Tương giao đồ thị hàm số bậc nhất/bậc nhất với đường thẳng
Chuyên đề Toán 12: Tương giao đồ thị
Toán 12 Bài toán tương giao giữa đường thẳng và đồ thị hàm số bậc nhất/bậc nhất vừa được VnDoc.com biên soạn và xin gửi tới bạn đọc để bạn đọc cùng tham khảo. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây nhé.
Bài toán tương giao của đường thẳng với đồ thị hàm số phân thức
Bài toán tổng quát
Cho hàm số 
\(y = \frac{ax + b}{cx +
d}\) có đồ thị \((C)\). Tìm tham số m để đường thẳng \(d:y = \alpha x +
\beta\) cắt \((C)\) tại hai điểm phân biệt \(A,B\) thỏa mãn điều kiện K?
Phương pháp giải
Bước 1. (Bước này giống nhau ở các bài toán tương giao của hàm nhất biến)
Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa d và \((C):\) \(\frac{ax
+ b}{cx + d} = \alpha x + \beta\)
\(\Leftrightarrow g(x) = \alpha cx^{2} +
(\beta c + \alpha d - a)x + \beta d - b = 0,\forall x \neq -
\frac{d}{c}\).
Để d cắt \((C)\) tại hai điểm phân biệt \(\Leftrightarrow g(x) = 0\) có 2 nghiệm nghiệm phân biệt \(\neq - \frac{d}{c}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
c\alpha \neq 0;\Delta > 0 \\
g\left( - \frac{d}{c} \right) \neq 0 \\
\end{matrix} \right.\).
Giải hệ này, ta sẽ tìm được \(m \in
D_{1}\) \((i)\)
Gọi \(A\left( x_{1};\alpha x_{1} + \beta
\right),\ B\left( x_{2};\alpha y_{2} + \beta \right)\) với \(x_{1},x_{2}\) là \(2\) nghiệm của \(g(x) = 0\)
Theo Viète: \(S = x_{1} + x_{2} = -
\frac{\beta c + \alpha d - a}{c\alpha};\) \(P = x_{1}x_{2} = \frac{\beta d - b}{\alpha
c}\) \((ii)\)
Bước 2.
Biến đổi điều kiện K cho trước về dạng có chứa tổng và tích của \(x_{1},x_{2}\) \((iii)\)
Thế \((ii)\) vào \((iii)\) sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến số là m.
Giải nó sẽ tìm được \(m \in D_{2}\) \((*)\)
Từ \((i),(*) \Rightarrow m \in \left( D_{1}
\cap D_{2} \right)\) và kết luận giá trị m cần tìm.
Một số công thức tính nhanh “ thường gặp ” liên quan đến tương giao giữa đường thẳng \(y = kx + p\) và đồ thị hàm số \(y = \frac{ax + b}{cx +
d}\)
Giả sử \(d:y = kx + p\) cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{ax + b}{cx + d}\) tại \(2\)điểm phân biệt \(M,N\).
Với \(kx + p = \frac{ax + b}{cx +
d}\) cho ta phương trình có dạng: \(Ax^{2} + Bx + C = 0\) thỏa điều kiện \(cx + d \neq 0\), có \(\Delta = B^{2} - 4AC\).
Khi đó:
1. \(M(x_{1};kx_{1} + p),N(x_{2};kx_{2} +
p)\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{MN} = (x_{2}
- x_{1};k(x_{2} - x_{1}))\)
\(\Rightarrow MN = \sqrt{(k^{2} +
1)\frac{\Delta}{A^{2}}}\)
Chú ý: khi \(\min MN\) thì tồn tại \(\min\Delta,k = const\)
2. \(OM^{2} + ON^{2} = (k^{2} +
1)(x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) + (x_{1} + x_{2})2kp + 2p^{2}\)
3. \(\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON} =
(x_{1}.x_{2})(1 + k^{2}) + (x_{1} + x_{2})kp + p^{2}\)
4. \(OM = ON \Leftrightarrow (x_{1} +
x_{2})(1 + k^{2}) + 2kp = 0\)
