Chuyên đề Toán 12 Phân tích Vectơ trong không gian
Chuyên đề phân tích vectơ Toán 12 ôn thi THPT Quốc gia
Phân tích Vectơ trong không gian là một trong những chuyên đề quan trọng trong chương trình Toán 12, đặc biệt là đối với kỳ thi THPT Quốc gia. Chuyên đề này giúp học sinh làm quen với các khái niệm cơ bản về vectơ, bao gồm các phép toán, công thức, và ứng dụng trong không gian ba chiều. Phân tích vectơ là một phần không thể thiếu khi ôn luyện cho kỳ thi Toán THPT Quốc gia, vì nó xuất hiện thường xuyên trong đề thi, đòi hỏi học sinh phải nắm vững lý thuyết và kỹ năng giải quyết bài toán.
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cùng bạn tìm hiểu chi tiết về phân tích vectơ trong không gian, cung cấp các công thức quan trọng và các bài tập ôn thi THPT Quốc gia giúp bạn làm quen và tự tin giải quyết các câu hỏi liên quan đến vectơ.
Đề bài trắc nghiệm phân tích vectơ trong không gian
Câu 1. Cho hình tứ diện 
\(ABCD\) có trọng tâm \(G\). Mệnh đề nào sau đây sai.
A. \(\overrightarrow{AG} =
\frac{2}{3}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} +
\overrightarrow{AD} \right)\). B. \(\overrightarrow{AG} = \frac{1}{4}\left(
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}
\right)\).
C. \(\overrightarrow{OG} =
\frac{1}{4}\left( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} +
\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} \right)\). D. \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +
\overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} =
\overrightarrow{0}\).
Câu 2. Cho tứ diện\(ABCD\). Gọi \(P,\ Q\) là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Chọn khẳng định đúng?
A. \(\overrightarrow{PQ} =
\frac{1}{4}\left( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}
\right)\). B. \(\overrightarrow{PQ} =
\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}
\right)\).
C. \(\overrightarrow{PQ} =
\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AD}
\right)\). D. \(\overrightarrow{PQ} =
\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}\).
Câu 3. Trong không gian cho điểm \(O\) và bốn điểm\(A,B,C,D\) không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để \(A,B,C,D\) tạo thành hình bình hành là:
A. \(\overrightarrow{OA} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{OD}\). B. \(\overrightarrow{OA} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{OD}\).
C. \(\overrightarrow{OA} +
\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} +
\overrightarrow{OD}\). D. \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} +
\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} =
\overrightarrow{0}\).
Câu 4. Trong không gian cho điểm \(O\) và bốn điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) tạo thành hình bình hành là
A. \(\overrightarrow{OA} +
\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} =
\overrightarrow{0}\). B. \(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} =
\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}\).
C. \(\overrightarrow{OA} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{OD}\). D. \(\overrightarrow{OA} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} +
\frac{1}{2}\overrightarrow{OD}\).
Câu 5. Cho tứ diện\(ABCD\). Gọi \(M,\ N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\ CD\) và \(G\) là trung điểm của\(MN\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. \(\overrightarrow{MA} +
\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} =
4\overrightarrow{MG}\) B. \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +
\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GD}\)
C. \(\overrightarrow{GA} +
\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} =
\overrightarrow{0}\) D. \(\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GN} =
\overrightarrow{0}\).
Câu 6. Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\), \(G\) là trung điểm của \(IJ\). Cho các đẵng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A. \(\overrightarrow{GA} +
\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} =
\overrightarrow{0}\) B. \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +
\overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} =
2\overrightarrow{IJ}\)
C. \(\overrightarrow{GA} +
\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} =
\overrightarrow{JI}\) D. \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} +
\overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = -
2\overrightarrow{JI}\)
Câu 7. Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) với tâm \(O\). Hãy chỉ ra đẳng thức sai trong các đẳng thức sau đây:
A. \(\overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} =
\overrightarrow{AD'} + \overrightarrow{D'O} +
\overrightarrow{OC'}\) B. \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'}\)
C. \(\overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{BC'} + \overrightarrow{CD} +
\overrightarrow{D'A} = \overrightarrow{0}\) D. \(\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}\).
Câu 8. Cho hình hộp \(ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\). Chọn đẳng thức sai?
A. \(\overrightarrow{BC} +
\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{B_{1}C_{1}} +
\overrightarrow{B_{1}A_{1}}\). B. \(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D_{1}C_{1}}
+ \overrightarrow{D_{1}A_{1}} = \overrightarrow{DC}\).
C. \(\overrightarrow{BC} +
\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB_{1}} =
\overrightarrow{BD_{1}}\). D. \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DD_{1}} +
\overrightarrow{BD_{1}} = \overrightarrow{BC}\).
Câu 9. Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A_{1}B_{1}C_{1}\). Đặt \(\overrightarrow{AA_{1}} =
\overrightarrow{a},\overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{b},\overrightarrow{AC} =
\overrightarrow{c},\overrightarrow{BC} =
\overrightarrow{d},\)trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A. \(\overrightarrow{a} +
\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} =
\overrightarrow{0}\). B. \(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} +
\overrightarrow{c} = \overrightarrow{d}\).
C. \(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} +
\overrightarrow{d} = \overrightarrow{0}\). D. \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} +
\overrightarrow{c}\).
Câu 10. Cho tứ diện \(ABCD\). Đặt \(\overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{a},\overrightarrow{AC} =
\overrightarrow{b},\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{c},\) gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác\(BCD\). Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A. \(\overrightarrow{AG} =
\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}\). B. \(\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}\left(
\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}
\right)\).
C. \(\overrightarrow{AG} =
\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} +
\overrightarrow{c} \right)\). D. \(\overrightarrow{AG} = \frac{1}{4}\left(
\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}
\right)\).
Câu 11. Cho tứ diện \(ABCD\). Đặt \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a},\ \
\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{b},\ \ \overrightarrow{AD} =
\overrightarrow{c},\) gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. \(\overrightarrow{DM} =
\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} -
2\overrightarrow{c} \right)\) B. \(\overrightarrow{DM} = \frac{1}{2}\left( -
2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}
\right)\)
C. \(\overrightarrow{DM} =
\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} +
\overrightarrow{c} \right)\). D. \(\overrightarrow{DM} = \frac{1}{2}\left(
\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}
\right)\)
Câu 12. Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\) và \(P\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Đặt \(\overrightarrow{AB} =
\overrightarrow{b}\),\(\overrightarrow{AC} =
\overrightarrow{c}\),\(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{d}\). Khẳng định nào sau đây đúng.
A. \(\overrightarrow{MP} =
\frac{1}{2}(\overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} +
\overrightarrow{b})\). B. \(\overrightarrow{MP} =
\frac{1}{2}(\overrightarrow{d} + \overrightarrow{b} -
\overrightarrow{c})\).
C. \(\overrightarrow{MP} =
\frac{1}{2}(\overrightarrow{c} + \overrightarrow{b} -
\overrightarrow{d})\). D. \(\overrightarrow{MP} =
\frac{1}{2}(\overrightarrow{c} + \overrightarrow{d} -
\overrightarrow{b})\).
Câu 13. Cho hình lập phương \(ABCD.A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\). Gọi \(O\) là tâm của hình lập phương. Chọn đẳng thức đúng?
A. \(\overrightarrow{AO} =
\frac{1}{3}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} +
\overrightarrow{AA_{1}} \right)\) B. \(\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2}\left(
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_{1}}
\right)\)
C. \(\overrightarrow{AO} =
\frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} +
\overrightarrow{AA_{1}} \right)\) D. \(\overrightarrow{AO} = \frac{2}{3}\left(
\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_{1}}
\right)\).
Câu 14. Cho lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có \(\overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{a},\overrightarrow{\ AB} = \overrightarrow{b,}\
\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}\). Hãy phân tích (biểu thị) vectơ \(\overrightarrow{BC'}\) qua các vectơ \(\overrightarrow{a},\
\overrightarrow{b},\ \ \overrightarrow{c}\).
A. \(\overrightarrow{BC'} =
\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}\) B. \(\overrightarrow{BC'} = -
\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} -
\overrightarrow{c}\)
C. \(\overrightarrow{BC'} = -
\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}\) D. \(\overrightarrow{BC'} =
\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} +
\overrightarrow{c}\).
Câu 15. Cho lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có \(\overrightarrow{AA'} =
\overrightarrow{a},\overrightarrow{\ AB} = \overrightarrow{b,}\
\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}\). Hãy phân tích (biểu thị) vectơ \(\overrightarrow{B'C}\) qua các vectơ \(\overrightarrow{a},\ \
\overrightarrow{b},\ \ \overrightarrow{c}\).
A. \(\overrightarrow{B'C} =
\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}.\) B. \(\overrightarrow{B'C} = -
\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}.\)
C. \(\overrightarrow{B'C} =
\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}.\) D. \(\overrightarrow{B'C} = -
\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} +
\overrightarrow{c}.\)
Đáp án tổng quan bài tập trắc nghiệm
|
1 - A |
2 - B |
3 - C |
4 -B |
5 - B |
6 - A |
7 - B |
8 -D |
|
9 - C |
10 - C |
11 - A |
12 - D |
13 - B |
14 - D |
15 - D |
16 – B |
|
17 - D |
18 - B |
19 - A |
20 - A |
21 - D |
22 - C |
23 - D |
24 – A |
|
25 - D |
26 - A |
27 - C |
28 - D |
29 - D |
30 - A |
31 - A |
32 – D |
|
33 - B |
34 - C |
35 - A |
36 - D |
37 - C |
38 - B |
39 - A |
40 – C |
|
41 - A |
42 - C |
43 - B |
44 - D |
45 - C |
46 - A |
47 - A |
|
Hướng dẫn giải chi tiết bài tập trắc nghiệm
Câu 1.
Chọn A.
Theo giả thuyết trên thì với \(O\) là một điểm bất kỳ ta luôn có: \(\overrightarrow{OG} = \frac{1}{4}\left(
\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} +
\overrightarrow{OD} \right)\).
Ta thay điểm \(O\) bởi điểm \(A\) thì ta có:
\(\overrightarrow{AG} = \frac{1}{4}\left(
\overrightarrow{AA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} +
\overrightarrow{AD} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow{AG} =
\frac{1}{4}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} +
\overrightarrow{AD} \right)\)
Do vậy \(\overrightarrow{AG} =
\frac{2}{3}\left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} +
\overrightarrow{AD} \right)\) là sai.
Câu 2.
Chọn B.
Ta có : \(\overrightarrow{PQ} =
\overrightarrow{PB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CQ}\) và \(\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PA}
+ \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DQ}\)
nên \(2\overrightarrow{PQ} = \left(
\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} \right) + \overrightarrow{BC}
+ \overrightarrow{AD} + \left( \overrightarrow{CQ} + \overrightarrow{DQ}
\right) = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}\). Vậy \(\overrightarrow{PQ} = \frac{1}{2}\left(
\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD} \right)\)
Câu 3.
Chọn C.
\(\overrightarrow{OA} +
\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}
\Leftrightarrow \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OA} +
\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{BC} \Leftrightarrow
\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} +
\overrightarrow{BC}\)
Câu 4.
Chọn B.
Trước hết, điều kiện cần và đủ để \(ABCD\) là hình bình hành là:
\(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA}
+ \overrightarrow{BC}\).
Với mọi điểm \(O\) bất kì khác \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), ta có:
\(\overrightarrow{BD} =
\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} \Leftrightarrow
\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} -
\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} -
\overrightarrow{OB}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{OA} +
\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} +
\overrightarrow{OD}\).
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!
-------------------------------------------------------------
Tóm lại, phân tích vectơ trong không gian là một chuyên đề không thể thiếu trong chương trình Toán 12, đặc biệt là trong quá trình ôn thi THPT Quốc gia. Việc nắm vững các công thức, lý thuyết, và kỹ năng giải bài tập về vectơ sẽ giúp bạn đạt điểm cao trong kỳ thi. Các bài tập và lý thuyết được trình bày trong bài viết này sẽ giúp bạn dễ dàng hiểu và áp dụng các kiến thức vào bài thi thực tế.
