Công thức xác suất toàn phần

VnDoc.com xin giới thiệu tới quý thầy cô và các bạn học sinh tài liệu tham khảo Toán 12: Công thức tính xác suất để bạn đọc cùng tham khảo và có thêm tài liệu học tập nhé.

A. Công thức xác suất có điều kiện

Chú ý:

Kí hiệu biến cố giao của hai biến cố $A$ và $B$ là: $A\cap B$ hoặc $AB$.

Ví dụ. Cho hai biến cố $A$ và $B$, với $P(A)=0,6;P(B)=0,7;P(A\cap B)=0,3$. Tính $P\left(\bar{B}|A\right)$?

Hướng dẫn giải

Ta có:

$P\left(\bar{B}|A\right)=1-P\left(B|A\right)$

$=1-\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=1-\frac{0,3}{0,6}=\frac{1}{2}$.

Ví dụ. Một hộp có 3 quả bóng màu xanh, 4 quả bóng màu đỏ; các quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy bóng ngẫu nhiên hai lần liên tiếp, trong đó mỗi lần lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp, ghi lại màu của quả bóng lấy ra và bỏ lại quả bóng đó vào hộp.

Xét các biến cố: A: “Quả bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ nhất”; B: “Quả bóng màu đỏ được lấy ra ở lần thứ hai”.

Hỏi hai biến cố A và B có độc lập không?

Hướng dẫn giải

Hai biến cố $A;B$ độc lập khi và chỉ khi $P(A\cap B)=P(A).P(B)$

Theo bài ra ta có:

$\{\begin{array}{c}P(A)={\displaystyle \frac{3}{7}};P(B)={\displaystyle \frac{4}{7}}\\ P(A\cap B)={\displaystyle \frac{3.4}{7.7}}={\displaystyle \frac{12}{49}}\end{array}\Rightarrow P(A\cap B)=P(A).P(B)$

Vậy hai biến cố $A;B$ độc lập.

Ví dụ. Một bình đựng 9 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ. Lần lượt lấy ngẫu nhiên ra 2 bi, mỗi lần lấy 1 bi không hoàn lại. Tính xác suất để bi thứ 2 màu xanh nếu biết bi thứ nhất màu đỏ?

Hướng dẫn giải

Gọi A là biến cố “lần thứ nhất lấy được bi màu đỏ”. Gọi B là biến cố “lần thứ hai lấy được bi màu xanh”.

Ta cần tìm $P\left(B|A\right)$

Không gian mẫu $n(\mathrm{\Omega })=16.15$ cách chọn

Lần thứ nhất lấy 1 viên bi màu đỏ có 7 cách chọn, lần thứ hai lấy 1 viên bi rong 15 bi còn lại có 15 cách chọn, do đó: $P(A)=\frac{7.15}{16.15}=\frac{7}{16}$

Lần thứ nhất lấy 1 viên bi màu đỏ có 7 cách chọn, lần thứ hai lấy 1 viên bi màu xanh có 9 cách chọn, do đó: $P(A\cap B)=\frac{7.9}{16.15}=\frac{21}{80}$

Vậy xác suất để viên bi lấy lần thứ hai là màu xanh nếu biết rằng viên bi lấy lần thứ nhất là màu đỏ là:  $P\left(B|A\right)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{21}{80}}}{{\displaystyle \frac{7}{16}}}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$ .

B. Công thức tính xác suất toàn phần

Ví dụ.

a. Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $P(B)=0,8;P\left(A|B\right)=0,7,P\left(A|\bar{B}\right)=0,45$. Tính $P(A)$?

b. Cho hai biến cố $A$ và $B$ với $0<P(A)<1$. Biết $P(A)=0,1;P\left(\bar{A}\right)=0,9;P\left(B|A\right)=0,3;P\left(B|\bar{A}\right)=0,6$. Tính $P(B)$?

Hướng dẫn giải

a. Ta có:

$P\left(\bar{B}\right)=1-P(B)=1-0,8=0,2$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

$P(A)=P(B).P\left(A|B\right)+P\left(\bar{B}\right).P\left(A|\bar{B}\right)$

$\Rightarrow P(A)=0,8.0,7+0,2.0,45=0,65$

b. Ta có công thức xác suất toàn phần tính $P(B)$ là:

$P(B)=P(A).P\left(B|A\right)+P\left(\bar{A}\right).P\left(B|\bar{A}\right)$

$\Rightarrow P(B)=0,1.0,3+0,9.0,6=0,57$

Ví dụ. Giả sử tỉ lệ người dân của tỉnh T nghiện thuốc lá là $20\mathrm{\%}$; tỉ lệ người bị bệnh phổi trong số người nghiện thuốc lá là $70\mathrm{\%}$, trong số người không nghiện thuốc lá là $15\mathrm{\%}$. Hỏi khi ta gặp ngẫu nhiên một người dân của tỉnh T thì khả năng mà đó bị bệnh phổi là bao nhiêu $\mathrm{\%}$?

Hướng dẫn giải

Gọi A là biến cố “người nghiện thuốc lá”, suy ra A là biến cố “người không nghiện thuốc lá”

Gọi B là biến cố “người bị bệnh phổi”

Để người mà ta gặp bị bệnh phổi thì người đó nghiện thuốc lá hoặc không nghiện thuốc lá.

Ta cần tính $P(B)$

Ta có: $\{\begin{array}{c}P(A)=0,2\Rightarrow P\left(\bar{A}\right)=1-P(A)=0,8\\ P\left(B|A\right)=0,7\\ P\left(B|\bar{A}\right)=0,15\end{array}$

Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

$P(B)=P(A).P\left(B|A\right)+P\left(\bar{A}\right).P\left(B|\bar{A}\right)$

$\Rightarrow P(B)=0,2..0,7+0,8.0,15=0,26$

C. Công thức bayes

Ví dụ. Ba máy tự động sản xuất cùng một loại chi tiết, trong đó máy I sản xuất $25\mathrm{\%}$, máy II sản xuất $30\mathrm{\%}$ và máy III sản xuất $45\mathrm{\%}$ tổng sản lượng. Tỷ lệ phế phẩm của các máy lần lượt là $0,1\mathrm{\%};0,2\mathrm{\%};0,4\mathrm{\%}$. Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm từ kho thì chi tiết phế phẩm đó do máy II sản xuất?

Hướng dẫn giải

Gọi Ai: “Sản phẩm do máy i sản xuất”

A: “Sản phẩm là phế phẩm”

Ta có: A₁, A₂, A₃ là một hệ đầy đủ các biến cố và

$P\left(A_1\right)=0,25;P\left(A_2\right)=0,3;P\left(A_3\right)=0,45$

$P\left(A|A_1\right)=0,001;P\left(A|A_2\right)=0,002;P\left(A|A_3\right)=0,004$

Theo công thức xác suất toàn phần ta có:

$P(A)=P\left(A_1\right)P\left(A|A_1\right)+P\left(A_2\right)P\left(A|A_3\right)+P\left(A_3\right)P\left(A|A_3\right)=0,00265$

Theo công thức Bayes ta có:

$P\left(A_2|A\right)=\frac{P\left(A|A_2\right).P\left(A_2\right)}{P(A)}=0,226$

Ví dụ. Trong một vùng dân cư, cứ 100 người thì có 30 người hút thuốc lá. Biết tỷ lệ người bị viêm họng trong số người hút thuốc lá là 60%, trong số người không hút thuốc lá là 30%. Khám ngẫu nhiên một người và thấy người đó bị viêm họng. Nếu người đó không bị viêm họng thì xác suất để người đó hút thuốc lá là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Gọi A: "Người này hút thuốc"

B: "Người này bị viêm họng"

Theo giả thiết ta có: $P(A)=0,3;P\left(B|A\right)=0,6;P\left(B|\bar{A}\right)=0,3$

Ta thấy rằng $A;\bar{A}$ là một hệ đầy đủ các biến cố.

Theo công thức xác suất toàn phần ta tính được:

$P(B)=P\left(B|A\right)P(A)+P\left(B|\bar{A}\right)P\left(\bar{A}\right)$

$=0,6.0,3+0,3.0,7=0,39$

$\Rightarrow P\left(\bar{B}\right)=1-P(B)=0,61$

Theo công thức Bayes, xác suất để người đó hút thuốc lá khi biết người đó không bị viêm họng là:

$P\left(A|\bar{B}\right)=\frac{P\left(\bar{B}|A\right)P(A)}{P\left(\bar{B}\right)}=\frac{0,4.0,3}{0,61}=0,197$