VnDoc.com

Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán: Tuyển chọn 50 bài toán Xác suất điển hình

Ôn thi THPT Quốc gia môn Toán - Có đáp án chi tiết

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 11

Môn: Toán

Loại File: PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

Tuyển chọn 50 bài toán và đáp án phần Xác suất

Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán: Tuyển chọn 50 bài toán Xác suất điển hình được thầy giáo Nguyễn Hữu Biển biên tập, đây là tài liệu ôn thi môn Toán hữu ích dành cho các bạn thí sinh lớp 12, những bạn chuẩn bị bước vào kì thi THPT Quốc gia 2021, luyện thi Đại học, Cao đẳng hiệu quả. Mời các bạn tham khảo chi tiết tại đây nhé.

VnDoc.com xin gửi tới bạn đọc bài viết Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán: Tuyển chọn 50 bài toán Xác suất điển hình để bạn đọc cùng tham khảo. Bài viết được tổng hợp gồm có 50 bài toán về phần xác suất. Bài tập có đáp án và lời giải chi tiết kèm theo. Thông qua bài viết bạn đọc có thể luyện tập được cách tính xác suất. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết và tải về tại đây nhé.

Bài tập Xác suất - Có đáp án chi tiết

Bài 1: Một cái hộp đựng 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy lần lượt 2 viên bi từ cái hộp đó. Tính xác suất để viên bi được lấy lần thứ 2 là bi xanh.

Hướng dẫn

* Số cách lấy lần lượt 2 viên bi từ hộp là 10.9 = 90 (cách)

* Nếu lần 1 lấy được bi đỏ và lần 2 lấy được bi xanh thì có 6.4 = 24 (cách)

* Nếu lần 1 lấy được bi xanh và lần 2 cũng là bi xanh thì có 4.3 = 12 (cách)

Suy ra xác suất cần tìm là:

$P = \frac{{\left( {24 + 12} \right)}}{{90}} = \frac{4}{{10}}$ $P = \frac{{\left( {24 + 12} \right)}}{{90}} = \frac{4}{{10}}$

Bài 2: Một hộp đựng 10 viên bi đỏ, 8 viên bi vàng và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính xác suất để các viên bi lấy được đủ cả 3 màu.

Hướng dẫn

Tổng số viên bi trong hộp là 24. Gọi Ω là không gian mẫu.

Lấy ngẫu nhiên 4 viên trong hộp ta có C⁴₂₄ cách lấy hay n(Ω ) = C⁴₂₄.

Gọi A là biến cố lấy được các viên bi có đủ cả 3 màu. Ta có các trường hợp sau:

+) 2 bi đỏ, 1 bi vàng và 1 bi xanh: có C²₁₀C¹₈C¹₆ = 2160 cách

+) 1 bi đỏ, 2 bi vàng và 1 bi xanh: có C¹₁₀C²₈C¹₆ = 1680 cách

+) 1 bi đỏ, 1 bi vàng và 2 bi xanh: có C¹₁₀C¹₈C²₆ = 1200 cách

Do đó, n(A) = 5040

Vậy, xác suất biến cố A là

$P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{5040}}{{10626}} \approx 47,4\%$ $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{5040}}{{10626}} \approx 47,4\%$

Bài 3: Từ các chữ số của tập T = {0;1;2;3;4;5} , người ta ghi ngẫu nhiên hai số tự nhiên có ba chữ số khác nhau lên hai tấm thẻ. Tính xác suất để hai số ghi trên hai tấm thẻ đó có ít nhất một số chia hết cho 5.

Hướng dẫn

Có 5.A²₅ = 100 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau

Có A²₅ + 4.A¹₄ = 36 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5.

+ Có 64 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5.

+ n(Ω) = C¹₁₀₀.C¹₉₉ = 9900

+ Gọi A là biến cố: "Trong hai số được ghi trên 2 tấm thẻ có ít nhất 1 số chia hết cho 5"

Ta có: n(A) = C¹₃₆.C¹₆₄ + C¹₃₆.C¹₃₅ = 3564

Vậy $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{3564}}{{9900}} = \frac{9}{{25}}$ $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{3564}}{{9900}} = \frac{9}{{25}}$.

Bài 4: Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Chọn ngẫu nhiên ra 5 tấm thẻ. Tính xác suất để trong 5 tấm thẻ được chọn ra có 3 tấm thẻ mang số lẻ, 2 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ mang số chia hết cho 4.

Hướng dẫn giải

Số phần tử không gian mẫu là: $n\left( \Omega \right) = C_{20}^5 = 15504$ $n\left( \Omega \right) = C_{20}^5 = 15504$

Trong 20 tấm thẻ có 10 tấm thẻ mang số lẻ, có 5 tấm mang số chẵn và chia hết cho; 5 tấm thẻ mang số chẵn và không chia hết cho 4.

Gọi A là biến cố cần tính xác suất. Ta có: $n\left( A \right) = C_{10}^5.C_5^1.C_5^1 = 3000$ $n\left( A \right) = C_{10}^5.C_5^1.C_5^1 = 3000$

Vậy xác suất cần tính là: $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{3000}}{{15504}} = \frac{{125}}{{646}}$ $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{3000}}{{15504}} = \frac{{125}}{{646}}$.

Bài 5: Gọi M là tập hợp các số tự nhiên gồm 9 chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một
số từ M, tính xác suất để số được chọn có đúng 4 chữ số lẻ và chữ số 0 đứng giữa hai chữ
số lẻ (các chữ số liền trước và liền sau của chữ số 0 là các chữ số lẻ).

Hướng dẫn giải

Xét các số có 9 chữ số khác nhau:

- Có 9 cách chọn chữ số ở vị trí đầu tiên.

- Có $A_9^8$ cách chọn 8 chữ số tiếp theo

Do đó số các số có 9 chữ số khác nhau là: $9A_9^8 = 3265920$

Xét các số thỏa mãn đề bài:

- Có $C_5^4$ cách chọn 4 chữ số lẻ.

- Đầu tiên ta xếp vị trí cho chữ số 0, do chữ số 0 không thể đứng đầu và cuối nên có 7
cách xếp.

Tiếp theo ta có $C_4^2$ cách chọn và xếp hai chữ số lẻ đứng hai bên chữ số 0.

Cuối cùng ta có 6! cách xếp 6 chữ số còn lại vào 6 vị trí còn lại.

Gọi A là biến cố đã cho, khi đó $n\left( A \right) = C_5^4.7.A_4^2.6! = 302400$ $n\left( A \right) = C_5^4.7.A_4^2.6! = 302400$

Vậy xác suất cần tìm là: $P\left( A \right) = \frac{{302400}}{{3265920}} = \frac{5}{{54}}$ $P\left( A \right) = \frac{{302400}}{{3265920}} = \frac{5}{{54}}$.

Bài 6: Một tổ học sinh có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để làm trực nhật. Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ?

Hướng dẫn giải

Ta có: $n\left( \Omega \right) = C_{11}^5 = 165$ $n\left( \Omega \right) = C_{11}^5 = 165$

Số cách chọn 3 học sinh có cả nam và nữ là:

$n\left( A \right) = C_5^2.C_6^1 + C_5^1.C_6^2 = 135$ $n\left( A \right) = C_5^2.C_6^1 + C_5^1.C_6^2 = 135$

Do đó xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ: $P\left( A \right) = \frac{{135}}{{165}} = \frac{9}{{11}}$ $P\left( A \right) = \frac{{135}}{{165}} = \frac{9}{{11}}$.

Bài 7: Hai người cùng bắn vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng của từng người là 0,8 và 0,9. Tìm xác suất của các biến cố sao cho chỉ có một người bắn trúng mục tiêu.

Hướng dẫn giải

Gọi A là biến cố của người bắn trúng mục tiêu với xác suất là 0,8

B là biến cố của người bắn trúng mục tiêu với xác suất là 0,9

Gọi C là biến cố cần tính xác suất thì $C = A.\overline B + \overline A .B$ $C = A.\overline B + \overline A .B$

Vậy xác suất cần tính là: $P\left( C \right) = 0,8.\left( {1 - 0,9} \right) + \left( {1 - 0,8} \right).0,9 = 0,26$ $P\left( C \right) = 0,8.\left( {1 - 0,9} \right) + \left( {1 - 0,8} \right).0,9 = 0,26$.

Bài 8: Một đội ngũ cán bộ khoa học gồm 8 nhà toán học nam, 5 nhà vật lí nữ và 3 nhà hóa học nữ. Chọn ra từ đó 4 người. Tính xác suất trong 4 người được chọn phải có nữ và có đủ ba bộ môn?

Hướng dẫn giải

Sô phần tử không gian mẫu là: $\left| \Omega \right| = C_{10}^4 = 1820$ $\left| \Omega \right| = C_{10}^4 = 1820$

Gọi A là biến cố: "2 nam toán, 1 lý nữ, 1 hóa nữ"

B là biến cố: "1 nam toán, 2 lý nữ, 1 hóa nữ"

C là biến cố: "1 nam toán, 1 lý nữ, 2 hóa nữ"

Thì $H = A \cup B \cup C$ $H = A \cup B \cup C$ là biến cố : "Có nữ và đủ 3 bộ môn"

Khi đó số phần tử của biến cố H là: $n\left( H \right) = C_8^2.C_5^1.C_3^1 + C_8^1.C_5^2.C_3^1 + C_8^1.C_5^1.C_3^2$ $n\left( H \right) = C_8^2.C_5^1.C_3^1 + C_8^1.C_5^2.C_3^1 + C_8^1.C_5^1.C_3^2$

Vậy xác suất cần tìm là:

$P\left( H \right) = \frac{{n\left( H \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_8^2.C_5^1.C_3^1 + C_8^1.C_5^2.C_3^1 + C_8^1.C_5^1.C_3^2}}{{1820}} = \frac{3}{7}$ $P\left( H \right) = \frac{{n\left( H \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_8^2.C_5^1.C_3^1 + C_8^1.C_5^2.C_3^1 + C_8^1.C_5^1.C_3^2}}{{1820}} = \frac{3}{7}$

Bài 10: Trong một cuộc thi "Rung chuông vàng", đội Thủ Đức có 20 bạn lọt vào vòng chung kết, trong đó có 5 bạn nữ và 15 bạn nam. Để sắp xếp vị trí chơi, ban tổ chức chia các bạn thành 4 nhóm A, B, C, D, mỗi nhóm có 5 bạn. Việc chia nhóm được thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên. Tính xác suất để 5 bạn nữ thuộc cùng một nhóm.

Hướng dẫn giải

Số phần tử không gian mẫu: $n\left( \Omega \right) = C_{20}^5.C_{15}^5.C_{10}^5.C_5^1$ $n\left( \Omega \right) = C_{20}^5.C_{15}^5.C_{10}^5.C_5^1$

Gọi A là biến cố 5 bạn nữ vào cùng một nhóm

Xét 5 bạn nữ thuộc nhóm A có $C_{15}^5.C_{10}^5.C_5^1$ $C_{15}^5.C_{10}^5.C_5^1$ cách chia các bạn vào nhóm còn lại.

Do vai trò các nhóm như nhau nên ta có: $\left| {{\Omega _A}} \right| = 4.C_{15}^5.C_{10}^5.C_5^1$ $\left| {{\Omega _A}} \right| = 4.C_{15}^5.C_{10}^5.C_5^1$

Khi đó xác suất cần tìm là: $P\left( A \right) = \frac{4}{{C_{20}^5}}$ $P\left( A \right) = \frac{4}{{C_{20}^5}}$

Bài 11: Một người có 10 đôi giày khác nhau và trong túi lúc đi du lịch vội vã lấy ngẫu nhiên 4 chiếc. Tính xác suất để trong 4 chiếc giày lấy ra có ít nhất một đôi?

Hướng dẫn giải

Số cách lấy ra 4 chiếc giày tùy ý: $C_{20}^4$ $C_{20}^4$

Số cách chọn 4 chiếc giày từ 4 đôi (mỗi chiếc lấy từ 1 đôi): (số cách chọn 4 đôi từ 10 đôi) x (số cách chọn 4 chiếc) = ${C_{10}^4{{.2}^4}}$ ${C_{10}^4{{.2}^4}}$

Xác suất cần tìm là: $P = \frac{{C_{20}^4 - C_{10}^4{{.2}^4}}}{{C_{20}^4}} = \frac{{672}}{{969}}$ $P = \frac{{C_{20}^4 - C_{10}^4{{.2}^4}}}{{C_{20}^4}} = \frac{{672}}{{969}}$.

Bài 12: Giải bóng chuyền VTV Cup gồm 12 đội bóng tham dự, trong đó có 9 đội nước ngoài và 3 đội của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng A, B, C mỗi bảng 4 đội. Tính xác suất để 3 đội bóng của Việt Nam ở ba bảng khác nhau.

Hướng dẫn

Số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega) = C_{12}^{4} \cdot C_{8}^{4} \cdot C_{4}^{4} = 34.650$ $n(\Omega) = C_{12}^{4} \cdot C_{8}^{4} \cdot C_{4}^{4} = 34.650$

Gọi A là biến cố " 3 đội bong của Việt nam ở ba bảng khác nhau"

Số các kết quả thuận lợi của A là $n(A) = 3C_{9}^{3} \cdot 2C_{6}^{3} \cdot 1 \cdot C_{3}^{3} = 1080$ $n(A) = 3C_{9}^{3} \cdot 2C_{6}^{3} \cdot 1 \cdot C_{3}^{3} = 1080$

Xác xuất của biến cố A là $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega} = \frac{1080}{34650} = \frac{54}{173} \simeq 0,31$ $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega} = \frac{1080}{34650} = \frac{54}{173} \simeq 0,31$

Bài 13: Có 5 hộp bánh, mỗi hộp đựng 8 cái bánh gồm 5 cái bánh mặn và 3 bánh ngọt. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra hai bánh. Tính xác suất biến cố trong năm lần lấy ra đó có bốn lần lấy được 2 bánh mặn và một lần lấy được 2 bánh ngọt.

Hướng dẫn

Gọi $\Omega$ $\Omega$ là không gian mẫu của phép thử.

Gọi A là biến cố "Trong năm lần lấy ra có bốn lần lấy được 2 bánh mặn và một lần lấy được 2 bánh ngọt".

$\Rightarrow n(\Omega) = \left( C_{8}^{2}\right)^{5},\ n\left(A \right) = 5 \cdot \left( C_{5}^{2}\right)^{4} \cdot C_{3}^{2}$ $\Rightarrow n(\Omega) = \left( C_{8}^{2}\right)^{5},\ n\left(A \right) = 5 \cdot \left( C_{5}^{2}\right)^{4} \cdot C_{3}^{2}$

$\Rightarrow P(A) = \frac{5\cdot \left( C_{5}^{2} \right)^{4} \cdot C_{3}^{2}}{\left( C_{8}^{2}\right)^{5}} = \frac{9375}{1075648} \approx 0,0087$ $\Rightarrow P(A) = \frac{5\cdot \left( C_{5}^{2} \right)^{4} \cdot C_{3}^{2}}{\left( C_{8}^{2}\right)^{5}} = \frac{9375}{1075648} \approx 0,0087$

Bài 14: Có 30 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có duy nhất 1 tấm mang số chia hết cho 10.

Hướng dẫn

Gọi A là biến cố lấy được 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tẩm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 .

Chọn 10 tấm thẻ trong 30 tấm thẻ có : $C^{10}\ _{30}$ $C^{10}\ _{30}$ cách chọn

Ta phải chọn:

5 tấm thẻ mang số lẻ trong 15 tấm mang số lẻ có $C_{15}\ ^{5}$ $C_{15}\ ^{5}$ cách chọn.

1 tấm thẻ chia hết cho 10 trong 3 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 , có : $C^{1}\ _{3}$ $C^{1}\ _{3}$ cách chọn

4 tấm thẻ mang số chẵn nhưng không chia hết cho 10 trong 12 tấm như vậy, có : $C^{4}\ _{12}$ $C^{4}\ _{12}$
Vậy xác suất cần tìm là : $P(A) = \frac{C_{15}^{5} \cdot C_{12}^{4} \cdot C_{3}^{1}}{C_{30}^{10}} = \frac{99}{667}$ $P(A) = \frac{C_{15}^{5} \cdot C_{12}^{4} \cdot C_{3}^{1}}{C_{30}^{10}} = \frac{99}{667}$

Bài 15: Trong kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, lớp 12A Có 2 học sinh đạt giải môn Toán đều là học sinh nam và 4 học sinh đạt giải môn Vật lí trong đó có 2 học sinh nam và 2 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh trong các học sinh đạt giải đó đi dự lễ tổng kết năm học của tỉnh. Tính xác suất để 4 học sinh được chọn có 2 nam và 2 nữ, đồng thời còn có cả học sinh đạt giải môn Toán và học sinh đạt giải môn Vật lí.

Hướng dẫn

Không gian mẫu $\Omega$ $\Omega$ là tập hợp gồm tất cả các cách chọn ra 3 học sinh trong các học sinh đạt giải của kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, do đó ta có $n(\Omega) = C_{6}^{3} = 20$ $n(\Omega) = C_{6}^{3} = 20$

Kí hiệu A là biến cố " 4 học sinh được chọn có 2 nam và 2 nữ, đồng thời còn có cả học sinh đạt giải môn Toán và học sinh đạt giải môn Vật lí"

Tài liệu dài, tải về để xem chi tiết và đầy đủ nhé!

------------------------------------------------------

Hy vọng với 50 bài toán xác suất điển hình trong tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán này, bạn sẽ có thêm công cụ hữu ích để ôn luyện hiệu quả và tự tin bước vào kỳ thi. Đừng quên thường xuyên luyện tập, ghi chú lại các dạng bài quan trọng và trau dồi kỹ năng phân tích đề để tối ưu hóa điểm số của mình nhé!

Tải về

Chọn file muốn tải về: