Chuyên đề Tương giao đồ thị hàm số cơ bản
Bài toán tương giao lớp 12
Tương giao giữa hai đồ thị hàm số là một chuyên đề nền tảng và trọng tâm trong chương trình Toán 12, thường xuyên xuất hiện ở các câu hỏi mức độ nhận biết và thông hiểu trong đề thi THPT Quốc gia. Việc xác định số giao điểm và vị trí tương đối giữa các đồ thị giúp học sinh nắm vững bản chất của hàm số, đặc biệt trong các dạng bài trắc nghiệm cần giải nhanh. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách sử dụng phương pháp đại số, bảng biến thiên và đồ thị hàm số để giải quyết dạng bài tương giao cơ bản một cách chính xác và hiệu quả. Đây là bước đệm vững chắc để tiến tới các dạng bài nâng cao hơn có chứa tham số.
A. Bài tập Tương giao đồ thị hàm số cơ bản
Câu 1: Số điểm giao điểm của đồ thị hàm số 
\(y = x^{2} + 2x\) và trục hoành là:
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
Câu 2: Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y =
x^{3} - 3x + 1\) và trục hoành là:
A. 3 B. 0 C. 2 D. 1
Câu 3: Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y =
x^{3} + 3x^{2}\) và đồ thị hàm số \(y =
3x^{2} + 3x\) là:
A. 3 B. 1 C. 2 D. 0
Câu 4: Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y =
x^{3} - x^{2}\) và đồ thị hàm số \(y =
- x^{2} + 5x\) là:
A. 2 B. 3 C. 1 D. 0
Câu 5: Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y =
x^{3} + x^{2}\) và đồ thị hàm số \(y =
x^{2} + 5x\):
A. 3 B. 0 C. 1 D. 2
Câu 6: Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y =
- x^{2} + 3x\) và đồ thị hàm số \(y =
x^{3} - x^{2}\)là:
A. 1 B. 0 C. 2 D. 3
Câu 7: Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y =
- x^{3} + 7x\) với trục hoành là:
A. 0 B. 3 C. 2 D. 1
Câu 8: Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y =
- x^{3} + 3x\) với trục hoành là:
A. 2 B. 0 C. 3 D. 1
Câu 9: Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y =
- x^{3} + 6x\) với trục hoành là:
A. 2 B. 3 C. 1 D. 0
Câu 10: Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y
= - x^{3} + 5x\) với trục hoành là:
A. 3 B. 2 C. 0 D. 1
Câu 11: Cho hàm số \(y = (x - 2)\left(
x^{2} + 1 \right)\) có đồ thị \((C)\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. \((C)\) cắt trục hoành tại một điểm.
B. \((C)\) cắt trục hoành tại ba điểm.
C. \((C)\) cắt trục hoành tại hai điểm.
D. \((C)\) không cắt trục hoành.
Câu 12: Biết rằng đường thẳng \(y = - 2x +
2\) cắt đồ thị hàm số \(y = x^{3} + x +
2\) tại điểm duy nhất; kí hiệu \(\left(
x_{0};y_{0} \right)\) là tọa độ của điểm đó. Tìm \(y_{0}\)?
A. \(y_{0} = 4\) B. \(y_{0} = 0\) C. \(y_{0} = 2\) D. \(y_{0} = - 1\)
Câu 13: Gọi \(P\) là số giao điểm của hai đồ thị \(y = x^{3} - x^{2} +
1\) và \(y = x^{2} + 1\). Tìm \(P\).
A. \(P = 0\) B. \(P = 2\) C. \(P = 1\) D. \(P = 3\)
Câu 14: Cho hàm số \(y = x^{3} -
3x\) có đồ thị \((C)\). Tìm số giao điểm của \((C)\) và trục hoành.
A. 2 B. 3 C. 1 D. 0
Câu 15: Cho hàm số \(y = x^{4} -
3x^{2}\) có đồ thị \((C)\). Số giao điểm của đồ thị \((C)\) và đường thẳng \(y = 2\) là:
A. 2 B. 1 C. 0 D. 4
Câu 16: Biết rằng đường thẳng \(y = 4x +
5\) cắt đồ thị hàm số \(y = x^{3} + 2x
+ 1\) tại điểm duy nhất; kí hiệu \((x_0;y_0)\) là tọa độ của điểm đó. Tìm \(y_0\).
A. \(y_{0} = 10\) B. \(y_{0} = 13\) C. \(y_{0} = 11\) D. \(y_{0} = 12\)
Câu 17: Đồ thị của hàm số \(y = - x^{4} -
3x^{2} + 1\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bao nhiêu?
A. -3 B. 0 C. 1 D. -1
Câu 18: Số giao điểm của đường cong \(y =
x^{3} - 2x^{2} + 2x + 1\) và đường thẳng \(y = 1 - x\) là:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
Câu 19: Đồ thị hàm số \(y = x^{4} - 3x^{2}
+ 1\) và đồ thị hàm số \(y = - 2x^{2} +
7\) có bao nhiêu điểm chung?
A. \(0\). B. \(1\). C. \(2\). D. \(3\).
Câu 20: Cho hàm số \(y = - 2x^{3} +
5x\) có đồ thị \((C)\) Tìm số giao điểm của \((C)\) và trục hoành.
A. 2 B. 3 C. 1 D. 0
B. Đáp án bài tập trắc nghiệm
|
1 - B |
2 - A |
3 - A |
4 - B |
5 - A |
6 – D |
|
7 - B |
8 - C |
9 - B |
10 - A |
11 - B |
12 – C |
|
13 - B |
14 - B |
15 - A |
16 - B |
17 - C |
18 – A |
|
19 - C |
20 - B |
21 - B |
22 - A |
23 - C |
24 – B |
|
25 - A |
26 - B |
|
|
|
|
C. Hướng dẫn giải chi tiết bài tập
Câu 1:
Xét phương trình:
\(x^{2} + 2x = 0 \Leftrightarrow x(x + 2)
= 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = - 2
\end{matrix} \right.\)
Số điểm giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là \(2\).
Câu 2:
Tập xác định: \(\mathbb{R}\).
Ta có: \(y' = 3x^{2} - 3 = 3\left(
x^{2} - 1 \right);y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\).
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại \(3\) điểm phân biệt.
Câu 3:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là:
\(x^{3} + 3x^{2} = 3x^{2} + 3x
\Leftrightarrow x^{3} - 3x = 0 \Leftrightarrow x\left( x^{2} - 3 \right)
= 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = \sqrt{3} \\
x = - \sqrt{3}
\end{matrix} \right.\).
Hai đồ thị đã cho cắt nhau tại 3 điểm.
Câu 4:
Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = x^{3}
- x^{2}\) và đồ thị hàm số \(y = -
x^{2} + 5x\) chính là số nghiệm thực của phương trình \(x^{3} - x^{2} = - x^{2} + 5x\)
\(\Leftrightarrow x^{3} - 5x = 0
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = \pm \sqrt{5}
\end{matrix} \right.\).
Câu 5:
Phương trình hoành độ giao điểm:
\(x^{3} + x^{2} = x^{2} + 5x\)
\(\Leftrightarrow x^{3} - 5x = 0
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = \pm \sqrt{5}
\end{matrix} \right.\).
Vậy số giao điểm của 2 đồ thị là 3.
Câu 6:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là \(x^{3} - x^{2} = - x^{2} + 3x\)
\(\Leftrightarrow x^{3} - 3x = 0
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = \pm \sqrt{3}
\end{matrix} \right.\)
Vậy có tất cả 3 giao điểm cần tìm.
Câu 7:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là: \(- x^{3} + 7x = 0\)
\(\Leftrightarrow x\left( x^{2} - 7 \right)
= 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = \pm \sqrt{7}
\end{matrix} \right.\).
Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = -
x^{3} + 7x\)với trục hoành bằng \(3\).
Câu 8:
Xét phương trình hoành dộ giao điểm \(-
x^{3} + 3x = 0 \Leftrightarrow x( - x^{2} + 3) = 0 \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
x = 0 \\
x = \pm \sqrt{3}
\end{matrix} \right.\).
Vậy có 3 giao điểm.
Câu 9:
Ta có hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = - x^{3} + 6x\) với trục hoành là nghiệm của phương trình \(- x^{3} + 6x = 0\) (*)
\(\Leftrightarrow - x\left( x^{2} - 6
\right) = 0\)\(\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
x = 0 \\
x = \pm \sqrt{6}
\end{matrix} \right.\).
Phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt, do đó đồ thị hàm số \(y = - x^{3} + 6x\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
Câu 10:
Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có:
\(- x^{3} + 5x = 0 \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
x = \sqrt{5} \\
x = - \sqrt{5} \\
x = 0
\end{matrix} \right.\)
Vậy số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = -
x^{3} + 5x\) với trục hoành là \(3\).
Không thể hiển thị hết nội dung tại đây — bấm Tải về để lấy toàn bộ tài liệu.
-----------------------------------------------------------
Nắm vững dạng bài tương giao đồ thị cơ bản không chỉ giúp bạn “ăn điểm” chắc chắn ở các câu hỏi dễ trong đề thi mà còn giúp hình thành tư duy trực quan khi xử lý các bài toán hàm số nâng cao. Hãy luyện tập kỹ các tình huống như đồ thị cắt nhau, tiếp xúc, hoặc không có điểm chung – từ đó vận dụng linh hoạt kiến thức về đạo hàm, cực trị, bảng biến thiên và giá trị hàm số. Đừng quên ôn luyện thường xuyên qua các đề thi thử, đề minh họa để nâng cao tốc độ và độ chính xác khi làm bài. Thành thạo chuyên đề này là nền tảng để bạn bước vào các câu hỏi vận dụng – vận dụng cao một cách tự tin và hiệu quả.
