Tìm cực trị của hàm số

Cực trị của hàm số

Chuyên đề Toán 12: Cực trị hàm số vừa được VnDoc.com biên soạn và xin gửi tới bạn đọc để bạn đọc cùng tham khảo. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây nhé.

A. Cực trị của hàm số

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu chung là điểm cực trị.

+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.

+ Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp $K$.

+ Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.

+ Nếu $x_0$ là điểm cực trị của hàm số thì điểm $(x_0;f\left(x_0\right))$ được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số $f$.

B. Quy tắc tìm cực trị cho bởi công thức

Ví dụ: Cho hàm số $y=x^4-2x^2+1$. Xét các mệnh đề sau đây:

1) Hàm số có 3 điểm cực trị

2) Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1;0) và (1; +∞)

3) Hàm số có 1 điểm cực trị

4) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (0; 1)

Xét sự đúng sai của các mệnh đề đã cho.

Hướng dẫn giải

Ta có: $y^{\prime }=4x^3-4x$

$\Rightarrow y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{c}x=0\Rightarrow y=1\\ x=1\Rightarrow y=0\\ x=-1\Rightarrow y=0\end{array}$

Ta có bảng xét dấu như sau:

Quan sát bảng xét dấu ta thấy

Hàm số có 3 điểm cực trị

Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 0), (1; +∞) và nghịch biến trên khoảng (-∞; -1), (0; 1)

Vậy mệnh đề 1, 2, 4 là các mệnh đề đúng.

Ví dụ. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ là $f^{\prime }(x)=(x-2018)(x-2019)(x-2020{)}^4$. Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

Hướng dẫn giải

Tập xác định: $D\mathbb{=}\mathbb{R}$

Ta có: $f^{\prime }(x)=0\iff [\begin{array}{c}x=2018\\ x=2019\\ x=2020\end{array}$

Ta có bảng xét dầu’(x) như sau:

Dựa vào bảng xét dấy của f’(x) ta thấy f’(x) đổi dấu qua hai điểm x = 2018, x = 2019 nên hàm số đã cho có hai điểm cực trị.

Ví dụ. Cho các hàm số sau: $y=x^2+1;y={(2x^2-1)}^2;y=(2x-1)\sqrt[3]{x^2};y=\frac{x}{x^2+1}$. Có bao nhiêu hàm số có đúng một điểm cực trị?

Hướng dẫn giải

Ta có:

$y=x^2+1$ có $y^{\prime }=2x\Rightarrow y^{\prime }=0\iff x=0$ và $y^{\prime }$ đổi dấu khi $x$ qua nghiệm đó nên hàm số có đúng 1 điểm cực trị.

$y={(2x^2-1)}^2$ có $y^{\prime }=2(2x^2-1).4x\Rightarrow y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{c}x=0\\ x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}$ và $y^{\prime }$ đổi dấu khi $x$ qua các nghiệm đó nên hàm số có 3 điểm cực trị.

$y=(2x-1)\sqrt[3]{x^2}\Rightarrow y^{\prime }=2\sqrt[3]{x^2}+\frac{2(2x-1)}{3\sqrt[3]{x}}=\frac{10x-2}{3\sqrt[3]{x}}$

$\Rightarrow y^{\prime }=0\iff x=\frac{1}{5}$; y’ không xác định khi $x=0$ và y’ đổi dấu khi $x$ qua $0;\frac{1}{5}$ nên hàm số có hai điểm cực trị.

$y=\frac{x}{x^2+1}\Rightarrow y^{\prime }=\frac{1-x^2}{{(x^2+1)}^2}=0\iff x=\pm 1$ và y’ đổi dấu khi x qua các nghiệm đó nên hàm số có hai điểm cực trị.

Vậy chỉ có một hàm số có đúng một cực trị.

Ví dụ. Viết phương trình đường thẳng AB sao cho A và B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2-9x+1$?

Hướng dẫn giải

Cách 1: Xét hàm số $f(x)=x^3-3x^2-9x+1$

Ta có: $f(x)=(\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}).f^{\prime }(x)-8x-2$

Đồ thị hàm số f(x) có hai điểm cực trị A và B nên f’(A) = f’(B) = 0

Suy ra $\{\begin{array}{c}{y}_A=f\left(x_A\right)=-8x_A-2\\ y_B=f\left(x_B\right)=-8x_B-2\end{array}$

Do đó phương trình đường thẳng AB là y = -8x – 2

Cách 2: Xét hàm số $y=f(x)=x^3-3x^2-9x+1$

$\begin{array}{c}{f}^{\prime }(x)=3x^2-6x-9\\ f^{\prime }(x)=0\Rightarrow 3x^2-6x-9\iff [\begin{array}{c}x=3\\ x=-1\end{array}\end{array}$

=> Tọa độ hai điểm cực trị của hàm số là A(3; -26) và B(-1; 6)

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(-4;32)\Rightarrow \overrightarrow{u}=(-1;8)$

Phương trình đường thẳng AB đ qua B(-1; 6) nhận vecto $\overrightarrow{u}$làm vecto chỉ phương là $\{\begin{array}{c}x=-1-t\\ y=6+8t\end{array};\left(t\in \mathbb{R}\right)$.

Ví dụ. Tìm số cực trị của các hàm số sau:

a. $y=\frac{2x+5}{x+1}$	b. $y=\frac{x^2+3}{x-1}$	d. $y=|\sin x-\frac{\pi }{4}|,x\in (-\pi ;\pi )$
c. $f(x)=C_{2019}^0+C_{2019}^{1}x+C_{2019}^2{x}^2+C_{2019}^3{x}^3+...+C_{2019}^{2019}{x}^{2019}$		e. $y=|(x-1{)}^3(x+1)|$

Hướng dẫn giải

a. $y=\frac{2x+5}{x+1}$

Tập xác định $D\mathbb{=}\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{-1\}$

Ta có:

$y^{\prime }=\frac{-3}{(x+1{)}^2}<0,\mathrm{\forall }x\in D$

Do y’ không đổi dấu nên hàm số không có cực trị.

b. $y=\frac{x^2+3}{x-1}$

Tập xác định $D\mathbb{=}\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{1\right\}$

$y^{\prime }=\frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}$

$y^{\prime }=0\iff x^2-2x-3=0\iff [\begin{array}{c}x=-1\\ x=3\end{array}$

$y^{″}=\frac{8}{(x-1{)}^3}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{y}^{″}(-1)=-1<0\\ y^{″}(3)=1>0\end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{c}{y}_{CD}=y(-1)=-2\\ y_{CT}=y(3)=3\end{array}$

Vậy hàm số có 2 cực trị.

c. $f(x)=C_{2019}^0+C_{2019}^{1}x+C_{2019}^2{x}^2+C_{2019}^3{x}^3+...+C_{2019}^{2019}{x}^{2019}$

Ta có:

$\begin{array}{c}f(x)=C_{2019}^0+C_{2019}^{1}x+C_{2019}^2{x}^2+C_{2019}^3{x}^3+...+C_{2019}^{2019}{x}^{2019}=(1+x{)}^{2019}\\ \Rightarrow f^{\prime }(x)=2019.(1+x{)}^{2018}\\ f^{\prime }(x)=0\iff x=-1\end{array}$

Vì x = -1 là nghiệm bội chẵn nên x = -1 không phải là điểm cực trị của hàm số.

d. Xét hàm số $y=f(x)=\sin x-\frac{x}{4};x\in (-\pi ;\pi )$

Ta có:

$\begin{array}{c}{f}^{\prime }(x)=\cos x-\frac{1}{4}\\ f^{\prime }(x)=0\iff \cos x=\frac{1}{4}\iff [\begin{array}{c}x=x_1\in (-\frac{\pi }{2};0)\\ x=x_1\in (0;\frac{\pi }{2})\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{c}f\left(x_1\right)=\sin x_1-{\displaystyle \frac{x_1}{4}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4}}-{\displaystyle \frac{x_1}{4}}<-{\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4}}+{\displaystyle \frac{\pi }{8}}<0\\ f\left(x_2\right)=\sin x_2-{\displaystyle \frac{x_2}{4}}={\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4}}-{\displaystyle \frac{x_1}{4}}<{\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4}}-{\displaystyle \frac{\pi }{8}}<0\end{array}$

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có hai điểm cực trị và đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt khác x₁; x₂

=> Hàm số $y=|\sin x-\frac{x}{4}|,x\in (-\pi ,\pi )$có 5 điểm cực trị.

e. Xét hàm số $y=(x-1{)}^3(x+1)$ ta có đạo hàm

$y^{\prime }=3(x-1{)}^2(x+1)+(x-1{)}^3=(x-1{)}^2(4x+2)$

$\Rightarrow y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{c}x=1\Rightarrow y=0\\ x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{27}{16}}\end{array}$

Ta có bảng biến thiên

$\Rightarrow y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{c}x=1\Rightarrow y=0\\ x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{27}{16}}\end{array}$

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)$ suy ra hàm số $y=f(x)=|(x-1{)}^3(x+1)|$ có ba cực trị.

Ví dụ. a. Gọi A, B, C là các điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=x^4-2x^2+4$. Tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC?

b. Cho hàm số $y=x^4-2x^2+1$có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị (C) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của tam giác ABC. Tính diện tích tam giác ABC?

Hướng dẫn giải

a. Ta có:

$\begin{array}{c}{f}^{\prime }(x)=4x^3-4x\\ f^{\prime }(x)=0\iff [\begin{array}{c}x=0\\ x=\pm 1\end{array}\end{array}$

=> Đồ thị hàm số $y=x^4-2x^2+1$có ba điểm cực trị là A(0; 4), B(1; 3), C(-1; 3)

Tính được $AB=AC=\sqrt{2};BC=2;p=\frac{AB+AC+BC}{2}$

Áp dụng công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC ta có:

$r=\frac{S_{ABC}}{p}=\sqrt{\frac{(p-AB)(p-BC)(p-AC)}{P}}=\sqrt{2}-1$

b. Ta có: $y^{\prime }=4x^3-4x$

$y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{c}x=0\\ x=\pm 1\end{array}$

Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là $A(0;1),B(-1;0),C(1;0)$

$\begin{array}{c}\overrightarrow{AB}=(-1;-1),\overrightarrow{AC}=(1;-1)\\ \Rightarrow \{\begin{array}{c}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\\ AB=AC=\sqrt{2}\end{array}\end{array}$

=> Tam giác ABC vuông cân tại A => $S=\frac{1}{2}AB.AC=1$

Ví dụ. Hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị?

A. $y=\frac{2x-3}{x+2}$

B. $y=x^4$

C. $y=-x^3+x$

D. $y=|x+2|$

Hướng dẫn giải

+ Hàm số$y=\frac{2x-3}{x+2}$

Tập xác định: $D=(-\mathrm{\infty };-2)\cup (-2;+\mathrm{\infty })$.

Có $y^{\prime }=\frac{7}{(x+2{)}^2}>0\mathrm{\forall }x\in D\Rightarrow$hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định

$\Rightarrow$ Hàm số không có cực trị.

---------------------------------------------------------

Sau khi đã cùng nhau tìm hiểu về Cực trị của hàm số, bây giờ chúng ta hãy cùng nhau củng cố lại kiến thức bằng một số bài tập trắc nghiệm sau đây nhé!

Bài tập Toán 12: Tìm cực trị của hàm số cho bởi công thức