Điều kiện để hàm số có cực trị

A. Điều kiện hàm số có cực trị dựa vào sự đổi dấu đạo hàm

Giả sử hàm số $y=f(x)$ liên tục trên khoảng $(a;b)$ chứa điểm $x_0$ và có đạo hàm trên các khoảng $(a;x_0)$ và $(x_0;b)$. Khi đó:

B. Điều kiện hàm số có cực trị dựa vào sự đổi dấu đạo hàm

Giả sử hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm cấp một trên khoảng $(a;b)$ chứa điểm $x_0$ và $y=f(x)$ có đạo hàm cấp hai khác $0$ tại điểm $x_0$.

Nhận xét:

• Cho hàm số $y=f(x)$ và biết $x=x_0$ thì $f^{\prime }\left(x_0\right)=0$

=> Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $x=x_0$ nằm ngang.

• Cho hàm số $y=f(x)$ xác định hai bên tại $x=x_0$. Khi đó $f^{\prime }\left(x_0\right)$ không tồn tại

$\iff$ Hàm số bị “gãy” tại $x_0$

Suy ra: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $x=x_0$ nằm ngang.

Suy ra: Tiếp tuyến trái và tiếp tuyến phải tại $x_0$ khác nhau.

- Một hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0, hoặc tại đó đạo hàm không xác định nhưng hàm số vẫn xác định.

- $f^{\prime }(x)$ bằng 0 tại $x_0$ nhưng hàm số $f(x)$ có thể không đạt cực trị tại điểm $x_0$. Tức là ngoài điều kiện $f^{\prime }\left(x_0\right)=0$ thì hàm còn phải thỏa mãn thêm một số điều kiện nữa thì mới có thể đạt cực trị tại $x_0$.

C. Điều kiện hàm đạt cực trị tại một điểm

Lưu ý:

• Nếu từ $f^{\prime }\left(x_0\right)=0$ ta giải ra được tham số thì cần kiểm tra lại sự đổi dấu của $f^{\prime }(x)$ khi đi qua $x_0$.
• Nếu từ điều kiện $f^{\prime }\left(x_0\right)=0$ không tìm được tham số thì ta sử dụng các điều kiện sau:
• $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi đi qua $x_0\iff \underset{x\to x_0-}{lim}{f}^{\prime }(x).\underset{x\to x_0+}{lim}{f}^{\prime }(x)<0$

Lưu ý:

• Nếu từ $f^{\prime }\left(x_0\right)=0$ ta giải ra được tham số thì cần kiểm tra lại sự đổi dấu của $f^{\prime }(x)$ khi đi qua $x_0$.
• Nếu từ điều kiện $f^{\prime }\left(x_0\right)=0$ không tìm được tham số thì ta sử dụng các điều kiện sau:
• $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua $x_0\iff \{\begin{array}{c}\underset{x\to x_0-}{lim}{f}^{\prime }(x)>0\\ \underset{x\to x_0+}{lim}{f}^{\prime }(x)<0\end{array}$

Lưu ý:

• Nếu từ $f^{\prime }\left(x_0\right)=0$ ta giải ra được tham số thì cần kiểm tra lại sự đổi dấu của $f^{\prime }(x)$ khi đi qua $x_0$.
• Nếu từ điều kiện $f^{\prime }\left(x_0\right)=0$ không tìm được tham số thì ta sử dụng các điều kiện sau:
• $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua $x_0\iff \{\begin{array}{c}\underset{x\to x_0-}{lim}{f}^{\prime }(x)<0\\ \underset{x\to x_0+}{lim}{f}^{\prime }(x)>0\end{array}$