Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +10
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!

Cách viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz

Viết phương trình mặt phẳng trong không gian 

Bạn đang học hình học không gian lớp 12 và muốn nắm chắc cách viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz? Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn chi tiết các cách lập phương trình mặt phẳng phổ biến như: mặt phẳng qua 1 điểm và có vector pháp tuyến, mặt phẳng qua 3 điểm, mặt phẳng song song hoặc vuông góc với đường thẳng/ mặt phẳng khác,... Tất cả đều được trình bày dễ hiểu, kèm ví dụ minh họa giúp bạn nắm vững lý thuyết và vận dụng thành thạo trong giải bài tập.

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó.

Phương pháp giải

Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

Ví dụ. Trong không gian OxyzOxyz, viết phương trình mặt phẳng (P)(P) đi qua điểm A(1;0; - 2)A(1;0;2) và có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n}(1; -
1;2)n(1;1;2).

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P)(P) đi qua điểm A(1;0; - 2)A(1;0;2) và có vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n}(1; - 1;2)n(1;1;2)có phương trình là:

\ 1(x - 1) - 1(y - 0) + 2(z + 2) =0 \Leftrightarrow \ \ x - y + 2z + 3 = 0 1(x1)1(y0)+2(z+2)=0  xy+2z+3=0.

Vậy phương trình mặt phẳng (P)(P)là: x - y
+ 2z + 3 = 0xy+2z+3=0.

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng (\alpha)(α) đi qua 1 điểm M_{0}\left( x_{0};y_{0};z_{0} \right)M0(x0;y0;z0) và song song với 1 mặt phẳng (\beta):Ax + By +Cz + D = 0(β):Ax+By+Cz+D=0 cho trước.

Phương pháp giải

Cách 1: Thực hiện theo các bước sau:

1. VTPT của (\beta)(β)\overrightarrow{n_{\beta}} = (A;B;C).nβ=(A;B;C).

2. (\alpha)(α)//(\beta)(β) nên VTPT của mặt phẳng (\alpha)(α)\overrightarrow{n_{\alpha}} =
\overrightarrow{n_{\beta}} = (A;B;C).nα=nβ=(A;B;C).

3. Phương trình mặt phẳng (\alpha)(α):A\left( x - x_{0} \right) + B\left( y - y_{0}
\right) + C\left( z - z_{0} \right) = 0.A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0.

Cách 2:

1. Mặt phẳng (\alpha)(α)//(\beta)(β) nên phương trình(P)(P) có dạng: Ax + By + Cz + DAx+By+Cz+D=0(*), với DDD.

2. Vì (P)(P) qua 1 điểm M_{0}\left( x_{0};y_{0};z_{0} \right)M0(x0;y0;z0) nên thay tọa độ M_{0}\left( x_{0};y_{0};z_{0}
\right)M0(x0;y0;z0) vào (*) tìm được DD.

Ví dụ. Trong không gian OxyzOxyz, viết phương trình mặt phẳng(P)(P) đi qua điểm M(0;1;3)M(0;1;3)và song song với mặt phẳng(Q):2x - 3z + 1 = 0(Q):2x3z+1=0.

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P)(P) song song với mặt phẳng(Q):2x - 3z + 1 = 0(Q):2x3z+1=0 nên mặt phẳng(P)(P) có phương trình dạng: 2x - 3z + D = 0\ \ \ (D \neq
1)2x3z+D=0   (D1).

Mặt phẳng (P)(P) đi qua điểm M(0;1;3)M(0;1;3) nên thay tọa độ điểm MMvào phương trình mặt phẳng phải thỏa mãn. Ta được: 2.0 - 3.3 + D = 0
\Leftrightarrow D = 92.03.3+D=0D=9 (thỏa mãn D
\neq 1D1 ).

Vậy phương trình mặt phẳng (P)(P)là: 2x -
3z + 9 = 02x3z+9=0.

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (\alpha)(α) đi qua 3 điểm AA, BB, CC không thẳng hàng.

Phương pháp giải

1. Tìm tọa độ các vectơ: \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}.AB,AC.

2. Vectơ pháp tuyến của(\alpha)(α)là : \overrightarrow{n_{\alpha}} = \left\lbrack
\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right\rbrack.nα=[AB,AC].

3. Điểm thuộc mặt phẳng: AA (hoặc BB hoặc CC).

4. Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có VTPT \overrightarrow{n_{\alpha}}.nα.

Ví dụ. Trong không gian OxyzOxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1;0; - 2),\ B(1;1;1),C(0; - 1;2)A(1;0;2), B(1;1;1),C(0;1;2).

Hướng dẫn giải

Ta có: \overrightarrow{AB} =(0;1;3),\overrightarrow{AC} = ( - 1; - 1:4)AB=(0;1;3),AC=(1;1:4)\Rightarrow \left\lbrack
\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\  \right\rbrack = (7; -3;1)[AB,AC ]=(7;3;1).

Gọi \overrightarrow{n}n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)(ABC) ta có

\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{n}\bot\overrightarrow{AB}\\\overrightarrow{n}\bot\overrightarrow{AC} \\\end{matrix} \right.{nABnAC nên \overrightarrow{n}n cùng phương với \left\lbrack\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\  \right\rbrack[AB,AC ].

Chọn \overrightarrow{n} = (7; -
3;1)n=(7;3;1) ta được phương trình mặt phẳng (ABC)(ABC) là:

7(x- 1) - 3(y - 0) + 1(z + 2) = 07(x1)3(y0)+1(z+2)=0

\Leftrightarrow 7x - 3y + z - 5 =
07x3y+z5=0.

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (\alpha)(α) đi qua điểm MM và vuông góc với đường thẳng \DeltaΔ

Phương pháp giải

1. Tìm VTCP của \DeltaΔ{\overrightarrow{u}}_{\Delta}.uΔ.

2. Vì (\alpha)\bot\Delta(α)Δ nên (\alpha)(α)có VTPT \overrightarrow{n_{\alpha}} =
\overrightarrow{u_{\Delta}}.nα=uΔ.

3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT \overrightarrow{n_{\alpha}}.nα.

Ví dụ. Trong không gian OxyzOxyz, viết phương trình mặt phẳng (\alpha)(α) đi qua điểm OO và vuông góc với đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix}
x = t \\
y = - 1 + 2t \\
z = 2 + t. \\
\end{matrix} \right.d:{x=ty=1+2tz=2+t.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng dd có vectơ chỉ phương là: \overrightarrow{u_{d}} =(1;2;1).ud=(1;2;1).

Mặt phẳng(\alpha)(α) vuông góc với đường thẳng ddnên (\alpha)(α)có một vectơ pháp tuyến là: \overrightarrow{n_{\alpha}} =\overrightarrow{u_{d}} = (1;2;1)nα=ud=(1;2;1).

Đồng thời (\alpha)(α)đi qua điểm OO nên có phương trình là: x + 2y + z = 0x+2y+z=0.

Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng(\alpha)(α)chứa đường thẳng \DeltaΔ, vuông góc với mặt phẳng (\beta).(β).

Phương pháp giải

1. Tìm VTPT của (\beta)(β)\overrightarrow{n_{\beta}}.nβ.

2. Tìm VTCP của \DeltaΔ\overrightarrow{u_{\Delta}}uΔ

3. VTPT của mặt phẳng (\alpha)(α) là: \overrightarrow{n_{\alpha}} =\left\lbrack \overrightarrow{n_{\beta}};\overrightarrow{u_{\Delta}}
\right\rbrack.nα=[nβ;uΔ].

4. Lấy một điểm M trên \DeltaΔ

5. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

Ví dụ. Trong không gian OxyzOxyz, viết phương trình mặt phẳng (\alpha)(α) chứa đường thẳng d:\left\{ \begin{matrix}
x = - t \\
y = - 1 + 2t \\
z = 2 + t \\
\end{matrix} \right.d:{x=ty=1+2tz=2+t và vuông góc với (\beta):x + 2y - z + 1 = 0.(β):x+2yz+1=0.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng dd đi qua điểm A(0; - 1;2)A(0;1;2) và có VTCP là: \overrightarrow{u_{d}} = ( - 1;2;1).ud=(1;2;1).

Mặt phẳng (\beta)(β) có VTPT là \overrightarrow{n_{\beta}} = (1;2; -
1)nβ=(1;2;1).

Mặt phẳng(\alpha)(α) chứa đường thẳng ddvà vuông góc với (\beta)(β) nên (\alpha)(α)có một vectơ pháp tuyến là: \overrightarrow{n_{\alpha}} = \left\lbrack
\overrightarrow{u_{d}},\overrightarrow{n_{\beta}} \right\rbrack = ( -
4;0; - 4) = - 4(1;0;1)nα=[ud,nβ]=(4;0;4)=4(1;0;1).

Phương trình mặt phẳng (\alpha)(α)là: x
+ z - 2 = 0x+z2=0.

Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng (\alpha)(α)qua hai điểm AA, BB và vuông góc với mặt phẳng (\beta).(β).

Phương pháp giải

1. Tìm VTPT của (\beta)(β)\overrightarrow{n_{\beta}}.nβ.

2. Tìm tọa độ vectơ \overrightarrow{AB}.AB.

3. VTPT của mặt phẳng (\alpha)(α) là: \overrightarrow{n_{\alpha}} =\left\lbrack \overrightarrow{n_{\beta}},\overrightarrow{AB}
\right\rbracknα=[nβ,AB]

4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

Ví dụ. Trong không gian OxyzOxyz, viết phương trình mặt phẳng (\alpha)(α) đi qua điểm A(1;2; - 2),B(2; - 1;4)A(1;2;2),B(2;1;4)và vuông góc với (\beta):x - 2y - z + 1 = 0.(β):x2yz+1=0.

Hướng dẫn giải

\overrightarrow{AB} = (1; -
3;6)AB=(1;3;6)

Mặt phẳng (\beta)(β) có VTPT là \overrightarrow{n_{\beta}} = (1; - 2; -
1)nβ=(1;2;1).

Mặt phẳng(\alpha)(α) chứa AA, BB và vuông góc với (\beta)(β) nên (\alpha)(α)có một vectơ pháp tuyến là: \overrightarrow{n_{\alpha}} = \left\lbrack
\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_{\beta}} \right\rbrack =
(15;7;1)nα=[AB,nβ]=(15;7;1).

Phương trình mặt phẳng (\alpha)(α)là: 15x + 7z + 1 - 27 = 015x+7z+127=0.

Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng(\alpha)(α)chứa đường thẳng \DeltaΔ và song song với \DeltaΔ (\DeltaΔ,\DeltaΔ chéo nhau).

Phương pháp giải

1. Tìm VTCP của \DeltaΔ\DeltaΔ\overrightarrow{u_{\Delta}}uΔ\overrightarrow{u_{\DeltauΔ.

2. VTPT của mặt phẳng (\alpha)(α) là: \overrightarrow{n_{\alpha}} =
\left\lbrack
\overrightarrow{u_{\Delta}},\overrightarrow{u_{\Deltanα=[uΔ,uΔ].

3. Lấy một điểm MM trên \DeltaΔ

4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

Ví dụ. Trong không gian OxyzOxyz, viết phương trình mặt phẳng(P)(P) chứa đường thẳng d_{1}:\left\{ \begin{matrix}
x = 1 \\
y = 1 - 2t \\
z = 1 + t \\
\end{matrix} \right.d1:{x=1y=12tz=1+t và song song với đường thẳng d_{2}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z -
1}{2}d2:x11=y2=z12.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d_{1}d1 đi qua điểm M_{1}(1;1;1)M1(1;1;1) vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{1}}(0; - 2;1)u1(0;2;1).

Đường thẳng d_{2}d2 đi qua điểm M_{2}(1;0;1)M2(1;0;1) vectơ chỉ phương \overrightarrow{u_{2}}(1;2;2)u2(1;2;2).

Ta có \left\lbrack
\overrightarrow{u_{1}},\ \overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = ( -
6;1;2)[u1, u2]=(6;1;2).

Gọi \overrightarrow{n}n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng(P)(P), ta có:

\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{n}\bot\overrightarrow{u_{1}} \\
\overrightarrow{n}\bot\overrightarrow{u_{2}} \\
\end{matrix} \right.{nu1nu2 nên \overrightarrow{n}n cùng phương với \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\
\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack[u1, u2].

Chọn \overrightarrow{n} = ( -
6;1;2)n=(6;1;2).

Mặt phẳng (P)(P) đi qua điểm M_{1}(1;1;1)M1(1;1;1) và nhận vectơ pháp tuyến \overrightarrow{n} = ( - 6;1;2)n=(6;1;2)có phương trình:

- 6(x - 1) + 1(y - 1) + 2(z - 1) =
06(x1)+1(y1)+2(z1)=0

\Leftrightarrow - 6x + y + 2z + 3 =
06x+y+2z+3=0.

Thay tọa độ điểm M_{2}M2vào phương trình mặt phẳng (P)(P)thấy không thỏa mãn.

Vậy phương trình mặt phẳng (P)(P) là:- 6x +
y + 2z + 3 = 06x+y+2z+3=0.

Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!

----------------------------------------------

Trên đây là toàn bộ cách viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz một cách đầy đủ và dễ hiểu. Hy vọng bạn đã hiểu rõ các dạng bài cơ bản và nâng cao liên quan đến chủ đề này. Hãy tiếp tục luyện tập để thành thạo kỹ năng giải bài và đạt điểm cao trong kỳ thi THPT Quốc gia. Đừng quên chia sẻ tài liệu nếu bạn thấy hữu ích nhé!

Chia sẻ, đánh giá bài viết
1
Chọn file muốn tải về:
Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
🖼️

Gợi ý cho bạn

Xem thêm
🖼️

Thi THPT Quốc gia môn Toán

Xem thêm
Chia sẻ
Chia sẻ FacebookChia sẻ TwitterSao chép liên kếtQuét bằng QR Code
Mã QR Code
Đóng