VnDoc.com

Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số Toán 12

Chuyên đề Toán 12 Đường tiệm cận

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Loại File: PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Cách tìm tiệm cận

A. Đường tiệm cận ngang
B. Đường tiệm cận đứng
C. Đường tiệm cận xiên
E. Đường tiệm cận của các hàm thông dụng
F. Bài tập đường tiệm cận của hàm số

Chuyên đề Toán 12: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị của hàm số vừa được VnDoc.com biên soạn và xin gửi tới bạn đọc để bạn đọc cùng tham khảo. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây nhé.

A. Đường tiệm cận ngang

Cho đồ thị hàm số $y = f(x)$có tập xác định D.

Nếu $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = y_{0}$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = y_{0}$hoặc $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = y_{0}$ $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = y_{0}$thì đường thẳng $y = y_{0}$ $y = y_{0}$được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Chú ý. Đường thẳng y = y₀ là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = y_{0};\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = y_{0}$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = y_{0};\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = y_{0}$

Cách tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Phương pháp giải

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính các giới hạn của hàm số đó tại vô cực (nếu có). Từ đó xác định đường tιệm cận ngang.

Công thức tính tiệm cận ngang của hàm phân thức hữu tỉ:

Hàm số		Tiệm cận ngang
$y = \frac{a_{0}x^{m} + a_{1}x^{m - 1} + ... + a_{m}}{b_{0}x^{n} + b_{1}x^{n - 1} + ... + b_{m}}$ $y = \frac{a_{0}x^{m} + a_{1}x^{m - 1} + ... + a_{m}}{b_{0}x^{n} + b_{1}x^{n - 1} + ... + b_{m}}$ $a_{0} \neq 0,b_{0} \neq 0;m \geq 1;n \geq 1;m,n\mathbb{\in Z}$ $a_{0} \neq 0,b_{0} \neq 0;m \geq 1;n \geq 1;m,n\mathbb{\in Z}$	m = n	$y = \frac{a_{0}}{b_{0}}$ $y = \frac{a_{0}}{b_{0}}$
	m > n	Không có tiệm cận ngang
	m < n	y = 0

Công thức tính tiệm cận ngang của hàm phân thức vô tỷ

Hàm số

Tiệm cận ngang

$y = \frac{ax + b}{\sqrt{cx^{2} + dx + e}}$ $y = \frac{ax + b}{\sqrt{cx^{2} + dx + e}}$

$a,c \neq 0$ $a,c \neq 0$

c < 0

Không có tiệm cận ngang

c > 0

$y = \pm \frac{a}{\sqrt{c}}$ $y = \pm \frac{a}{\sqrt{c}}$

B. Đường tiệm cận đứng

Cho đồ thị hàm số $y = f(x)$có tập xác định D.

Nếu $\lim_{x \rightarrow {x_{0}}^{+}}f(x) = \pm \infty$ $\lim_{x \rightarrow {x_{0}}^{+}}f(x) = \pm \infty$hoặc $\lim_{x \rightarrow {x_{0}}^{-}}f(x) = \pm \infty$ $\lim_{x \rightarrow {x_{0}}^{-}}f(x) = \pm \infty$thì đường thẳng $x = x_{0}$ $x = x_{0}$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Chú ý. Đường thẳng x = x₀ là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\lim_{x \rightarrow {x_{0}}^{+}}f(x) = \pm \infty;\lim_{x \rightarrow {x_{0}}^{-}}f(x) = \pm \infty$ $\lim_{x \rightarrow {x_{0}}^{+}}f(x) = \pm \infty;\lim_{x \rightarrow {x_{0}}^{-}}f(x) = \pm \infty$

C. Đường tiệm cận xiên

Điều kiện tìm đường tiệm cận xiên: $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = \pm \infty$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = \pm \infty$ hoặc $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = \pm \infty$ $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = \pm \infty$

Cách tìm tiệm cận xiên

Cách 1: Phân tích $y = f(x)$ thành dạng $y = ax + b + g(x)$với $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}g(x) = 0$ $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}g(x) = 0$thì $y = ax + b,(a \neq 0)$ $y = ax + b,(a \neq 0)$là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f(x)$.

Cách 2: Giả sử tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là $y = ax + b$, ta sẽ tìm a, b theo công thức: $\left\{ \begin{matrix} a = \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{f(x)}{x} \\ b = \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\left\lbrack f(x) - ax \right\rbrack \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} a = \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{f(x)}{x} \\ b = \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\left\lbrack f(x) - ax \right\rbrack \\ \end{matrix} \right.$

Khi đó đường thẳng $y = ax + b,(a \neq 0)$ $y = ax + b,(a \neq 0)$là phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

E. Đường tiệm cận của các hàm thông dụng

a. Hàm số $y = \frac{ax + b}{cx + d},(ad - bc \neq 0)$ $y = \frac{ax + b}{cx + d},(ad - bc \neq 0)$có $\left\{ \begin{matrix} TCÐ:x = \frac{- d}{c} \\ TCN:y = \frac{a}{c} \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} TCÐ:x = \frac{- d}{c} \\ TCN:y = \frac{a}{c} \\ \end{matrix} \right.$

b. Hàm số $y = \frac{ax^{2} + bx + c}{px + q} = Ax + B + \frac{r}{px + q},(ap \neq 0)$ $y = \frac{ax^{2} + bx + c}{px + q} = Ax + B + \frac{r}{px + q},(ap \neq 0)$có $\left\{ \begin{matrix} TCÐ:x = \frac{- p}{c = q} \\ TCN:y = Ax + B \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} TCÐ:x = \frac{- p}{c = q} \\ TCN:y = Ax + B \\ \end{matrix} \right.$

c. Hàm số hữu tỉ: $y = \frac{P(x)}{Q(x)}$ $y = \frac{P(x)}{Q(x)}$không chia hết có đường tiệm cận xiên khi bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu một bậc.

F. Bài tập đường tiệm cận của hàm số

Ví dụ. Cho hàm số $y = \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x - 1}$ $y = \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x - 1}$. Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số?

Hướng dẫn giải

Tập xác định: $D = ( - \infty;2\rbrack \cup \lbrack 2; + \infty)$ $D = ( - \infty;2\rbrack \cup \lbrack 2; + \infty)$

Ta thấy rằng x = 1 không thuộc D => Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

$\begin{matrix} \lim_{x \rightarrow \infty}y = \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x - 1} = \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{|x|\sqrt{1 - \frac{4}{x^{2}}}}{x\left( 1 - \frac{1}{x} \right)} = \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{|x|}{x} \\ = \left\{ \begin{matrix} \lim_{x \rightarrow + \infty}y = 1 \\ \lim_{x \rightarrow - \infty}y = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} \lim_{x \rightarrow \infty}y = \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x - 1} = \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{|x|\sqrt{1 - \frac{4}{x^{2}}}}{x\left( 1 - \frac{1}{x} \right)} = \lim_{x \rightarrow \infty}\frac{|x|}{x} \\ = \left\{ \begin{matrix} \lim_{x \rightarrow + \infty}y = 1 \\ \lim_{x \rightarrow - \infty}y = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \\ \end{matrix}$

=> y = 1 và y = -1 là hai tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ví dụ. Xác định các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x^{2} + 1} - x}{\sqrt{x^{2} - 9} - 4}$ $y = \frac{\sqrt{x^{2} + 1} - x}{\sqrt{x^{2} - 9} - 4}$?

Hướng dẫn giải

Tập xác định: $\left\{ \begin{matrix} x^{2} - 9 \geq 0 \\ \sqrt{x^{2} - 9} \neq 4 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow x \in ( - \infty; - 3\rbrack \cup \lbrack 3; + \infty)\backslash\left\{ \pm 5 \right\}$ $\left\{ \begin{matrix} x^{2} - 9 \geq 0 \\ \sqrt{x^{2} - 9} \neq 4 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow x \in ( - \infty; - 3\rbrack \cup \lbrack 3; + \infty)\backslash\left\{ \pm 5 \right\}$

Khi đó $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = 0;\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = 2$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = 0;\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = 2$

=> Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang

Mặt khác $\lim_{x \rightarrow \pm 5^{+}}f(x) = \mp \infty;\lim_{x \rightarrow \pm 5^{-}}f(x) = \pm \infty$ $\lim_{x \rightarrow \pm 5^{+}}f(x) = \mp \infty;\lim_{x \rightarrow \pm 5^{-}}f(x) = \pm \infty$

=> Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận.

Ví dụ. Cho hàm số $y = f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}\ \ \ khi\ x\ \geq \ 1 \\ \frac{2x}{x - 1}\ \ \ khi\ x\ < \ 1 \\ \end{matrix} \right.$ $y = f(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}\ \ \ khi\ x\ \geq \ 1 \\ \frac{2x}{x - 1}\ \ \ khi\ x\ < \ 1 \\ \end{matrix} \right.$. Xác định số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x)?

Hướng dẫn giải

Ta có: $\lim_{x \rightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{-}}\frac{2x}{x - 1} = - \infty$ $\lim_{x \rightarrow 1^{-}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{-}}\frac{2x}{x - 1} = - \infty$

=> Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{2x}{x - 1} = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{2}{1 - \frac{1}{x}} = 2$ $\lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{2x}{x - 1} = \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{2}{1 - \frac{1}{x}} = 2$ => y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

$\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x} = \lim_{x \rightarrow + \infty}\sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}} = 1$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x} = \lim_{x \rightarrow + \infty}\sqrt{2 + \frac{1}{x^{2}}} = 1$ => đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ví dụ. Cho hàm số $y = \frac{\sqrt{x^{2} - x + 3} - \sqrt{2x + 1}}{x^{3} - 2x^{2} - x + 2}$ $y = \frac{\sqrt{x^{2} - x + 3} - \sqrt{2x + 1}}{x^{3} - 2x^{2} - x + 2}$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng, không có tiệm cận ngang.

B. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng và có đúng một tiệm cận ngang.

C. Đồ thị hàm số có đúng ba tiệm cận đứng và hai tiệm cận ngang.

D. Đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.

Hướng dẫn giải

Điều kiện $\left\{ \begin{matrix} x^{2} - x + 3 \geq 0 \\ 2x + 1 \geq 0 \\ x^{3} - 2x^{2} - x + 2 \neq 0 \\ \end{matrix} \Rightarrow \right.\ \left\{ \begin{matrix} x \geq \frac{- 1}{2} \\ x \neq 2 \\ x \neq \pm 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq \frac{- 1}{2} \\ x \neq 2 \\ x \neq 1 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} x^{2} - x + 3 \geq 0 \\ 2x + 1 \geq 0 \\ x^{3} - 2x^{2} - x + 2 \neq 0 \\ \end{matrix} \Rightarrow \right.\ \left\{ \begin{matrix} x \geq \frac{- 1}{2} \\ x \neq 2 \\ x \neq \pm 1 \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x \geq \frac{- 1}{2} \\ x \neq 2 \\ x \neq 1 \\ \end{matrix} \right.$

Từ điều kiện ta có:

$\begin{matrix} y = \frac{\left( x^{2} - x + 3 \right) - (2x + 1)}{\left( x^{2} - 3x + 2 \right)(x + 1)\left( \sqrt{x^{2} - x - 3} + \sqrt{2x + 1} \right)} \\ y = \frac{x^{2} - 3x + 2}{\left( x^{2} - 3x + 2 \right)(x + 1)\left( \sqrt{x^{2} - x + 3} + \sqrt{2x + 1} \right)} \\ y = \frac{1}{(x + 1)\left( \sqrt{x^{2} - x + 3} + \sqrt{2x + 1} \right)} \\ \end{matrix}$ $\begin{matrix} y = \frac{\left( x^{2} - x + 3 \right) - (2x + 1)}{\left( x^{2} - 3x + 2 \right)(x + 1)\left( \sqrt{x^{2} - x - 3} + \sqrt{2x + 1} \right)} \\ y = \frac{x^{2} - 3x + 2}{\left( x^{2} - 3x + 2 \right)(x + 1)\left( \sqrt{x^{2} - x + 3} + \sqrt{2x + 1} \right)} \\ y = \frac{1}{(x + 1)\left( \sqrt{x^{2} - x + 3} + \sqrt{2x + 1} \right)} \\ \end{matrix}$

Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

Mặt khác $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{1}{x^{2}.\left( 1 + \frac{1}{x} \right)\left( \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}} \right)} = 0$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{1}{x^{2}.\left( 1 + \frac{1}{x} \right)\left( \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}} \right)} = 0$

=> y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Không tồn tại $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x)$ $\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x)$

Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng và có đúng một tiệm cận ngang.

Ví dụ. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

Xác sịnh số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{2}{f(x) - 2018}$ $y = \frac{2}{f(x) - 2018}$?

Hướng dẫn giải

Phương trình $f(x) = 2018$ có 2 nghiệm phân biệt

=> Đồ thị hàm số $y = \frac{2}{f(x) - 2018}$ $y = \frac{2}{f(x) - 2018}$ có 2 đường tiệm cận đứng.

Khi $x \rightarrow - \infty$ $x \rightarrow - \infty$thì $y \rightarrow 5 \Rightarrow y = \frac{2}{f(x) - 2018} \rightarrow \frac{2}{- 2013}$ $y \rightarrow 5 \Rightarrow y = \frac{2}{f(x) - 2018} \rightarrow \frac{2}{- 2013}$

Khi $x \rightarrow + \infty$ $x \rightarrow + \infty$thì $y \rightarrow 5 \Rightarrow y = \frac{2}{f(x) - 2018} \rightarrow \frac{2}{- 2013}$ $y \rightarrow 5 \Rightarrow y = \frac{2}{f(x) - 2018} \rightarrow \frac{2}{- 2013}$

Vậy đồ thị hàm số $y = \frac{2}{f(x) - 2018}$ $y = \frac{2}{f(x) - 2018}$ có 1 tiệm cận ngang.

Ví dụ. Cho hàm số $y = f(x)$xác định trên $\mathbb{R}\backslash\left\{ 1 \right\}$ $\mathbb{R}\backslash\left\{ 1 \right\}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ:

Đồ thị hàm số $y = \frac{x - 2}{f^{2}(x) - 5f(x) + 4}$ $y = \frac{x - 2}{f^{2}(x) - 5f(x) + 4}$ có bao nhiêu tiệm cận đứng?

Hướng dẫn giải

Ta có: $f^{2}(x) - 5f(x) + 4 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} f(x) = 4 \\ f(x) = 1 \\ \end{matrix} \right.$ $f^{2}(x) - 5f(x) + 4 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} f(x) = 4 \\ f(x) = 1 \\ \end{matrix} \right.$

Phương trình $f(x) = 4$ có 3 nghiệm phân biệt khác 2.

Phương trình $f(x) = 1$ có một nghiệm kép là $x = 2$ (do vậy mẫu số có dạng $(x - 2)^{2}$ $(x - 2)^{2}$ nên $x = 2$ vẫn là TCĐ của đồ thị hàm số

=> Đồ thị hàm số $y = \frac{x - 2}{f^{2}(x) - 5f(x) + 4}$ $y = \frac{x - 2}{f^{2}(x) - 5f(x) + 4}$ có 4 đường tiệm cận đứng.

--------------------------------------------------------

Sau khi đã cùng nhau tìm hiểu về Cách xác định cực trị của hàm số, bây giờ chúng ta hãy cùng nhau củng cố lại kiến thức bằng một số bài tập trắc nghiệm sau đây nhé!

Bài tập Toán 12: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số

Tải về

Chọn file muốn tải về: