Lý Thuyết Và Bài Tập Nguyên Hàm
Chuyên đề toán 12: Nguyên hàm
Nguyên hàm là một trong những chủ đề quan trọng của chương trình Toán lớp 12, đặc biệt thường xuyên xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia. Bài viết này sẽ giúp bạn hệ thống lại toàn bộ lý thuyết nguyên hàm, bảng công thức nguyên hàm cần nhớ, cũng như hướng dẫn cách giải các dạng bài tập nguyên hàm từ cơ bản đến nâng cao. Với ví dụ minh họa chi tiết và lời giải dễ hiểu, bạn sẽ nắm chắc kiến thức và tự tin chinh phục mọi dạng đề liên quan đến nguyên hàm.
Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hay một nửa khoảng
A. Định nghĩa nguyên hàm
Cho hàm số 
\(f(x)\) xác định trên K. Hàm số \(F(x)\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên K nếu \(F'(x) = f(x)\) với mọi x thuộc K.
Định lý 1
1. Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm \(G(x) =
F(x) + C\) cũng là một nguyên hàm của hàm \(f(x)\) trên K.2. Đảo lại nếu \(F(x)\) và \(G(x)\) là hai nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên K thì tồn tại hằng số C sao cho \(F(x) = G(x) +
C\).
Định lý 2
Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên K thì mọi nguyên hàm của \(f(x)\) trên K đều có dạng \(F(x) + C\), với C là một hằng số.
Người ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.”
Từ hai định lý trên ta có
- Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên K thì \(F(x) + C,C\mathbb{\in R}\) là họ tất cả các nguyên hàm của \(f(x)\) trên K. Kí hiệu
\(\int_{}^{}{f(x)dx} = F(x) +
C\)
B. Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1
\(\int_{}^{}{f'(x)}dx = f(x) +
C\)
Tính chất 2
\(\int_{}^{}{kf(x)}dx =
k\int_{}^{}{f(x)}dx\)
Tính chất 3
\(\int_{}^{}{\left\lbrack f(x) \pm g(x)
\right\rbrack dx} = \int_{}^{}{f(x)dx} \pm
\int_{}^{}{g(x)}dx\)
C. Hai phương pháp cơ bản để tìm nguyên hàm
1. Phương pháp đổi biến số
Định lý 3
Cho hàm số \(u = u(x)\) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số \(y =
f(u)\) liên tục sao cho hàm hợp \(f\left\lbrack u(x) \right\rbrack\) xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f thì \(\int_{}^{}{f\left\lbrack u(x)
\right\rbrack u'(x)dx = F\left\lbrack u(x) \right\rbrack +
C}\)
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm \(\int_{}^{}{(x -
1)^{10}dx}\).
Hướng dẫn giải
Theo định lý trên thì ta cần viết về dạng \(\int_{}^{}{f(u)d}u\).
Mà \(u' = (x - 1)' = 1\), do vậy
\(\int_{}^{}{(x - 1)^{10}dx = \int_{}^{}{(x
- 1)^{10}.(x - 1)'dx = \int_{}^{}{(x - 1)^{10}d(x - 1) = \frac{(x -
1)^{11}}{11} + C}}}\).
Từ ví dụ trên ta có các bước gợi ý để xử lý bài toán tìm nguyên hàm theo phương pháp đổi biến.
Bài toán: Gửi vào ngân hàng một số tiền a đồng với lãi suất x% = r mỗi tháng theo hình thức lãi kép. Gửi theo phương thức có kỳ hạn m tháng. Tính số tiền cả gốc lẫn lãi A sau n kỳ hạn.
Lời giải tổng quát
1. Đặt \(u = g(x)\).
2. Biến đổi x và dx về u và du.
3. Giải bài toán dưới dạng nguyên hàm hàm hợp \(\int_{}^{}{f(u)du}\), sau đó thay biến x vào nguyên hàm tìm được và kiểm tra lại kết quả.
Ta đến với ví dụ 2
Ví dụ 2: Tìm \(\int_{}^{}{x^{2}(1 -
x)^{7}dx}\).
Ở bài toán này, ta thấy số mũ 7 khá cao mà lại có biểu thức trong ngoặc phức tạp hơn là \(x^{2}\). Do vậy ta sẽ đặt \((1 - x)^{7}\) để đổi biến, dưới đây là lời giải áp dụng gợi ý các bước trên.
Hướng dẫn giải
Đặt \(u = 1 - x \Leftrightarrow du = (1 -
x)'dx \Leftrightarrow du = - dx\)
ta có \(\int_{}^{}{x^{2}(1 - x)^{7}dx =
\int_{}^{}{(1 - u)^{2}.u^{7}.( - 1)du = - \int_{}^{}{\left( u^{7} -
2u^{8} + u^{9} \right)du}}}\)
\(= - \frac{u^{8}}{8} + \frac{2u^{9}}{9} -
\frac{u^{10}}{10} + C = - \frac{(1 - x)^{8}}{8} + \frac{2(1 - x)^{9}}{9}
- \frac{(1 - x)^{10}}{10} + C\)
2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Định lý 4
Nếu u và v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:
\(\int_{}^{}{u(x)v'(x)dx =
u(x).v(x) - \int_{}^{}{v(x)u'(x)dx}}\)
Nếu nguyên hàm có dạng \(\int_{}^{}{p(x).q(x)}dx\) thì ta có thể nghĩ đến phương pháp nguyên hàm từng phần. Bảng sau gợi ý cách đặt ẩn phụ để tính nguyên hàm \(\int_{}^{}{p(x).q(x)dx}\).
| Hàm dưới dấu tích phân | Cách đặt |
| \(p(x)\) là đa thức, \(q(x)\) là hàm lượng giác |
\(\left\{ \begin{matrix}
u = p(x) \\
dv = q(x)dx \\
\end{matrix} \right.\) |
| \(p(x)\) là đa thức, \(q(x) = f'\left( e^{x}
\right).e^{x}\) |
\(\left\{ \begin{matrix}
u = p(x) \\
dv = q(x)dx \\
\end{matrix} \right.\) |
| \(p(x)\) là đa thức, \(q(x) = f\left( \ln x \right)\) |
\(\left\{ \begin{matrix}
u = q(x) \\
dv = p(x)dx \\
\end{matrix} \right.\) |
| \(p(x)\) là hàm lượng giác, \(q(x) = f\left( e^{x} \right)\) |
\(\left\{ \begin{matrix}
u = q(x) \\
dv = p(x)dx \\
\end{matrix} \right.\) |
| \(p(x)\) là đa thức, \(q(x) = f'\left( \ln x
\right)\frac{1}{x}\) |
\(\left\{ \begin{matrix}
u = p(x) \\
dv = q(x)dx \\
\end{matrix} \right.\) |
| \(p(x)\) là đa thức, \(q(x) = f'\left( u(x) \right).\left( u(x)
\right)'\), \(u(x)\) là các hàm lượng giác \(\left( \sin x,cosx,tanx,cotx
\right)\) |
\(\left\{ \begin{matrix}
u = p(x) \\
dv = q(x)dx \\
\end{matrix} \right.\) |
Ví dụ 3: Thầy Điệp Châu cho bài toán “Tìm \(\int_{}^{}{\sin x\cos xdx}\)” thì ba bạn Huyền, Lê và Hằng có ba cách giải khác nhau như sau
| Bạn Huyền giải bằng phương pháp đổi biến số như sau: “Đặt \(u = \sin x\), ta có: \(du = \cos xdx\)Vậy \(\int_{}^{}{\sin x.cosxdx} =
\int_{}^{}{udu}\) \(= \frac{u^{2}}{2} +
C = \frac{sin^{2}x}{2} + C\) |
”Bạn Lê giải bằng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần như sau: “Đặt Ta có Công thức nguyên hàm từng phần cho ta Theo đẳng thức trên ta có Điều này chứng tỏ Vậy |
”Bạn Minh Hằng chưa học đến hai phương pháp trên nên làm như sau:“\(\int_{}^{}{\sin x.cosxdx}\) \(= \int_{}^{}{\frac{sin2x}{2}dx}\) \(= - \frac{cos2x}{4} + C\)”. |
Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Bạn Hằng giải đúng, bạn Lê và Huyền giải sai
B. Bạn Lê sai, Huyền và Hằng đúng.
C. Ba bạn đều giải sai.
D. Ba bạn đều giải đúng.
Đáp án D.
Nhận xét: Sau khi soát kĩ cả ba lời giải, ta thấy ba lời giải trên đều không sai ở bước nào cả, tuy nhiên, tại sao đến cuối cùng đáp án lại khác nhau? Ta xem giải thích ở lời giải sau
Hướng dẫn giải
Cả ba đáp số đều đúng, tức là cả ba hàm số \(\frac{sin^{2}x}{2}\); \(- \frac{cos^{2}x}{2}\) và \(- \frac{cos2x}{4}\) đều là nguyên hàm của \(\sin x.cosx\) do chúng chỉ khác nhau về một hằng số.
Thật vậy \(\frac{sin^{2}x}{2}
- \left( - \frac{cos^{2}x}{2} \right) = \frac{1}{2}\);
\(\frac{sin^{2}x}{2} - \left( -
\frac{cos2x}{4} \right) = \frac{2sin^{2}x + \left( 1 - 2sin^{2}x
\right)}{4} = \frac{1}{4}\).
