Tìm cực trị của hàm số

Tìm cực trị của hàm số là một dạng toán quan trọng trong chương trình Toán 12 , đồng thời thường xuất hiện trong quá trình ôn tập và luyện thi THPT Quốc gia môn Toán. Để giải tốt dạng bài này, học sinh cần nắm chắc cách sử dụng đạo hàm, xác định điểm tới hạn, xét dấu đạo hàm và đọc bảng biến thiên để nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số.

Trong Chuyên đề Toán 12 Cực trị , các bài toán có thể được đặt dưới nhiều hình thức như tìm cực trị của hàm số từ biểu thức, bảng biến thiên, đồ thị hoặc xác định tham số để hàm số có số điểm cực trị cho trước. Việc phân loại từng dạng và lựa chọn phương pháp phù hợp sẽ giúp rút ngắn thời gian làm bài, hạn chế nhầm lẫn giữa điểm cực trị và giá trị cực trị.

A. Cực trị của hàm số là gì?

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu chung là điểm cực trị.

+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp \(K\).

+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.

+ Nếu \(x_{0}\) là điểm cực trị của hàm số thì điểm \(\left( x_{0};f\left( x_{0} \right) \right)\) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số \(f\).

B. Quy tắc tìm cực trị cho bởi công thức

Ví dụ: Cho hàm số \(y = x^{4} - 2x^{2} + 1\). Xét các mệnh đề sau đây:

1) Hàm số có 3 điểm cực trị

2) Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1;0) và (1; +∞)

3) Hàm số có 1 điểm cực trị

4) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (0; 1)

Xét sự đúng sai của các mệnh đề đã cho.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(y' = 4x^{3} - 4x\)

\(\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \Rightarrow y = 1 \\ x = 1 \Rightarrow y = 0 \\ x = - 1 \Rightarrow y = 0 \\ \end{matrix} \right.\)

Ta có bảng xét dấu như sau:

Quan sát bảng xét dấu ta thấy

Hàm số có 3 điểm cực trị

Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 0), (1; +∞) và nghịch biến trên khoảng (-∞; -1), (0; 1)

Vậy mệnh đề 1, 2, 4 là các mệnh đề đúng.

Ví dụ. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) là \(f'(x) = (x - 2018)(x - 2019)(x - 2020)^{4}\). Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

Hướng dẫn giải

Tập xác định: \(D\mathbb{= R}\)

Ta có: \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2018 \\ x = 2019 \\ x = 2020 \\ \end{matrix} \right.\)

Ta có bảng xét dầu’(x) như sau:

Dựa vào bảng xét dấy của f’(x) ta thấy f’(x) đổi dấu qua hai điểm x = 2018, x = 2019 nên hàm số đã cho có hai điểm cực trị.

Ví dụ. Cho các hàm số sau: \(y = x^{2} + 1;y = \left( 2x^{2} - 1 \right)^{2};y = (2x - 1)\sqrt[3]{x^{2}};y = \frac{x}{x^{2} + 1}\). Có bao nhiêu hàm số có đúng một điểm cực trị?

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(y = x^{2} + 1\) có \(y' = 2x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) và \(y'\) đổi dấu khi \(x\) qua nghiệm đó nên hàm số có đúng 1 điểm cực trị.

\(y = \left( 2x^{2} - 1 \right)^{2}\) có \(y' = 2\left( 2x^{2} - 1 \right).4x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{matrix} \right.\) và \(y'\) đổi dấu khi \(x\) qua các nghiệm đó nên hàm số có 3 điểm cực trị.

\(y = (2x - 1)\sqrt[3]{x^{2}} \Rightarrow y' = 2\sqrt[3]{x^{2}} + \frac{2(2x - 1)}{3\sqrt[3]{x}} = \frac{10x - 2}{3\sqrt[3]{x}}\)

\(\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{5}\); y’ không xác định khi \(x = 0\) và y’ đổi dấu khi \(x\) qua \(0;\frac{1}{5}\) nên hàm số có hai điểm cực trị.

\(y = \frac{x}{x^{2} + 1} \Rightarrow y' = \frac{1 - x^{2}}{\left( x^{2} + 1 \right)^{2}} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\) và y’ đổi dấu khi x qua các nghiệm đó nên hàm số có hai điểm cực trị.

Vậy chỉ có một hàm số có đúng một cực trị.

Ví dụ. Viết phương trình đường thẳng AB sao cho A và B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 1\)?

