Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán - Chuyên đề: Hình học giải tích trong không gian Oxyz

Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Loại File: PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Ôn thi Đại học môn Toán: Hình học giải tích trong không gian Oxyz

Trong chương trình Toán 12, chuyên đề hình học giải tích trong không gian Oxyz là nội dung quan trọng của phần hình học và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp THPT. Các bài toán liên quan đến tọa độ điểm, phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng, khoảng cách và góc trong không gian đòi hỏi học sinh phải nắm chắc kiến thức hình học kết hợp với kỹ năng biến đổi đại số.

Bài viết “Ôn thi Đại học môn Toán – Chuyên đề: Hình học giải tích trong không gian Oxyz” được biên soạn nhằm hệ thống hóa toàn bộ kiến thức trọng tâm của chuyên đề này trong chương trình Toán lớp 12. Nội dung không chỉ tổng hợp lý thuyết quan trọng mà còn cung cấp nhiều dạng bài tập tiêu biểu giúp học sinh rèn luyện phương pháp giải và nâng cao khả năng phân tích bài toán không gian bằng phương pháp tọa độ.

Tài liệu được xây dựng bám sát định hướng ra đề của Bộ Giáo dục và Đào tạo Việt Nam , giúp học sinh làm quen với cấu trúc câu hỏi trong đề thi và nâng cao tốc độ xử lý các bài toán trắc nghiệm. Đây là nguồn tài liệu hữu ích hỗ trợ quá trình luyện đề, tổng ôn kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán.

VẤN ĐỀ 1: MẶT PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

I. Tọa độ

II. Mặt phẳng

- Vecto pháp tuyến của mặt phẳng là vecto khác vecto 0 và có giá vuông góc mặt phẳng.

- Phương trình tổng quát: (α): Ax + By + Cz + D = 0 (A² + B² + C²) # 0

- Ôn thi đại học môn Toán chuyên đề hình học giải tích trong không gian Oxyz

→ (α): A(x - x_o) + B(y - y_o) + C(z - z_o) = 0

- Mặt phẳng chắn: (α) cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A $\left( \alpha \right):\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ (a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), (a, b, c # 0)

- Mặt phẳng đặc biệt: (Oxy): z = 0; (Oxz): y = 0, (Oyz): x = 0

III. Đường thẳng

Vector chỉ phương của đường thẳng là vecto khác 0 và có giá cùng phương với đường thẳng
Đường thẳng d đi qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)$
Phương trình tham số: $\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_0}}}{{{a_3}}}$ với ${{a_1};{a_2};{a_3} \ne 0}$
Đường thẳng đặc biệt: $Ox:\left\{ \begin{gathered} y = 0 \hfill \\ z = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.;Oy:\left\{ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ z = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.;Oz:\left\{ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

B. ĐỀ THI

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng d: . Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox.

Giải:

Cách 1:

Gọi M là giao điểm của Δ với trục Ox => M(m; 0; 0) => $\overrightarrow {AM} = \left( {m - 1; - 2; - 3} \right)$

Vecto chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow a = \left( {2;1; - 2} \right)$

$\Delta \bot d$ suy ra $aM \bot d$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow a = 0 \Leftrightarrow 2\left( {m - 1} \right) + 1.\left( { - 2} \right) - 2.\left( { - 3} \right) = 0$ $\Leftrightarrow m = 1$

Đường thẳng Δ đi qua M nhận $\overrightarrow {AM} = \left( { - 2; - 2; - 3} \right)$ làm vecto chỉ phương nên có phương trình là: $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{3}$

Cách 2:

Δ đi qua A và cắt trục Ox nên Δ nằm trên mặt phẳng (P) đi qua A và chứa trục Ox.

Δ đi qua A và vuông góc với d nên Δ nằm trên mặt phẳng (Q) đi qua A.

Ta có:

Vecto pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {OA} ;\overrightarrow i } \right]$

Vecto pháp tuyến của (Q) là: $\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \overrightarrow {{a_d}}$

Δ = (P) ∩ (Q) => vecto chỉ phương của Δ là: $\overrightarrow {{a_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ;\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right]$

Cách 3:

Mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với d → (Q): 2x + y – 2z + 2 = 0.
Gọi M là giao điểm của Ox và (Q) → M(–1; 0; 0).
Véctơ chỉ phương của Δ là:

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z + 5}}{{ - 2}}$ và hai điểm A(-2; 1; 1), B(-3; -1; 2). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng Δ sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 3√5.

