Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
VnDoc.com Luyện thi đại học Luyện thi đại học khối A Môn Toán khối A

Hệ thống kiến thức hình Oxyz

Công thức hình học không gian Oxyz
Tải về

Hệ thống kiến thức hình Oxyz

Hệ thống kiến thức hình Oxyz được VnDoc.com sưu tầm và đăng tải xin gửi tới bạn đọc cùng tham khảo. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây nhé.

HOT: Đáp án Toán THPT Quốc gia 2023

1. Tọa độ điểm và véctơ

Hệ toa độ trong không gian gồm ba trục Ox,Oy,Oz\(Ox,Oy,Oz\) đôi một vuông góc, các véc tơ đơn vị tương ứng trên ba trục lần lượt là: \overrightarrow{i} = (1;0;0),\overrightarrow{j} = (0;1;0),\overrightarrow{k} = (0;0;1)\(\overrightarrow{i} = (1;0;0),\overrightarrow{j} = (0;1;0),\overrightarrow{k} = (0;0;1)\)

\overrightarrow{u}(x;y;z) \Leftrightarrow \overrightarrow{u} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k}\(\overrightarrow{u}(x;y;z) \Leftrightarrow \overrightarrow{u} = x\overrightarrow{i} + y\overrightarrow{j} + z\overrightarrow{k}\).

\overrightarrow{u} = (x;y;z) \Rightarrow |\overrightarrow{u}| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}\(\overrightarrow{u} = (x;y;z) \Rightarrow |\overrightarrow{u}| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}\)

\overrightarrow{AB} = \left( x_{B} - x_{A};y_{B} - y_{A};z_{B} - z_{A} \right)\(\overrightarrow{AB} = \left( x_{B} - x_{A};y_{B} - y_{A};z_{B} - z_{A} \right)\)

AB = BA = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{\left( x_{B} - x_{A} \right)^{2} + \left( y_{B} - y_{A} \right)^{2} + \left( z_{B} - z_{A} \right)^{2}}\(AB = BA = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{\left( x_{B} - x_{A} \right)^{2} + \left( y_{B} - y_{A} \right)^{2} + \left( z_{B} - z_{A} \right)^{2}}\).

Nếu I là trung điểm của AB thì I\left( \frac{x_{A} + x_{B}}{2};\frac{y_{A} + y_{B}}{2};\frac{z_{A} + z_{B}}{2} \right)\(I\left( \frac{x_{A} + x_{B}}{2};\frac{y_{A} + y_{B}}{2};\frac{z_{A} + z_{B}}{2} \right)\)

Nếu G là trọng tâm của \bigtriangleup ABC\(\bigtriangleup ABC\) thì G\left( \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3};\frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3};\frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} \right)\(G\left( \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3};\frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3};\frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} \right)\)

ABCD là hình bình hành \Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\).

2. Tích vô hướng hai vectơ và ứng dụng

a) Tích vô hướng: Cho \overrightarrow{u}\left( x_{1};y_{1};z_{1} \right)\&\overrightarrow{v}\left( x_{2};y_{2};z_{2} \right)\(\overrightarrow{u}\left( x_{1};y_{1};z_{1} \right)\&\overrightarrow{v}\left( x_{2};y_{2};z_{2} \right)\). Ta có:

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}| \cdot cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}| \cdot cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\)

\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{V} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} + z_{1}z_{2}\(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{V} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} + z_{1}z_{2}\).

\overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{v} \Leftrightarrow \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0 \Leftrightarrow x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2} + z_{1} \cdot z_{2} = 0\(\overrightarrow{u}\bot\overrightarrow{v} \Leftrightarrow \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0 \Leftrightarrow x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2} + z_{1} \cdot z_{2} = 0\)

b) Tích hữu hướng: Cho hai vectơ \overrightarrow{u}\left( x_{1};y_{1};z_{1} \right)\(\overrightarrow{u}\left( x_{1};y_{1};z_{1} \right)\) và \overrightarrow{v}\left( x_{2};y_{2};z_{2} \right)\(\overrightarrow{v}\left( x_{2};y_{2};z_{2} \right)\). Ta có:

|\lbrack\overrightarrow{u},\overrightarrow{V}\rbrack| = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{V}| \cdot \sin(\overrightarrow{u},\overrightarrow{V})\(|\lbrack\overrightarrow{u},\overrightarrow{V}\rbrack| = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{V}| \cdot \sin(\overrightarrow{u},\overrightarrow{V})\).

\lbrack\overrightarrow{u},\overrightarrow{V}\rbrack = \left( \left| \begin{matrix} y_{1} & z_{1} \\ y_{2} & z_{2} \\ \end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix} z_{1} & x_{1} \\ z_{2} & x_{2} \\ \end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix} x_{1} & y_{1} \\ x_{2} & y_{2} \\ \end{matrix} \right| \right)\(\lbrack\overrightarrow{u},\overrightarrow{V}\rbrack = \left( \left| \begin{matrix} y_{1} & z_{1} \\ y_{2} & z_{2} \\ \end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix} z_{1} & x_{1} \\ z_{2} & x_{2} \\ \end{matrix} \right|;\left| \begin{matrix} x_{1} & y_{1} \\ x_{2} & y_{2} \\ \end{matrix} \right| \right)\).

\overrightarrow{u}\&\overrightarrow{V}\(\overrightarrow{u}\&\overrightarrow{V}\) cùng phương \Leftrightarrow \lbrack\overrightarrow{u},\overrightarrow{V}\rbrack = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \frac{x_{2}}{x_{1}} = \frac{y_{2}}{y_{1}} = \frac{z_{2}}{z_{1}}\(\Leftrightarrow \lbrack\overrightarrow{u},\overrightarrow{V}\rbrack = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \frac{x_{2}}{x_{1}} = \frac{y_{2}}{y_{1}} = \frac{z_{2}}{z_{1}}\)

Diện tích tam giác: S_{ABC} = \frac{1}{2}|\lbrack\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rbrack|\(S_{ABC} = \frac{1}{2}|\lbrack\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rbrack|\)

Diện tích hình bình hành: S_{ABCD} = \{\lbrack\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\rbrack\(S_{ABCD} = \{\lbrack\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\rbrack\)

c) Tích hỗn hợp (hỗn tạp):

\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\) đồng phẳng \Leftrightarrow \lbrack\overrightarrow{u},\overrightarrow{V}\rbrack \cdot \overrightarrow{W} = 0\(\Leftrightarrow \lbrack\overrightarrow{u},\overrightarrow{V}\rbrack \cdot \overrightarrow{W} = 0\)

A, B, C, D là bốn đỉnh của tứ diện \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD}\(\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD}\) không đồng phẳng.

Thể tích khối hộp {V_{ABCD.A\({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AD} } \right]\overrightarrow {AA'} } \right|\)

Thể tích tứ diện {V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]\overrightarrow {AD} } \right|\({V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]\overrightarrow {AD} } \right|\)

3. Phương trình mặt cầu

Dạng 1: Phương trình mặt cầu (S)\((S)\) có tâm I(a;b;c)\(I(a;b;c)\) và bán kính R :

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}\((x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}\)

Dạng 2: x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) (với \left. \ a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0 \right)\(\left. \ a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0 \right)\) là phương trình mặt cầu có tâm I(a;b;c)\(I(a;b;c)\) và bán kính R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}\(R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}\)

Chú ý:

d(I,(P)) > R \Rightarrow\(d(I,(P)) > R \Rightarrow\) mặt phẳng (P)\((P)\) và mặt cầu (S)\((S)\) không có điểm chung.

d(I,(P)) = R \Rightarrow (P)\(d(I,(P)) = R \Rightarrow (P)\) và (S)\((S)\) tiếp xúc nhau tại tiếp điểm M(M\(M(M\) là hình chiếu của I lên (P)\((P)\) ).

d(I,(P)) < R \Rightarrow (P)\(d(I,(P)) < R \Rightarrow (P)\) và (S)\((S)\) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn có bán kínhr = \sqrt{R^{2} - d^{2}}\(r = \sqrt{R^{2} - d^{2}}\) và tâm H của là hình chiếu của I lên mặt phẳng (P)\((P)\).

4. Mặt phẳng

a) Phương trình mặt phẳng

Mặt phẳng qua điểm M\left( x_{0};y_{0};x_{0} \right)\(M\left( x_{0};y_{0};x_{0} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n}(A;B;C)\(\overrightarrow{n}(A;B;C)\) :

A\left( x - x_{0} \right) + B\left( y - y_{0} \right) + C\left( z - z_{0} \right) = 0.\(A\left( x - x_{0} \right) + B\left( y - y_{0} \right) + C\left( z - z_{0} \right) = 0.\)

Mặt phẳng (\alpha)\((\alpha)\) cắt trục Ox,Oy,Oz\(Ox,Oy,Oz\) lần lượt tại A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)\(A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)\), có phương trình theo đoạn chắn là: \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\ (abc \neq 0)\(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\ (abc \neq 0)\)

b) Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.

Cho hai mặt phẳng (\alpha):Ax + By + Cz + D = 0\((\alpha):Ax + By + Cz + D = 0\) và \left( \alpha^{\(\left( \alpha^{'} \right):A^{'}x + B^{'}y + C^{'}z + D^{'} = 0\), ta có:

(\alpha) \equiv \left( \alpha^{\((\alpha) \equiv \left( \alpha^{'} \right) \Leftrightarrow \frac{A}{A^{'}} = \frac{B}{B^{'}} = \frac{C}{C^{'}} = \frac{D}{D^{'}}\).

(\alpha)//\left( \alpha^{\((\alpha)//\left( \alpha^{'} \right) \Leftrightarrow \frac{A}{A^{'}} = \frac{B}{B^{'}} = \frac{C}{C^{'}} \neq \frac{D}{D^{'}}\).

(\alpha)\((\alpha)\) cắt \left( \alpha^{\(\left( \alpha^{'} \right) \Leftrightarrow \frac{A}{A^{'}} \neq \frac{B}{B^{'}}\) hoặc \frac{B}{B^{\(\frac{B}{B^{'}} \neq \frac{C}{C^{'}}\) hoặc \frac{A}{A^{\(\frac{A}{A^{'}} \neq \frac{C}{C^{'}}\) (tức là ngoài 2 t/h trên)

(\alpha)\bot\left( \alpha^{\((\alpha)\bot\left( \alpha^{'} \right) \Leftrightarrow AA^{'} + BB^{'} + CC^{'} = 0\).
c) Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng.

Cho mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0\(Ax + By + Cz + D = 0\)

\Rightarrow d(M,(\alpha)) = \frac{\left| Ax_{M} + By_{M} + Cz_{M} + D \right|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}\(\Rightarrow d(M,(\alpha)) = \frac{\left| Ax_{M} + By_{M} + Cz_{M} + D \right|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}\)

5. Đường thẳng 

a. Phương trình đường thẳng 

Đường thẳng đi qua M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có VTCP là: \overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\)

PT tham số \left\{ \begin{gathered} x = {x_0} + at \hfill \\ y = {y_0} + bt \hfill \\ z = {z_0} + ct \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\(\left\{ \begin{gathered} x = {x_0} + at \hfill \\ y = {y_0} + bt \hfill \\ z = {z_0} + ct \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)

PT chính tắc: \frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c};\left( {a;b;c \ne 0} \right)\(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c};\left( {a;b;c \ne 0} \right)\)

b. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Đường thẳng d đi qua điểm M_0\(M_0\) và có VTCP \overrightarrow u\(\overrightarrow u\), d' đi qua điểm M\(M'_0\) và có VTCP \overrightarrow u \(\overrightarrow u '\) ta có:

(d) và (d') đồng phẳng khi và chỉ khi \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u\(\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {{M_0}{M_0}'} = 0\)

(d) và (d') chéo nhau khi và chỉ khi \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u\(\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {{M_0}{M_0}'} \ne 0\)

(d) và (d') cắt nhau khi và chỉ khi \left\{ \begin{matrix} \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u\(\left\{ \begin{matrix} \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right] \ne \overrightarrow 0 \hfill \\ \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {{M_0}{M_0}'} = 0 \hfill \\ \end{matrix} \right.\)

(d) và (d') song song khi và chỉ khi \left\{ \begin{matrix} \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u\(\left\{ \begin{matrix} \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right] = \overrightarrow 0 \hfill \\ \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {{M_0}{M_0}'} } \right] \ne \overrightarrow 0 \hfill \\ \end{matrix} \right.\)

c. Khoảng cách

Từ điểm đến đường thẳng d\left( {M;\Delta \(d\left( {M;\Delta '} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\vec u;\overrightarrow {M{M_0}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\)

Giữa hai đường thẳng d\left( {\Delta ;\Delta \(d\left( {\Delta ;\Delta '} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\vec u;\vec u'} \right].\overrightarrow {{M_0}{M_0}'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}\)

----------------------------------------------

Trên đây VnDoc.com vừa giới thiệu tới các bạn Hệ thống kiến thức hình Oxyz. Bài viết cho chúng ta thấy được hệ thống kiến thức hình Oxyz như tọa độ điểm và vecto, tích các hai vecto và ứng dụng, phương trình mặt cầu, mặt phẳng và đường thẳng. Mong rằng qua bài viết này các bạn có thể học tập tốt hơn môn Toán lớp 12.

Mời bạn đọc cùng tham khảo thêm một số tài liệu học tập các môn tại các mục:

Đề thi THPT Quốc Gia được tải nhiều

  1. Bộ đề thi thử THPT Quốc gia  2025 môn Toán
  2. Bộ đề thi thử THPT Quốc Gia  2025 môn Văn
  3. Bộ đề thi thử THPT Quốc Gia  2025 môn Anh
  4. Bộ đề thi thử THPT Quốc Gia  2025 môn Lý
  5. Bộ đề thi thử THPT Quốc Gia  2025 môn Hóa
  6. Bộ đề thi thử THPT Quốc Gia  2025 môn Sinh
  7. Bộ đề thi thử THPT Quốc Gia  2025 môn Sử
  8. Bộ đề thi thử THPT Quốc Gia  2025 môn Địa
  9. Bộ đề thi thử THPT Quốc Gia  2025 môn GDCD

Đề minh họa 2023

  1. Đề minh họa 2023 môn Toán
  2. Đề minh họa 2023 môn Ngữ văn
  3. Đề minh họa 2023 môn Tiếng Anh
  4. Đề minh họa 2023 môn Hóa học
  5. Đề minh họa 2023 môn Vật lí
  6. Đề minh họa 2023 môn Địa lý
  7. Đề minh họa 2023 môn Sinh học
  8. Đề minh họa 2023 môn Lịch sử
  9. Đề minh họa 2023 môn GDCD
  10. Đề minh họa 2023 môn tiếng Nga
  11. Đề minh họa 2023 môn tiếng Pháp
  12. Đề minh họa 2023 môn tiếng Trung
  13. Đề minh họa 2023 môn tiếng Nhật
  14. Đề minh họa 2023 môn tiếng Hàn
  15. Đề minh họa 2023 môn tiếng Đức

Lịch thi THPT Quốc Gia 2023

Xem chi tiết lịch thi: Lịch thi THPT Quốc Gia 2023

 
Chia sẻ, đánh giá bài viết
48
221.527 Bài viết đã được lưu
Mục lục
Chọn file muốn tải về:

Hệ thống kiến thức hình Oxyz

140,2 KB
Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Mua ngay
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này

Tham khảo thêm

🖼️

Gợi ý cho bạn
Xem thêm
🖼️

Thi THPT Quốc gia môn Toán
Xem thêm