Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối
GTNN, GTNN hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối
Chuyên đề Toán 12: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm trị tuyệt đối vừa được VnDoc.com biên soạn và xin gửi tới bạn đọc để bạn đọc cùng tham khảo. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây nhé.
A. Cách tìm GTLN GTNN của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối
Cho hàm số 
\(y = f(x)\) liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x)\) trên [a; b], ta có:
\(\max_{\lbrack a;b\rbrack}\left| f(x)
\right| = \frac{|M + n| + |M - n|}{2}\)
\(\min_{\lbrack a;b\rbrack}\left| f(x)
\right| = \left\{ \begin{matrix}
0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ khi\ M.n \leq 0 \\
\frac{|M + n| - |M - n|}{2}\ \ \ \ \ \ khi\ M.\ n > 0 \\
\end{matrix} \right.\)
Chứng minh đẳng thức: \(\max_{\lbrack
a;b\rbrack}\left| f(x) \right| = \frac{|M + m| + |M -
m|}{2}\)
+ Trường hợp 1: \(M \geq m \geq 0\) thi \(f(x) \geq 0\forall x \in \lbrack
a;b\rbrack\).
Từ đó
\(max_{\lbrack a;b\rbrack}|f(x)| =
max_{\lbrack a;b\rbrack}f(x) = M = max\{ M;m\} =
max\{|M|;|m|\}\)
+ Trường hợp 2: \(0 > M \geq m\) thì\(f(x) < 0\forall x \in \lbrack
a;b\rbrack\).
Từ đó
\(|f(x)| = - f(x) \leq - m = max\{ -
\mathcal{M;} - m\} = max\{| - M|;| - m|\} = max\{|M|;|m|\}.\)
Suy ra \(max_{\lbrack a;b\rbrack}|f(x)| =
max\{|M|;|m|\}\)
+ Trường hợp 3: \(M > 0 >
m\)
Với \(x\) thỏa mãn \(0 \leq f(x) \leq M \Rightarrow |f(x)| \leq
|M|\)
Với x thỏa mãn \(m \leq f(x) < 0
\Rightarrow - m \geq - f(x) > 0 \Rightarrow | - m| \geq | - f(x)|
\Rightarrow |f(x)| \leq |m|\)
Như vậy \(|f(x)| \leq
max\{|M|;|m|\}.\)
Suy ra \(max_{\lbrack a;b\rbrack}|f(x)| =
max\{|M|;|m|\}\)
Tóm lại ta có điều phải chứng minh.
Chứng minh đẳng thức: \(\min_{\lbrack
a;b\rbrack}\left| f(x) \right| = \left\{ \begin{matrix}
0,\ nếu\ M.m \leq 0 \\
\frac{|M + m| - |M - m|}{2},\ nếu\ M.m > 0 \\
\end{matrix} \right.\)
Với \(m \leq 0 \leq M \Rightarrow\) Phương trình \(f(x) = 0\) có nghiệm \(x \in \lbrack a;b\rbrack.\)
Lại có \(|f(x)| \geq 0\forall x \in \lbrack
a;b\rbrack.\) Suy ra \(min_{\lbrack
a;b\rbrack}|f(x)| = 0\)
Với \(Mm > 0\)
Không giảm tính tổng quá, giả sử \(M \geq m
> 0\) (Nếu \(0 > M \geq
m\) thì chứng minh
tương tự).
Do đó \(f(x) > 0\forall x \in \lbrack
a;b\rbrack\).
Từ đó ta có \(min_{[a; b]}|f(x)| = min_{[a;b]}f(x) = m = min\{M;m\} =min\{|M|:|m|\}\)
Hệ quả.
Cho hàm số f(x) đơn điệu trên [ \(\alpha;\beta\rbrack\), ta có
\(max_{[\alpha;\beta]}|f(x)| =\frac{|f(\alpha) + f(\beta)| + |f(\alpha) - f(\beta)|}{2};\)
Nếu \(f(\alpha) \cdot f(\beta) \leq
0\) thi \(min_{\lbrack\alpha;\beta\rbrack}|f(x)| =
0\)
Nếu \(f(\alpha).f(\beta) > 0\) thì \(\min_{\lbrack\alpha;\beta\rbrack}\left|
f(x) \right| = \frac{\left| f(\alpha) + f(\beta) \right| - \left|
f(\alpha) - f(\beta) \right|}{2}\)
B. Bài tập tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm trị tuyệt đối
Ví dụ 1. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số thực \(m\) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| x^{3} - 3x + m
\right|\) trên đoạn [0; 3] bằng 16. Tính tổng các phần tử của \(S\)?
| A. -16 | B. 16. | C. -12 | D. \(- 2\) |
Gợi ý hướng giải toán
Hướng 1. Đề cho \(\max_{x \in \lbrack
0;3\rbrack}y = 16\), gợi cho chúng ta nhớ đến định nghĩa về GTLN của hàm số. Như vậy, yêu cầu bài toán tương đương với hai điều kiện sau đồng thời xảy ra:
\((1):|x^{3} - 3x + m| \leq 16\forall x
\in \lbrack 0;3\rbrack\)
\((2)\): Phương trình \(|x^{3} - 3x + m| = 16\) có nghiệm \(x \in \lbrack 0;3\rbrack\).
Điều kiện (1) và (2) là các bài toán quen thuộc.
Điều kiện (1) cho kết quả \(- 14 \leq m
\leq - 2\).
Điều kiện (2) cho kết quả \(\left\lbrack
\begin{matrix}
\\
\\
\end{matrix} \right.\ \begin{matrix}
- 34 \leq m \leq - 14 \\
- 2 \leq m \leq 18 \\
\end{matrix}\ \Rightarrow \ S = \{ - 14; - 2\}\).
Hướng 2. Tìm \(\max_{x \in \lbrack
0;3\rbrack}y\), vì việc đó sẽ giúp ta giải quyết bài toán:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số thực m sao cho \(\max_{x \in \lbrack 0;3\rbrack}y\) thỏa mãn điều kiện nào đó.
Từ đây nghĩ đến việc xét bài toán tổng quát:
Xét hàm số \(f(x) = x^{3} - 3x + m\) trên đoạn [0; 3].
Ta có
\(f^{'}(x) = 3x^{2} - 3\forall x \in
\lbrack 0;3\rbrack;f^{'}(x) = 0\) thõa mãn \(x \in \lbrack 0;3\rbrack\)
\(f(0) = m;f(1) = m - 2;f(3) = m +
18.\)
Từ đây ta cũng có
\(max_{x \in \lbrack 0,3\rbrack}y =
max\{|m - 2|;|m + 18|\} \cdot (m + 18 > m > m - 2)\)
Hướng 3. Thấy biến x và tham số m không dính nhau nên nghĩ đến đổi biến số
Đổi biến \(t = x^{3} - 3x\), với \(x \in \lbrack 0;3\rbrack\)thì \(t \in \lbrack - 2;18\rbrack\)
Xét hàm số\(f(t) = t + m\)với \(t \in \lbrack - 2;18\rbrack\).
Vì đồ thị của hàm số \(f(t)\) với \(t \in \lbrack - 2;18\rbrack\)là một đoạn thẳng nên \(\max_{x \in \lbrack
0;3\rbrack}y = \max_{t \in \lbrack - 2;18\rbrack}\left| f(t) \right| =
\max\left\{ \left| f( - 2) \right|;\left| f(18) \right| \right\} =
\max\left\{ |m - 2|;|m + 18| \right\}\).
Xét trường hợp 1: \(|m - 2| = 16
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
m = 18 \\
m = - 14 \\
\end{matrix} \right.\) (Loại m = 18).
Trường hợp 2: \(|m + 18| = 16
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
m = - 2 \\
m = - 34 \\
\end{matrix} \right.\) (Loại m = - 34)
Hướng dẫn giải chi tiết
Ta có: \(\max_{x \in \lbrack 0;3\rbrack}y =
\max_{t \in \lbrack - 2;18\rbrack}\left| f(t) \right| = \max\left\{
\left| f( - 2) \right|;\left| f(18) \right| \right\} = \max\left\{ |m -
2|;|m + 18| \right\}\)
\(\max_{x \in \lbrack 0;3\rbrack}y =
\max_{t \in \lbrack - 2;18\rbrack}\left| f(t) \right|\) = \(\frac{|m - 2 + m + 18| + |m - 2 - m -
18|}{2}\)= \(|m + 8| + 10 =
16\)
\(\Leftrightarrow m=-14\) hoặc \(m = - 2\).
Ví dụ 2. Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số thực \(m\)sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x) = \left| x^{2} - 2x + m
\right|\)trên đoạn \(\lbrack
0;3\rbrack\)bằng \(5\).Tổng các phần tử của \(S\) bằng:
| A. \(- 2\). |
B. \(2\). |
C. \(- 12\). |
D. \(8\). |
Hướng dẫn giải
Đồ thị của hàm số \(y = x^{2} - 2x +
m\) là Parabol có bề lõm quay lên và nhận điểm \(P(1;m - 1)\)làm đỉnh.
Ta có \(y(0) = m\), \(y_{P} = m - 1\), \(y(3) = m + 3\).
Rõ ràng với mọi giá trị của \(m\)thì \(m - 1 < m < m + 3\).
Vì \(x_{P} = 1 \in \lbrack
0;3\rbrack\) nên \(\max_{[0;3]}f(x) = \max\left\{ \left| y(0) \right|;\left| y_{P}\right|;\left| y(3) \right| \right\}\)\(= \max\left\{ |m + 3|;|m - 1|\right\} = |m + 1| + 2\).
\(\max_{\lbrack 0;3\rbrack}f(x) = 5
\Leftrightarrow |m + 1| + 2 = 5 \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
m = - 4 \\
m = 2 \\
\end{matrix} \right.\).
Vậy \(S =
\left\{ - 4;2 \right\}\).
Ví dụ 3. Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số thực \(m\)sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| x^{3} - 3mx^{2} + 3\left( m^{2} -
1 \right)x - m^{3} \right|\)trên đoạn \(\lbrack m;m + 3\rbrack\)bằng \(16\).Tổng các phần tử của \(S\) bằng
| A. \(\frac{16}{3}\). |
B. \(\frac{14}{3}\). |
C. \(\frac{19}{3}\). |
D. \(\frac{20}{3}\). |
Hướng dẫn giải
Xét hàm số \(f(x) = x^{3} - 3mx^{2} +
3\left( m^{2} - 1 \right)x - m^{3},\ x \in \lbrack m;m +
3\rbrack\).
Ta có \(f(x) = (x - m)^{3} - 3x\); \(f'(x) = 3\left\lbrack (x - m)^{2} - 1
\right\rbrack,\ \forall x \in \lbrack m;m + 3\rbrack\); \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = m + 1\); \(f(m) = - 3m\); \(f(m + 1) = - 2 - 3m\); \(f(m + 3) = 18 - 3m\).
Suy ra \(\max_{\lbrack m;m + 3\rbrack}f(x)
= 18 - 3m\); \(\min_{\lbrack m;m +
3\rbrack}f(x) = - 2 - 3m\).
\(\max_{\lbrack m;m + 3\rbrack}\left| f(x)\right| = \max\left\{ |18 - 3m|;| - 2 - 3m| \right\}\)
\(= \frac{(18 - 3m) - ( - 2 - 3m) + \left|
(18 - 3m) + ( - 2 - 3m) \right|}{2} = |3m - 8| + 10\).
\(\max_{\lbrack m;m + 3\rbrack}y = 16
\Leftrightarrow |3m - 8| + 10 = 16 \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
m = \dfrac{14}{3} \\
m = \dfrac{2}{3} \\
\end{matrix} \right.\).
Nhận xét: Tìm \(\min_{\lbrack m;m +
3\rbrack}\left| x^{3} - 3mx^{2} + 3\left( m^{2} - 1 \right)x - m^{3}
\right|\)như sau:
Nếu \(\min_{\lbrack m;m + 3\rbrack}f(x)
\leq 0 \leq \max_{\lbrack m;m + 3\rbrack}f(x)\)\(\Leftrightarrow - 2 - 3m
\leq 0 \leq 18 - 3m \Leftrightarrow - \frac{2}{3} \leq m \leq 6\) thì \(\min_{\lbrack m;m + 3\rbrack}\left|
x^{3} - 3mx^{2} + 3\left( m^{2} - 1 \right)x - m^{3} \right| =
0\)
Nếu \(\max_{\lbrack m;m +
3\rbrack}f(x).\min_{\lbrack m;m + 3\rbrack}f(x) > 0 \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
m > 6 \\
m < - \frac{2}{3} \\
\end{matrix} \right.\)thì \(\min_{\lbrack m;m + 3\rbrack}\left| x^{3} -
3mx^{2} + 3\left( m^{2} - 1 \right)x - m^{3} \right| = |3m - 8| -
10\).
Ví dụ 4: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \left|
x^{4} - 2x^{2} - m \right|\) trên đoạn \(\lbrack - 1;2\rbrack\) bằng 2. Tổng tất cả các phần tử của S bằng:
| A. -2 | B. 7. | C. 14. | D. 3. |
Hướng dẫn giải
Xét hàm số \(f(x) = x^{4} - 2x^{2} -
m\) trên đoạn [-1;2]
Ta có: \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
x = 1 \\
x = 0 \\
x = - 1 \\
\end{matrix} \right.\)
Mà: \(f(0) = - m;f( - 1) = - m - 1;f(2) = -
m + 8\)
Nên \(\left\{ \begin{matrix}
\min_{\lbrack - 1;2\rbrack}f(x) = - m - 1 \\
\max_{\lbrack - 1;2\rbrack}f(x) = - m + 8 \\
\end{matrix} \right.\)
Nếu \(( - m - 1)( - m + 8) \leq 0
\Leftrightarrow - 1 \leq m \leq 8\) thì \(\min_{\lbrack - 1;2\rbrack}f(x) = 0\) không thỏa mãn bài toán
Nếu \(( - m - 1)( - m + 8) > 0
\leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
m > 8 \\
m < - 1 \\
\end{matrix} \right.\) thì: \(\min_{\lbrack - 1;2\rbrack}{y = min\left\{ | - m +
8|,| - m - 1| \right\} = \frac{| - 2m + 7| - 9}{2}}\).
Theo bài ra \(\min_{\lbrack - 1;2\rbrack}{y =
2\ nên\ \left\lbrack \begin{matrix}
m = - 3 \\
m = 10 \\
\end{matrix} \right.\ }\) (thỏa mãn).
Vậy tổng các phần tử của S là 7.
Ví dụ 5. Cho hàm số \(y = \left| x^{4} -
4x^{3} + 4x^{2} + a \right|\). Gọi \(M\), \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\lbrack 0;2\rbrack\).Có bao nhiêu số nguyên \(a\) thuộc đoạn \(\lbrack - 3;3\rbrack\) sao cho \(M \leq 2m\)?
| A. \(3\). |
B. \(7\). |
C. \(6\). |
D. \(5\). |
Hướng dẫn giải
Đặt \(t = x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2}\), với\(x \in \lbrack 0;2\rbrack\)thì \(t \in \lbrack 0;1\rbrack\).
Xét hàm số \(f(t) = t + a,\ t \in \lbrack
0;1\rbrack\).
Ta thấy \(f(t)\) là hàm tăng trên \(\lbrack 0;1\rbrack\).
\(M = \max_{\lbrack 0;1\rbrack}\left| f(t)
\right| = \frac{f(1) - f(0) + \left| f(1) + f(0) \right|}{2} = \left| a
+ \frac{1}{2} \right| + \frac{1}{2}\).
Nếu \(f(0).f(1) \leq 0\) thì \(m = 0\).
Trường hợp này loại vì \(M \geq\dfrac{1}{2}\forall a\).
Nếu \(f(0).f(1) > 0 \Leftrightarrow a(a
+ 1) > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
a > 0 \\
a < - 1 \\
\end{matrix} \right.\)thì \(m =
\left| a + \frac{1}{2} \right| - \frac{1}{2}\).
\(M \leq 2m \Leftrightarrow \left\{
\begin{matrix}
a \notin [- 1;0]\\
\left| a + \dfrac{1}{2} \right| + \dfrac{1}{2} \leq 2\left( \left| a +
\dfrac{1}{2} \right| - \dfrac{1}{2} \right) \\
\end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
a \geq 1 \\
a \leq - 2 \\
\end{matrix} \right.\).
Từ đây suy ra \(a \in \left\{ - 3; -
2;1;2;3 \right\}\).
(Còn tiếp)
Mời bạn đọc tải trọn bộ tài liệu tham khảo!