Giải

Đường thẳng Δ đi qua E(-2; 1; -5) và có véctơ chỉ phương nên có phương trình tham số là: $\left\{ \begin{gathered} x = - 2 + t \hfill \\ y = 1 + 3t \hfill \\ z = - 5 - 2t \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$

M∈Δ => M(-2 + t; 1+3t; -5-2t)

$\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 2;1} \right) \hfill \\ \overrightarrow {AM} = \left( {t;3t; - 6 - 2t} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AM} } \right] = \left( {t + 12; - t - 6; - t} \right)$

${S_{MAB}} = 3\sqrt 5 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AM} } \right] = 3\sqrt 5$

$\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {t + 12} \right)}^2} + {{\left( {t + 6} \right)}^2} + {t^2}} = 3\sqrt 5$

$\Leftrightarrow 3{t^2} + 36t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} t = 0 \hfill \\ t = - 12 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Vậy M(-2; 1; -5) hoặc M(-14; -35; 19).

Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng $\Delta :\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y - 3z + 4 = 0$ . Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng Δ.

Hướng dẫn giải

Tọa độ điểm I của Δ và (P) thỏa mãn hệ phương trình:

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{z}{{ - 1}} \hfill \\ x + 2y - 3z + 4 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow I\left( { - 3;1;1} \right)$

Vecto pháp tuyến của (P) $\overrightarrow n = \left( {1;2; - 3} \right)$ , vecto chỉ phương của Δ: $\overrightarrow u = \left( {1;1; - 1} \right)$

Đường thẳng d cần tìm qua I và có một vecto chỉ phương: $\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {{n_{\left( {{P_1}} \right)}}} = \left( {1;2;3} \right) \hfill \\ \overrightarrow {{n_{\left( {{P_2}} \right)}}} = \left( {3;2; - 1} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Phương trình d là: $\left\{ \begin{gathered} x = - 3 + t \hfill \\ y = 1 - 2t \hfill \\ z = 1 - t \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$ .

Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right):x + 2y + 3z + 4 = 0$ và $\left( {{P_2}} \right):3x + 2y - z + 1 = 0$ . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;1;1) vuông góc với mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right)$ và $\left( {{P_2}} \right)$ .

Hướng dẫn giải

Vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right)$ và $\left( {{P_2}} \right)$ là: $\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {{n_{\left( {{P_1}} \right)}}} = \left( {1;2;3} \right) \hfill \\ \overrightarrow {{n_{\left( {{P_2}} \right)}}} = \left( {3;2; - 1} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Gọi (P) vuông góc với hai mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right)$ và $\left( {{P_2}} \right)$

Suy ra (P) có một vecto pháp tuyến $\Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( {{P_1}} \right)}}} ;\overrightarrow {{n_{\left( {{P_2}} \right)}}} } \right] = - 2\left( {4; - 5;2} \right)$

Mặt khác (P) đi qua A(1;1;1) nên phương trình mặt phẳng:

(P): 4(x-1) - 5(y - 1)+2(z-1) = 0

Hay (P): 4x - 5y + 2z - 1 = 0

Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;1;1), B(0;2;1) và trọng tâm G(0;2;-1). Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm C và vuông góc với mặt phẳng (ABC).

Hướng dẫn giải

Ta có G là trọng tâm tam giác ABC khi đó tọa độ điểm C(-1;3;-4)

Lại có: $\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;1} \right) \hfill \\ \overrightarrow {AC} = \left( { - 2;2; - 4} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên có một vecto chỉ phương $\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = - 6\left( {1;1;0} \right)$

Mặt khác đường thẳng Δ đi qua điểm C nên phương trình đường thẳng cần tìm là: $\Delta :\left\{ \begin{gathered} x = - 1 + t \hfill \\ y = 3 + t \hfill \\ z = - 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$ .

Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm và đường thẳng d có phương trình: $\frac{x}{1} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 1}{2}$

1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng d.

2. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MOA cân tại đỉnh O

Hướng dẫn giải

1. Ta có: (P) : $\left\{ \begin{matrix} \text{~qua~}A(1;1;3) \\ \text{~có vectơ pháp tuyến~}\overrightarrow{n_{(P)}} = \overrightarrow{a_{d}} = (1; - 1;2) \end{matrix} \right.$

Phương trình mặt phẳng

$\begin{matrix} & \ (P):1(x - 1) - (y - 1) + 2(z - 3) = 0 \\ & \ \Leftrightarrow x - y + 2z - 6 = 0 \end{matrix}$

2. Gọi $M(t; - t;2t + 1) \in d$

Tam giác OMA cân tại $O \Leftrightarrow {MO}^{2} = {OA}^{2} \Leftrightarrow t^{2} + t^{2} + (2t + 1)^{2} = 1 + 1 + 9$

$\Leftrightarrow 6t^{2} + 4t - 10 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \vee t = - \frac{5}{3}$

Với tọa độ điểm .

Với $t = - \frac{5}{3}$ tọa độ điểm $M\left( - \frac{5}{3};\frac{5}{3}; - \frac{7}{3} \right)$ .

Bài 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm và đường thẳng $\Delta:\frac{x - 1}{- 1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z}{2}$

1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB).

2. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng $\Delta$ sao cho ${MA}^{2} + {MB}^{2}$ nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

1. Tọa độ trọng tâm: . Ta có: $\overrightarrow{OA} = (1;4;2),\overrightarrow{OB} = ( - 1;2;2)$

Vectơ chỉ phương của d là: $\overrightarrow{u} = (12; - 6;6) = 6(2; - 1;1)$

Phương trình đường thẳng $d:\frac{x}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 2}{1}$
2. Vì $M \in \Delta \Rightarrow M(1 - t; - 2 + t;2t)$

$\begin{matrix} \Rightarrow MA^{2} + MB^{2} & \ = \left( t^{2} + (6 - t)^{2} + (2 - 2t)^{2} \right) + \left( ( - 2 + t)^{2} + (4 - t)^{2} + (4 - 2t)^{2} \right) \\ & \end{matrix}$

$= 12t^{2} - 48t + 76 = 12(t - 2)^{2} + 28$

${MA}^{2} + {MB}^{2}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow t = 2$ . Khi đó

Bài 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm và hai đường thẳng:

$d_{1}:\frac{x}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 1}{- 1};\ d_{2}:\left\{ \begin{matrix} x = 1 + t \\ y = - 1 - 2t \\ z = 2 + t \end{matrix}\ (t \in \mathbb{R}) \right.$

1. Viết phương trình mặt phẳng qua A , đồng thời song song $d_{1}$ và $d_{2}$ .

2. Tìm tọa độ các điểm M thuộc $d_{1},\text{ }N$ thuộc $d_{2}$ sao cho thẳng hàng

Hướng dẫn giải

1. Vectơ chỉ phương của $d_{1}$ và $d_{2}$ lần lượt là: $\overrightarrow{u_{1}} = (2;1; - 1)$ và $\overrightarrow{u_{2}} = (1; - 2;1)$

⇒ vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{n} = \left\lbrack \overrightarrow{u_{1}},\overrightarrow{u_{2}} \right\rbrack = ( - 1; - 3; - 5)$

Vì (P) qua $A(0;1;2) \Rightarrow (P):x + 3y + 5z - 13 = 0$ .

Do $B(0;1; - 1) \in d_{1},C(1; - 1;2) \in d_{2}$ nhưng $B,C \notin (P)$ , nên $d_{1},{\text{ }d}_{2}//(P)$ .

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là

2. Vì $M \in d_{1},N \in d_{2}$ nên

$\Rightarrow \overrightarrow{AM} = (2\text{ }m;m; - 3 - m);\overrightarrow{AN} = (1 + n; - 2 - 2n;n)$

$\Rightarrow \lbrack\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AN}\rbrack = ( - mn - 2\text{ }m - 6n - 6; - 3mn - m - 3n - 3; - 5mn - 5\text{ }m)$

thẳng hàng $\Leftrightarrow \lbrack\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AN}\rbrack = \overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow m = 0,n = - 1 \Rightarrow M(0;1; - 1),N(0;1;1)$

Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!

------------------------------------------------------

Chuyên đề hình học giải tích trong không gian Oxyz đóng vai trò quan trọng trong chương trình Toán 12 và thường xuất hiện trong nhiều dạng câu hỏi của đề thi tốt nghiệp THPT. Việc nắm vững các công thức tọa độ, phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng và các phương pháp tính khoảng cách, góc trong không gian sẽ giúp học sinh giải quyết bài toán một cách nhanh chóng và chính xác.

Tài liệu “Ôn thi Đại học môn Toán – Chuyên đề: Hình học giải tích trong không gian Oxyz” giúp hệ thống lại toàn bộ kiến thức trọng tâm cùng những dạng bài tiêu biểu thường gặp trong đề thi. Nội dung được biên soạn theo định hướng ra đề của Bộ Giáo dục và Đào tạo Việt Nam , hỗ trợ học sinh làm quen với cấu trúc đề và nâng cao kỹ năng giải toán trắc nghiệm.

Khi kết hợp việc học lý thuyết với luyện tập có hệ thống, học sinh sẽ hiểu sâu bản chất của các bài toán hình học không gian và nâng cao khả năng vận dụng kiến thức trong nhiều dạng bài khác nhau. Đây là tài liệu hữu ích giúp quá trình luyện đề, củng cố kiến thức và hướng tới mục tiêu đạt điểm cao trong kỳ thi THPT Quốc gia môn Toán.

Tải về

Chọn file muốn tải về: