Chuyên đề Tương giao đồ thị hàm số chứa tham số VDC
Bài tập Toán 12: Tương giao đồ thị (Nâng cao) - Có đáp án
Trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán, các bài toán tương giao đồ thị hàm số có chứa tham số là một dạng câu hỏi vận dụng cao phổ biến. Đặc biệt, việc sử dụng điều kiện để tương giao (VDC) giúp giải nhanh những bài toán khó mà không cần giải phương trình phức tạp. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách xác định điều kiện để hai đồ thị có điểm chung, số điểm giao và giá trị tham số phù hợp, kết hợp bảng biến thiên, đạo hàm và đồ thị minh họa. Hãy trang bị kiến thức này để làm chủ các bài toán chứa tham số trong phần khảo sát hàm số.
A. Bài tập Tương giao đồ thị hàm số chứa tham số
Câu 1: Cho hàm số 
\(y = x^{3} - 3mx^{2} +
2m\). Có bao nhiêu giá trị của tham số thực \(m\) để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
Câu 2: Cho hàm số \(y = x^{3} + 3mx^{2} -
m^{3}\) có đồ thị \(\left( C_{m}
\right)\) và đường thẳng \(d:y = m^{2}x
+ 2m^{3}\). Biết rằng \(m_{1},\ m_{2}\
\left( m_{1} > m_{2} \right)\) là hai giá trị thực của \(m\) để đường thẳng \(d\) cắt đồ thị \(\left( C_{m} \right)\) tại \(3\) điểm phân biệt có hoành độ \(x_{1},\ \ x_{2},\ \ x_{3}\) thỏa mãn \({x_{1}}^{4} + {x_{2}}^{4} + \ {x_{3}}^{4} =
83\). Phát biểu nào sau đây là đúng về quan hệ giữa hai giá trị \(m_{1},\ \ m_{2}\)?
A. \(m_{1} + m_{2} = 0\) B. \({m_{1}}^{2} + 2m_{2} >
4\)
C. \({m_{2}}^{2} + 2m_{1} >
4\) D. \(m_{1} - m_{2} = 0\)
Câu 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\)để đường thẳng \(y = mx - m + 1\)cắt đồ thị hàm số \(y = x^{3} - 3x^{2} + x + 2\) tại ba điểm \(A,B,C\) phân biệt sao \(AB = BC\)?
A. \(m \in \left( - \frac{5}{4}; + \infty
\right)\) B. \(m \in ( - 2; + \infty)\)
C. \(m\mathbb{\in R}\) D. \(m \in ( - \infty;0) \cup \lbrack 4; +
\infty)\)
Câu 4: Tất cả giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = x^{3} + \left( m^{2} - 2 \right)x + 2m^{2} +
4\) cắt các trục tọa độ \(Ox,Oy\) lần lượt tại \(A,B\) sao cho diện tích tam giác \(OAB\) bằng 8 là:
A. \(m = \pm 2\) B. \(m = \pm 1\) C. \(m = \pm \sqrt{3}\) D. \(m = \pm \sqrt{2}\)
Câu 5: Cho đồ thị hàm số \(f(x) = x^{3} +
bx^{2} + cx + d\) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ \(x_{1}\ ,\ x_{2}\ ,\ x_{3}\). Tính giá trị của biểu thức \(P = \frac{1}{f'\left(
x_{1} \right)} + \frac{1}{f'\left( x_{2} \right)} +
\frac{1}{f'\left( x_{3} \right)}.\)
A. \(P = 3 + 2b + c\) B. \(P = 0\)
C. \(P = b + c + d\) D. \(P = \frac{1}{2b} +
\frac{1}{c}\)
Câu 6: Cho hàm số \(y = \frac{x}{x - 1}\ \
(C)\) và đường thẳng \(\ d:y = - x +
m\). Gọi \(S\) là tập các số thực \(m\) để đường thẳng \(d\) cắt đồ thị \((C)\) tại hai điểm phân biệt \(A\ ,\ B\) sao cho tam giác \(OAB\) (\(O\) là gốc tọa độ) có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng \(2\sqrt{2}\). Tổng các phần tử của \(S\) bằng;
A. 4 B. 3 C. 0 D. 8
Câu 7: Cho hàm số \(y = \frac{x + 3}{x +
1}\) có đồ thị \((C)\) và đường thẳng \(d:y = x - m\), với \(m\) là tham số thực. Biết rằng đường thẳng \(d\) cắt \((C)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\) sao cho điểm \(G(2; - 2)\) là trọng tâm của tam giác \(OAB\) (\(O\) là gốc toạ độ). Giá trị của \(m\) bằng:
A. 6 B. 3 C. -9 D. 5
Câu 8: Tìm \(m\) để đường thẳng \(y = 2x + m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{x + 3}{x + 1}\) tại hai điểm \(A,\ B\) sao cho độ dài \(AB\) là nhỏ nhất.
