrix} \right.\)	\(D. \left[ \begin{matrix} a=b=0,c>0 \\ a>0,{{b}^{2}}-3ac\ge 0 \\ \end{matrix} \right.\)

Câu 3: Cho các hàm số sau:

\((1): y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-3x+1\)

\((2): y=-\sqrt{{{x}^{3}}+2}\)

\((3): y=-2x+\sin x\)

\((4): y=\frac{2-x}{x-1}\)

Hàm số nào nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)?

\(A. \left( 1 \right),\left( 2 \right)\)	\(B. \left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)\)
\(C. \left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 4 \right)\)	\(D. \left( 2 \right),\left( 3 \right)\)

Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số _{\(y=-\frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+\left( 2m-3 \right)x+2-m\)} luôn nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)

\(A. -3\le m\le 1\)	\(B. m\le 1\)
\(C.-3< m< 1\)	\(D. m\ge -3\)

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị m để hàm số _{\(y=f\left( x \right)=m\cos x+x\)} luôn đồng biến trên _{\(\mathbb{R}\)}

\(A. -1\le m\le 1\)	\(B. m>\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(C.m<\frac{1}{2}\)	\(D. \left[ \begin{matrix} m\ge 1 \\ m\le -1 \\ \end{matrix} \right.\)

Câu 6: Cho hàm số \(y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}-mx-m\). Tìm giá trị nhỏ nhất của m để hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

\(A. m=0\)	\(B. m=-1\)
\(C.m=-5\)	\(D. m=-6\)

Câu 7: Cho hàm số y = f(x) = x³ - 6x² + 9x - 1. Phương trình f(x) = -13 có bao nhiêu nghiệm?

A. 0	B. 3
C. 2	D. 1

Câu 8: Xác định giá trị của m để hàm số y = \(\dfrac{1}{2}\) x³ - mx² + (m + 2)x - (3m - 1) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

A. m < -1	B. m > 2
C. -1 ≤ m ≤ 2	D.-1 < m < 2

Câu 9: Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho hàm số y = \(\dfrac{1}{3}\) x³ - mx² +(2m - 3) - m + 2 luôn nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)

A. -3 ≤ m ≤ 1	B. m ≤ 2
C. m ≤ -3; m ≥ 1	D. -3 < m < 1

Câu 10: Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng y = x³ - 3mx² đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

A. m ≥ 0	B. m ≤ 0
C. m < 0	D. m =0

Câu 11: Cho hàm số: y = \(\dfrac{-1}{3}\) x³ + (m +1)x² - (m + 1) + 2. Tìm các giá trị của tham số m sao cho hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.

A. m > 4	B. -2 ≤ m ≤ -1
C. m < 2	D. m < 4

Câu 12: Cho hàm số: y = \(\dfrac{-1}{3}\)x³ + 2x² - mx + 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.

A. m ≥ 4	B. m ≤ 4
C. m > 4	D. m < 4

Câu 13: Tìm tham số m để hàm số \(y=\frac{{x - m}}{{x + 1}}\) đồng biến trên tập xác định của chúng:

A. m ≥ -1	B. m ≤ -1
C. m ≤ 1	D. m ≥ 2

Câu 14: Tìm tất cả các giá trị của tham số m  để hàm số:

a. y = (m + 2).\(\frac{x^3}{3}\) - ( m + 2)x² - (3m - 1)x + m² đồng biến trên \(\mathbb{R}\) .

b. y = (m - 1)x³ - 3(m - 1)x² + 3(2m - 3)x + m nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Kiểm tra kiến thức về đồng biến, nghịch biến:

Bài trắc nghiệm được biên soạn bởi KhoaHoc.vn - Chuyên trang học online!

--------------------------------------------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R. Bài viết cho chúng ta thấy được cách tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R, phương pháp giải bài toán tìm m cùng với các bài tập tự luyện. Hi vọng qua bài viết bạn đọc có thêm nhiều tài liệu để học tập tốt hơn môn Toán lớp 12 nhé. Mời bạn đọc cùng tham khảo thêm mục Giải bài tập Toán lớp 12...

Mời bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

• 45 câu hỏi trắc nghiệm có đáp án môn Toán lớp 12: Tính đơn điệu của hàm số
• Câu hỏi trắc nghiệm môn Toán lớp 12: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
• 100 bài tập trắc nghiệm chuyên đề hàm số có đáp án
• Trắc nghiệm Toán 12 chương 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
• 300 câu hỏi trắc nghiệm môn Toán lớp 12 (Có đáp án)
• Bài tập trắc nghiệm cực trị của hàm số và điểm uốn (Có đáp án)
• Bài tập trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số
• Câu hỏi trắc nghiệm môn Toán lớp 12: Cực trị của hàm s