Chuyên đề Tiệm cận của đồ thị hàm số có chứa tham số
Đường tiệm cận của đồ thị hàm số - Có đáp án
Trong chương trình Toán 12, chuyên đề tiệm cận của đồ thị hàm số có chứa tham số là một dạng toán nâng cao, thường xuất hiện trong các đề thi thử, đề kiểm tra học kỳ và đặc biệt là đề thi THPT Quốc gia. Dạng bài này yêu cầu học sinh không chỉ nắm được các khái niệm cơ bản về tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên, mà còn phải phân tích điều kiện của tham số để xác định đúng tiệm cận của đồ thị hàm số. Bài viết dưới đây tổng hợp đầy đủ lý thuyết, các phương pháp giải, mẹo làm bài nhanh, đi kèm bài tập tiệm cận có đáp án chi tiết giúp học sinh ôn luyện hiệu quả và đạt điểm cao.
A. Bài tập Tiệm cận của đồ thị hàm số có chứa tham số m
Câu 1: Tìm giá trị thực của tham số 
\(m\) để đồ thị hàm sô \(y = \frac{mx - 1}{2x + m}\) có đường tiệm cận đứng đi qua điểm \(M\left( - 1;\sqrt{2}
\right).\)
A. \(m = 2\) B. \(m = 0\) C. \(m = \frac{1}{2}.\) D. \(m = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{2m^{2}x - 5}{x + 3}\) nhận đường thẳng \(y = 8\) làm tiệm cận ngang.
A. \(m = 2.\) B. \(m = - 2.\) C. \(m = \pm 2.\) D. \(m =0.\)
Câu 3: Biết rằng đồ thị hàm số \(y =
\frac{(m - 2n - 3)x + 5}{x - m - n}\) nhận hai trục tọa độ làm hai đường tiệm cận. Tính tổng \(S = m^{2} +
n^{2} - 2.\)
A. \(S = 2.\) B. \(S = 0.\) C. \(S = - 1.\) D. \(S = - 1.\)
Câu 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{2x^{2} - 3x + m}{x - m}\) không có tiệm cận đứng.
A. \(m = 0\) B. \(m = 1,m = 2\)
C. \(m = 0,m = 1\) D. \(m = 1\)
Câu 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{x + 1}{x^{2} - 2mx + 4}\) có ba đường tiệm cận.
A. \(m \in ( - \infty; - 2) \cup (2; +
\infty).\) B. \(m \in \left( - \infty; - \frac{5}{2}
\right) \cup \left( - \frac{5}{2}; - 2 \right).\)
C. \(m \in \left( - \infty; - \frac{5}{2}
\right) \cup \left( - \frac{5}{2}; - 2 \right) \cup (2; +
\infty).\) D. \(m \in (2; + \infty).\)
Câu 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(a\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{x^{2} + 1}{3x^{2} - 2ax + a}\) có đúng một tiệm cận đứng.
A. \(a = \pm
\sqrt{\frac{3}{2}}.\) B. \(a = 0,a = 3.\) C. \(a = 1,a = 2.\) D. \(a = \pm 2.\)
Câu 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{x + 2}{x^{2} - 4x + m}\) có đúng một tiệm cận ngang và đúng một tiệm cận đứng.
A. \(m < 4.\) B. \(m > 4.\) C. \(m = 4,m = - 12.\) D. \(m \neq 4.\)
Câu 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{x + 2}{x^{2} - 4x + m}\) có tiệm cận ngang mà không có tiệm cận đứng.
A. \(m = - 12.\) B. \(m > 4.\) C. \(m = - 12,m > 4.\) D. \(m \neq 4.\)
Câu 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực \(m\) thuộc đoạn \(\lbrack - 2017;2017\rbrack\) để hàm số \(y = \frac{x + 2}{\sqrt{x^{2} - 4x +
m}}\) có hai tiệm cận đứng.
A. \(2018.\) B. \(2019.\) C. \(2020.\) D. \(2021.\)
Câu 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho đồ thị của hàm số \(y = \frac{x + 1}{\sqrt{mx^{2} + 1}}\) có hai tiệm cận ngang.
A. Không có giá trị thực nào của \(m\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
B. \(m < 0\).
C. \(m = 0\).
D. \(m > 0\).
B. Đáp án tổng quát của bài tập trắc nghiệm
|
1 - A |
2 - C |
3 - B |
4 - C |
5 - C |
|
6 - B |
7 - C |
8 - B |
9 - C |
10 – D |
|
11 - A |
12 - B |
13 - C |
14 - B |
15 - C |
C. Hướng dẫn giải chi tiết bài tập trắc nghiệm
Câu 1:
TXĐ: \(D\mathbb{= R}\backslash\left\{ -
\frac{m}{2} \right\}\).
Ta có \(\left\{ \begin{matrix}
\lim_{x \rightarrow \left( - \frac{m}{2} \right)^{-}}y = \lim_{x
\rightarrow \left( - \frac{m}{2} \right)^{-}}\frac{mx - 1}{2x + m} = +
\infty \\
\lim_{x \rightarrow \left( - \frac{m}{2} \right)^{+}}y = \lim_{x
\rightarrow \left( - \frac{m}{2} \right)^{+}}\frac{mx - 1}{2x + m} = -
\infty \\
\end{matrix} \right.\ \rightarrow x = - \frac{m}{2}\) là TCĐ.
Do đó yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow -
\frac{m}{2} = - 1 \Leftrightarrow m = 2\).
Câu 2:
Ta có \(\lim_{x \rightarrow \pm \infty}y =
\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{2m^{2}x - 5}{x - 3} = 2m^{2}
\rightarrow y = 2m^{2}\) là TCN.
Do đó theo yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow 2m^{2} = 8 \Leftrightarrow m = \pm
2\).
Câu 3:
Ta có:
\(\lim_{x \rightarrow \pm \infty}y =
\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{(m - 2n - 3)x + 5}{x - m - n} = m -
2n - 3\) \(\Rightarrow y = m - 2n -
3\) là TCN;
\(\left| \lim_{x \rightarrow (n + m)^{+}}y
\right| = + \infty \rightarrow x = m + n\) là TCĐ.
Từ giả thiết, ta có
\(\left\{ \begin{matrix}
m + n = 0 \\
m - 2n - 3 = 0 \\
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
m = 1 \\
n = - 1 \\
\end{matrix} \right.\)
\(\Rightarrow S = m^{2} + n^{2} - 2 =
0\)
Câu 4:
TXĐ: \(D\mathbb{= R}\backslash\left\{ m
\right\}\).
Ta có \(y = \frac{(x - m)(2x + 2m - 3) +
2m(m - 1)}{x - m}\) \(= 2x + 2m - 3 +
\frac{2m(m - 1)}{x - m}\)
Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng thì các giới hạn \(\lim_{x \rightarrow m^{\pm}}y\) tồn tại hữu hạn \(\Leftrightarrow 2m(m - 1) = 0
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
m = 1 \\
m = 0 \\
\end{matrix} \right.\ .\)
Cách 2. (Chỉ áp dụng cho mẫu thức là bậc nhất)
Từ yêu cầu bài toán suy ra phương trình \(2x^{2} - 3x + m = 0\) có một nghiệm là \(x = m\)
\(\Rightarrow 2m^{2} - 3m + m = 0\) \(\Leftrightarrow 2m(m - 1) = 0
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
m = 0 \\
m = 1 \\
\end{matrix} \right.\).
Câu 5:
Ta có \(\lim_{x \rightarrow \pm \infty} =
\frac{x + 1}{x^{2} - 2mx + 4} = 0 \rightarrow y = 0\) là tiệm cận ngang với mọi \(m\).
Do đó ycbt tương đương với phương trình \(x^{2} - 2mx + 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác \(- 1\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\Delta' > 0 \\
( - 1)^{2} - 2m.( - 1) + 4 \neq 0 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m^{2} - 4 > 0 \\
2m + 5 \neq 0 \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\left\lbrack \begin{matrix}
m > 2 \\
m < - 2 \\
\end{matrix} \right.\ \\
m \neq - \frac{5}{2} \\
\end{matrix} \right.\)
Câu 6:
Để đồ thị hàm số \(y = \frac{x^{2} +
1}{3x^{2} - 2ax + a}\) có đúng một tiệm cận đứng \(\Leftrightarrow 3x^{2} - 2ax + a = 0\) có nghiệm duy nhất
\(\Leftrightarrow \Delta' = a^{2} - 3a
= 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
a = 0 \\
a = 3 \\
\end{matrix} \right.\).
Câu 7:
Ta có \(\lim_{x \rightarrow \pm
\infty}\frac{x + 2}{x^{2} - 4x + m} = 0 \rightarrow y = 0\) là tiệm cận ngang với mọi \(m.\)
Để đồ thị hàm số \(y = \frac{x + 2}{x^{2} -
4x + m}\) có đúng một tiệm cận ngang và đúng một tiệm cận đứng \(\Leftrightarrow\)Phương trình \(x^{2} - 4x + m = 0\) có nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng \(- 2\)
\(\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
\Delta' = 4 - m = 0 \\
\left\{ \begin{matrix}
\Delta' = 4 - m > 0 \\
( - 2)^{2} - 4( - 2) + m = 0 \\
\end{matrix} \right.\ \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
m = 4 \\
m = - 12 \\
\end{matrix} \right.\)
----------------------------------------------
Chuyên đề “Tiệm cận của đồ thị hàm số có chứa tham số” không chỉ giúp học sinh củng cố kiến thức về giới hạn và khảo sát hàm số mà còn rèn luyện kỹ năng phân tích, tư duy logic thông qua các bài toán có yếu tố tham số. Đây là phần kiến thức thường được đưa vào các câu hỏi vận dụng cao trong đề thi, nên việc luyện tập bài bản là cực kỳ quan trọng. Với hệ thống bài tập kèm đáp án chi tiết, lời giải rõ ràng, học sinh sẽ từng bước làm quen với nhiều dạng bài khác nhau, tránh được những lỗi sai phổ biến. Để đạt hiệu quả học tập tốt nhất, hãy kết hợp chuyên đề này với các phần kiến thức liên quan như đạo hàm, khảo sát hàm số, cực trị và tiếp tuyến. Đừng quên lưu lại bài viết và chia sẻ cho bạn bè cùng ôn luyện nhé!
