VnDoc.com

Chuyên đề Toán 12 Tích phân hàm phân thức

Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại: Tài liệu Lẻ

Mức độ: Khó

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Các dạng toán tích phân hàm phân thức thường gặp

A. Đề bài trắc nghiệm Tích phân hàm phân thức
B. Đáp án tổng quan bài tập trắc nghiệm
C. Hướng dẫn giải chi tiết bài tập trắc nghiệm

Trong chương trình Toán 12, phần tích phân hàm phân thức là một chuyên đề quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong đề thi THPT quốc gia môn Toán. Đây là dạng toán đòi hỏi học sinh hiểu rõ công thức cơ bản, biết cách tách phân thức, biến đổi mẫu số và vận dụng linh hoạt các phương pháp tích phân. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn hệ thống lý thuyết, các dạng bài tập điển hình và phương pháp giải nhanh, giúp ôn luyện hiệu quả và đạt điểm cao trong kỳ thi.

A. Đề bài trắc nghiệm Tích phân hàm phân thức

Câu 1: Giá trị của tích phân $I = \int_{- 1}^{0}{\frac{x^{3} - 3x^{2} + 2}{x^{2} + x - 2}dx}$ $I = \int_{- 1}^{0}{\frac{x^{3} - 3x^{2} + 2}{x^{2} + x - 2}dx}$ gần nhất với gái trị nào sau đây?

A. $- \frac{ln2}{2}$ $- \frac{ln2}{2}$ B. $ln2 - 1$ C. $\frac{3}{2} - ln4$ $\frac{3}{2} - ln4$ D. $- \frac{ln3}{3}$ $- \frac{ln3}{3}$

Câu 2: Tích phân $I = \int_{- 2}^{- 1}\frac{\left| x^{3} - 3x + 2 \right|}{x - 1}dx$ $I = \int_{- 2}^{- 1}\frac{\left| x^{3} - 3x + 2 \right|}{x - 1}dx$ có giá trị là:

A. $I = - \frac{7}{6}$ $I = - \frac{7}{6}$ B. $I = \frac{17}{6}$ $I = \frac{17}{6}$ C. $I = \frac{7}{6}$ $I = \frac{7}{6}$ D. $I = - \frac{17}{6}$ $I = - \frac{17}{6}$

Câu 3: Tích phân $I = \int_{- 2}^{2}\left| \frac{x^{2} - x - 2}{x - 1} \right|dx$ $I = \int_{- 2}^{2}\left| \frac{x^{2} - x - 2}{x - 1} \right|dx$ có giá trị là:

A. $I = 3 - 2ln3$ B. $I = - 2\ln3$ $I = - 2\ln3$

C. $I = 3 + 2ln3$ D. $I = 3 - 3ln2$

Câu 4: Tích phân $I = \int_{- 1}^{1}{\frac{x}{\sqrt{x + 1} - 1}dx}$ $I = \int_{- 1}^{1}{\frac{x}{\sqrt{x + 1} - 1}dx}$ có giá trị là:

A. $I = \frac{4\sqrt{2}}{3} + 2$ $I = \frac{4\sqrt{2}}{3} + 2$ B. $I = \frac{4\sqrt{2}}{3} - 2$ $I = \frac{4\sqrt{2}}{3} - 2$

C. $I = \frac{4\sqrt{2}}{3} - 1$ $I = \frac{4\sqrt{2}}{3} - 1$ D. $I = \frac{4\sqrt{2}}{3} + 1$ $I = \frac{4\sqrt{2}}{3} + 1$

Câu 5: Tích phân $I = \int_{- 1}^{0}{\frac{ax}{ax^{2} + 2}dx}$ $I = \int_{- 1}^{0}{\frac{ax}{ax^{2} + 2}dx}$, với $a \neq - 2$ $a \neq - 2$ có giá trị là:

A. $I = \frac{ln2 + \ln|a + 2|}{2}$ $I = \frac{ln2 + \ln|a + 2|}{2}$ B. $I = \frac{ln2 - \ln|a + 2|}{2}$ $I = \frac{ln2 - \ln|a + 2|}{2}$

C. $I = \frac{- ln2 - \ln|a + 2|}{2}$ $I = \frac{- ln2 - \ln|a + 2|}{2}$ D. $I = \frac{- ln2 + \ln|a + 2|}{2}$ $I = \frac{- ln2 + \ln|a + 2|}{2}$

Câu 6: Tích phân $I = \int_{0}^{1}{\frac{a^{2}x^{3} + ax}{\sqrt{ax^{2} + 1}}dx}$ $I = \int_{0}^{1}{\frac{a^{2}x^{3} + ax}{\sqrt{ax^{2} + 1}}dx}$, với $a \geq 0$ $a \geq 0$ có giá trị là:

A. $I = \frac{a(a - 2)}{4}$ $I = \frac{a(a - 2)}{4}$ B. $I = \frac{a(a - 2)}{2}$ $I = \frac{a(a - 2)}{2}$

C. $I = \frac{a(a + 2)}{4}$ $I = \frac{a(a + 2)}{4}$ D. $I = \frac{a(a + 2)}{2}$ $I = \frac{a(a + 2)}{2}$

Câu 7: Tích phân $I = \int_{1}^{e}{\frac{2lnx\sqrt{ln^{2}x + 1}}{x}dx}$ $I = \int_{1}^{e}{\frac{2lnx\sqrt{ln^{2}x + 1}}{x}dx}$ có giá trị là:

A. $I = \frac{4\sqrt{2} - 2}{3}$ $I = \frac{4\sqrt{2} - 2}{3}$ B. $I = \frac{4\sqrt{2} + 2}{3}$ $I = \frac{4\sqrt{2} + 2}{3}$

C. $I = \frac{2\sqrt{2} - 2}{3}$ $I = \frac{2\sqrt{2} - 2}{3}$ D. $I = \frac{2\sqrt{2} + 2}{3}$ $I = \frac{2\sqrt{2} + 2}{3}$

Câu 8: Tích phân $I = \int_{0}^{\sqrt[3]{7}}{\frac{3x^{5}}{\sqrt[3]{8 - x^{3}}}dx}$ $I = \int_{0}^{\sqrt[3]{7}}{\frac{3x^{5}}{\sqrt[3]{8 - x^{3}}}dx}$ có giá trị là:

A. $I = \frac{87}{5}$ $I = \frac{87}{5}$ B. $I = \frac{67}{5}$ $I = \frac{67}{5}$ C. $I = \frac{77}{5}$ $I = \frac{77}{5}$ D. $I = \frac{57}{5}$ $I = \frac{57}{5}$

Câu 9: Tích phân $I = \int_{0}^{1}{\frac{3 + 4x}{\sqrt{3 + 2x - x^{2}}}dx}$ $I = \int_{0}^{1}{\frac{3 + 4x}{\sqrt{3 + 2x - x^{2}}}dx}$ có giá trị là:

A. $I = \frac{7\pi}{6} - 4\sqrt{3} + 8$ $I = \frac{7\pi}{6} - 4\sqrt{3} + 8$ B. $I = \frac{7\pi}{6} - 4\sqrt{3} - 8$ $I = \frac{7\pi}{6} - 4\sqrt{3} - 8$

C. $I = \frac{7\pi}{6} + 4\sqrt{3} - 8$ $I = \frac{7\pi}{6} + 4\sqrt{3} - 8$ D. $I = \frac{7\pi}{6} + 4\sqrt{3} + 8$ $I = \frac{7\pi}{6} + 4\sqrt{3} + 8$

Câu 10: Tích phân $I = \int_{- 1}^{\frac{1}{2}}{\frac{4x - 3}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx}$ $I = \int_{- 1}^{\frac{1}{2}}{\frac{4x - 3}{\sqrt{5 + 4x - x^{2}}}dx}$ có giá trị là:

A. $I = \frac{5\pi}{3}$ $I = \frac{5\pi}{3}$ B. $I = \frac{5\pi}{6}$ $I = \frac{5\pi}{6}$ C. $I = - \frac{5\pi}{3}$ $I = - \frac{5\pi}{3}$ D. $I = - \frac{5\pi}{6}$ $I = - \frac{5\pi}{6}$

Câu 11: Tích phân $I = \int_{0}^{3}{\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9}}dx}$ $I = \int_{0}^{3}{\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9}}dx}$ có giá trị là:

A. $I = - \ln\frac{3+2\sqrt{3}}{3}$ $I = - \ln\frac{3+2\sqrt{3}}{3}$ B. $I = - \ln\frac{- 3 + 2\sqrt{3}}{3}$ $I = - \ln\frac{- 3 + 2\sqrt{3}}{3}$

C. $I = \ln\frac{3 + 2\sqrt{3}}{3}$ $I = \ln\frac{3 + 2\sqrt{3}}{3}$ D. $I = \ln\frac{- 3 + 2\sqrt{3}}{3}$ $I = \ln\frac{- 3 + 2\sqrt{3}}{3}$

Câu 12: Tích phân $I = \int_{1}^{2}\frac{ax + 1}{x^{2} + 3x + 2}dx = \frac{3}{5}\ln\frac{4}{3} + \frac{3}{5}\ln\frac{2}{3}$ $I = \int_{1}^{2}\frac{ax + 1}{x^{2} + 3x + 2}dx = \frac{3}{5}\ln\frac{4}{3} + \frac{3}{5}\ln\frac{2}{3}$. Giá trị của a là:

A. $a = \frac{1}{5}$ $a = \frac{1}{5}$ B. $a = \frac{2}{5}$ $a = \frac{2}{5}$ C. $a = \frac{3}{5}$ $a = \frac{3}{5}$ D. $a = \frac{4}{5}$ $a = \frac{4}{5}$

Câu 13: Tích phân $I = \int_{0}^{1}\frac{a}{\sqrt{3x^{2} + 12}}dx$ $I = \int_{0}^{1}\frac{a}{\sqrt{3x^{2} + 12}}dx$ có giá trị là:

A. $I = \frac{a}{\sqrt{3}}\ln\left| \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right|$ $I = \frac{a}{\sqrt{3}}\ln\left| \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right|$ B. $I = - \frac{a}{\sqrt{3}}\ln\left| \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right|$ $I = - \frac{a}{\sqrt{3}}\ln\left| \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right|$

C. $I = - \frac{a}{\sqrt{3}}\ln\left| \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right|$ $I = - \frac{a}{\sqrt{3}}\ln\left| \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right|$ D. $I = \frac{a}{\sqrt{3}}\ln\left| \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right|$ $I = \frac{a}{\sqrt{3}}\ln\left| \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right|$

Câu 14: Tích phân $I = \int_{1}^{2}\frac{ax - 2}{\sqrt{ax^{2} - 4x}}dx = 2\sqrt{3} - 1$ $I = \int_{1}^{2}\frac{ax - 2}{\sqrt{ax^{2} - 4x}}dx = 2\sqrt{3} - 1$. Giá trị nguyên của a là:

A. $a = 5$ B. $a = 6$ C. $a = 7$ D. $a = 8$

Câu 15: Tích phân $I = \int_{1}^{a}\frac{x^{2} + 1}{x^{3} + 3x}dx = \frac{1}{3}\ln\frac{7}{2}$ $I = \int_{1}^{a}\frac{x^{2} + 1}{x^{3} + 3x}dx = \frac{1}{3}\ln\frac{7}{2}$. Giá trị của a là:

A. $a = 1$ B. $a = 2$ C. $a = 3$ D. $a = 4$

B. Đáp án tổng quan bài tập trắc nghiệm

1 - A	2 - C	3 - A	4 - A	5 - B	6 – C
7 - A	8 - A	9 - C	10 - A	11 - C	12 – D
13 - D	14 - A	15 - B	16 - A	17 - B	18 – A
19 - B	20 - A	21 - B	22 - D

C. Hướng dẫn giải chi tiết bài tập trắc nghiệm

Câu 1:

Ta có:

$I = \int_{- 1}^{0}{\frac{x^{3} - 3x^{2} + 2}{x^{2} + x - 2}dx}$ $I = \int_{- 1}^{0}{\frac{x^{3} - 3x^{2} + 2}{x^{2} + x - 2}dx}$

$= \int_{- 1}^{0}{\frac{(x - 1)\left( x^{2} - 2x - 2 \right)}{(x - 1)(x + 2)}dx}$ $= \int_{- 1}^{0}{\frac{(x - 1)\left( x^{2} - 2x - 2 \right)}{(x - 1)(x + 2)}dx}$

$= \int_{- 1}^{0}{\frac{x^{2} - 2x - 2}{x + 2}dx} = \int_{- 1}^{0}{\left( x - 4 + \frac{6}{x + 2} \right)dx}$ $= \int_{- 1}^{0}{\frac{x^{2} - 2x - 2}{x + 2}dx} = \int_{- 1}^{0}{\left( x - 4 + \frac{6}{x + 2} \right)dx}$

$= \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2} - 4x + 6ln|x + 2| \right) \right|_{- 1}^{0} = 6ln2 - \frac{9}{2}$ $= \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2} - 4x + 6ln|x + 2| \right) \right|_{- 1}^{0} = 6ln2 - \frac{9}{2}$

Câu 2:

Tích phân $I = \int_{- 2}^{- 1}\frac{\left| x^{3} - 3x + 2 \right|}{x - 1}dx$ $I = \int_{- 2}^{- 1}\frac{\left| x^{3} - 3x + 2 \right|}{x - 1}dx$ có giá trị là:

Ta có: $\underset{f(x)}{\overset{x^{3} - 3x + 2}{︸}} = 0 \Leftrightarrow (x - 1)^{2}(x + 2) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee x = - 2$ $\underset{f(x)}{\overset{x^{3} - 3x + 2}{︸}} = 0 \Leftrightarrow (x - 1)^{2}(x + 2) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee x = - 2$.

Bảng xét dấu:

Ta có:

$I = \int_{- 2}^{- 1}\frac{x^{3} - 3x +2}{x - 1}dx = \int_{- 2}^{- 1}\left( x^{2} + x - 2 \right)dx$ $I = \int_{- 2}^{- 1}\frac{x^{3} - 3x +2}{x - 1}dx = \int_{- 2}^{- 1}\left( x^{2} + x - 2 \right)dx$

$= \left. \left( \frac{1}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^2 - 2x \right) \right|_{- 2}^{-1} = \frac{7}{6}$ $= \left. \left( \frac{1}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^2 - 2x \right) \right|_{- 2}^{-1} = \frac{7}{6}$.

Đáp án đúng là $I = \frac{7}{6}$ $I = \frac{7}{6}$.

Câu 3:

Tích phân $I = \int_{- 2}^{0}\left| \frac{x^{2} - x - 2}{x - 1} \right|dx$ $I = \int_{- 2}^{0}\left| \frac{x^{2} - x - 2}{x - 1} \right|dx$ có giá trị là:

Ta có:

$f(x) = \frac{x^{2} - x - 2}{x - 1} \Rightarrow f(x) = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \vee x = 2 \land x \neq 1$ $f(x) = \frac{x^{2} - x - 2}{x - 1} \Rightarrow f(x) = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \vee x = 2 \land x \neq 1$

Bảng xét dấu:

Ta có:

$I = \int_{- 2}^{0}\left| \frac{x^{2} - x- 2}{x - 1} \right|dx$ $I = \int_{- 2}^{0}\left| \frac{x^{2} - x- 2}{x - 1} \right|dx$ $= - \int_{- 2}^{- 1}\left( \frac{x^{2} - x - 2}{x- 1} \right)dx + \int_{- 1}^{0}\frac{x^{2} - x - 2}{x -1}dx$ $= - \int_{- 2}^{- 1}\left( \frac{x^{2} - x - 2}{x- 1} \right)dx + \int_{- 1}^{0}\frac{x^{2} - x - 2}{x -1}dx$.

$I_{1} = - \int_{- 2}^{- 1}\left( \frac{x^{2} - x - 2}{x - 1} \right)dx = - - \int_{- 2}^{- 1}\left( x - \frac{2}{x - 1} \right)dx$ $I_{1} = - \int_{- 2}^{- 1}\left( \frac{x^{2} - x - 2}{x - 1} \right)dx = - - \int_{- 2}^{- 1}\left( x - \frac{2}{x - 1} \right)dx$

$= - \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2} - 2ln|x - 1| \right) \right|_{- 2}^{- 1} = \frac{5}{2} + 2ln2 - 2ln3$ $= - \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2} - 2ln|x - 1| \right) \right|_{- 2}^{- 1} = \frac{5}{2} + 2ln2 - 2ln3$.

$I_{2} = \int_{- 1}^{0}\left( \frac{x^{2} - x - 2}{x - 1} \right)dx = ... = \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2} - 2ln|x - 1| \right) \right|_{- 1}^{0} = \frac{1}{2} - 2ln2$ $I_{2} = \int_{- 1}^{0}\left( \frac{x^{2} - x - 2}{x - 1} \right)dx = ... = \left. \ \left( \frac{x^{2}}{2} - 2ln|x - 1| \right) \right|_{- 1}^{0} = \frac{1}{2} - 2ln2$.

$\Rightarrow I = I_{1} + I_{2} = 3 - 2ln3$ $\Rightarrow I = I_{1} + I_{2} = 3 - 2ln3$.

Câu 4:

Ta có:

$\frac{x}{\sqrt{x + 1} - 1} = \sqrt{x + 1} + 1$ $\frac{x}{\sqrt{x + 1} - 1} = \sqrt{x + 1} + 1$

$\Rightarrow I = \int_{- 1}^{1}\frac{x}{\sqrt{x + 1} - 1}dx = \int_{- 1}^{1}\left( \sqrt{x + 1} + 1 \right)dx$ $\Rightarrow I = \int_{- 1}^{1}\frac{x}{\sqrt{x + 1} - 1}dx = \int_{- 1}^{1}\left( \sqrt{x + 1} + 1 \right)dx$

$= \left. \ \left\lbrack \frac{2}{3}(x + 1)^{\frac{3}{2}} + x \right\rbrack \right|_{- 1}^{1} = \frac{4\sqrt{2}}{3} + 2$ $= \left. \ \left\lbrack \frac{2}{3}(x + 1)^{\frac{3}{2}} + x \right\rbrack \right|_{- 1}^{1} = \frac{4\sqrt{2}}{3} + 2$

Đáp án đúng là $I = \frac{4\sqrt{2}}{3} + 2$ $I = \frac{4\sqrt{2}}{3} + 2$.

Câu 5:

Xét tích phân $I = \int_{- 1}^{0}{\frac{ax}{ax^{2} + 2}dx}$ $I = \int_{- 1}^{0}{\frac{ax}{ax^{2} + 2}dx}$, với $a \neq - 2$ $a \neq - 2$

Ta nhận thấy: $\left( ax^{2} + 2 \right)$ $\left( ax^{2} + 2 \right)' = 2ax$.

Ta dùng đổi biến số.

Đăt $t = ax^{2} + 2 \Rightarrow dt = 2axdx$ $t = ax^{2} + 2 \Rightarrow dt = 2axdx$.

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 2 \\ x = - 1 \Rightarrow t = a + 2 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 2 \\ x = - 1 \Rightarrow t = a + 2 \end{matrix} \right.$.

$I = \int_{a + 2}^{2}{\frac{1}{2t}dt =}\frac{1}{2}\left. \ \left( \ln|t| \right) \right|_{a + 2}^{2} = \frac{1}{2}\left( ln2 - \ln|a + 2| \right)$ $I = \int_{a + 2}^{2}{\frac{1}{2t}dt =}\frac{1}{2}\left. \ \left( \ln|t| \right) \right|_{a + 2}^{2} = \frac{1}{2}\left( ln2 - \ln|a + 2| \right)$.

Câu 6:

Xét tích phân $I = \int_{0}^{1}{\frac{a^{2}x^{3} + ax}{\sqrt{ax^{2} + 1}}dx}$ $I = \int_{0}^{1}{\frac{a^{2}x^{3} + ax}{\sqrt{ax^{2} + 1}}dx}$, với $a \geq 0$ $a \geq 0$

Ta biến đổi: $I =\int_{0}^{1}{\frac{a^{2}x^{3} + ax}{\sqrt{ax^{2} + 1}}dx}$ $I =\int_{0}^{1}{\frac{a^{2}x^{3} + ax}{\sqrt{ax^{2} + 1}}dx}$ $=\int_{0}^{1}{\frac{ax\left( ax^{2} + 1 \right)}{\sqrt{ax^{2} + 1}}dx}$ $=\int_{0}^{1}{\frac{ax\left( ax^{2} + 1 \right)}{\sqrt{ax^{2} + 1}}dx}$ $=\int_{0}^{1}{\left( ax\sqrt{ax^{2} + 1} \right)dx}$ $=\int_{0}^{1}{\left( ax\sqrt{ax^{2} + 1} \right)dx}$.

Ta nhận thấy: $\left( ax^{2} + 1 \right)$ $\left( ax^{2} + 1 \right)' = 2ax$. Ta dùng đổi biến số.

Đặt $t = ax^{2} + 1 \Rightarrow dt = 2axdx$ $t = ax^{2} + 1 \Rightarrow dt = 2axdx$.

Đổi cận $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = 1 \Rightarrow t = a + 1 \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = 1 \Rightarrow t = a + 1 \end{matrix} \right.$.

$I = {\int_{1}^{a + 1}{\frac{1}{2}tdt = \left. \ \left( \frac{1}{4}t^{2} \right) \right|}}_{1}^{a + 1} = \frac{1}{4}a(a + 2)$ $I = {\int_{1}^{a + 1}{\frac{1}{2}tdt = \left. \ \left( \frac{1}{4}t^{2} \right) \right|}}_{1}^{a + 1} = \frac{1}{4}a(a + 2)$.

---------------------------------------------------------

Có thể thấy rằng, chuyên đề Toán 12 tích phân hàm phân thức không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức giải tích mà còn rèn luyện khả năng tư duy, kỹ năng biến đổi linh hoạt và xử lý bài toán phức tạp. Đây là một trong những dạng toán then chốt của chuyên đề tích phân, thường xuất hiện với nhiều mức độ từ cơ bản đến nâng cao trong đề thi THPT quốc gia môn Toán.

Hy vọng bài viết đã mang đến cho bạn hệ thống công thức, phương pháp giải và bài tập minh họa hữu ích. Để đạt hiệu quả tối đa, bạn nên kết hợp việc học lý thuyết với luyện đề, đặc biệt là đề thi minh họa và đề thi thật các năm. Điều này sẽ giúp nâng cao tốc độ làm bài, tăng độ chính xác và tự tin hơn trong kỳ thi quan trọng sắp tới.

Tải về

Chọn file muốn tải về: