Công thức tính nhanh cực trị của hàm số

Trong thực tế, nhiều học sinh thường gặp khó khăn khi xác định hướng tiếp cận bài toán do sự kết hợp giữa hàm hợp, hàm ẩn và tham số m. Nếu chỉ biến đổi đại số thông thường sẽ rất dễ bỏ sót nghiệm hoặc kết luận sai điều kiện của tham số. Vì vậy, việc thành thạo các kỹ thuật như đặt ẩn phụ, ứng dụng tính đơn điệu, khảo sát hàm số, xét giao điểm đồ thị và biện luận theo tham số là chìa khóa để giải nhanh và chính xác dạng toán này.

Bài viết dưới đây sẽ hệ thống đầy đủ lý thuyết trọng tâm, các phương pháp giải hiệu quả, mẹo nhận dạng dạng toán, những lỗi học sinh thường mắc, đồng thời tổng hợp hệ thống bài tập từ cơ bản đến vận dụng cao có đáp án và lời giải chi tiết. Đây sẽ là tài liệu hữu ích dành cho học sinh lớp 12 đang ôn tập chuyên đề tham số – số nghiệm, chuẩn bị cho kỳ thi THPT Quốc gia và các kỳ thi tuyển sinh quan trọng.

A. Công thức tính nhanh cực trị hàm phân thức

Cho hàm số \(y = \frac{u(x)}{v(x)}\) có \(y'\left( x_{0} \right) = 0\). Khi đó để tính giá trị của hàm số tại \(x_{0}\) ta có thể dùng công thức

\(y\left( x_{0} \right) = \frac{u\left( x_{0} \right)}{v\left( x_{0} \right)} = \frac{u'\left( x_{0} \right)}{v'\left( x_{0} \right)}\)

Phương trình đường thẳng (hoặc cong) đi qua tất cả các diểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = \frac{u(x)}{v(x)}\) là: \(y = \frac{u'(x)}{v'(x)}\).

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = \frac{ax^{2} + bx + c}{dx + e} = \frac{T}{M}\) là: \(y = \frac{(T)'}{(M)'}\).

B. Công thức tính nhanh cực trị hàm đa thức

• Hàm số \(y = ax + b\) không có cực trị.
• Hàm số đa thức bậc chẵn luôn luôn có cực trị
• Hàm phân thức bậc nhất/bậc nhất không có cực trị.
• Hàm số \(y = ax^{2} + bx + c;(a \neq 0)\):
  • Nếu \(a > 0\) => Hàm số có cực tiểu
  • Nếu \(a < 0\) => Hàm số có cực đại
• Hàm đa thức bậc n có tối đa n nghiệm phân biệt
• Hàm đa thức bậc n (với n chẵn) có số lượng nghiệm tối thiểu là 0.
• Hàm đa thức bậc n (với n lẻ) có tối thiểu là 1 nghiệm.
• Hàm đa thức bậc n có tối đa (n – 1) điểm cực trị.
• Hàm đa thức bậc n nếu có n nghiệm thì số điểm cực trị là tối đa và (n – 1) điểm cực trị (điều ngược lại không đúng)
• Cho \(f'(x) = k\left( x - x_{1} \right)^{n_{1}}.\left( x - x_{2} \right)^{n_{2}}....\left( x - x_{k} \right)^{n_{k}}\) với \(x_{1} \neq x_{2} \neq x_{3}... \neq x_{k}\) và \(n_{i} \in \mathbb{N}^{*}\)

• • Nếu với giá trị \(x_{i}\) mà \(n_{i}\) là số chẵn thì \(x_{i}\) không là điểm cực trị của hàm số
  • Nếu với giá trị \(x_{i}\) mà \(n_{i}\) là số lẻ thì \(x_{i}\) là điểm cực trị của hàm số.

C. Công thức tính nhanh cực trị hàm bậc ba

Cho hàm số \(f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d;(a \neq 0)\) có:

\(f'(x) = 3ax^{2} + 2bx + c \Rightarrow \Delta_{y'} = b^{2} - 3ac\)

Số lượng cực trị của một hàm đa thức nói chung phụ thuộc vào nghiệm của phương trình \(f'(x) = 0\) và sự đổi dấu của \(f'(x)\) khi đi qua điểm đó. Đối với hàm bậc ba, \(f'(x)\) là hàm bậc hai.

• Nếu hàm bậc hai vô nghiệm => Không có cực trị
• Nếu hàm bậc hai có nghiệm kép => \(f'(x)\) không đổi dấu khi đi qua nghiệm kép => Không có cực trị.
• Nếu hàm bậc hai có hai nghiệm phân biệt => \(f'(x)\) đổi dấu khi đi qua mỗi nghiệm đó => Có hai cực trị (1 điểm là cực đại và 1 điểm là cực tiểu)

Định lí Viète cho phương trình bậc ba \(ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0\) là: \(\left\{ \begin{matrix} x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \dfrac{b}{a} \\ x_{1}x_{2} + x_{2}x_{3} + x_{3}x_{1} = \dfrac{c}{a} \\ x_{1}x_{2}x_{3} = \dfrac{- d}{a} \\ \end{matrix} \right.\)

- Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng khi có 1 nghiệm là \(x = \frac{- b}{3a}\)

Chú ý: Ba số \(x_{1};x_{2};x_{3}\) tạo thành một cấp số cộng theo đúng thứ tự đó nếu \(\frac{x_{1} + x_{3}}{2} = x_{2}\)

- Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân khi có 1 nghiệm là \(x = - \sqrt[3]{\frac{d}{a}}\)

Chú ý: Ba số \(x_{1};x_{2};x_{3}\) tạo thành một cấp số nhân theo đúng thứ tự đó nếu \(x_{1}.x_{3} = {x_{2}}^{2}\)

• Hàm số bậc ba có cực trị (có 2 cực trị hay có cực đại và cực tiểu)

\(\Leftrightarrow \Delta_{y'} > 0 \Leftrightarrow b^{2} - 3ac > 0\)

• Hàm số bậc ba không có cực trị (có 2 cực trị hay có cực đại và cực tiểu)

\(\Leftrightarrow \Delta_{y'} \leq 0 \Leftrightarrow b^{2} - 3ac \leq 0\)

• Hàm số bậc ba có hai điểm cực trị trái dấu \(\Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm trái dấu

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta_{y'} > 0 \\ P = x_{1}x_{2} = \dfrac{c}{3a} < 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta_{y'} > 0 \\ ac < 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow ac < 0\)

• Hàm số bậc ba có hai điểm cực trị cùng dấu\(\Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta_{y'} > 0 \\ P = x_{1}x_{2} = \dfrac{c}{3a} > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta_{y'} > 0 \\ ac > 0 \\ \end{matrix} \right.\)

• Hàm số bậc ba có hai điểm cực trị cùng dấu dương \(\Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta_{y'} > 0 \\ S = x_{1} + x_{2} = \dfrac{- 2b}{3a} > 0 \\ P = x_{1}x_{2} = \dfrac{c}{3a} > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta_{y'} > 0 \\ ab < 0 \\ ac > 0 \\ \end{matrix} \right.\)

• Hàm số bậc ba có hai điểm cực trị cùng dấu âm \(\Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm âm phân biệt

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta_{y'} > 0 \\ S = x_{1} + x_{2} = \dfrac{- 2b}{3a} < 0 \\ P = x_{1}x_{2} = \dfrac{c}{3a} > 0 \\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta_{y'} > 0 \\ ab > 0 \\ ac > 0 \\ \end{matrix} \right.\)

• Hàm số bậc ba có hai điểm cực trị \(x_{1};x_{2}\) thỏa mãn:

\(x_{1} < \alpha < x_{2}\)	\(\Leftrightarrow \left( x_{1} - \alpha \right)\left( x_{2} - \alpha \right) < 0\)
\(x_{1} < x_{2} < \alpha\)	\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( x_{1} - \alpha \right)\left( x_{2} - \alpha \right) > 0 \\ x_{1} + x_{2} < 2a \\ \end{matrix} \right.\)
\(\alpha < x_{1} < x_{2}\)	\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \left( x_{1} - \alpha \right)\left( x_{2} - \alpha \right) > 0 \\ x_{1} + x_{2} > 2a \\ \end{matrix} \right.\)

Các điểm cực trị nằm cùng về phía dưới đối với trục Ox

\(\Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt và \(\left\{ \begin{matrix} y_{CD}.y_{CT} > 0 \\ y_{CD} + y_{CT} < 0 \\ \end{matrix} \right.\)

Các điểm cực trị nằm cùng về phía trên đối với trục Ox

\(\Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt và \(\left\{ \begin{matrix} y_{CD}.y_{CT} > 0 \\ y_{CD} + y_{CT} > 0 \\ \end{matrix} \right.\)

Các điểm cực trị của đồ thị nằm về hai phía đối với trục Ox

\(\Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt và \(y_{CD}.y_{CT} < 0\) (áp dụng khi không nhẩm được nghiệm và viết được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số) \(\Leftrightarrow\) Đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt \(\Leftrightarrow f(x) = 0\) có ba nghiệm phân biệt (áp dụng khi nhẩm được nghiệm)

Phương trình đường thẳng \(g(x)\) đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc ba có thể tính theo 1 trong những cách sau:

\(g(x) = \frac{2}{3}\left( c - \frac{b^{2}}{3a} \right)x + d - \frac{bc}{9a}\) \(g(x) = - \frac{2\Delta'_{y'}}{9a}x + (y \cap Oy) + \frac{(y' \cap Oy)(y'' \cap Oy)}{3}\) \(g(x) = y - \frac{y'.y''}{18a}\) \(g(x) = y - \frac{y'.y''}{3y'''}\)\(g(x)\) là đa thức dư của (y chia y’)

D. Công thức tính nhanh cực trị hàm bậc bốn trùng phương

Cho hàm số \(f(x) = ax^{4} + bx^{2} + c;(a \neq 0)\) có:

• Hàm số luôn có cực trị
• Hàm số luôn luôn có 1 điểm cực trị \(x = 0\).
• Hàm số có một điểm cực trị \(\Leftrightarrow ab \geq 0\).
• Hàm số có ba điểm cực trị \(\Leftrightarrow ab < 0\).
• Hàm số có đúng 1 điểm cực trị và điểm cực trị đó là điểm cực tiểu \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a < 0 \\ b \geq 0 \\ \end{matrix} \right.\)
• Hàm số có hai điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a > 0 \\ b < 0 \\ \end{matrix} \right.\)
• Hàm số có đúng 1 điểm cực trị và điểm cực trị đó là điểm cực tiểu \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a < 0 \\ b \leq 0 \\ \end{matrix} \right.\)
• Hàm số có 1 điểm cực tiểu và hai điểm cực đại \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a < 0 \\ b > 0 \\ \end{matrix} \right.\).

----------------------------------------------------------

Chuyên đề Tìm m để phương trình hàm hợp, hàm ẩn chứa tham số có n nghiệm không chỉ giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số, phương trình và đạo hàm mà còn rèn luyện tư duy phân tích, kỹ năng biện luận và khả năng vận dụng linh hoạt nhiều phương pháp giải toán. Đây là một trong những dạng toán có tính tổng hợp cao, xuất hiện với tần suất lớn trong các đề thi THPT Quốc gia và thường được sử dụng để phân loại năng lực học sinh.

Để đạt kết quả tốt, học sinh nên luyện tập theo từng dạng bài, thành thạo các kỹ thuật xét tính đơn điệu, sử dụng đồ thị, đặt ẩn phụ, đếm số giao điểm và biện luận tham số. Việc thường xuyên luyện các bài tập có đáp án chi tiết sẽ giúp nâng cao tốc độ làm bài, hạn chế sai sót và tăng khả năng xử lý các câu hỏi vận dụng, vận dụng cao.