A. 2 B. 1 C. -1 D. 3
Câu 9: Cho hàm số \(y = \frac{x}{1 - x}\ \
\ \ \ (C)\) và điểm \(A( -
1;1).\) Tìm \(m\) để đường thẳng \(d:\ \ y = mx - m - 1\) cắt \((C)\)tại hai điểm phân biệt \(M,N\) sao cho \(AM^{2} + AN^{2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
A. \(m = - 1\) B. \(m = 0\) C. \(m = - 2\) D. \(m = - \frac{2}{3}\)
Câu 10: Giá trị \(k\) thỏa mãn đường thẳng \(d:y = kx + k\) cắt đồ thị \((H):y = \frac{x - 4}{2x - 2}\) tại hai điểm phân biệt \(A\ ,\ B\) cùng cách đều đường thẳng \(y = 0\). Khi đó \(k\) thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A. \(( - 2\ ;\ - 1)\) B. \((1\ ;\ 2)\) C. \(( - 1\ ;\ 0)\) D. \((0\ ;\ 1)\)
Câu 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để đồ thị hàm số \(y = x^{4} - 4x^{3} + (m - 2)x^{2} + 8x +
4\) cắt trục hoành tại đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn \(1\).
A. 8 B. 7 C. 5 D. 3
Câu 12: Cho hàm số \(y = x^{4} + 2mx^{2} +
m\) (với \(m\) là tham số thực). Tập tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng \(y = - 3\) tại bốn điểm phân biệt, trong đó có một điểm có hoành độ lớn hơn \(2\) còn ba điểm kia có hoành độ nhỏ hơn \(1\), là khoảng \((a;b)\) (với \(a,b\mathbb{\in Q}\), \(a\),\(b\) là phân số tối giản). Khi đó, \(15ab\) nhận giá trị nào sau đây?
A. -63 B. 63 C. 95 D. -95
Câu 13: Tìm tất cả các giá trị thực của \(m\) để phương trình \(\left| x^{4} - 2x^{2} - 3 \right| = 2m -
1\) có đúng \(6\) nghiệm thực phân biệt.
A. \(1 < m <
\frac{3}{2}\) B. \(4 < m < 5\)
C. \(3 < m < 4\) D. \(2 < m <
\frac{5}{2}\)
Câu 14. Một đường thẳng cắt đồ thị hàm số \(y = x^{4} - 2x^{2}\) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ là \(0,1,m,n\). Tính \(S = m^{2} + n^{2}\).
A. \(S = 1\). B. \(S = 0\). C. \(S = 3\). D. \(S =
2\).
Câu 15: Cho hàm số \(y = x^{4} -
2x^{2}\) có đồ thị \((C)\), có bao nhiêu đường thẳng \(d\)có đúng 3 điểm chung với đồ thị \((C)\) và các điểm chung có hoành độ \(x_{1},x_{2},x_{3}\) thỏa mãn \({x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} + {x_{3}}^{3} = -
1\).
A. 0 B.1 C. 2 D. 3
B. Đáp án tổng quan bài tập trắc nghiệm
|
1 - B |
2 - A |
3 - B |
4 - D |
5 - B |
6 – A |
|
7 - A |
8 - D |
9 - A |
10 - C |
11 - A |
12 – C |
|
13 - D |
14 - C |
15 - B |
16 - A |
17 - A |
18 – B |
|
19 - B |
20 - B |
21 - C |
22 - A |
23 - C |
24 – B |
|
25 - B |
26 - B |
27 - A |
28 - D |
29 - A |
30 - B |
|
31 - A |
32 - A |
33 - D |
|
|
|
C. Hướng dẫn giải chi tiết bài tập
Câu 1:
Phương trình hoành độ giao điểm: \(x^{3} -
3mx^{2} + 2m = 0\) \((*)\)
Phương trình \(ax^{3} + bx^{2} + cx + d =
0\) có ba nghiệm lập thành cấp số cộng
\(\overset{}{\rightarrow}\) Phương trình có một nghiệm \(x_{0} = -
\frac{b}{3a}\).
Suy ra phương trình \((*)\) có một nghiệm \(x = m.\)
Thay \(x = m\) vào phương trình \((*)\), ta được \(m^{3} - 3m\ .\ m^{2} + 2m = 0 \Leftrightarrow -
2m^{3} + 2m = 0 \leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
m = \pm 1 \\
m = 0
\end{matrix} \right.\).
Thử lại:
Với \(m = 1\), ta được \(x^{3} - 3x^{2} + 2 = 0 \leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
x = 1 - \sqrt{3} \\
x = 1 \\
x = 1 + \sqrt{3}
\end{matrix} \right.\).
Do đó \(m = 1\) thỏa mãn.
Với \(m = - 1\), ta được \(x^{3} + 3x^{2} - 2 = 0 \leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
x = - 1 + \sqrt{3} \\
x = - 1 \\
x = - 1 - \sqrt{3}
\end{matrix} \right.\).
Do đó \(m = - 1\) thỏa mãn.
Với \(m = 0\), ta được \(x^{3} = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
Do đó \(m = 0\) không thỏa mãn.
Vậy \(m = \pm 1\) là hai giá trị cần tìm.
Câu 2 :
Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \(\left(
C_{m} \right)\)
\(x^{3} + 3mx^{2} - m^{3} = m^{2}x +
2m^{3}\)
\(\Leftrightarrow x^{3} + 3mx^{2} - m^{2}x
- 3m^{3} = 0\)
\(\Leftrightarrow \left( x^{3} - m^{2}x
\right) + \left( 3mx^{2} - 3m^{3} \right) = 0\)
\(\begin{matrix}
\Leftrightarrow x\left( x^{2} - m^{2} \right) + 3m\left( x^{2} - m^{2}
\right) = 0 \\
\Leftrightarrow (x + 3m)\left( x^{2} - m^{2} \right) = 0 \\
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = - 3m \\
x = m \\
x = - m
\end{matrix} \right.\
\end{matrix}\)
Để đường thẳng \(d\) cắt đồ thị \(\left( C_{m} \right)\) tại \(3\) điểm phân biệt có hoành độ \(x_{1},\ x_{2},\ x_{3}\) \(\Leftrightarrow m \neq 0\).
Khi đó, \({x_{1}}^{4} + {x_{2}}^{4} + \
{x_{3}}^{4} = 83 \Leftrightarrow m^{4} + ( - m)^{4} + ( - 3m)^{4} =
83\)
\(\Leftrightarrow 83m^{4} = 83
\Leftrightarrow m = \pm 1\)
Vậy \(m_{1} = 1,\ m_{2} = - 1\) hay \(m_{1} + m_{2} = 0\).
Câu 3:
Ta có phương trình hoành độ giao điểm là: \(x^{3} - 3x^{2} + x + 2 = mx - m + 1
\Leftrightarrow x^{3} - 3x^{2} + x - mx + m + 1 = 0\ \ \ \
(1)\)
\(\Leftrightarrow (x - 1)\left( x^{2} - 2x
- m - 1 \right) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 1 \\
x^{2} - 2x - m - 1 = 0
\end{matrix} \right.\).
Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt thì phương trình \(x^{2} - 2x - m - 1 = 0\)có hai nghiệm phân biệt khác \(1\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
1 + m + 1 > 0 \\
1 - 2 - m - 1 \neq 0
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m > - 2 \\
m \neq - 2
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m > - 2\).
Với \(m > - 2\) thì phương trình \((1)\) có ba nghiệm phân biệt là \(1,x_{1},x_{2}\) (\(x_{1},x_{2}\) là nghiệm của \(x^{2} - 2x - m - 1 = 0\)).
Mà \(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} = 1\) suy ra điểm có hoành độ \(x = 1\)luôn là trung điểm của hai điểm còn lại nên luôn có 3 điểm A,B,C thoả mãn \(AB = BC\)
Vậy \(m > - 2\)
Câu 4:
Giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục tung là \(B\left( 0\ ;\ 2m^{2} + 4 \right)\)
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị đã cho với trục hoành là:
\(x^{3} + \left( m^{2} - 2 \right)x +2m^{2} + 4 = 0 \Leftrightarrow (x + 2)\left( x^{2} - 2x + m^{2} + 2\right) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = - 2 \\(x - 1)^{2} + m^{2} + 1 = 0\ \ \ \ (vn)\end{matrix} \right.\)
Giao điểm của đồ thị đã cho với trục hoành là \(A( - 2;0)\).
Diện tích tam giác \(ABC\) là: \(S = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}.2.\left( 2m^{2}
+ 4 \right) = 8 \Rightarrow m = \pm \sqrt{2}.\)
Câu 5:
Vì \(x_{1}\ ,\ x_{2}\ ,\ x_{3}\) là ba nghiệm của phương trình bậc ba \(f(x) =
0\)
\(\Rightarrow f(x) = \left( x - x_{1}
\right)\left( x - x_{2} \right)\left( x - x_{3} \right)\)
Ta có \(f'(x) = \left( x - x_{1}
\right)\left( x - x_{2} \right) + \left( x - x_{2} \right)\left( x -
x_{3} \right) + \left( x - x_{1} \right)\left( x - x_{3}
\right)\).
Khi đó: \(\left\{ \begin{matrix}
f'\left( x_{1} \right) = \left( x_{1} - x_{2} \right)\left( x_{1} -
x_{3} \right) \\
f'\left( x_{2} \right) = \left( x_{2} - x_{3} \right)\left( x_{2} -
x_{1} \right) \\
f'\left( x_{3} \right) = \left( x_{3} - x_{1} \right)\left( x_{3} -
x_{2} \right)
\end{matrix} \right.\)
Suy ra \(P = \frac{1}{\left( x_{1} - x_{2}
\right)\left( x_{1} - x_{3} \right)} + \frac{1}{\left( x_{2} - x_{3}
\right)\left( x_{2} - x_{1} \right)} + \frac{1}{\left( x_{3} - x_{1}
\right)\left( x_{3} - x_{2} \right)}.\)
\(= \frac{\left( x_{2} - x_{3} \right) -
\left( x_{1} - x_{3} \right) + \left( x_{1} - x_{2} \right)}{\left(
x_{1} - x_{2} \right)\left( x_{1} - x_{3} \right)\left( x_{2} - x_{3}
\right)} = 0\).
Câu 6:
Xét phương trình \(\frac{x}{x - 1} = - x +
m,\ \\)(điều kiện \(x \neq
1\)).
Phương trình tương đương \(x^{2} - mx + m =
0\) \((1)\).
Đồ thị \((C)\) và đường thẳng \(d\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\) khi và chỉ khi phương trình \((1)\) có hai nghiệm phân biệt \(x \neq 1\) điều kiện cần và đủ là \(m < 0 \vee m > 4\).
Khi đó hai giao điểm là \(A(x_{1}; - x_{1}
+ m)\); \(B(x_{2}; - x_{2} +
m)\).
Ta có \(\left\{ \begin{matrix}
OA = \sqrt{m^{2} - 2m};OB = \sqrt{m^{2} - 2m} \\
AB = \sqrt{2(m^{2} - 4m)};d(O,d) = \frac{|m|}{\sqrt{2}}
\end{matrix} \right.\);.
\(S_{\Delta OAB} = \frac{1}{2}.AB.d(O,d) =
\frac{1}{2}.\frac{|m|}{\sqrt{2}}.\sqrt{2(m^{2} - 4m)} =
\frac{OA.OB.AB}{4R}\).
Suy ra \(\frac{1}{2}.\frac{|m|}{\sqrt{2}}\sqrt{2(m^{2} -
4m)} = \frac{(m^{2} - 2m).\sqrt{2(m^{2} -
4m)}}{4.2\sqrt{2}}\)
\(\Leftrightarrow m^{2} - 2m = 4|m|
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
m = 0(l) \\
m = 6(n) \\
m = - 2(n)
\end{matrix} \right.\).
Vậy tổng các phần từ của \(S\) bằng \(4\).
Câu 7:
Hàm số \(y = \frac{x + 3}{x + 1}\) có \(y' = \frac{- 2}{(x + 1)^{2}} <
0\), \(\forall x \in D\) và đường thẳng \(d:y = x - m\) có hệ số \(a = 1 > 0\) nên \(d\) luôn cắt \((C)\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( x_{A};\ y_{A} \right)\) và \(B\left( x_{B};\ y_{B} \right)\) với mọi giá trị của tham số \(m\).
Phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \((C)\) là: \(\frac{x + 3}{x + 1} = x - m\)
\(\Leftrightarrow x^{2} - mx - m - 3 = 0\ \
\ \ (x \neq - 1)\).
Suy ra \(x_{A}\), \(x_{B}\) là 2 nghiệm của phương trình \(x^{2} - mx - m - 3 = 0\).
Theo định lí Viet, ta có \(x_{A} + x_{B} =
m\).
Mặt khác, \(G(2; - 2)\) là trọng tâm của tam giác \(OAB\) nên \(x_{A} + x_{B} + x_{O} = 3x_{G}\)
\(\Leftrightarrow x_{A} + x_{B} =
6\) \(\Leftrightarrow m =
6\).
Vậy \(m = 6\) thoả mãn yêu cầu đề bài.
Câu 8:
Gọi hàm số \(y = \frac{x + 3}{x +
1}\) có đồ thị là \((C)\) và đường thẳng \(y = 2x + m\) có đồ thị là \((d).\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm của \((C)\) và \((d)\): \(\frac{x
+ 3}{x + 1} = 2x + m,\ \ \forall x \neq - 1.\)
\(\Leftrightarrow x + 3 = 2x^{2} + 2x + mx
+ m\ \ \ \Leftrightarrow 2x^{2} + (m + 1)x + m - 3 = 0,\ \ \forall x
\neq 1\ \ \ \ (1)\)
Để \((d)\) cắt \((C)\) tại hai điểm \(A,B\ \ \Leftrightarrow\)Phương trình \((1)\) có hai nghiệm phân biệt khác \(- 1\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
\Delta > 0 \\
g( - 1) \neq 0
\end{matrix} \right.\) với \(g(x) =
2x^{2} + (m + 1)x + m - 3\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
(m + 1)^{2} - 4.2.(m - 3) > 0 \\
- 2 \neq 0
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m^{2} - 6m + 25 > 0,\ \
\forall m.\)
Giả sử hoành độ giao điểm của \((C)\) và \((d)\) là \(x_{1},x_{2}\).
Khi đó \(A\left( x_{1};2x_{1} + m
\right)B\left( x_{2};2x_{2} + m \right)\).
Theo hệ thức Vi-ét ta có \(x_{1} + x_{2} =
- \frac{m + 1}{2};\ \ \ x_{1}x_{2} = \frac{m - 3}{2}\)
Ta có \(AB = \sqrt{\left( x_{2} - x_{1}
\right)^{2} + \left( 2x_{2} - 2x_{1} \right)^{2}} = \sqrt{5\left( x_{1}
- x_{2} \right)^{2}} = \sqrt{5\left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} -
20x_{1}x_{2}}\)
\(AB = \sqrt{5.\left( \frac{m + 1}{2}
\right)^{2} - 20.\frac{m - 3}{2}}\)
\(= \sqrt{\frac{5m^{2} + 10m + 5 - 40m +
120}{4}}\)
\(= \frac{\sqrt{5(m - 3)^{2} + 80}}{2}
\geq 2\sqrt{5}.\)
Dấu 
xảy ra khi và chỉ khi \(m = 3.\)
Vậy \(m = 3\) thì độ dài \(AB\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(2\sqrt{5}.\)
Câu 9:
Phương trình hoành độ giao điểm của \((C)\) và \(d\) là: \(\frac{x}{1 - x} = mx - m - 1\) (đk: \(x \neq 1\))
\(\begin{matrix}
\Rightarrow x = (1 - x)(mx - m - 1) \\
\Leftrightarrow x = mx - m - 1 - mx^{2} + mx + x \\
\Leftrightarrow mx^{2} - 2mx + m + 1 = 0\ \ (*)
\end{matrix}\)
Để \((C)\) và \(d\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt \(M,N\) thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác \(1 \Leftrightarrow \left\{
\begin{matrix}
m \neq 0 \\
\Delta' = m^{2} - m(m + 1) = - m > 0 \\
m - 2m + m + 1 \neq 0
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow m < 0\)
Giả sử\(M\left( x_{1};y_{1} \right),N\left(
x_{2};y_{2} \right)\).
Theo hệ thức viét : \(x_{1} + x_{2} = 2;\ \
x_{1}x_{2} = \frac{m + 1}{m}\)
\(\Rightarrow y_{1} + y_{2} = m\left(
x_{1} + x_{2} \right) - 2m - 2 = 2m - 2m - 2 = - 2\)
và \(y_{1}.y_{2} = \left( mx_{1} - m - 1\right)\left( mx_{2} - m - 1 \right)\)
\(= m^{2}x_{1}x_{2} - m(m + 1)\left( x_{1}
+ x_{2} \right) + (m + 1)^{2}\)
\(= m(m + 1) - 2m(m + 1) + (m + 1)^{2} = m+ 1\)
Ta có:
\(AM^{2} + AN^{2} = \left( x_{1} + 1
\right)^{2} + \left( y_{1} - 1 \right)^{2} + \left( x_{2} + 1
\right)^{2} + \left( y_{2} - 1 \right)^{2}\)
\(= \left( x_{1} + x_{2} + 2 \right)^{2} -
2\left( x_{1} + 1 \right)\left( x_{2} + 1 \right) + \left( y_{1} + y_{2}
- 2 \right)^{2} - 2\left( y_{1} - 1 \right)\left( y_{2} - 1
\right)\)
\(= \left( x_{1} + x_{2} + 2 \right)^{2} -
2\left( x_{1}x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1 \right) + \left( y_{1} + y_{2} -
2 \right)^{2} - 2\left( y_{1}y_{2} - \left( y_{1} + y_{2} \right) + 1
\right)\)
\(= (2 + 2)^{2} - 2\left( \frac{m + 1}{m}
+ 2 + 1 \right) + ( - 2 - 2)^{2} - 2\left( m + 1 - ( - 2) + 1
\right)\)
\(= 18 - 2\left( \frac{m + 1}{m} \right) -
2m = 18 - 2 - 2.\frac{1}{m} - 2m\)
\(= 16 + 2.\left\lbrack \frac{1}{- m} + ( -
m) \right\rbrack \geq 16 + 2.2 = 20\) (Áp dụng BĐT Côsi)
Suy ra: \(AM^{2} + AN^{2}\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(20\) khi \(\frac{1}{- m} = - m \Leftrightarrow m^{2} = 1
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
m = 1 \\
m = - 1
\end{matrix} \right.\)
Vậy \(m = - 1\) (vì \(m < 0\)).
Câu 10:
Xét phương trình hoành độ các giao điểm: \(kx + k = \frac{x - 4}{2x - 2}\) (điều kiện: \(x \neq 1\)).
\(\Rightarrow 2kx^{2} - x - 2k + 4 = 0\ \ \
(1)\).
Đường thẳng \(d\) cắt đồ thị \((H)\) tại hai điểm phân biệt \(A\ ,\ B\) khi và chỉ khi phương trình \((1)\) có hai nghiệm phân biệt khác \(1\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
k \neq 0 \\
2k - 1 - 2k + 4 \neq 0 \\
1 - 4.2k.(4 - 2k) > 0
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
k \neq 0 \\
16k^{2} - 32k + 1 > 0
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
k \neq 0 \\
\left\lbrack \begin{matrix}
k > \frac{4 + \sqrt{15}}{4} \\
k < \frac{4 - \sqrt{5}}{4}
\end{matrix} \right.\
\end{matrix} \right.\)
Gọi \(x_{1}\ ,\ x_{2}\) là 2 nghiệm của phương trình \((1)\), ta có: \(A\left( x_{1}\ ;\ kx_{1} + k \right)\ ,\ B\left(
x_{2}\ ;\ kx_{2} + k \right)\).
Do \(A\ ,\ B\) cách đều đường thẳng \(y = 0\) nên \(\left| kx_{1} + k \right| = \left| kx_{2} + k
\right| \Leftrightarrow kx_{1} + k = - kx_{2} - k\)(vì \(A\ ,\ B\) là hai điểm phân biệt)
\(\Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = - 2
\Rightarrow \frac{1}{2k} = - 2\)( áp dụng Viet) \(\Leftrightarrow k = - \frac{1}{4}\)( thỏa mãn điều kiện).
------------------------------------------------
Tư duy xử lý bài toán tương giao đồ thị hàm số có tham số bằng phương pháp VDC (viết tắt của “vẫn đảm bảo có tương giao”) là công cụ không thể thiếu khi giải các bài toán vận dụng – vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc gia. Phương pháp này giúp bạn tối ưu hóa thời gian, tránh các phép biến đổi dài dòng, đồng thời rèn luyện khả năng phân tích điều kiện hình học của đồ thị. Hãy luyện tập với nhiều dạng bài từ cơ bản đến nâng cao, kết hợp phân tích đồ thị trên phần mềm hỗ trợ và luyện đề thực tế. Thành thạo chuyên đề này sẽ giúp bạn tự tin “ăn đi
