Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Toán 12 Chuyên đề Toán 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm ẩn Phần 5

Luyện thi THPT Quốc gia môn Toán

Bài tập trắc nghiệm hàm ẩn vận dụng cao có đáp án chi tiết

Ở phần này, huyên đề trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm ẩn tiếp tục khai thác các dạng bài vận dụng cao trong Toán 12. Đây là nội dung thường xuất hiện trong đề luyện thi THPT Quốc gia môn Toán, yêu cầu học sinh kết hợp linh hoạt đạo hàm và kỹ năng biến đổi hàm ẩn. Bài viết giúp bạn luyện tập chuyên sâu và nâng cao độ chính xác khi làm bài.

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 28 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 28 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Tìm các khoảng nghịch biến của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} và có bảng xét dấu của hàm số y = f'(x) như sau:

    Biếtf( - 2) = f(2) = 0, hỏi hàm số g(x) = \left| f(3 - x) \right|^{2} nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

    Hướng dẫn:

    Dựa vào bảng xét dấu của hàm số y = f'(x) suy ra bảng biến thiên của hàm số y = f(x) như sau:

    Ta có g'(x) = - 2.f'(3 - x).f(3 - x)

    Xét g'(x) \leq 0 \Leftrightarrow f'(3 - x).f(3 - x) \geq 0\ \ (1)

    Từ bảng biến thiên suy ra f(3 - x) \leq 0;\forall x\mathbb{\in R}

    Do đó (1) \Leftrightarrow f(3 - x) \leq 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 2 \leq 3 - x \leq 1 \\ 3 - x \geq 2 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2 \leq x \leq 5 \\ x \leq 1 \end{matrix} \right.

    Suy ra hàm số g(x) nghịch biến trên các khoảng ( - \infty;1),(2;5).

  • Câu 2: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x(x - 1)^{2}\left( x^{2} + mx + 9 \right) với mọi x\mathbb{\in R}. Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số g(x) = f(3 - x) đồng biến trên khoảng (3; + \infty)?

    Hướng dẫn:

    Từ giả thiết suy ra f'(3 - x) = (3 - x)(2 - x)^{2}\left\lbrack (3 - x)^{2} + m(3 - x) + 9 \right\rbrack

    Ta có g'(x) = - f'(3 - x)

    Để hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (3; + \infty) khi và chỉ khi g'(x) \geq 0;\forall x \in (3; + \infty)

    \begin{matrix} \Leftrightarrow f'\left( {3 - x} \right) \leqslant 0;\forall x \in \left( {3; + \infty } \right) \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {3 - x} \right){\left( {2 - x} \right)^2}\left[ {{{\left( {3 - x} \right)}^2} + m\left( {3 - x} \right) + 9} \right] \leqslant 0;\forall x \in \left( {3; + \infty } \right) \hfill \\ \Leftrightarrow m \leqslant \frac{{{{\left( {x - 3} \right)}^2} + 9}}{{x - 3}};\forall x \in \left( {3; + \infty } \right) \hfill \\ \end{matrix}

    \Leftrightarrow m \leq \underset{(3; + \infty)}{\min h(x)};h(x) = \frac{(x - 3)^{2} + 9}{x - 3}

    Ta có h(x) = \frac{(x - 3)^{2} + 9}{x -3} = (x - 3) + \frac{9}{x - 3}\geq 2\sqrt{(x - 3).\frac{9}{x - 3}} =6

    Vậy suy ra m \leq 6\overset{m \in \mathbb{Z}^{+}}{\rightarrow}m \in \left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}

  • Câu 3: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} và f'(x) có bảng biến thiên như hình vẽ, đồ thị y = f'(x) cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ lần lượt là- 3;1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn \lbrack - 10;20\rbrack để hàm số y = \left( f\left( x^{2} + 3x - m \right) \right)^{3} đồng biến trên khoảng (0;2)

    Hướng dẫn:

    Ta có y' = 3(2x + 3)f'\left( x^{2} + 3x - m \right).\left\lbrack f\left( x^{2} + 3x - m \right) \right\rbrack^{2}.

    Theo đề bài ta có:

    f'(x) = (x - 1)(x + 3) suy ra f'(x) > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < - 3 \\ x > 1 \end{matrix} \right. và f'(x) < 0 \Leftrightarrow - 3 < x < 1.

    Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2) khi y' \geq 0;\forall x \in (0;2)

    \Leftrightarrow y' = 3(2x + 3).f'\left( x^{2} + 3x - m \right).\left( f\left( x^{2} + 3x - m \right) \right)^{2} \geq 0;\forall x \in (0;2).

    Do x \in (0;2) nên 2x + 3 > 0;\forall x \in (0;2) và \left\lbrack f\left( x^{2} + 3x - m \right) \right\rbrack^{2} \geq 0;\forall x\mathbb{\in R}

    Do đó, ta có:

    y' \geq 0 \Leftrightarrow f\left(x^{2} + 3x - m \right) \geq 0\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x^{2} + 3x - m \leq - 3 \\x^{2} + 3x - m \geq 1\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m \geq x^{2} + 3x + 3 \\m \leq x^{2} + 3x - 1\end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m \geq \underset{(0;2)}{\max\left( x^{2} + 3x + 3 \right)} \\ m \leq \underset{(0;2)}{\max\left( x^{2} + 3x - 1 \right)} \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m \geq 13 \\ m \leq - 1 \end{matrix} \right..

    Do m \in \lbrack - 10;20\rbrack nên có 18 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu đề bài.

  • Câu 4: Vận dụng cao
    Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng

    Cho hàm số y = f(x) và f(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R}. Biết hàm số y = f'(x) có bảng biến thiên như hình vẽ và f'(4) = 0

    Có bao nhiêu số nguyên m \in \lbrack - 2019;2019\rbrack để hàm số y = e^{- x^{2} + mx + 1}f(x) đồng biến trên (1;4)?

    Hướng dẫn:

    y = e^{- x^{2} + mx + 1}f(x) \Rightarrow y' = e^{- x^{2} + mx + 1}\left\lbrack ( - 2x + m)f(x) + f'(x) \right\rbrack

    Hàm số đồng biến trên (1;4) \Leftrightarrow y' \geq 0;\forall x \in (1;4)

    \Leftrightarrow ( - 2x + m)f(x) + f'(x) \geq 0;\forall x \in (1;4)\ \ (1)

    Vì f(x) > 0;\forall x \in (1;4)\ (1) \Leftrightarrow m \geq 2x - \frac{f'(x)}{f(x)} = g(x);\forall x \in (1;4)

    Xét hàm số g(x) ta có g'(x) = 2 - \frac{f''(x).f(x) - \left\lbrack f'(x) \right\rbrack^{2}}{\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2}}

    Theo BBT của hàm số f'(x) ta thấy \forall x \in (1;4)thì f''(x) < 0 nên

    f''(x).f(x) - \left\lbrack f'(x) \right\rbrack^{2} < 0;\left( f(x) > 0;\forall x\mathbb{\in R} \right)

    \Rightarrow - \frac{f''(x).f(x) - \left\lbrack f'(x) \right\rbrack^{2}}{\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2}} > 0;\forall x \in (1;4)

    \Rightarrow g'(x) = 2 - \frac{f''(x).f(x) - \left\lbrack f'(x) \right\rbrack^{2}}{\left\lbrack f(x) \right\rbrack^{2}} > 0

    \Rightarrow y = g(x) đồng biến trên (1;4).

    Do đó để m \geq g(x);\forall x \in (1;4) thì m \geq \underset{\lbrack 1;4\rbrack}{\max g(x)} = g(4) = 8

    Do m \in \lbrack - 2019;2019\rbrack nên m \in \lbrack 8;2019\rbrack

    Có 2012 số nguyên thỏa ycbt.

  • Câu 5: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

    .

    Hàm số y = f\left( 2 - e^{x} \right) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Đặt g(x) = f\left( 2 - e^{x} \right), hàm số xác định trên \mathbb{R}.

    Ta có: g'(x) = - e^{x}f'\left( 2 - e^{x} \right).

    g'(x) = 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}2 - e^{x} = - 1 \\2 - e^{x} = 1 \\2 - e^{x} = 4\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = \ln3 \\x = 0 \\e^{x} = - 2(VN)\end{matrix} \right.

    Bảng xét dấu đạo hàm của hàm số y = g(x) như sau:

    Suy ra hàm số y = g(x) đồng biến trên các khoảng ( - \infty;0),(ln3; + \infty).

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Tìm khoảng đồng biến của hàm số

    Cho hàm số y = f(x). Biết f(0) = 0 và hàm số y = f'(x) có bảng biến thiên

    Khi đó, hàm số y = xf(x) đồng biến trên khoảng nào?

    Hướng dẫn:

    Ta có y = xf(x) \Rightarrow y' = f(x) + xf'(x)

    Từ bảng biến thiên của hàm số y = f'(x) ta có f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = a \end{matrix} \right.\ ;(a < - 3)

    Khi đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f(x).

    Từ bảng biến thiên của hàm số y = f(x) ta có f(x) > 0;\forall x \in ( - 2;0)

    Và f'(x) < 0;\forall x \in ( - 2;0) \Rightarrow xf'(x) > 0;\forall x \in ( - 2;0)

    Từ đó suy ra y' = f(x) + xf'(x) > 0;\forall x \in ( - 2;0). Do đó hàm số y = xf(x) đồng biến trên ( - 2;0).

    Trên khoảng ( - \infty;0) thì f(x) và xf'(x) có thể âm hoặc dương nên không thể kết luận hàm số đã cho đồng biến trên ( - \infty;0)

    Trên (0;2) thì f(x) < 0 và f'(x) < 0 \Rightarrow xf'(x) < 0 \Rightarrow f(x) + xf(x) < 0 nên hàm số nghịch biến trên (0;2)

  • Câu 7: Vận dụng cao
    Chọn đáp án chính xác

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x(x - 1)^{2}\left( 3x^{4} + mx^{3} + 1 \right) với mọi x\mathbb{\in R}. Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số g(x) = f\left( x^{2} \right) đồng biến trên khoảng (0; + \infty)?

    Hướng dẫn:

    Từ giả thiết suy ra f'\left( x^{2} \right) = x^{2}\left( x^{2} - 1 \right)^{2}\left( 3x^{8} + mx^{6} + 1 \right)

    Ta có g'(x) = 2x.f'\left( x^{2} \right)

    Để hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (0; + \infty) khi và chỉ khi g'(x) \geq 0;\forall x \in (0; + \infty) \Leftrightarrow 2x.f'\left( x^{2} \right) \geq 0;\forall x \in (0; + \infty)

    \begin{matrix} \Leftrightarrow 2x.{x^2}{\left( {{x^2} - 1} \right)^2}\left( {3{x^8} + m{x^6} + 1} \right) \geqslant 0;\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \hfill \\ \Leftrightarrow 3{x^8} + m{x^6} + 1 \geqslant 0;\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \hfill \\ \Leftrightarrow m \geqslant - \frac{{3{x^8} + 1}}{{{x^6}}};\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \hfill \\ \end{matrix}

    \Leftrightarrow m \geq \underset{(0; + \infty)}{\max h(x)};h(x) = - \frac{3x^{8} + 1}{x^{6}}

    Khảo sát hàm h(x) = - \frac{3x^{8} + 1}{x^{6}} trên (0; + \infty) ta được \underset{(0; + \infty)}{\max h(x)} = - 4

    Suy ra \Leftrightarrow m \geq 4\overset{m \in \mathbb{Z}^{-}}{\rightarrow}m \in \left\{ - 4; - 3; - 2; - 1 \right\}

  • Câu 8: Vận dụng cao
    Chọn đáp án chính xác

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

    11

    Hàm số g(x) = \left\lbrack f(3 - x) \right\rbrack^{2} nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

    Hướng dẫn:

    Từ bảng biến thiên suy ra f(x) \leq 0;\forall x\mathbb{\in R \Rightarrow}f(3 - x) \leq 0;\forall x\mathbb{\in R}.

    Ta có: g'\left( x \right) = - 2f'\left( {3 - x} \right).f\left( {3 - x} \right)

    Xét g'(x) = - 2f'(3 - x)f(3 - x) < 0

    \Leftrightarrow f'(3 - x) < 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 2 < 3 - x < 1 \\ 3 - x > 2 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 2 < x < 5 \\ x < 1 \end{matrix} \right..

    Suy ra hàm số g(x) nghịch biến trên các khoảng ( - \infty;1),(2;5).

  • Câu 9: Vận dụng cao
    Tìm khoảng đồng biến của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

    Với m < 0, hàm số y = \left( x^{2} - 2x + m \right).f(x) đồng biến trên khoảng nào sau đây

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    y' = (2x - 2).f(x) + \left( x^{2} - 2x + m \right).f'(x)

    + Ta có 2x - 2 < 0;\forall x \in (0;1) và f(x) < 0;\forall x \in (0;1)\ \ (1)

    Bảng biến thiên của hàm y = g\left( x \right) = {x^2} - 2x + m

    Từ hai BBT suy ra g(x) = x^{2} - 2x + m < 0;\forall x \in (0;1) (do m < 0) và f'(x) < 0;\forall x \in (0;1) (2)

    Từ (1) và (2) suy ra y' = (2x - 2)f(x) + \left( x^{2} - 2x + m \right).f'(x) > 0;\forall x \in (0;1).

    Trong các khoảng ( - \infty; - 1),( - 1;0),(1;3) thì chưa thể xác định được dấu của

    y' = (2x - 2).f(x) + \left( x^{2} - 2x + m \right).f'(x) nên dựa vào các đáp án ta chọn đáp án (0;1).

  • Câu 10: Vận dụng cao
    Tìm tất cả các giá giá trị nguyên của tham số m

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có bảng xét dấu đạo hàm như sau

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g(x) = f(x + m) đồng biến trên khoảng (0;2).

    Hướng dẫn:

    Từ giả thiết suy ra hàm số y = f(x) đồng biến trên các khoảng ( - 1;1),(1;3) và liên tục tại x = 1 nên đồng biến trên ( - 1;3).

    Ta có g'(x) = f'(x + m) và x \in (0;2) \Leftrightarrow x + m \in (m;m + 2).

    g(x) đồng biến trên khoảng (0;2) \Leftrightarrow (m;m + 2) \subset ( - 1;3) \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \geq - 1 \\ 2 + m \leq 3 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow - 1 \leq m \leq 1.

    Vì m\mathbb{\in Z} nên m có 3 giá trị là m = - 1;m = 0;m = 1.

  • Câu 11: Vận dụng cao
    Tìm khoảng nghịch biến của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số y = f'\left( - 2x + \frac{7}{2} \right) + 2 như hình bên

    C:\Users\Admin\AppData\Local\Temp\SNAGHTML46d9d42.PNG

    Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

    Hướng dẫn:

    Quan sát đồ thị hàm số y = f'\left( -2x + \frac{7}{2} \right)+ 2 ta có

    f'\left( - 2x + \frac{7}{2} \right) < 0 \Leftrightarrow f'\left( - 2x + \frac{7}{2} \right) + 2 < 2

    \Leftrightarrow 1 < x < 3(*) (đồ thị hàm số nằm dưới đường thẳng y = 2 khi và chỉ khi x \in (1;3))

    Đặt t = - 2x + \frac{7}{2} \Leftrightarrow x = \frac{7 - 2t}{4} khi đó (*) \Leftrightarrow f'\left( t \right) < 0 \Leftrightarrow 1 < \frac{{7 - 2t}}{4} < 3 \Leftrightarrow - \frac{5}{2} < t < \frac{3}{2}

    điều đó chứng tỏ hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng \left( - \frac{5}{2};\frac{3}{2} \right).

  • Câu 12: Vận dụng cao
    Xác định khoảng đồng biến của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

    Hàm số g(x) = f(3x + 1) - x^{3} + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Ta có y' = 3f'(3x + 1) - 3x^{2} + 3 = 3\left\lbrack f'(3x + 1) - x^{2} + 1 \right\rbrack.

    y' \geq 0 \Leftrightarrow f'(3x + 1) \geq x^{2} - 1

    Ta có

    x^{2} - 1 \leq 0 \Leftrightarrow - 1 \leq x \leq 1

    f'(3x + 1) \geq 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 3x + 1 \geq 4 \\ 1 \leq 3x + 1 \leq 3 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x \geq 4 \\ 0 \leq x \leq \frac{2}{3} \end{matrix} \right.

    Suy ra với 0 \leq x \leq \frac{2}{3} thì f'(3x + 1) \geq 0 \geq x^{2} - 1.

    Suy ra hàm số y = f(3x + 1) - x^{3} + 3x đồng biến trên khoảng \left( 0;\frac{2}{3} \right)

    Mà \left( \frac{1}{4};\frac{1}{3} \right) \subset \left( 0;\frac{2}{3} \right). Vậy đáp án cần tìm là: \left( \frac{1}{4};\frac{1}{3} \right)

  • Câu 13: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R}. Bảng biến thiên của hàm số \mathbb{R} như hình vẽ.

    0

    Hàm số g(x) = f\left( 1 - \frac{x}{2} \right) + x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Xét g(x) = f\left( 1 - \frac{x}{2} \right) + x. Ta có g'(x) = - \frac{1}{2}f'\left( 1 - \frac{x}{2} \right) + 1

    Xét g'(x) \leq 0 \Leftrightarrow f'\left( 1 - \frac{x}{2} \right) \geq 2

    Dựa vào bảng biến thiên của hàm số f'(x) ta có:

    +) TH1: f'\left( 1 - \frac{x}{2} \right) > 2 \Leftrightarrow 2 < 1 - \frac{x}{2} < 3 \Leftrightarrow - 4 < x < - 2. Do đó hàm số nghịch biến trên (-4; -2).

    +) TH2: f'\left( 1 - \frac{x}{2} \right) > 2 \Leftrightarrow - 1 < 1 - \frac{x}{2} < a \Leftrightarrow 2 < 2 - 2a < x < 4 nên hàm số chỉ nghịch biến trên khoảng (2 - 2a;4) chứ không nghịch biến trên toàn khoảng (2;4)

    Vậy hàm số g(x) = f\left( 1 - \frac{x}{2} \right) + x nghịch biến trên ( - 4; - 2).

  • Câu 14: Vận dụng cao
    Tìm các giá trị nguyên của tham số m

    Cho f(x) có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R}và bảng biến thiên y = f’(x) được cho như sau:

    Có bao nhiêu giá trị m nguyên dương để hàm số g(x) = f(x) - \ln\left( x^{2} + 1 \right) - mx đồng biến trên \lbrack - 1;1\rbrack.

    Hướng dẫn:

    Ta có: g(x) = f(x) - \ln\left( x^{2} + 1 \right) - mx có TXĐ D\mathbb{= R}

    g'(x) = f'(x) - \frac{2x}{x^{2} + 1} - m

    Hàm số g(x) đồng biến trên \lbrack - 1;1\rbrack \Leftrightarrow g'(x) \geq 0;\forall x \in \lbrack - 1;1\rbrack

    \Leftrightarrow f'(x) - \frac{2x}{x^{2} + 1} - m \geq 0;\forall x \in \lbrack - 1;1\rbrack

    \Leftrightarrow m \leq f'(x) - \frac{2x}{x^{2} + 1};\forall x \in \lbrack - 1;1\rbrack

    f'(x) \geq 5(BBT);\forall x \in \lbrack - 1;1\rbrack,\frac{2x}{x^{2} + 1} \leq 1;\forall x \in \lbrack - 1;1\rbrack

    \Leftrightarrow f'(x) - \frac{2x}{x^{2} + 1} \geq 4;\forall x \in \lbrack - 1;1\rbrack dấu “=” xảy ra khi “x = 1”

    Vậy (1) \Leftrightarrow m \leq 4.

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng

    Cho hàm số y = f(x + 2) có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R}. Biết y = f'(x + 2) có bảng biến thiên như hình vẽ

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn \lbrack - 2019;2019\rbrack để hàm số y = f(x) - \frac{1}{12}x^{4} + \frac{2}{3}x^{3} - \frac{3}{2}x^{2} - (2m - 1)x + m đồng biến trên (1;3).

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    y = f(x) - \frac{1}{12}x^{4} + \frac{2}{3}x^{3} - \frac{3}{2}x^{2} - (2m - 1)x + m

    \Rightarrow y' = f'(x) - \frac{1}{3}x^{3} + 2x^{2} - 3x - 2m + 1

    Để hàm số đồng biến trên (1;3)

    \Rightarrow y' = f'(x) - \frac{1}{3}x^{3} + 2x^{2} - 3x - 2m + 1 \geq 0;\forall x \in (1;3)\ \ (1).

    Đặt x = t + 2 \Rightarrow t \in ( - 1;1)\ \ (1) trở thànhf'(t + 2) - \frac{1}{3}(t + 2)^{3} + 2(t + 2)^{2} - 3(t + 2) - 2m + 1 \geq 0;\forall t \in ( - 1;1)

    \Leftrightarrow g(t) = f'(t + 2) - \frac{1}{3}t^{3} + t + \frac{1}{3} \geq 2m;\forall t \in ( - 1;1)

    \Leftrightarrow g'(t) = f''(t + 2) - t^{2} + 1

    Vẽ hai đồ thị y = f''(t) và y = t^{2} - 1 trên cùng hệ trục

    Từ đồ thị ta thấy g'(t) \geq 0;\forall t \in ( - 1;1) \Rightarrow g(t) là hàm số đồng biến \forall t \in ( - 1;1)

    \Rightarrow 2m \leq g(t);\forall t \in ( - 1;1)

    \Leftrightarrow 2m \leq \underset{\lbrack - 1;1\rbrack}{\min g(t)} = g( - 1) = f'(1) + 1 = 3 \Rightarrow m \leq \frac{3}{2}

    Kết hợp m \in \lbrack - 2019;2019\rbrack \Rightarrow m \in \left\{ - 2019;...,0,1 \right\} có 2021 số

  • Câu 16: Vận dụng cao
    Chọn đáp án chính xác

    Cho hàm số y = f(x);y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ. Trên khoảng ( - 4;3), hàm số y = e^{- x + 10}f(x) có bao nhiêu khoảng nghịch biến?

    Hướng dẫn:

    Ta có: y' = - e^{- x + 10}f(x) + f'(x).e^{- x + 10} = e^{- x + 10}.\left\lbrack - f(x) + f'(x) \right\rbrack

    Dựa vào đồ thị, ta có:

    y' = 0 \Leftrightarrow f'(x) = f(x) \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = a; - a < a < - 3 \\ x = b; - \frac{3}{2} < b < 0 \\ x = c;0 < c < 3 \end{matrix} \right.

    Bảng biến thiên

    Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số y = e^{- x + 10}.f(x) có hai khoảng nghịch biến (a;b),(c;3).

  • Câu 17: Vận dụng cao
    Tìm các giá trị nguyên của tham số m

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R}, hàm số y = f'(x - 2) có đồ thị như hình dưới.

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số g(x) = f\left( x^{2} - 8x + m \right) nghịch biến trên khoảng \left( 4;\frac{9}{2} \right).

    Hướng dẫn:

    Ta có: đồ thị hàm số y = f'(x - 2) là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số y = f'(x) sang phải hai đơn vị. Khi đó hàm số y = f(x) có bảng biến thiên:

    Mặt khác:

    g(x) = f\left( x^{2} - 8x + m \right)

    \Rightarrow g'(x) = f(2x - 8)f'\left( x^{2} - 8x + m \right)

    g'(x) = f(2x - 8)f'\left( x^{2} - 8x + m \right) < 0;\forall x \in \left( 4;\frac{9}{2} \right)

    - 3 \leq x^{2} - 8x + m \leq - 2\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}- x^{2} - 8x - 3 \leq m;\forall x \in \left( 4;\frac{9}{2} \right) \\- x^{2} - 8x - 2 \geq m;\forall x \in \left( 4;\frac{9}{2} \right)\end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}m \leq 13,75 \\m \geq 13\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = 13.

    Do đó có 1 giá nguyên của m để g(x) = f\left( x^{2} - 8x + m \right) nghịch biến trên khoảng \left( 4;\frac{9}{2} \right).

  • Câu 18: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x) là một hàm đa thức và có bảng xét dấu của f'(x) như hình bên dưới:

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = f\left( \sqrt{x - 2} + m \right)\ \ (1) nghịch biến trên khoảng (11;25).

    Hướng dẫn:

    Đặt t = \sqrt{x + 2} + m, với x \in (11;25) thì t \in (3 + m;5 + m), hàm số trở thành: y = f(t)\ \ (2)

    Dễ thấy x và t cùng chiều biến thiên nên hàm (1) nghịch biến trên (11; 25) thì hàm (2) nghịch biến trên (3 + m;5 + m).

    Dựa vào bảng xét dấu của hàm f'(t) suy ra hàm f(t) nghịch biến trên khoảng (1; 3).

    Do đó hàm f(t) nghịch biến trên (3 + m;5 + m) khi và chỉ khi \left\{ \begin{matrix} m + 3 \geq 1 \\ m + 5 \leq 3 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m \geq - 2 \\ m \leq - 2 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m = - 2

    Vậy có duy nhất một giá trị nguyên của tham số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 19: Vận dụng
    Chọn khẳng định đúng

    Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

    Đặt y = g(x) = f(x) + \frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}x^{2}. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

    Hướng dẫn:

    Tập xác định của hàm số y = g(x) là \mathbb{R}

    Ta có:

    y = g(x) = f(x) + \frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}x^{2}

    y' = g'(x) = f'(x) + x^{2} - x

    f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 2 \\ x = 0 \\ x = 1 \end{matrix} \right.\ ;x^{2} - x = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = 1 \end{matrix} \right.

    Bảng xét dấu của y' = g'(x) như sau:

    Từ bảng xét dấu của y' = g'(x) suy ra:

    Hàm số y = g(x) nghịch biến trên khoảng (0;1).

    Hàm số y = g(x) đồng biến trên các khoảng ( - 2;0) và (1; + \infty) mà (1;2) \subset (1; + \infty)

    nên đáp án “Hàm số y = g(x) đồng biến trên khoảng (1;2)” đúng.

  • Câu 20: Vận dụng cao
    Chọn đáp án thích hợp

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R} và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ sau

    Hỏi hàm số y = g(x) = f\left( x^{2} + 2x \right) đồng biến trên khoảng nào dưới đây

    Hướng dẫn:

    Tập xác địnhD\mathbb{= R}.

    Ta có

    y' = g'(x) = \left\lbrack f\left( x^{2} + 2x \right) \right\rbrack'

    = \left( x^{2} + 2x \right)'.f'\left( x^{2} + 2 \right) = (2x + 2).f'\left( x^{2} + 2x \right)

    Ta có x^{2} + 2x = (x + 1)^{2} - 1 \geq - 1;\forall x\mathbb{\in R} dựa vào bảng xét dấu trên ta có f'\left( x^{2} + 2x \right) \leq 0 với dấu “=” chỉ xảy ra tại x = - 1.

    Từ đó y' \geq 0 \Leftrightarrow (2x + 2).f'\left( x^{2} + 2x \right) \geq 0 \Leftrightarrow 2x + 2 \leq 0 \Leftrightarrow x \leq - 1 nên hàm số đồng biến trên ( - \infty; - 1).

    Mặt khác ( - \infty; - 2) \subset ( - \infty; - 1) nên phương án ( - \infty; - 2) thỏa mãn bài toán.

  • Câu 21: Vận dụng cao
    Chọn phương án thích hợp

    Cho hàm số bậc ba y = f(x) có f(0) = - \frac{1}{3}. Bảng biến thiên của hàm số f'(x)

    như hình vẽ

    C:\Users\Admin\Downloads\Screenshot (523).png

    Hàm số g(x) = \frac{f(x)}{e^{x}} nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Vì y = f(x) là hàm số bậc ba nên y = f'(x) là hàm số bậc hai.

    Gọi f'(x) = ax^{2} + bx + c suy ra f''(x) = 2ax + b. Ta có hệ sau:

    \left\{ \begin{matrix} f''(1) = 0 \\ f'(1) = 0 \\ f'(0) = - 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2a + b = 0 \\ a + b + c = 0 \\ c = - 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a = - 1 \\ b = 2 \\ c = - 1 \end{matrix} \right..

    Vậy f'(x) = - x^{2} + 2x - 1

    Suy ra f(x) = \int_{}^{}{f'(x)dx} = \int_{}^{}{\left( - x^{2} + 2x - 1 \right)dx} = \frac{- 1}{3}x^{3} + x^{2} - x + m, do f(0) = - \frac{1}{3} \Leftrightarrow m = - \frac{1}{3}.

    Vậy f(x) = - \frac{1}{3}x^{3} + x^{2} - x - \frac{1}{3}.

    Ta có g'(x) = \frac{f'(x)e^{x} - e^{x}.f(x)}{e^{2x}} = \frac{f'(x) - f(x)}{e^{x}}.

    \begin{matrix} g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) - f(x) = 0 \\ \Leftrightarrow \frac{1}{3}x^{3} - 2x^{2} + 3x - \frac{2}{3} = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \\ x = 2 - \sqrt{3} \\ x = 2 + \sqrt{3} \end{matrix} \right.\ \end{matrix}.

    Lập bảng xét dấu y = g'(x)C:\Users\Admin\Downloads\Screenshot (522).png

    Dựa vào bảng xét dấu g'(x) hàm số nghịch biến trên (4; + \infty).

  • Câu 22: Vận dụng cao
    Tìm các số nguyên âm của m thỏa mãn điều kiện

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x^{2}(x - 1)\left( x^{2} + mx + 5 \right) với mọi x\mathbb{\in R}. Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số g(x) = f\left( x^{2} \right) đồng biến trên (1; + \infty)?

    Hướng dẫn:

    Từ giả thiết suy ra f'\left( x^{2} \right) = x^{4}\left( x^{2} - 1 \right)\left( x^{4} + mx^{2} + 5 \right)

    Ta có g'(x) = 2x.f'\left( x^{2} \right)

    Để hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (1; + \infty) khi và chỉ khi g'(x) \geq 0;\forall x \in (1; + \infty)

    \begin{matrix} \Leftrightarrow 2x.f'\left( {{x^2}} \right) \geqslant 0;\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \hfill \\ \Leftrightarrow 2x.{x^4}.\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^4} + m{x^2} + 5} \right) \geqslant 0;\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \hfill \\ \Leftrightarrow {x^4} + m{x^2} + 5 \geqslant 0;\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \hfill \\ \Leftrightarrow m \geqslant - \frac{{{x^4} + 5}}{{{x^2}}};\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \hfill \\ \Leftrightarrow m = \mathop {\max h\left( x \right)}\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} ;h\left( x \right) = - \frac{{{x^4} + 5}}{{{x^2}}} \hfill \\ \end{matrix}

    Khảo sát hàm h(x) = - \frac{x^{4} + 5}{x^{2}} trên (1; + \infty) ta được \underset{(1; + \infty)}{\max h(x)} = - 2\sqrt{5}

    Suy ra \Leftrightarrow m \geq - 2\sqrt{5}\overset{m \in \mathbb{Z}^{-}}{\rightarrow}m \in \left\{ - 4; - 3; - 2; - 1 \right\}.

  • Câu 23: Vận dụng cao
    Tìm khoảng nghịch biến của hàm số

    Cho hàm số y = f(x + 2) có đạo hàm trên \mathbb{R} và có bảng biến thiên như hình vẽ

    Hàm số y = f(x) nghịch biến tên khoảng nào sau đây

    Hướng dẫn:

    Ta có \left\lbrack f(x + 2) \right\rbrack' = (x + 2)'.f'(x + 2) = f'(x + 2)

    Đặt t = x + 2 khi đó y = f(x + 2) = f(t) và y' = \left\lbrack f(x + 2) \right\rbrack' = f'(t)

    Dựa vào bảng biến thiên của hàm y = f(x + 2) ta có:

    f'(x + 2) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = - 4 \\ x = - 2 \end{matrix} \right.

    Suy ra f'(t) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t = - 2 \\ t = 0 \end{matrix} \right.

    Vậy ta có bảng biến thiên của hàm y = f(x) như sau

    Suy ra hàm số y = f(x) nghịch biến trên ( - 2;0).

  • Câu 24: Vận dụng cao
    Tìm khoảng nghịch biến của hàm số

    Cho đồ thị hàm số y = f'\left( x^{3} + 1 \right) như hình vẽ. Hàm số f(x) nghịch biến trong khoảng nào trong các khoảng sau?

    Hướng dẫn:

    Từ đồ thị suy ra f'\left( x^{3} + 1 \right) < 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 2 < x < 0 \\ 1 < x < 2 \end{matrix} \right..

    Đặt t = x^{3} + 1 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{t - 1}.

    Suy ra f'(t) < 0 \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}- 2 < \sqrt[3]{t - 1} < 0 \\1 < \sqrt[3]{t - 1} < 2\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}- 8 < t - 1 < 0 \\1 < t - 1 < 8\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}- 7 < t < 1 \\2 < t < 9\end{matrix} \right..

    Vậy hàm số f(t) nghịch biến trong các khoảng ( - 7;1) và (2;9).

  • Câu 25: Vận dụng cao
    Tìm khoảng nghịch biến của hàm số

    Cho hàm số y = f(x)có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R} và bảng xét dấu của y = f'(x) như sau:

    geogebra

    Hỏi hàm số g(x) = f(x) - \ln\left( x^{2} + x + 1 \right) nghịch biến trên khoảng nào?

    Hướng dẫn:

    Tập xác định của hàm g(x) là D\mathbb{= R}

    Ta có g'(x) = f'(x) - \frac{2x + 1}{x^{2} + x + 1}

    Đặt h(x) = \frac{2x + 1}{x^{2} + x + 1} \Rightarrow h'(x) = \frac{- 2x^{2} - 2x + 1}{\left( x^{2} + x + 1 \right)^{2}}

    Ta có h'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \\ x = \frac{- \sqrt{3} - 1}{2} \end{matrix} \right.

    Bảng biến thiên của hàm số y = h(x) như sau:

    geogebra

    Ta có h( - 1) = - 1;h(0) = h(1) = 1;h\left( - \frac{1}{2} \right) = 0

    Từ bảng biến thiên có h(x) > 1,\forall x \in (0;1);f'(x) < 0;\forall x \in ( - \infty; - 1) \cup (0;1)

    Nên suy ra f'(x) - h(x) < 0;\forall x \in (0;1) \Leftrightarrow g'(x) < 0;\forall x \in (0;1)

    Vậy hàm số g(x) nghịch biến trên(0;1).

    Từ bảng biến thiên có h(x) \in ( - 1;0);f'(x) > 0;\forall x \in \left( - 1;\frac{- 1}{2} \right).

    \Rightarrow f'(x) - h(x) > 0;\forall x \in \left( - 1;\frac{- 1}{2} \right)

    Do đó hàm số y = g(x) đồng biến trên \left( - 1;\frac{- 1}{2} \right).

    Lại có trong các miền ( - \infty;0),( - 1; + \infty),( - 1;0) đều chứa miền \left( - 1;\frac{- 1}{2} \right).

    Vậy đáp án cần tìm là: (0;1).

  • Câu 26: Vận dụng cao
    Định số khoảng đồng biến của hàm số

    Cho hàm số y = f(x);y = f'(x)có đồ thị như hình vẽ.

    Trên khoảng (0;2), hàm số y = e^{- x}.f(x) có bao nhiêu khoảng đồng biến?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    y = e^{- x}.f(x) \Rightarrow y' = e^{- x}\left\lbrack f'(x) - f(x) \right\rbrack

    Dựa vào đồ thị ta có: y' = 0 \Leftrightarrow f'(x) = f(x) \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = a;0 < a < \frac{1}{2} \\ x = b;1 < b < \frac{3}{2} \end{matrix} \right.

    Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng (0;a),(b;2).

  • Câu 27: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R} và f( - 1) = 2. Biết y = f'(x) có bảng biến thiên như hình vẽ

    Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn \lbrack - 2019;2019\rbrack để hàm số y = \ln\left( f(x) + \frac{1}{6}x^{3} - \frac{1}{2}x^{2} - \frac{3}{2}x + m \right)đồng biến trên ( - 1;3).

    Hướng dẫn:

    Hàm số y = \ln\left( f(x) + \frac{1}{6}x^{3} - \frac{1}{2}x^{2} - \frac{3}{2}x + m \right) xác định trên \mathbb{R}

    \Leftrightarrow g(x) = f(x) + \frac{1}{3}x^{3} - 3x^{2} + 9x + m > 0;\forall x \in ( - 1;3)

    \Leftrightarrow g'(x) = f'(x) + x^{2} - 6x + 9 \Rightarrow g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) = - x^{2} + 6x + 9

    Vẽ hai đồ thị y = f'(x) \vee y = x^{2} + 6x - 9 trên cùng hệ trục

    Vậy g'(x) \geq 0;\forall x \in ( - 1;3) \Rightarrow g(x) > g( - 1) = - \frac{31}{3} + m \geq 0 \Rightarrow m \geq \frac{31}{3}

    y = \ln\left( f(x) + \frac{1}{6}x^{3} - \frac{1}{2}x^{2} - \frac{3}{2}x + m \right)

    \Rightarrow y' = \frac{f'(x) + x^{2} - 6x + 9}{f(x) + \frac{1}{6}x^{3} - \frac{1}{2}x^{2} - \frac{3}{2}x + m} \geq 0;\forall x \in ( - 1;3)

    Đề hàm số đồng biến trên ( - 1;3) thì m \in \left( \frac{31}{3};2019 \right) \Rightarrow m \in 11;...;2018 có 2008 số.

  • Câu 28: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên \mathbb{R}, thỏa mãn f( - 1) = 0. Biết bảng biến thiên của hàm số y = f'(x) như hình vẽ.

    Hàm số g(x) = \left( x^{2} - x - 2 \right).f(x) nghịch biến trên khoảng nào?

    Hướng dẫn:

    Từ bảng biến thiên của hàm số y = f'(x) ta suy ra bảng biến thiên của hàm số y = f(x)như sau

    Ta có g'(x) = (2x - 1).f(x) + \left( x^{2} - x - 2 \right).f'(x).

    Ta lập bảng xét dấu:

    Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \left( - 1;\frac{1}{2} \right).

0/28
28 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (4%):
    2/3
  • Thông hiểu (96%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
Tải file làm trên giấy
1
21 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này