VnDoc.com

Cách viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz

Chuyên đề Toán 12 Phương trình mặt phẳng

Bài trước

Tải về

Bài sau

Viết phương trình mặt phẳng trong không gian

Bạn đang học hình học không gian lớp 12 và muốn nắm chắc cách viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz? Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn chi tiết các cách lập phương trình mặt phẳng phổ biến như: mặt phẳng qua 1 điểm và có vector pháp tuyến, mặt phẳng qua 3 điểm, mặt phẳng song song hoặc vuông góc với đường thẳng/ mặt phẳng khác,... Tất cả đều được trình bày dễ hiểu, kèm ví dụ minh họa giúp bạn nắm vững lý thuyết và vận dụng thành thạo trong giải bài tập.

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó.

Phương pháp giải

Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

Ví dụ. Trong không gian $O x y z$ , viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A (1; 0; - 2)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}(1; - 1;2)$ $\vec{n} (1; - 1; 2)$ .

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A (1; 0; - 2)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}(1; - 1;2)$ $\vec{n} (1; - 1; 2)$ có phương trình là:

$\ 1(x - 1) - 1(y - 0) + 2(z + 2) =0 \Leftrightarrow \ \ x - y + 2z + 3 = 0$ $1 (x - 1) - 1 (y - 0) + 2 (z + 2) = 0 \Leftrightarrow x - y + 2 z + 3 = 0$ .

Vậy phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $x - y + 2 z + 3 = 0$ .

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ $(α)$ đi qua 1 điểm $M_{0}\left( x_{0};y_{0};z_{0} \right)$ $M_{0} (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ và song song với 1 mặt phẳng $(\beta):Ax + By +Cz + D = 0$ $(β) : A x + B y + C z + D = 0$ cho trước.

Phương pháp giải

Cách 1: Thực hiện theo các bước sau:

1. VTPT của $(\beta)$ $(β)$ là $\overrightarrow{n_{\beta}} = (A;B;C).$ $\vec{n_{β}} = (A; B; C) .$

2. $(\alpha)$ $(α)$ // $(\beta)$ $(β)$ nên VTPT của mặt phẳng $(\alpha)$ $(α)$ là $\overrightarrow{n_{\alpha}} = \overrightarrow{n_{\beta}} = (A;B;C).$ $\vec{n_{α}} = \vec{n_{β}} = (A; B; C) .$

3. Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ $(α)$ : $A\left( x - x_{0} \right) + B\left( y - y_{0} \right) + C\left( z - z_{0} \right) = 0.$ $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0.$

Cách 2:

1. Mặt phẳng $(\alpha)$ $(α)$ // $(\beta)$ $(β)$ nên phương trình $(P)$ có dạng: $A x + B y + C z + D^{'} = 0$ (*), với $D^{'} \neq D$ .

2. Vì $(P)$ qua 1 điểm $M_{0}\left( x_{0};y_{0};z_{0} \right)$ $M_{0} (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ nên thay tọa độ $M_{0}\left( x_{0};y_{0};z_{0} \right)$ $M_{0} (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ vào (*) tìm được $D^{'}$ .

Ví dụ. Trong không gian $O x y z$ , viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M (0; 1; 3)$ và song song với mặt phẳng $(Q) : 2 x - 3 z + 1 = 0$ .

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng $(P)$ song song với mặt phẳng $(Q) : 2 x - 3 z + 1 = 0$ nên mặt phẳng $(P)$ có phương trình dạng: $2x - 3z + D = 0\ \ \ (D \neq 1)$ $2 x - 3 z + D = 0 (D \neq 1)$ .

Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M (0; 1; 3)$ nên thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình mặt phẳng phải thỏa mãn. Ta được: $2.0 - 3.3 + D = 0 \Leftrightarrow D = 9$ $2.0 - 3.3 + D = 0 \Leftrightarrow D = 9$ (thỏa mãn $D \neq 1$ $D \neq 1$ ).

Vậy phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $2 x - 3 z + 9 = 0$ .