Hướng dẫn giải

Cách 1: Xét hàm số \(f(x) = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 1\)

Ta có: \(f(x) = \left( \frac{1}{3}x - \frac{1}{3} \right).f'(x) - 8x - 2\)

Đồ thị hàm số f(x) có hai điểm cực trị A và B nên f’(A) = f’(B) = 0

Suy ra \(\left\{ \begin{matrix} y_{A} = f\left( x_{A} \right) = - 8x_{A} - 2 \\ y_{B} = f\left( x_{B} \right) = - 8x_{B} - 2 \\ \end{matrix} \right.\)

Do đó phương trình đường thẳng AB là y = -8x – 2

Cách 2: Xét hàm số \(y = f(x) = x^{3} - 3x^{2} - 9x + 1\)

\(\begin{matrix} f'(x) = 3x^{2} - 6x - 9 \\ f'(x) = 0 \Rightarrow 3x^{2} - 6x - 9 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 3 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix}\)

=> Tọa độ hai điểm cực trị của hàm số là A(3; -26) và B(-1; 6)

Ta có: \(\overrightarrow{AB} = ( - 4;32) \Rightarrow \overrightarrow{u} = ( - 1;8)\)

Phương trình đường thẳng AB đ qua B(-1; 6) nhận vecto \(\overrightarrow{u}\)làm vecto chỉ phương là \(\left\{ \begin{matrix} x = - 1 - t \\ y = 6 + 8t \\ \end{matrix} \right.\ ;\left( t\mathbb{\in R} \right)\).

Ví dụ. Tìm số cực trị của các hàm số sau:

a. \(y = \frac{2x + 5}{x + 1}\)	b. \(y = \frac{x^{2} + 3}{x - 1}\)	d. \(y = \left| \sin x - \frac{\pi}{4} \right|,x \in ( - \pi;\pi)\)
c. \(f(x) = C_{2019}^{0} + C_{2019}^{1}x + C_{2019}^{2}x^{2} + C_{2019}^{3}x^{3} + ... + C_{2019}^{2019}x^{2019}\)		e. \(y = \left| (x - 1)^{3}(x + 1) \right|\)

Hướng dẫn giải

a. \(y = \frac{2x + 5}{x + 1}\)

Tập xác định \(D\mathbb{= R}\backslash\left\{ - 1 \right\}\)

Ta có:

\(y' = \frac{- 3}{(x + 1)^{2}} < 0,\forall x \in D\)

Do y’ không đổi dấu nên hàm số không có cực trị.

b. \(y = \frac{x^{2} + 3}{x - 1}\)

Tập xác định \(D\mathbb{= R}\backslash\left\{ 1 \right\}\)

\(y' = \frac{x^{2} - 2x - 3}{(x - 1)^{2}}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 1 \\ x = 3 \\ \end{matrix} \right.\)

\(y'' = \frac{8}{(x - 1)^{3}} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} y''( - 1) = - 1 < 0 \\ y''(3) = 1 > 0 \\ \end{matrix} \right.\)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} y_{CD} = y( - 1) = - 2 \\ y_{CT} = y(3) = 3 \\ \end{matrix} \right.\)

Vậy hàm số có 2 cực trị.

c. \(f(x) = C_{2019}^{0} + C_{2019}^{1}x + C_{2019}^{2}x^{2} + C_{2019}^{3}x^{3} + ... + C_{2019}^{2019}x^{2019}\)

Ta có:

\(\begin{matrix} f(x) = C_{2019}^{0} + C_{2019}^{1}x + C_{2019}^{2}x^{2} + C_{2019}^{3}x^{3} + ... + C_{2019}^{2019}x^{2019} = (1 + x)^{2019} \\ \Rightarrow f'(x) = 2019.(1 + x)^{2018} \\ f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \\ \end{matrix}\)

Vì x = -1 là nghiệm bội chẵn nên x = -1 không phải là điểm cực trị của hàm số.

d. Xét hàm số \(y = f(x) = \sin x - \frac{x}{4};x \in ( - \pi;\pi)\)

Ta có:

\(\begin{matrix} f'(x) = \cos x - \frac{1}{4} \\ f'(x) = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = x_{1} \in \left( - \frac{\pi}{2};0 \right) \\ x = x_{1} \in \left( 0;\frac{\pi}{2} \right) \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix}\)

\(\begin{matrix} f\left( x_{1} \right) = \sin x_{1} - \dfrac{x_{1}}{4} = - \dfrac{\sqrt{15}}{4} - \dfrac{x_{1}}{4} < - \dfrac{\sqrt{15}}{4} + \dfrac{\pi}{8} < 0 \\ f\left( x_{2} \right) = \sin x_{2} - \dfrac{x_{2}}{4} = \dfrac{\sqrt{15}}{4} - \dfrac{x_{1}}{4} < \dfrac{\sqrt{15}}{4} - \dfrac{\pi}{8} < 0 \\ \end{matrix}\)

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có hai điểm cực trị và đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt khác x₁; x₂

=> Hàm số \(y = \left| \sin x - \frac{x}{4} \right|,x \in ( - \pi,\pi)\)có 5 điểm cực trị.

e. Xét hàm số \(y = (x - 1)^{3}(x + 1)\) ta có đạo hàm

\(y' = 3(x - 1)^{2}(x + 1) + (x - 1)^{3} = (x - 1)^{2}(4x + 2)\)

\(\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow y = 0 \\ x = - \dfrac{1}{2} \Rightarrow y = - \dfrac{27}{16} \\ \end{matrix} \right.\)

Ta có bảng biến thiên

\(\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \Rightarrow y = 0 \\ x = - \dfrac{1}{2} \Rightarrow y = - \dfrac{27}{16} \\ \end{matrix} \right.\)

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \(y = f(x)\) suy ra hàm số \(y = f(x) = \left| (x - 1)^{3}(x + 1) \right|\) có ba cực trị.

Ví dụ. a. Gọi A, B, C là các điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = x^{4} - 2x^{2} + 4\). Tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC?

b. Cho hàm số \(y = x^{4} - 2x^{2} + 1\)có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị (C) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của tam giác ABC. Tính diện tích tam giác ABC?

Hướng dẫn giải

a. Ta có:

\(\begin{matrix} f'(x) = 4x^{3} - 4x \\ f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm 1 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix}\)

=> Đồ thị hàm số \(y = x^{4} - 2x^{2} + 1\)có ba điểm cực trị là A(0; 4), B(1; 3), C(-1; 3)

Tính được \(AB = AC = \sqrt{2};BC = 2;p = \frac{AB + AC + BC}{2}\)

Áp dụng công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC ta có:

\(r = \frac{S_{ABC}}{p} = \sqrt{\frac{(p - AB)(p - BC)(p - AC)}{P}} = \sqrt{2} - 1\)

b. Ta có: \(y' = 4x^{3} - 4x\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm 1 \\ \end{matrix} \right.\)

Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(A(0;1),B( - 1;0),C(1;0)\)

\(\begin{matrix} \overrightarrow{AB} = ( - 1; - 1),\overrightarrow{AC} = (1; - 1) \\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = 0 \\ AB = AC = \sqrt{2} \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix}\)

=> Tam giác ABC vuông cân tại A => \(S = \frac{1}{2}AB.AC = 1\)

Ví dụ. Hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị?

A. \(y = \frac{2x - 3}{x + 2}\)

B. \(y = x^{4}\)

C. \(y = - x^{3} + x\)

D. \(y = |x + 2|\)

Hướng dẫn giải

+ Hàm số\(y = \frac{2x - 3}{x + 2}\)

Tập xác định: \(D = ( - \infty; - 2) \cup ( - 2; + \infty)\).

Có \(y' = \frac{7}{(x + 2)^{2}} > 0\ \forall x \in D \Rightarrow\)hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định

\(\Rightarrow\) Hàm số không có cực trị.

Một số bài viết chủ đề Cực trị:

• Bài tập Tìm cực trị của hàm số cho bởi công thức
• Tìm cực trị của hàm số khi biết bảng biến thiên, đồ thị hàm số
• Bài tập Tìm cực trị của hàm số khi biết bảng biến thiên, đồ thị hàm số
• Bài tập Tìm tham số m để hàm số có cực trị
• Công thức tính nhanh cực trị của hàm số
• Giải nhanh bài toán cực trị bằng máy tính cầm tay

---------------------------------------------------------

Qua chuyên đề Tìm cực trị của hàm số , học sinh có thể hệ thống lại cách vận dụng đạo hàm để xác định điểm cực đại, điểm cực tiểu và giá trị cực trị của một hàm số. Đây là nền tảng quan trọng để tiếp tục xử lý những bài toán liên quan đến bảng biến thiên, đồ thị hàm số và các bài toán có tham số trong chương trình Toán 12 .

Khi làm bài, cần chú ý xác định đúng tập xác định, tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định, sau đó xét sự thay đổi dấu của đạo hàm để kết luận về cực trị. Với những bài toán trắc nghiệm, việc nhận diện nhanh dạng toán và khai thác bảng biến thiên hoặc đồ thị sẽ giúp tiết kiệm thời gian mà vẫn đảm bảo độ chính xác.