Điều kiện để hàm số có cực trị
Cực trị hàm số
A. Điều kiện hàm số có cực trị dựa vào sự đổi dấu đạo hàm
Giả sử hàm số 
\(y = f(x)\) liên tục trên khoảng \((a;b)\) chứa điểm \(x_{0}\) và có đạo hàm trên các khoảng \(\left( a;x_{0} \right)\) và \(\left( x_{0};b \right)\). Khi đó:
Nếu \(f'(x) < 0\) với mọi \(x \in \left( a;x_{0} \right)\) và \(f'(x) > 0\) với mọi \(x \in \left( x_{0};b \right)\) thì hàm số \(f\) đạt cực tiểu tại \(x_{0}\).
Nói cách khác. Nếu \(f'(x)\) đổi dấu từ \(( - )\) sang \(( + )\) khi \(x\) đi qua điểm \(x_{0}\) (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực tiểu tại \(x_{0}\).
Nếu \(f'(x) > 0\) với mọi \(x \in \left( a;x_{0} \right)\) và \(f'(x) < 0\) với mọi \(x \in \left( x_{0};b \right)\) thì hàm số \(f\) đạt cực đại tại \(x_{0}\).
Nói cách khác. Nếu \(f'(x)\) đổi dấu từ \(( + )\) sang \(( - )\) khi \(x\) đi qua điểm \(x_{0}\) (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đại tại \(x_{0}\).
B. Điều kiện hàm số có cực trị dựa vào sự đổi dấu đạo hàm
Giả sử hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm cấp một trên khoảng \((a;b)\) chứa điểm \(x_{0}\) và \(y = f(x)\) có đạo hàm cấp hai khác \(0\) tại điểm \(x_{0}\).
Nếu \(f''(x) < 0\) thì hàm số đạt cực đại tại điểm \(x_{0}\)
Nếu \(f''(x) > 0\) thì hàm số đạt cực đại tại điểm \(x_{0}\).
Nhận xét:
- Cho hàm số \(y = f(x)\) và biết \(x = x_{0}\) thì \(f'\left( x_{0} \right) = 0\)
=> Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(x = x_{0}\) nằm ngang.
- Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định hai bên tại \(x = x_{0}\). Khi đó \(f'\left( x_{0} \right)\) không tồn tại
\(\Leftrightarrow\) Hàm số bị “gãy” tại \(x_{0}\)
Suy ra: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(x = x_{0}\) nằm ngang.
Suy ra: Tiếp tuyến trái và tiếp tuyến phải tại \(x_{0}\) khác nhau.
- Một hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0, hoặc tại đó đạo hàm không xác định nhưng hàm số vẫn xác định.
- \(f'(x)\) bằng 0 tại \(x_{0}\) nhưng hàm số \(f(x)\) có thể không đạt cực trị tại điểm \(x_{0}\). Tức là ngoài điều kiện \(f'\left( x_{0} \right) = 0\) thì hàm còn phải thỏa mãn thêm một số điều kiện nữa thì mới có thể đạt cực trị tại \(x_{0}\).
Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên \(K\), các nhận xét sau là các nhận xét có (hoặc không có) cực trị của hàm số khi \(x \in K\).
- Hàm số \(y = f(x)\) có cực trị khi và chỉ khi \(f'(x)\) không đổi dấu
- Hàm số \(y = f(x)\) có n cực trị khi và chỉ khi \(f'(x)\) đổi dấu đúng n lần.
C. Điều kiện hàm đạt cực trị tại một điểm
Điều kiện để \(y = f(x)\) liên tục và có đạo hàm trên tập A đạt cực trị tại \(x_{0} \in A\) là: \(f'\left( x_{0} \right) = 0\) và \(f'(x)\) đổi dấu khi đi qua \(x_{0}\).
Lưu ý:
- Nếu từ \(f'\left( x_{0} \right) =
0\) ta giải ra được tham số thì cần kiểm tra lại sự đổi dấu của \(f'(x)\) khi đi qua \(x_{0}\).
- Nếu từ điều kiện \(f'\left( x_{0}
\right) = 0\) không tìm được tham số thì ta sử dụng các điều kiện sau:
- \(f'(x)\) đổi dấu khi đi qua \(x_{0} \Leftrightarrow \lim_{x \rightarrow
x_{0} -}f'(x).\lim_{x \rightarrow x_{0} +}f'(x) <
0\)
Điều kiện để \(y = f(x)\) liên tục và có đạo hàm trên tập A đạt cực đại tại \(x_{0} \in A\) là: \(f'\left( x_{0} \right) = 0\) và \(f'(x)\) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua \(x_{0}\).
Lưu ý:
- Nếu từ \(f'\left( x_{0} \right) =
0\) ta giải ra được tham số thì cần kiểm tra lại sự đổi dấu của \(f'(x)\) khi đi qua \(x_{0}\).
- Nếu từ điều kiện \(f'\left( x_{0}
\right) = 0\) không tìm được tham số thì ta sử dụng các điều kiện sau:
- \(f'(x)\) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua \(x_{0} \Leftrightarrow \left\{
\begin{matrix}
\lim_{x \rightarrow x_{0} -}f'(x) > 0 \\
\lim_{x \rightarrow x_{0} +}f'(x) < 0 \\
\end{matrix} \right.\)
Điều kiện để \(y = f(x)\) liên tục và có đạo hàm trên tập A đạt cực tiểu tại \(x_{0} \in A\) là: \(f'\left( x_{0} \right) = 0\) và \(f'(x)\) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua \(x_{0}\).
Lưu ý:
- Nếu từ \(f'\left( x_{0} \right) =
0\) ta giải ra được tham số thì cần kiểm tra lại sự đổi dấu của \(f'(x)\) khi đi qua \(x_{0}\).
- Nếu từ điều kiện \(f'\left( x_{0}
\right) = 0\) không tìm được tham số thì ta sử dụng các điều kiện sau:
- \(f'(x)\) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua \(x_{0} \Leftrightarrow
\left\{ \begin{matrix}
\lim_{x \rightarrow x_{0} -}f'(x) < 0 \\
\lim_{x \rightarrow x_{0} +}f'(x) > 0 \\
\end{matrix} \right.\)