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ $(α)$ đi qua 3 điểm $A$ , $B$ , $C$ không thẳng hàng.

Phương pháp giải

1. Tìm tọa độ các vectơ: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}.$ $\vec{A B}, \vec{A C} .$

2. Vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ $(α)$ là : $\overrightarrow{n_{\alpha}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right\rbrack.$ $\vec{n_{α}} = [\vec{A B}, \vec{A C}] .$

3. Điểm thuộc mặt phẳng: $A$ (hoặc $B$ hoặc $C$ ).

4. Viết phương trình mặt phẳng qua 1 điểm và có VTPT $\overrightarrow{n_{\alpha}}.$ $\vec{n_{α}} .$

Ví dụ. Trong không gian $O x y z$ , viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A(1;0; - 2),\ B(1;1;1),C(0; - 1;2)$ $A (1; 0; - 2), B (1; 1; 1), C (0; - 1; 2)$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow{AB} =(0;1;3),\overrightarrow{AC} = ( - 1; - 1:4)$ $\vec{A B} = (0; 1; 3), \vec{A C} = (- 1; - 1 : 4)$ $\Rightarrow \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\ \right\rbrack = (7; -3;1)$ $\Rightarrow [\vec{A B}, \vec{A C}] = (7; - 3; 1)$ .

Gọi $\overrightarrow{n}$ $\vec{n}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(A B C)$ ta có

$\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{n}\bot\overrightarrow{AB}\\\overrightarrow{n}\bot\overrightarrow{AC} \\\end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} \vec{n} ⊥ \vec{A B} \\ \vec{n} ⊥ \vec{A C} \end{matrix}$ nên $\overrightarrow{n}$ $\vec{n}$ cùng phương với $\left\lbrack\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\ \right\rbrack$ $[\vec{A B}, \vec{A C}]$ .

Chọn $\overrightarrow{n} = (7; - 3;1)$ $\vec{n} = (7; - 3; 1)$ ta được phương trình mặt phẳng $(A B C)$ là:

$7 (x - 1) - 3 (y - 0) + 1 (z + 2) = 0$

$\Leftrightarrow 7x - 3y + z - 5 = 0$ $\Leftrightarrow 7 x - 3 y + z - 5 = 0$ .

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ $(α)$ đi qua điểm $M$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta$ $Δ$

Phương pháp giải

1. Tìm VTCP của $\Delta$ $Δ$ là ${\overrightarrow{u}}_{\Delta}.$ ${\vec{u}}_{Δ} .$

2. Vì $(\alpha)\bot\Delta$ $(α) ⊥ Δ$ nên $(\alpha)$ $(α)$ có VTPT $\overrightarrow{n_{\alpha}} = \overrightarrow{u_{\Delta}}.$ $\vec{n_{α}} = \vec{u_{Δ}} .$

3. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT $\overrightarrow{n_{\alpha}}.$ $\vec{n_{α}} .$

Ví dụ. Trong không gian $O x y z$ , viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ $(α)$ đi qua điểm $O$ và vuông góc với đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = t \\ y = - 1 + 2t \\ z = 2 + t. \\ \end{matrix} \right.$ $d : {\begin{matrix} x = t \\ y = - 1 + 2 t \\ z = 2 + t . \end{matrix}$

Hướng dẫn giải

Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{u_{d}} =(1;2;1).$ $\vec{u_{d}} = (1; 2; 1) .$

Mặt phẳng $(\alpha)$ $(α)$ vuông góc với đường thẳng $d$ nên $(\alpha)$ $(α)$ có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n_{\alpha}} =\overrightarrow{u_{d}} = (1;2;1)$ $\vec{n_{α}} = \vec{u_{d}} = (1; 2; 1)$ .

Đồng thời $(\alpha)$ $(α)$ đi qua điểm $O$ nên có phương trình là: $x + 2 y + z = 0$ .

Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ $(α)$ chứa đường thẳng $\Delta$ $Δ$ , vuông góc với mặt phẳng $(\beta).$ $(β) .$

Phương pháp giải

1. Tìm VTPT của $(\beta)$ $(β)$ là $\overrightarrow{n_{\beta}}.$ $\vec{n_{β}} .$

2. Tìm VTCP của $\Delta$ $Δ$ là $\overrightarrow{u_{\Delta}}$ $\vec{u_{Δ}}$

3. VTPT của mặt phẳng $(\alpha)$ $(α)$ là: $\overrightarrow{n_{\alpha}} =\left\lbrack \overrightarrow{n_{\beta}};\overrightarrow{u_{\Delta}} \right\rbrack.$ $\vec{n_{α}} = [\vec{n_{β}}; \vec{u_{Δ}}] .$

4. Lấy một điểm M trên $\Delta$ $Δ$

5. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

Ví dụ. Trong không gian $O x y z$ , viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ $(α)$ chứa đường thẳng $d:\left\{ \begin{matrix} x = - t \\ y = - 1 + 2t \\ z = 2 + t \\ \end{matrix} \right.$ $d : {\begin{matrix} x = - t \\ y = - 1 + 2 t \\ z = 2 + t \end{matrix}$ và vuông góc với $(\beta):x + 2y - z + 1 = 0.$ $(β) : x + 2 y - z + 1 = 0.$

Hướng dẫn giải

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A (0; - 1; 2)$ và có VTCP là: $\overrightarrow{u_{d}} = ( - 1;2;1).$ $\vec{u_{d}} = (- 1; 2; 1) .$

Mặt phẳng $(\beta)$ $(β)$ có VTPT là $\overrightarrow{n_{\beta}} = (1;2; - 1)$ $\vec{n_{β}} = (1; 2; - 1)$ .

Mặt phẳng $(\alpha)$ $(α)$ chứa đường thẳng $d$ và vuông góc với $(\beta)$ $(β)$ nên $(\alpha)$ $(α)$ có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n_{\alpha}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{d}},\overrightarrow{n_{\beta}} \right\rbrack = ( - 4;0; - 4) = - 4(1;0;1)$ $\vec{n_{α}} = [\vec{u_{d}}, \vec{n_{β}}] = (- 4; 0; - 4) = - 4 (1; 0; 1)$ .

Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ $(α)$ là: $x + z - 2 = 0$ .

Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ $(α)$ qua hai điểm $A$ , $B$ và vuông góc với mặt phẳng $(\beta).$ $(β) .$

Phương pháp giải

1. Tìm VTPT của $(\beta)$ $(β)$ là $\overrightarrow{n_{\beta}}.$ $\vec{n_{β}} .$

2. Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}.$ $\vec{A B} .$

3. VTPT của mặt phẳng $(\alpha)$ $(α)$ là: $\overrightarrow{n_{\alpha}} =\left\lbrack \overrightarrow{n_{\beta}},\overrightarrow{AB} \right\rbrack$ $\vec{n_{α}} = [\vec{n_{β}}, \vec{A B}]$

4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

Ví dụ. Trong không gian $O x y z$ , viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ $(α)$ đi qua điểm $A (1; 2; - 2), B (2; - 1; 4)$ và vuông góc với $(\beta):x - 2y - z + 1 = 0.$ $(β) : x - 2 y - z + 1 = 0.$

Hướng dẫn giải

Có $\overrightarrow{AB} = (1; - 3;6)$ $\vec{A B} = (1; - 3; 6)$

Mặt phẳng $(\beta)$ $(β)$ có VTPT là $\overrightarrow{n_{\beta}} = (1; - 2; - 1)$ $\vec{n_{β}} = (1; - 2; - 1)$ .

Mặt phẳng $(\alpha)$ $(α)$ chứa $A$ , $B$ và vuông góc với $(\beta)$ $(β)$ nên $(\alpha)$ $(α)$ có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n_{\alpha}} = \left\lbrack \overrightarrow{AB},\overrightarrow{n_{\beta}} \right\rbrack = (15;7;1)$ $\vec{n_{α}} = [\vec{A B}, \vec{n_{β}}] = (15; 7; 1)$ .

Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ $(α)$ là: $15 x + 7 z + 1 - 27 = 0$ .

Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ $(α)$ chứa đường thẳng $\Delta$ $Δ$ và song song với $\Delta$ $Δ^{'}$ ( $\Delta$ $Δ$ , $\Delta$ $Δ^{'}$ chéo nhau).

Phương pháp giải

1. Tìm VTCP của $\Delta$ $Δ$ và $\Delta$ $Δ^{'}$ là $\overrightarrow{u_{\Delta}}$ $\vec{u_{Δ}}$ và $\overrightarrow{u_{\Delta$ $\vec{u_{Δ^{'}}} .$

2. VTPT của mặt phẳng $(\alpha)$ $(α)$ là: $\overrightarrow{n_{\alpha}} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{\Delta}},\overrightarrow{u_{\Delta$ $\vec{n_{α}} = [\vec{u_{Δ}}, \vec{u_{Δ^{'}}}] .$

3. Lấy một điểm $M$ trên $\Delta$ $Δ$

4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có 1 VTPT.

Ví dụ. Trong không gian $O x y z$ , viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $d_{1}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 - 2t \\ z = 1 + t \\ \end{matrix} \right.$ $d_{1} : {\begin{matrix} x = 1 \\ y = 1 - 2 t \\ z = 1 + t \end{matrix}$ và song song với đường thẳng $d_{2}:\frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 1}{2}$ $d_{2} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 1}{2}$ .

Hướng dẫn giải

Đường thẳng $d_{1}$ $d_{1}$ đi qua điểm $M_{1}(1;1;1)$ $M_{1} (1; 1; 1)$ vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{1}}(0; - 2;1)$ $\vec{u_{1}} (0; - 2; 1)$ .

Đường thẳng $d_{2}$ $d_{2}$ đi qua điểm $M_{2}(1;0;1)$ $M_{2} (1; 0; 1)$ vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{2}}(1;2;2)$ $\vec{u_{2}} (1; 2; 2)$ .

Ta có $\left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\ \overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = ( - 6;1;2)$ $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = (- 6; 1; 2)$ .

Gọi $\overrightarrow{n}$ $\vec{n}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ , ta có:

$\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{n}\bot\overrightarrow{u_{1}} \\ \overrightarrow{n}\bot\overrightarrow{u_{2}} \\ \end{matrix} \right.$ ${\begin{matrix} \vec{n} ⊥ \vec{u_{1}} \\ \vec{n} ⊥ \vec{u_{2}} \end{matrix}$ nên $\overrightarrow{n}$ $\vec{n}$ cùng phương với $\left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\ \overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack$ $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}]$ .

Chọn $\overrightarrow{n} = ( - 6;1;2)$ $\vec{n} = (- 6; 1; 2)$ .

Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M_{1}(1;1;1)$ $M_{1} (1; 1; 1)$ và nhận vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = ( - 6;1;2)$ $\vec{n} = (- 6; 1; 2)$ có phương trình:

$- 6 (x - 1) + 1 (y - 1) + 2 (z - 1) = 0$

$\Leftrightarrow - 6x + y + 2z + 3 = 0$ $\Leftrightarrow - 6 x + y + 2 z + 3 = 0$ .

Thay tọa độ điểm $M_{2}$ $M_{2}$ vào phương trình mặt phẳng $(P)$ thấy không thỏa mãn.

Vậy phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $- 6 x + y + 2 z + 3 = 0$ .

Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!

----------------------------------------------

Trên đây là toàn bộ cách viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz một cách đầy đủ và dễ hiểu. Hy vọng bạn đã hiểu rõ các dạng bài cơ bản và nâng cao liên quan đến chủ đề này. Hãy tiếp tục luyện tập để thành thạo kỹ năng giải bài và đạt điểm cao trong kỳ thi THPT Quốc gia. Đừng quên chia sẻ tài liệu nếu bạn thấy hữu ích nhé!

Xem thêm các bài Tìm bài trong mục này khác:

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

27

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Bơ

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Cách viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz

591,9 KB

File word

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!