VnDoc.com

Đóng

Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm

Mua VnDoc PRO chỉ từ Đang cập nhật

Đóng

Bạn cần đăng nhập tài khoản Thành viên VnDoc để:

- Xem đáp án

- Nhận 1 lần làm bài trắc nghiệm miễn phí!

Đăng nhập

Trắc nghiệm đúng sai Nguyên hàm Tích phân

Bài tập Toán 12 Ôn thi THPT Quốc gia

Câu hỏi Đúng sai Nguyên hàm Tích phân có đáp án chi tiết

Trong chương trình Toán 12, chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân luôn chiếm tỉ trọng lớn trong đề thi tốt nghiệp THPT và có tính phân loại cao. Đặc biệt, dạng trắc nghiệm đúng sai Nguyên hàm Tích phân yêu cầu học sinh không chỉ ghi nhớ công thức mà còn hiểu bản chất phép biến đổi, điều kiện xác định và ý nghĩa hình học của tích phân.

Bài viết Trắc nghiệm đúng sai Nguyên hàm Tích phân – Bài tập Toán 12 ôn thi THPT Quốc gia sẽ tổng hợp hệ thống câu hỏi chọn lọc theo cấu trúc đề thi của Bộ Giáo dục và Đào tạo Việt Nam , kèm đáp án và phân tích ngắn gọn. Đây là tài liệu giúp học sinh lớp 12 rèn kỹ năng nhận diện sai lầm, tăng tốc độ xử lý câu hỏi và tối ưu điểm số trong phòng thi.

Thông hiểu Vận dụng

Bài kiểm tra này bao gồm 12 câu
Điểm số bài kiểm tra: 12 điểm
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

00:00:00

Câu 1: Vận dụng

Xét tính đúng sai của các nhận định

Các mệnh đề sau đúng hay sai.

a) Nếu các hàm số $y = f(x),y = g(x)$ liên tục trên $K$ thì $\int_{}^{}{\left\lbrack f(x) + g(x) \right\rbrack dx} = \int_{}^{}{f(x)dx} + \int_{}^{}{g(x)dx}$ . Đúng||Sai

b) $\int_{}^{}\left( 2^{x} + e^{x} \right)dx = 2^{x} + e^{x} + C$ . Sai||Đúng

c) Biết $F(x) = x^{3}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ . Giá trị của $\int_{1}^{3}{\left( 1 + f(x) \right)dx}$ bằng 28. Đúng||Sai

d) Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x - 1 & \ khi\ x \leq 1 \\ 3x^{2} - 2 & \ khi\ x > 1 \end{matrix} \right.$ . Khi đó $\int_{- 1}^{3}f(x)dx = 22$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Các mệnh đề sau đúng hay sai.

a) Nếu các hàm số $y = f(x),y = g(x)$ liên tục trên $K$ thì $\int_{}^{}{\left\lbrack f(x) + g(x) \right\rbrack dx} = \int_{}^{}{f(x)dx} + \int_{}^{}{g(x)dx}$ . Đúng||Sai

b) $\int_{}^{}\left( 2^{x} + e^{x} \right)dx = 2^{x} + e^{x} + C$ . Sai||Đúng

c) Biết $F(x) = x^{3}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ . Giá trị của $\int_{1}^{3}{\left( 1 + f(x) \right)dx}$ bằng 28. Đúng||Sai

d) Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x - 1 & \ khi\ x \leq 1 \\ 3x^{2} - 2 & \ khi\ x > 1 \end{matrix} \right.$ . Khi đó $\int_{- 1}^{3}f(x)dx = 22$ . Sai||Đúng

a) Đúng

theo tính chất nguyên hàm.

b) Sai

vì $\int_{}^{}\left( 2^{x} + e^{x} \right)dx = \frac{2^{x}}{ln2} + e^{x} + C$

c) Đúng

$\int_{1}^{3}{\left( 1 + f(x) \right)dx} = \int_{1}^{3}{dx} + \int_{1}^{3}{f(x)dx}$

$= \left. \ x \right|_{1}^{3} + \left. \ x^{3} \right|_{1}^{3} = 2 + 26 = 28$

d) Sai

$\int_{- 1}^{3}f(x)dx = \int_{- 1}^{1}f(x)dx + \int_{1}^{3}f(x)dx$

$= \int_{- 1}^{1}{(2x - 1)}dx + \int_{1}^{3}{(3x^{2} - 2)}dx$

$= \left. \ (x^{2} - x) \right|_{- 1}^{1} + \left. \ (x^{3} - 2x) \right|_{1}^{3} = (0 - 2) + \lbrack 21 - ( - 1)\rbrack = 20$
Câu 2: Vận dụng

Xét tính đúng sai của các nhận định

Một xe ô tô đang chạy đều với vận tốc $x(\ m/s)$ thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số $v = - 5t + 20(\ m/s)$ , trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng $0(\ m/s)$ . Đúng||Sai

b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $5\ s$ . Sai||Đúng

c) $\int( - 5t + 20)dt = \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C$ . Đúng||Sai

d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $400\ m$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Một xe ô tô đang chạy đều với vận tốc $x(\ m/s)$ thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc thay đổi theo hàm số $v = - 5t + 20(\ m/s)$ , trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh.

a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng $0(\ m/s)$ . Đúng||Sai

b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $5\ s$ . Sai||Đúng

c) $\int( - 5t + 20)dt = \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C$ . Đúng||Sai

d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là $400\ m$ . Sai||Đúng

Để giải bài toán này, chúng ta cần làm rõ từng phần. Ô tô đang chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v = - 5t + 20v$ ( m/s), trong đó t là thời gian tính từ lúc bắt đầu đạp phanh.

a) Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0 m/s. (Đúng).

Để tìm thời gian mà ô tô dừng lại, ta đặt v=0 nghĩa là: −5t+20=0 hay t=4 (s)

Vậy khi t=4, vận tốc là 0 m/s, điều này cho thấy ô tô đã dừng lại.

b) Thời gian từ lúc người lái xe đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là 5 s.

Điều này không chính xác. Từ phần (a), chúng ta đã xác định thời gian để ô tô dừng lại là 4 giây, không phải 5 giây.

c) $\int( - 5t + 20)dt = \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C$

Công thức tích phân này là chính xác, vì:

$\int( - 5t + 20)dt = \frac{- 5t^{2}}{2} + 20t + C$ Với C là hằng số tích phân.

d) Quãng đường từ lúc đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn là 400 m.

Để tính quãng đường, chúng ta cần tích phân hàm vận tốc để tìm quãng đường đi được. Quãng đường s từ t = 0 đến t=4 giây được tính bằng:

$s = \int_{0}^{4}{( - 5t + 20)dt} = \left. \ \left( - \frac{5}{2}t^{2} - 20t \right) \right|_{0}^{4} = 40(m)$

Do đó, quãng đường ô tô đi được là 40 m, không phải 400 m.

Tóm lại:

(a) Đúng.

(b) Sai, thời gian là 4 giây.

(c) Đúng.

(d) Sai, quãng đường là 40 m.
Câu 3: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các nhận định

Cho hàm số $f(x) = \frac{1}{x - 1}$

a. $F(x) = \ln|x - 1|$ là một nguyên hàm của $f(x) = \frac{1}{x - 1}$ . Đúng||Sai

b. $F(x) = \int_{}^{}{\frac{1}{x - 1}dx} = \ln|x - 1| + C$ . Đúng||Sai

c. Cho $F(2) = 1$ , ta có $F(3) = ln2 + \frac{1}{2}$ . Sai||Đúng

d. $\int_{2}^{3}{\frac{1}{x - 1}dx =}ln2$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = \frac{1}{x - 1}$

a. $F(x) = \ln|x - 1|$ là một nguyên hàm của $f(x) = \frac{1}{x - 1}$ . Đúng||Sai

b. $F(x) = \int_{}^{}{\frac{1}{x - 1}dx} = \ln|x - 1| + C$ . Đúng||Sai

c. Cho $F(2) = 1$ , ta có $F(3) = ln2 + \frac{1}{2}$ . Sai||Đúng

d. $\int_{2}^{3}{\frac{1}{x - 1}dx =}ln2$ . Đúng||Sai

a. Đúng.

b. Đúng.

d. Sai.

Ta có $F(x) = \int_{}^{}{\frac{1}{x - 1}dx} = \ln|x - 1| + C$ . Mà $F(2) = 1 \Rightarrow C = 1$ .

Vậy $F(3) = ln2 + 1$ .

d. Đúng.

$\int_{2}^{3}{\frac{1}{x - 1}dx =}\ln|x - 1|\left| \ _{2}^{3} \right.\ = ln2 - ln1 = ln2$ .
Câu 4: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các nhận định

Cho hàm số $f(x) = x^{2} + ax + b$ , biết $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ với $\forall x\mathbb{\in R}$ . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau?

a) Khi $a = b = 0$ thì $F(x) = \frac{x^{3}}{3} + C$ . Đúng||Sai

b) Khi $a = 1,\ \ b = 0$ thì $F(x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + C$ . Đúng||Sai

c) Khi $a = 1,\ \ b = 1,\ F(0) = 0$ thì có $3$ giá trị của $x$ để $F(x) = 0$ . Sai||Đúng

d) Nếu $F(1) = 2,F( - 1) = 1,F(0) = 0$ thì $a^{2} + b^{2} = \frac{8}{3}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = x^{2} + ax + b$ , biết $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ với $\forall x\mathbb{\in R}$ . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau?

a) Khi $a = b = 0$ thì $F(x) = \frac{x^{3}}{3} + C$ . Đúng||Sai

b) Khi $a = 1,\ \ b = 0$ thì $F(x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + C$ . Đúng||Sai

c) Khi $a = 1,\ \ b = 1,\ F(0) = 0$ thì có $3$ giá trị của $x$ để $F(x) = 0$ . Sai||Đúng

d) Nếu $F(1) = 2,F( - 1) = 1,F(0) = 0$ thì $a^{2} + b^{2} = \frac{8}{3}$ . Sai||Đúng

Ta có $F(x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{ax^{2}}{2} + bx + C$

a) ĐÚNG.

Vì khi $a = b = 0$ thì $F(x) = \frac{x^{3}}{3} + C$

b) ĐÚNG.

Vì khi $a = 1,\ \ b = 0$ thì $F(x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + C$

c) SAI

Do khi $a = 1,\ \ b = 1,\ F(0) = 0$ ta được $F(x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + x = 0 \Leftrightarrow x = 0$

d) SAI

Với $F(1) = 2,\ \ F( - 1) = 1,\ \ F(0) = 0$ ta được hệ phương trình:

$\left\{ \begin{matrix} \frac{a}{2} + b + c = \frac{5}{3} \\ \frac{a}{2} + b + c = \frac{4}{3} \\ c = 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = \frac{2}{3} \\ c = 0 \end{matrix} \right.$

Vậy $a^{2} + b^{2} = \frac{40}{9}$
Câu 5: Vận dụng

Xét tính đúng sai của các nhận định

Một xe ô tô đang chạy với tốc độ $65\ km/h$ thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó $50\ m$ . Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ $v(t) = - 10t + 20\ (m/s)$ , trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi $s(t)$ là quãng đường xe ô tô đi được trong $t$ (giây) kể từ lúc đạp phanh.

a) Quãng đường $s(t)$ mà xe ô tô đi được trong thời gian $t$ (giây) là một nguyên hàm của hàm số $v(t).$ Đúng||Sai

b) $s(t) = - 5t^{2} + 20t.$ Đúng||Sai

c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 20 giây. Sai||Đúng

d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai

Đáp án là:

Một xe ô tô đang chạy với tốc độ $65\ km/h$ thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó $50\ m$ . Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ $v(t) = - 10t + 20\ (m/s)$ , trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi $s(t)$ là quãng đường xe ô tô đi được trong $t$ (giây) kể từ lúc đạp phanh.

a) Quãng đường $s(t)$ mà xe ô tô đi được trong thời gian $t$ (giây) là một nguyên hàm của hàm số $v(t).$ Đúng||Sai

b) $s(t) = - 5t^{2} + 20t.$ Đúng||Sai

c) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 20 giây. Sai||Đúng

d) Xe ô tô đó không va vào chướng ngại vật ở trên đường. Đúng||Sai

Do $s'(t) = v(t)$ nên quãng đường $s(t)$ mà xe ô tô đi được trong thời gian $t$ (giây) là một nguyên hàm của hàm số $v(t).$

Ta có: $\int_{}^{}{( - 10t + 20)}dt = - 5t^{2} + 20t + C$ với $C$ là hằng số. Khi đó, ta gọi hàm số $s(t) = - 5t^{2} + 20t + C.$

- Do $s(0) = 0$ nên $C = 0.$ Suy ra $s(t) = - 5t^{2} + 20t.$

- Xe ô tô dừng hẳn khi $v(t) = 0$ hay $- 10t + 20 = 0 \Leftrightarrow t = 2.$ Vậy thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi xe ô tô dừng hẳn là 2 giây.

- Ta có xe ô tô đang chạy với tốc độ $65\ km/h \approx 18\ m/s.$

Do đó, quãng đường xe ô tô còn đi chuyển được kể từ lúc đạp phanh đến khi xe dừng hẳn là: $s(2) = - 5.2^{2} + 20.2 = 20\ (m).$

Vậy quãng đường xe ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là: $18 + 20 \approx 38\ (m).$

Do $38 < 50$ nên xe ô tô đã dừng hẳn trước khi va chạm với chướng ngại vật trên đường.
Câu 6: Vận dụng

Xét tính đúng sai của các nhận định

Cho số thực $a$ và hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x\ \ \ \ khi\ \ x \leq 0 \\ a\left( x - x^{2} \right)\ \ \ khi\ \ \ x > 0 \end{matrix} \right.$ .

a) $\int_{- 1}^{0}{f(x)}dx = \int_{- 1}^{0}{2x}dx$ Đúng||Sai

b) $\int_{0}^{1}{f(x)}dx = - \frac{a}{6}$ . Sai||Đúng

c) Khi $a = 2$ , $\int_{- 1}^{1}{f(x)dx} = - \frac{2}{3}$ . Đúng||Sai

d) Điều kiện cần và đủ để $\int_{- 1}^{2}{f(x)dx} > 3$ là $a > - 6$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho số thực $a$ và hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 2x\ \ \ \ khi\ \ x \leq 0 \\ a\left( x - x^{2} \right)\ \ \ khi\ \ \ x > 0 \end{matrix} \right.$ .

a) $\int_{- 1}^{0}{f(x)}dx = \int_{- 1}^{0}{2x}dx$ Đúng||Sai

b) $\int_{0}^{1}{f(x)}dx = - \frac{a}{6}$ . Sai||Đúng

c) Khi $a = 2$ , $\int_{- 1}^{1}{f(x)dx} = - \frac{2}{3}$ . Đúng||Sai

d) Điều kiện cần và đủ để $\int_{- 1}^{2}{f(x)dx} > 3$ là $a > - 6$ . Sai||Đúng

a) [Đ] Với $x \leq 0$ ta có $f(x) = 2x$ . Vậy $\int_{- 1}^{0}{f(x)}dx = \int_{- 1}^{0}{2x}dx$ .

b) [S] $\int_{0}^{1}{f(x)}dx = \int_{0}^{1}{a\left( x - x^{2} \right)}dx = \left. \ \left( \frac{1}{2}\ a\ x^{2} - \frac{1}{3}\ a\ x^{3} \right) \right|_{0}^{1} = \frac{a}{6}$ .

c) [Đ] $\int_{- 1}^{1}{f(x)dx} = \int_{- 1}^{0}{f(x)dx} + \int_{0}^{1}{f(x)dx}$

$= \int_{- 1}^{0}{2xdx} + \int_{0}^{1}{a\left( x - x^{2} \right)dx}$ $= \left. \ \left( x^{2} \right) \right|_{- 1}^{0} + \left. \ a\left( \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} \right) \right|_{0}^{1}$

$= - 1 + a\left( \frac{1}{6} \right) = \frac{a}{6} - 1 = \frac{2}{6} - 1 = - \frac{2}{3}$ .

d) [S] $\int_{- 1}^{2}{f(x)dx} = \int_{- 1}^{0}{f(x)dx} + \int_{0}^{2}{f(x)dx}$

$= \int_{- 1}^{0}{2xdx} + \int_{0}^{2}{a\left( x - x^{2} \right)dx}$

$= \left. \ \left( x^{2} \right) \right|_{- 1}^{0} + \left. \ a\left( \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} \right) \right|_{0}^{2} = - 1 + a\left( - \frac{2}{3} \right) = - \frac{2a}{3} - 1$ .

$\int_{- 1}^{2}{f(x)dx} > 3 \Leftrightarrow - \frac{2a}{3} - 1 > 3 \Leftrightarrow a < - 6$ .
Câu 7: Vận dụng

Xét tính đúng sai của các khẳng định

Cho đường tròn $(C)$ tâm $O$ bán kính bằng 2, cắt trục hoành tại hai điểm $A,B$ . Parabol $(P)$ đi qua hai điểm $A,B$ và có tọa độ đỉnh $I(0;1)$ .

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x),y = g(x)$ và hai đường thẳng $x = a,\ x = b\ (a < b)$ là $S = \int_{a}^{b}{f(x) - g(x)dx}$ . Sai||Đúng

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường tròn $(C)$ , parabol $(P)$ bằng $a\pi - \frac{b}{c}$ với $a,b,c$ là các số tự nhiên, $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Khi đó $a + b + c = 9$ . Sai||Đúng

c) Thể tích vật thể khi xoay hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P)$ , trục hoành, hai đường thẳng $x = - 2; x = 2$ bằng $\frac{m\pi}{n}$ với $m,n$ là số tự nhiên, $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Khi đó $m - n = 7$ . Đúng||Sai

d) Từ một quả cầu bằng đá trắng sứ bán kính bằng 2 dm, người ta khoan rút lõi ngay “chính giữa” quả cầu (trục đối xứng của lõi và quả cầu trùng nhau) như hình sau với đường kính mũi khoan là 2 dm được một vật thể có thể tích $V = \frac{32 - 12\sqrt{3}}{6}\pi$ (bỏ qua độ dày mũi khoan). Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho đường tròn $(C)$ tâm $O$ bán kính bằng 2, cắt trục hoành tại hai điểm $A,B$ . Parabol $(P)$ đi qua hai điểm $A,B$ và có tọa độ đỉnh $I(0;1)$ .

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x),y = g(x)$ và hai đường thẳng $x = a,\ x = b\ (a < b)$ là $S = \int_{a}^{b}{f(x) - g(x)dx}$ . Sai||Đúng

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường tròn $(C)$ , parabol $(P)$ bằng $a\pi - \frac{b}{c}$ với $a,b,c$ là các số tự nhiên, $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Khi đó $a + b + c = 9$ . Sai||Đúng

c) Thể tích vật thể khi xoay hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P)$ , trục hoành, hai đường thẳng $x = - 2; x = 2$ bằng $\frac{m\pi}{n}$ với $m,n$ là số tự nhiên, $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Khi đó $m - n = 7$ . Đúng||Sai

d) Từ một quả cầu bằng đá trắng sứ bán kính bằng 2 dm, người ta khoan rút lõi ngay “chính giữa” quả cầu (trục đối xứng của lõi và quả cầu trùng nhau) như hình sau với đường kính mũi khoan là 2 dm được một vật thể có thể tích $V = \frac{32 - 12\sqrt{3}}{6}\pi$ (bỏ qua độ dày mũi khoan). Đúng||Sai

(a) Sai

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x),y = g(x)$ và hai đường thẳng $x = a,\ x = b\ (a < b)$ là $S = \int_{a}^{b}{\left| f(x) - g(x) \right|dx}$ .

(b) Sai

Đường tròn $(C)$ có phương trình $x^{2} + y^{2} = 4$ , cắt trục hoành tại hai điểm $A( - 2;0),B(2;0)$ .

Parabol $(P)$ đi qua hai điểm $A,B$ và có tọa độ đỉnh $I(0;1)$ có phương trình là $y = - \frac{1}{4}x^{2} + 1$ .

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường tròn $(C)$ , parabol $(P)$ bằng

$\int_{- 2}^{2}\left| \sqrt{4 - x^{2}} + \frac{1}{4}x^{2} - 1 \right|dx$

$= \int_{- 2}^{2}{\sqrt{4 - x^{2}}dx} + \int_{- 2}^{2}{\left( \frac{1}{4}x^{2} - 1 \right)dx} = 2\pi - \frac{8}{3}$

Suy ra $a = 2,b = 8,c = 3 \Rightarrow a + b + c = 13$ .

(c) Đúng

Thể tích vật thể khi xoay hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P)$ , trục hoành, hai đường thẳng $x = - 2;x = 2$ bằng $V = \pi\int_{- 2}^{2}{\left( - \frac{1}{4}x^{2} + 1 \right)^{2}dx =}\frac{32\pi}{15}$

$\Rightarrow m = 32,n = 15 \Rightarrow m - n = 17$ .

(d) Đúng

Vật thể gồm một khối trụ và 2 chỏm cầu.

Gọi $V_{1}$ là thể tích của khối trụ và $V_{2}$ là thể tích của 2 chỏm cầu

Nửa chiều cao của khối trụ là: $l = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}$ nên thể tích khối trụ là: $V_{1} = \pi.R^{2}.2l = 2\pi\sqrt{3}$ .

Thể tích hai chỏm cầu bằng

$V_{2} = 2\pi\int_{\sqrt{3}}^{2}{\left( \sqrt{4 - x^{2}} \right)^{2}dx}$

$= 2\pi\left. \ \left( 4x - \frac{x^{3}}{3} \right) \right|_{\sqrt{3}}^{2} = 2\pi\left( \frac{16}{3} - 3\sqrt{3} \right)$

Khi đó thể tích của khối cần tìm là:

$V = V_{1} + V_{2} = 2\pi\sqrt{3} + 2\pi\left( \frac{16}{3} - 3\sqrt{3} \right) = \frac{32 - 12\sqrt{3}}{6}\pi$ dm³.
Câu 8: Vận dụng

Xét tính đúng sai của các nhận định

Mệnh đề đúng hay sai?

a) Nếu $f(x)$ , $g(x)$ là hai hàm số liên tục trên $K$ thì $\int_{}^{}{\left\lbrack f(x) - g(x) \right\rbrack dx} = \int_{}^{}{f(x)dx} - \int_{}^{}{g(x)dx}$ . Đúng||Sai

b) Hàm số $F(x) = 2sinx - 3cosx$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2cosx - 3sinx$ trên $\mathbb{R}$ . Sai||Đúng

c) Cho $\int_{- 3}^{0}{f(x)dx} = - 4$ và $\int_{- 3}^{0}{g(x)dx} = - 3$ . Ta có $\int_{- 3}^{0}{\left\lbrack 2f(x) + 3g(x) \right\rbrack dx} = - 51$ . Sai||Đúng

d) Tính $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\left( 3 - \sin x \right)dx} = a\pi - \frac{b}{c}$ (trong đó $a,b,c \in \mathbb{N}^{*}$ và $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản). Ta có $c = a + b$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Mệnh đề đúng hay sai?

a) Nếu $f(x)$ , $g(x)$ là hai hàm số liên tục trên $K$ thì $\int_{}^{}{\left\lbrack f(x) - g(x) \right\rbrack dx} = \int_{}^{}{f(x)dx} - \int_{}^{}{g(x)dx}$ . Đúng||Sai

b) Hàm số $F(x) = 2sinx - 3cosx$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2cosx - 3sinx$ trên $\mathbb{R}$ . Sai||Đúng

c) Cho $\int_{- 3}^{0}{f(x)dx} = - 4$ và $\int_{- 3}^{0}{g(x)dx} = - 3$ . Ta có $\int_{- 3}^{0}{\left\lbrack 2f(x) + 3g(x) \right\rbrack dx} = - 51$ . Sai||Đúng

d) Tính $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\left( 3 - \sin x \right)dx} = a\pi - \frac{b}{c}$ (trong đó $a,b,c \in \mathbb{N}^{*}$ và $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản). Ta có $c = a + b$ . Đúng||Sai

a) Mệnh đề đúng vì theo tính chất nguyên hàm ta có:

$\int_{}^{}{\left\lbrack f(x) - g(x) \right\rbrack dx} = \int_{}^{}{f(x)dx} - \int_{}^{}{g(x)dx}$

b) Ta có $F'(x) = 2cosx + 3sinx \neq f(x)$ nên $F(x)$ không là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ .

Do đó mệnh đề sai

c) Ta có:

$\int_{- 3}^{0}{\left\lbrack 2f(x) + 3g(x) \right\rbrack dx} = 2\int_{- 3}^{0}{f(x)dx} + 3\int_{- 3}^{0}{g(x)dx}$

$= 2.( - 4) + 3.( - 3) = - 17$ .

Do đó mệnh đề sai.

d) $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}{\left( 3 - \sin x \right)\mathbf{d}x} = \left. \ \left( 3x + \cos x \right) \right|_{0}^{\frac{\pi}{3}}$

$= \left\lbrack \left( \pi + \cos\frac{\pi}{3} \right) - (0 + cos0) \right\rbrack = \pi - \frac{1}{2}$ .

Suy ra $\left\{ \begin{matrix} a = 1 \\ b = 1 \\ c = 2 \end{matrix} \right.$ .

Do đó $c = a + b$ ta có $2 = 1 + 1$ là mệnh đề đúng.
Câu 9: Vận dụng

Xét tính đúng sai của các nhận định

Cho hàm số $f(x) = x^{3} - 2024x + 2025$ .

a) Một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ là $F(x) = \frac{1}{4}x^{4} - 1012x^{2} + 2025x$ . Sai||Đúng

b) $f(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $g(x) = 3x^{2} - 2024$ . Sai||Đúng

c) Nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)$ thoả mãn $F(0) = 3$ là $F(x) = \frac{1}{4}x^{4} - 1012x^{2} + 2025x.$ Đúng||Sai

d) Tích phân $\int_{0}^{1}{f(x)}dx = \frac{4053}{4}$ . Sai||Đúng

Đáp án là:

Cho hàm số $f(x) = x^{3} - 2024x + 2025$ .

a) Một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ là $F(x) = \frac{1}{4}x^{4} - 1012x^{2} + 2025x$ . Sai||Đúng

b) $f(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $g(x) = 3x^{2} - 2024$ . Sai||Đúng

c) Nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)$ thoả mãn $F(0) = 3$ là $F(x) = \frac{1}{4}x^{4} - 1012x^{2} + 2025x.$ Đúng||Sai

d) Tích phân $\int_{0}^{1}{f(x)}dx = \frac{4053}{4}$ . Sai||Đúng

a) (NB) Một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ là $F(x) = \frac{1}{4}x^{4} - 1012x^{2} + 2025x.$

$F^{'(x)} = \left( \frac{1}{4}x^{4} - 1012x^{2} + 2025x \right)'$

$= x^{3} - 2024x + 2025$

b) (NB) $f(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $g(x) = 3x^{2} - 2024.$

$f'(x) = (x^{3} - 2024x + 2025)' = 3x^{2} - 2024 = g(x)$

c) (NB) Nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)$ thoả mãn $F(0) = 3$ là $F(x) = \frac{1}{4}x^{4} - 1012x^{2} + 2025x.$

$F(0) = \frac{1}{4}0^{4} - 10120^{2} + 2025.0 = 0.$

d) (TH) Tích phân $\int_{0}^{1}{f(x)}dx = \frac{4053}{4}$ .

$\int_{0}^{1}{f(x)}dx = \int_{0}^{1}{(x^{3} - 2024x + 2025)}dx = \frac{4053}{4}.$

Vậy đáp án a) đúng, b) đúng, c) sai, d) đúng.
Câu 10: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các nhận định

Cho hàm số $y = f(x) = \sin x + \sqrt{3}\cos x$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $\int_{}^{}{f(x)}\ \ dx = \int_{}^{}{\sin x}\ \ dx + \sqrt{3}.\int_{}^{}{\cos x}\ \ dx$ . Đúng||Sai

b) $\int_{}^{}{\sin x}\ \ dx = - \cos x + C$ . Đúng||Sai

c) $\int_{}^{}{f(x)}\ \ dx = \cos x - \sqrt{3}\sin x + C$ . Sai||Đúng

d) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}{f(x)\ \ dx} = \frac{a + \sqrt{b} - \sqrt{c}}{2}$ với $a,b,c\mathbb{\in Z}$ . Khi đó $a + b + c = 10$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x) = \sin x + \sqrt{3}\cos x$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $\int_{}^{}{f(x)}\ \ dx = \int_{}^{}{\sin x}\ \ dx + \sqrt{3}.\int_{}^{}{\cos x}\ \ dx$ . Đúng||Sai

b) $\int_{}^{}{\sin x}\ \ dx = - \cos x + C$ . Đúng||Sai

c) $\int_{}^{}{f(x)}\ \ dx = \cos x - \sqrt{3}\sin x + C$ . Sai||Đúng

d) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}{f(x)\ \ dx} = \frac{a + \sqrt{b} - \sqrt{c}}{2}$ với $a,b,c\mathbb{\in Z}$ . Khi đó $a + b + c = 10$ . Đúng||Sai

Chọn a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng.

a) $\int_{}^{}{f(x)}dx = \int_{}^{}{\sin x}dx + \sqrt{3}.\int_{}^{}{\cos x}dx$ suy ra mệnh đề đúng.

b) $\int_{}^{}{\sin x}dx = - \cos x + C$ suy ra mệnh đề đúng.

c) $\int_{}^{}{f(x)}\ \ dx = \int_{}^{}{\sin x}dx + \sqrt{3}.\int_{}^{}{\cos x}dx = \sqrt{3}\sin x - \cos x + C$ suy ra mệnh đề sai.

d) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}{f(x)\ \ dx} = \left. \ \left( \sqrt{3}\sin x - \cos x \right) \right|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}$

$= \left( \sqrt{3}\sin\frac{\pi}{3} - \cos\frac{\pi}{3} \right) - \left( \sqrt{3}\sin\frac{\pi}{4} - \cos\frac{\pi}{4} \right)$

$= 1 - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$

Khi đó $a = 2,b = 2,c = 6 \Rightarrow a + b + c = 10$ , suy ra mệnh đề đúng.
Câu 11: Vận dụng

Xét tính đúng sai của các nhận định

Cho hàm số $y = f(x) = x^{3} - 3x + 2$ có đồ thị là $(C)$ . Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C)$ và trục $Ox$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a. Diện tích hình phẳng $(D)$ là $S = \int_{1}^{2}{\left| x^{3} - 3x + 2 \right|dx}$ . Sai||Đúng

b. Gọi $S'$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C)$ , đường thẳng $(d):y = - 2x + 8$ và 2 đường thẳng $x = 1;\ x = 3$ . Khi đó $S' = \frac{23}{2}$ . Đúng||Sai

c. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng $(D)$ quanh trục $Ox$ bằng $16\pi$ . Sai||Đúng

d. Đường thẳng $x = k$ chia hình phẳng $(D)$ thành hai phần có diện tích bằng nhau. Khi đó $k \in ( - 1;0)$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho hàm số $y = f(x) = x^{3} - 3x + 2$ có đồ thị là $(C)$ . Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C)$ và trục $Ox$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a. Diện tích hình phẳng $(D)$ là $S = \int_{1}^{2}{\left| x^{3} - 3x + 2 \right|dx}$ . Sai||Đúng

b. Gọi $S'$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $(C)$ , đường thẳng $(d):y = - 2x + 8$ và 2 đường thẳng $x = 1;\ x = 3$ . Khi đó $S' = \frac{23}{2}$ . Đúng||Sai

c. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng $(D)$ quanh trục $Ox$ bằng $16\pi$ . Sai||Đúng

d. Đường thẳng $x = k$ chia hình phẳng $(D)$ thành hai phần có diện tích bằng nhau. Khi đó $k \in ( - 1;0)$ . Đúng||Sai

a) Sai

Xét $x^{3} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 1 \end{matrix} \right.$

Diện tích giới hạn đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3x + 2$ và trục $Ox$ là $S = \int_{- 2}^{1}{\left| x^{3} - 3x + 2 \right|dx}$

b) Đúng

Ta có $S' = \int_{1}^{3}\left| x^{3} - 3x + 2 - (8 - 2x) \right|dx$

$= \int_{1}^{3}\left| x^{3} - x - 6 \right|dx = \frac{23}{2}$ .

c) Sai

Thể tích khối tròn xoay $V = \pi\int_{- 2}^{1}\left( x^{3} - 3x + 2 \right)^{2} = \frac{729}{35}\pi$

d) Đúng

Với $- 2 \leq x \leq 1$ thì $f(x) \geq 0$

Đường thẳng $x = k$ chia hình $(D)$ thành hai phần có diện tích bằng nhau thì $k \in ( - 2;1)$ và $\int_{- 2}^{k}{\left( x^{3} - 3x + 2 \right)dx = \int_{k}^{1}{\left( x^{3} - 3x + 2 \right)dx}}$

$\Leftrightarrow \left( \frac{x^{4}}{4} - \frac{3x^{2}}{2} + 2x \right)\left| \begin{matrix} k \\ - 2 \end{matrix} \right.\ = \left( \frac{x^{4}}{4} - \frac{3x^{2}}{2} + 2x \right)\left| \begin{matrix} 1 \\ k \end{matrix} \right.$

$\frac{k^{4}}{4} - \frac{3k^{2}}{2} + 2k + 6 = \frac{4}{3} - \left( \frac{k^{4}}{4} - \frac{3k^{2}}{2} + 2k \right)$

$\Leftrightarrow \frac{k^{4}}{2} - 3k^{2} + 4k + \frac{14}{3} = 0 \Leftrightarrow k \approx - 0,768$ .
Câu 12: Thông hiểu

Xét tính đúng sai của các nhân định

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) = - 2x - 1$ . Xét tính đúng-sai của các khẳng định sau.

a) $F'(x) = - 2$ . Sai||Đúng

b) $\int_{- 2}^{2}( - 2x - 1)\, dx = F(2) + F( - 2)$ . Sai||Đúng

c). $\ F(x) = x^{2} - x + c$ . Sai||Đúng

d) $\int_{- 9}^{- 5}f(x)\, dx = 52$ . Đúng||Sai

Đáp án là:

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) = - 2x - 1$ . Xét tính đúng-sai của các khẳng định sau.

a) $F'(x) = - 2$ . Sai||Đúng

b) $\int_{- 2}^{2}( - 2x - 1)\, dx = F(2) + F( - 2)$ . Sai||Đúng

c). $\ F(x) = x^{2} - x + c$ . Sai||Đúng

d) $\int_{- 9}^{- 5}f(x)\, dx = 52$ . Đúng||Sai

a - sai, b - sai, c - sai, d - đúng.

a) Khẳng định đã cho là khẳng định sai.

$F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) = - 2x - 1$ nên $F'(x) = f(x) = - 2x - 1$ .

b) Khẳng định đã cho là khẳng định sai.

$\int_{- 2}^{2}( - 2x - 1)\, dx = F(x)|_{- 2}^{2} = F(2) - F( - 2)$ .

c) Khẳng định đã cho là khẳng định sai.

$F(x) = - x^{2} - x + c$

d) Khẳng định đã cho là khẳng định đúng.

$\int_{- 9}^{- 5}f(x)\, dx = \int_{- 9}^{- 5}( - 2x - 1)\, dx = \left( - x^{2} - x \right)|_{- 9}^{- 5} = 52$

Tải file làm trên giấy

Chia sẻ bởi:
Nhân Mã

127

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!

Sắp xếp theo

Xóa Đăng nhập để Gửi

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Trắc nghiệm đúng sai Nguyên hàm Tích phân

Câu hỏi Đúng sai Nguyên hàm Tích phân có đáp án chi tiết

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

A. CHUYÊN ĐỀ TRỌNG TÂM

B. CHUYÊN ĐỀ TRẮC NGHIỆM

C. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI

Mầm non

Lớp 1

Lớp 2

Lớp 3

Lớp 4

Lớp 5

Lớp 6

Lớp 7

Lớp 8

Lớp 9

Lớp 10

Lớp 11

Lớp 12

Thi vào lớp 6

Thi vào lớp 10

Thi Tốt Nghiệp THPT

Đánh Giá Năng Lực

Đấu Trường Tri Thức

Khóa Học Trực Tuyến

Hỏi bài

Trắc nghiệm Online

Tiếng Anh

Thư viện Học liệu

Bài tập Cuối tuần

Bài tập Hàng ngày

Thư viện Đề thi

Giáo án - Bài giảng

Tất cả danh mục

Trắc nghiệm đúng sai Nguyên hàm Tích phân

Câu hỏi Đúng sai Nguyên hàm Tích phân có đáp án chi tiết

Đổi điểm làm bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Đổi điểm làm bài

A. CHUYÊN ĐỀ TRỌNG TÂM

B. CHUYÊN ĐỀ TRẮC NGHIỆM

C. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI