Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Đóng

Điểm danh hàng ngày

Hôm nay +3
Ngày 2 +3
Ngày 3 +3
Ngày 4 +3
Ngày 5 +3
Ngày 6 +3
Ngày 7 +5

Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm! Đăng nhập ngay để nhận điểm

Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169

VnDoc.com

Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối

Chuyên đề Toán 12 có đáp án

Bài trước

Tải về

Bài sau

Lớp: Lớp 12

Môn: Toán

Dạng tài liệu: Chuyên đề

Loại File: Word + PDF

Phân loại: Tài liệu Tính phí

GTNN, GTNN hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối

A. Cách tìm GTLN GTNN của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối
B. Bài tập tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm trị tuyệt đối

Trong chương trình Toán 12 và các kỳ thi tốt nghiệp THPT, dạng toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối là một trong những chuyên đề quan trọng, thường xuất hiện dưới nhiều mức độ từ cơ bản đến vận dụng cao. Không chỉ yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức về hàm số, đạo hàm và tính chất của giá trị tuyệt đối, dạng toán này còn đòi hỏi khả năng phân tích, biến đổi biểu thức và lựa chọn phương pháp giải phù hợp trong từng trường hợp cụ thể.

Để giải tốt các bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, học sinh cần thành thạo kỹ năng phá dấu giá trị tuyệt đối, xét tính đơn điệu của hàm số, vận dụng bất đẳng thức và khai thác hiệu quả bảng biến thiên. Trong bài viết này, chúng tôi tổng hợp hệ thống lý thuyết trọng tâm, các dạng bài tập thường gặp, bài tập trắc nghiệm có đáp án cùng phương pháp giải chi tiết giúp học sinh lớp 12 ôn tập hiệu quả và nâng cao điểm số trong kỳ thi THPT Quốc gia.

A. Cách tìm GTLN GTNN của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối

Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên [a; b], ta có:

$\max_{\lbrack a;b\rbrack}\left| f(x) \right| = \frac{|M + n| + |M - n|}{2}$ $\max_{\lbrack a;b\rbrack}\left| f(x) \right| = \frac{|M + n| + |M - n|}{2}$

$\min_{\lbrack a;b\rbrack}\left| f(x) \right| = \left\{ \begin{matrix} 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ M.n \leq 0 \\ \frac{|M + n| - |M - n|}{2}\ \ \ \ \ \ khi\ M.\ n > 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\min_{\lbrack a;b\rbrack}\left| f(x) \right| = \left\{ \begin{matrix} 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ M.n \leq 0 \\ \frac{|M + n| - |M - n|}{2}\ \ \ \ \ \ khi\ M.\ n > 0 \\ \end{matrix} \right.$

Chứng minh đẳng thức: $\max_{\lbrack a;b\rbrack}\left| f(x) \right| = \frac{|M + m| + |M - m|}{2}$ $\max_{\lbrack a;b\rbrack}\left| f(x) \right| = \frac{|M + m| + |M - m|}{2}$

+ Trường hợp 1: $M \geq m \geq 0$ $M \geq m \geq 0$ thi $f(x) \geq 0\forall x \in \lbrack a;b\rbrack$ $f(x) \geq 0\forall x \in \lbrack a;b\rbrack$.

Từ đó

$max_{\lbrack a;b\rbrack}|f(x)| = max_{\lbrack a;b\rbrack}f(x) = M = max\{ M;m\} = max\{|M|;|m|\}$ $max_{\lbrack a;b\rbrack}|f(x)| = max_{\lbrack a;b\rbrack}f(x) = M = max\{ M;m\} = max\{|M|;|m|\}$

+ Trường hợp 2: $0 > M \geq m$ $0 > M \geq m$ thì $f(x) < 0\forall x \in \lbrack a;b\rbrack$ $f(x) < 0\forall x \in \lbrack a;b\rbrack$.

Từ đó

$|f(x)| = - f(x) \leq - m = max\{ - \mathcal{M;} - m\} = max\{| - M|;| - m|\} = max\{|M|;|m|\}.$ $|f(x)| = - f(x) \leq - m = max\{ - \mathcal{M;} - m\} = max\{| - M|;| - m|\} = max\{|M|;|m|\}.$

Suy ra $max_{\lbrack a;b\rbrack}|f(x)| = max\{|M|;|m|\}$ $max_{\lbrack a;b\rbrack}|f(x)| = max\{|M|;|m|\}$

+ Trường hợp 3: $M > 0 > m$

Với $x$ thỏa mãn $0 \leq f(x) \leq M \Rightarrow |f(x)| \leq |M|$ $0 \leq f(x) \leq M \Rightarrow |f(x)| \leq |M|$

Với x thỏa mãn $m \leq f(x) < 0 \Rightarrow - m \geq - f(x) > 0 \Rightarrow | - m| \geq | - f(x)| \Rightarrow |f(x)| \leq |m|$ $m \leq f(x) < 0 \Rightarrow - m \geq - f(x) > 0 \Rightarrow | - m| \geq | - f(x)| \Rightarrow |f(x)| \leq |m|$

Như vậy $|f(x)| \leq max\{|M|;|m|\}.$ $|f(x)| \leq max\{|M|;|m|\}.$

Suy ra $max_{\lbrack a;b\rbrack}|f(x)| = max\{|M|;|m|\}$ $max_{\lbrack a;b\rbrack}|f(x)| = max\{|M|;|m|\}$

Tóm lại ta có điều phải chứng minh.

Chứng minh đẳng thức: $\min_{\lbrack a;b\rbrack}\left| f(x) \right| = \left\{ \begin{matrix} 0,\ nếu\ M.m \leq 0 \\ \frac{|M + m| - |M - m|}{2},\ nếu\ M.m > 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\min_{\lbrack a;b\rbrack}\left| f(x) \right| = \left\{ \begin{matrix} 0,\ nếu\ M.m \leq 0 \\ \frac{|M + m| - |M - m|}{2},\ nếu\ M.m > 0 \\ \end{matrix} \right.$

Với $m \leq 0 \leq M \Rightarrow$ $m \leq 0 \leq M \Rightarrow$ Phương trình $f(x) = 0$ có nghiệm $x \in \lbrack a;b\rbrack.$ $x \in \lbrack a;b\rbrack.$

Lại có $|f(x)| \geq 0\forall x \in \lbrack a;b\rbrack.$ $|f(x)| \geq 0\forall x \in \lbrack a;b\rbrack.$ Suy ra $min_{\lbrack a;b\rbrack}|f(x)| = 0$ $min_{\lbrack a;b\rbrack}|f(x)| = 0$

Với $Mm > 0$

Không giảm tính tổng quá, giả sử $M \geq m > 0$ $M \geq m > 0$ (Nếu $0 > M \geq m$ $0 > M \geq m$ thì chứng minh
tương tự).

Do đó $f(x) > 0\forall x \in \lbrack a;b\rbrack$ $f(x) > 0\forall x \in \lbrack a;b\rbrack$.

Từ đó ta có $min_{[a; b]}|f(x)| = min_{[a;b]}f(x) = m = min\{M;m\} =min\{|M|:|m|\}$ $min_{[a; b]}|f(x)| = min_{[a;b]}f(x) = m = min\{M;m\} =min\{|M|:|m|\}$

Hệ quả.

Cho hàm số f(x) đơn điệu trên [ $\alpha;\beta\rbrack$ $\alpha;\beta\rbrack$, ta có

$max_{[\alpha;\beta]}|f(x)| =\frac{|f(\alpha) + f(\beta)| + |f(\alpha) - f(\beta)|}{2};$ $max_{[\alpha;\beta]}|f(x)| =\frac{|f(\alpha) + f(\beta)| + |f(\alpha) - f(\beta)|}{2};$

Nếu $f(\alpha) \cdot f(\beta) \leq 0$ $f(\alpha) \cdot f(\beta) \leq 0$ thi $min_{\lbrack\alpha;\beta\rbrack}|f(x)| = 0$ $min_{\lbrack\alpha;\beta\rbrack}|f(x)| = 0$
Nếu $f(\alpha).f(\beta) > 0$ $f(\alpha).f(\beta) > 0$ thì $\min_{\lbrack\alpha;\beta\rbrack}\left| f(x) \right| = \frac{\left| f(\alpha) + f(\beta) \right| - \left| f(\alpha) - f(\beta) \right|}{2}$ $\min_{\lbrack\alpha;\beta\rbrack}\left| f(x) \right| = \frac{\left| f(\alpha) + f(\beta) \right| - \left| f(\alpha) - f(\beta) \right|}{2}$

B. Bài tập tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm trị tuyệt đối

Ví dụ 1. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số thực $m$ sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $y = \left| x^{3} - 3x + m \right|$ $y = \left| x^{3} - 3x + m \right|$ trên đoạn [0; 3] bằng 16. Tính tổng các phần tử của $S$?

A. -16

B. 16.

C. -12

$- 2$

Gợi ý hướng giải toán

Hướng 1. Đề cho $\max_{x \in \lbrack 0;3\rbrack}y = 16$ $\max_{x \in \lbrack 0;3\rbrack}y = 16$, gợi cho chúng ta nhớ đến định nghĩa về GTLN của hàm số. Như vậy, yêu cầu bài toán tương đương với hai điều kiện sau đồng thời xảy ra:

$(1):|x^{3} - 3x + m| \leq 16\forall x \in \lbrack 0;3\rbrack$ $(1):|x^{3} - 3x + m| \leq 16\forall x \in \lbrack 0;3\rbrack$

$(2)$: Phương trình $|x^{3} - 3x + m| = 16$ $|x^{3} - 3x + m| = 16$ có nghiệm $x \in \lbrack 0;3\rbrack$ $x \in \lbrack 0;3\rbrack$.

Điều kiện (1) và (2) là các bài toán quen thuộc.

Điều kiện (1) cho kết quả $- 14 \leq m \leq - 2$ $- 14 \leq m \leq - 2$.

Điều kiện (2) cho kết quả $\left\lbrack \begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} \right.\ \begin{matrix} - 34 \leq m \leq - 14 \\ - 2 \leq m \leq 18 \\ \end{matrix}\ \Rightarrow \ S = \{ - 14; - 2\}$ $\left\lbrack \begin{matrix} \\ \\ \end{matrix} \right.\ \begin{matrix} - 34 \leq m \leq - 14 \\ - 2 \leq m \leq 18 \\ \end{matrix}\ \Rightarrow \ S = \{ - 14; - 2\}$.

Hướng 2. Tìm $\max_{x \in \lbrack 0;3\rbrack}y$ $\max_{x \in \lbrack 0;3\rbrack}y$, vì việc đó sẽ giúp ta giải quyết bài toán:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số thực m sao cho $\max_{x \in \lbrack 0;3\rbrack}y$ $\max_{x \in \lbrack 0;3\rbrack}y$ thỏa mãn điều kiện nào đó.

Từ đây nghĩ đến việc xét bài toán tổng quát:

Xét hàm số $f(x) = x^{3} - 3x + m$ $f(x) = x^{3} - 3x + m$ trên đoạn [0; 3].

Ta có

$f^{$ $f^{'}(x) = 3x^{2} - 3\forall x \in \lbrack 0;3\rbrack;f^{'}(x) = 0$ thõa mãn $x \in \lbrack 0;3\rbrack$ $x \in \lbrack 0;3\rbrack$

$f(0) = m;f(1) = m - 2;f(3) = m + 18.$

Từ đây ta cũng có

$max_{x \in \lbrack 0,3\rbrack}y = max\{|m - 2|;|m + 18|\} \cdot (m + 18 > m > m - 2)$ $max_{x \in \lbrack 0,3\rbrack}y = max\{|m - 2|;|m + 18|\} \cdot (m + 18 > m > m - 2)$

Hướng 3. Thấy biến x và tham số m không dính nhau nên nghĩ đến đổi biến số

Đổi biến $t = x^{3} - 3x$ $t = x^{3} - 3x$, với $x \in \lbrack 0;3\rbrack$ $x \in \lbrack 0;3\rbrack$thì $t \in \lbrack - 2;18\rbrack$ $t \in \lbrack - 2;18\rbrack$

Xét hàm số$f(t) = t + m$với $t \in \lbrack - 2;18\rbrack$ $t \in \lbrack - 2;18\rbrack$.

Vì đồ thị của hàm số $f(t)$ với $t \in \lbrack - 2;18\rbrack$ $t \in \lbrack - 2;18\rbrack$là một đoạn thẳng nên $\max_{x \in \lbrack 0;3\rbrack}y = \max_{t \in \lbrack - 2;18\rbrack}\left| f(t) \right| = \max\left\{ \left| f( - 2) \right|;\left| f(18) \right| \right\} = \max\left\{ |m - 2|;|m + 18| \right\}$ $\max_{x \in \lbrack 0;3\rbrack}y = \max_{t \in \lbrack - 2;18\rbrack}\left| f(t) \right| = \max\left\{ \left| f( - 2) \right|;\left| f(18) \right| \right\} = \max\left\{ |m - 2|;|m + 18| \right\}$.

Xét trường hợp 1: $|m - 2| = 16 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 18 \\ m = - 14 \\ \end{matrix} \right.$ $|m - 2| = 16 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 18 \\ m = - 14 \\ \end{matrix} \right.$ (Loại m = 18).

Trường hợp 2: $|m + 18| = 16\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m = -2\\m = - 34 \\\end{matrix} \right.$ $|m + 18| = 16\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}m = -2\\m = - 34 \\\end{matrix} \right.$ (Loại m = - 34)

Hướng dẫn giải chi tiết

Ta có: $\max_{x \in \lbrack 0;3\rbrack}y = \max_{t \in \lbrack - 2;18\rbrack}\left| f(t) \right| = \max\left\{ \left| f( - 2) \right|;\left| f(18) \right| \right\} = \max\left\{ |m - 2|;|m + 18| \right\}$ $\max_{x \in \lbrack 0;3\rbrack}y = \max_{t \in \lbrack - 2;18\rbrack}\left| f(t) \right| = \max\left\{ \left| f( - 2) \right|;\left| f(18) \right| \right\} = \max\left\{ |m - 2|;|m + 18| \right\}$

$\max_{x \in \lbrack 0;3\rbrack}y = \max_{t \in \lbrack - 2;18\rbrack}\left| f(t) \right|$ $\max_{x \in \lbrack 0;3\rbrack}y = \max_{t \in \lbrack - 2;18\rbrack}\left| f(t) \right|$ = $\frac{|m - 2 + m + 18| + |m - 2 - m - 18|}{2}$ $\frac{|m - 2 + m + 18| + |m - 2 - m - 18|}{2}$= $|m + 8| + 10 = 16$

$\Leftrightarrow m=-14$ $\Leftrightarrow m=-14$ hoặc $m = - 2$.

Ví dụ 2. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số thực $m$sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = \left| x^{2} - 2x + m \right|$ $f(x) = \left| x^{2} - 2x + m \right|$trên đoạn $\lbrack 0;3\rbrack$ $\lbrack 0;3\rbrack$bằng $5$.Tổng các phần tử của $S$ bằng:

$- 2$.

$2$.

$- 12$.

$8$.

Hướng dẫn giải

Đồ thị của hàm số $y = x^{2} - 2x + m$ $y = x^{2} - 2x + m$ là Parabol có bề lõm quay lên và nhận điểm $P(1;m - 1)$làm đỉnh.

Ta có $y(0) = m$, $y_{P} = m - 1$ $y_{P} = m - 1$, $y(3) = m + 3$.

Rõ ràng với mọi giá trị của $m$thì $m - 1 < m < m + 3$.

Vì $x_{P} = 1 \in \lbrack 0;3\rbrack$ $x_{P} = 1 \in \lbrack 0;3\rbrack$ nên $\max_{[0;3]}f(x) = \max\left\{ \left| y(0) \right|;\left| y_{P}\right|;\left| y(3) \right| \right\}$ $\max_{[0;3]}f(x) = \max\left\{ \left| y(0) \right|;\left| y_{P}\right|;\left| y(3) \right| \right\}$ $= \max\left\{ |m + 3|;|m - 1|\right\} = |m + 1| + 2$ $= \max\left\{ |m + 3|;|m - 1|\right\} = |m + 1| + 2$.

$\max_{\lbrack 0;3\rbrack}f(x) = 5 \Leftrightarrow |m + 1| + 2 = 5 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 4 \\ m = 2 \\ \end{matrix} \right.$ $\max_{\lbrack 0;3\rbrack}f(x) = 5 \Leftrightarrow |m + 1| + 2 = 5 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = - 4 \\ m = 2 \\ \end{matrix} \right.$.

Vậy $S = \left\{ - 4;2 \right\}$ $S = \left\{ - 4;2 \right\}$.

Ví dụ 3. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số thực $m$sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $y = \left| x^{3} - 3mx^{2} + 3\left( m^{2} - 1 \right)x - m^{3} \right|$ $y = \left| x^{3} - 3mx^{2} + 3\left( m^{2} - 1 \right)x - m^{3} \right|$trên đoạn $\lbrack m;m + 3\rbrack$ $\lbrack m;m + 3\rbrack$bằng $16$.Tổng các phần tử của $S$ bằng

A. $\frac{16}{3}$ $\frac{16}{3}$.

B. $\frac{14}{3}$ $\frac{14}{3}$.

C. $\frac{19}{3}$ $\frac{19}{3}$.

D. $\frac{20}{3}$ $\frac{20}{3}$.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số $f(x) = x^{3} - 3mx^{2} + 3\left( m^{2} - 1 \right)x - m^{3},\ x \in \lbrack m;m + 3\rbrack$ $f(x) = x^{3} - 3mx^{2} + 3\left( m^{2} - 1 \right)x - m^{3},\ x \in \lbrack m;m + 3\rbrack$.

Ta có $f(x) = (x - m)^{3} - 3x$ $f(x) = (x - m)^{3} - 3x$; $f'(x) = 3\left\lbrack (x - m)^{2} - 1 \right\rbrack,\ \forall x \in \lbrack m;m + 3\rbrack$; $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = m + 1$; $f(m) = - 3m$; $f(m + 1) = - 2 - 3m$; $f(m + 3) = 18 - 3m$.

Suy ra $\max_{\lbrack m;m + 3\rbrack}f(x) = 18 - 3m$ $\max_{\lbrack m;m + 3\rbrack}f(x) = 18 - 3m$; $\min_{\lbrack m;m + 3\rbrack}f(x) = - 2 - 3m$ $\min_{\lbrack m;m + 3\rbrack}f(x) = - 2 - 3m$.

$\max_{\lbrack m;m + 3\rbrack}\left| f(x)\right| = \max\left\{ |18 - 3m|;| - 2 - 3m| \right\}$ $\max_{\lbrack m;m + 3\rbrack}\left| f(x)\right| = \max\left\{ |18 - 3m|;| - 2 - 3m| \right\}$

$= \frac{(18 - 3m) - ( - 2 - 3m) + \left| (18 - 3m) + ( - 2 - 3m) \right|}{2} = |3m - 8| + 10$ $= \frac{(18 - 3m) - ( - 2 - 3m) + \left| (18 - 3m) + ( - 2 - 3m) \right|}{2} = |3m - 8| + 10$.

$\max_{\lbrack m;m + 3\rbrack}y = 16 \Leftrightarrow |3m - 8| + 10 = 16 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = \dfrac{14}{3} \\ m = \dfrac{2}{3} \\ \end{matrix} \right.$ $\max_{\lbrack m;m + 3\rbrack}y = 16 \Leftrightarrow |3m - 8| + 10 = 16 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = \dfrac{14}{3} \\ m = \dfrac{2}{3} \\ \end{matrix} \right.$.

Nhận xét:

Tìm $\min_{\lbrack m;m + 3\rbrack}\left| x^{3} - 3mx^{2} + 3\left( m^{2} - 1 \right)x - m^{3} \right|$ $\min_{\lbrack m;m + 3\rbrack}\left| x^{3} - 3mx^{2} + 3\left( m^{2} - 1 \right)x - m^{3} \right|$như sau:

Nếu $\min_{\lbrack m;m + 3\rbrack}f(x) \leq 0 \leq \max_{\lbrack m;m + 3\rbrack}f(x)$ $\min_{\lbrack m;m + 3\rbrack}f(x) \leq 0 \leq \max_{\lbrack m;m + 3\rbrack}f(x)$ $\Leftrightarrow - 2 - 3m \leq 0 \leq 18 - 3m \Leftrightarrow - \frac{2}{3} \leq m \leq 6$ $\Leftrightarrow - 2 - 3m \leq 0 \leq 18 - 3m \Leftrightarrow - \frac{2}{3} \leq m \leq 6$ thì $\min_{\lbrack m;m + 3\rbrack}\left| x^{3} - 3mx^{2} + 3\left( m^{2} - 1 \right)x - m^{3} \right| = 0$ $\min_{\lbrack m;m + 3\rbrack}\left| x^{3} - 3mx^{2} + 3\left( m^{2} - 1 \right)x - m^{3} \right| = 0$

Nếu $\max_{\lbrack m;m + 3\rbrack}f(x).\min_{\lbrack m;m + 3\rbrack}f(x) > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m > 6 \\ m < - \frac{2}{3} \\ \end{matrix} \right.$ $\max_{\lbrack m;m + 3\rbrack}f(x).\min_{\lbrack m;m + 3\rbrack}f(x) > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m > 6 \\ m < - \frac{2}{3} \\ \end{matrix} \right.$thì $\min_{\lbrack m;m + 3\rbrack}\left| x^{3} - 3mx^{2} + 3\left( m^{2} - 1 \right)x - m^{3} \right| = |3m - 8| - 10$ $\min_{\lbrack m;m + 3\rbrack}\left| x^{3} - 3mx^{2} + 3\left( m^{2} - 1 \right)x - m^{3} \right| = |3m - 8| - 10$.

Ví dụ 4: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \left| x^{4} - 2x^{2} - m \right|$ $y = \left| x^{4} - 2x^{2} - m \right|$ trên đoạn $\lbrack - 1;2\rbrack$ $\lbrack - 1;2\rbrack$ bằng 2. Tổng tất cả các phần tử của S bằng:

A. -2

B. 7.

C. 14.

D. 3.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số $f(x) = x^{4} - 2x^{2} - m$ $f(x) = x^{4} - 2x^{2} - m$ trên đoạn [-1;2]

Ta có: $f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 1 \\ x = 0 \\ x = - 1 \\ \end{matrix} \right.$

Mà: $f(0) = - m;f( - 1) = - m - 1;f(2) = - m + 8$

Nên $\left\{ \begin{matrix} \min_{\lbrack - 1;2\rbrack}f(x) = - m - 1 \\ \max_{\lbrack - 1;2\rbrack}f(x) = - m + 8 \\ \end{matrix} \right.$ $\left\{ \begin{matrix} \min_{\lbrack - 1;2\rbrack}f(x) = - m - 1 \\ \max_{\lbrack - 1;2\rbrack}f(x) = - m + 8 \\ \end{matrix} \right.$

Nếu $( - m - 1)( - m + 8) \leq 0 \Leftrightarrow - 1 \leq m \leq 8$ $( - m - 1)( - m + 8) \leq 0 \Leftrightarrow - 1 \leq m \leq 8$ thì $\min_{\lbrack - 1;2\rbrack}f(x) = 0$ $\min_{\lbrack - 1;2\rbrack}f(x) = 0$ không thỏa mãn bài toán

Nếu $( - m - 1)( - m + 8) > 0 \leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m > 8 \\ m < - 1 \\ \end{matrix} \right.$ $( - m - 1)( - m + 8) > 0 \leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m > 8 \\ m < - 1 \\ \end{matrix} \right.$ thì: $\min_{\lbrack - 1;2\rbrack}{y = min\left\{ | - m + 8|,| - m - 1| \right\} = \frac{| - 2m + 7| - 9}{2}}$ $\min_{\lbrack - 1;2\rbrack}{y = min\left\{ | - m + 8|,| - m - 1| \right\} = \frac{| - 2m + 7| - 9}{2}}$.
Theo bài ra $\min_{\lbrack - 1;2\rbrack}{y = 2\ nên\ \left\lbrack \begin{matrix} m = - 3 \\ m = 10 \\ \end{matrix} \right.\ }$ $\min_{\lbrack - 1;2\rbrack}{y = 2\ nên\ \left\lbrack \begin{matrix} m = - 3 \\ m = 10 \\ \end{matrix} \right.\ }$ (thỏa mãn).

Vậy tổng các phần tử của S là 7.

Ví dụ 5. Cho hàm số $y = \left| x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} + a \right|$ $y = \left| x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} + a \right|$. Gọi $M$, $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\lbrack 0;2\rbrack$ $\lbrack 0;2\rbrack$.Có bao nhiêu số nguyên $a$ thuộc đoạn $\lbrack - 3;3\rbrack$ $\lbrack - 3;3\rbrack$ sao cho $M \leq 2m$ $M \leq 2m$?

$3$.

$7$.

$6$.

$5$.

Hướng dẫn giải

Đặt $t = x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2}$ $t = x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2}$, với $x \in \lbrack 0;2\rbrack$ $x \in \lbrack 0;2\rbrack$thì $t \in \lbrack 0;1\rbrack$ $t \in \lbrack 0;1\rbrack$.

Xét hàm số $f(t) = t + a,\ t \in \lbrack 0;1\rbrack$ $f(t) = t + a,\ t \in \lbrack 0;1\rbrack$.

Ta thấy $f(t)$ là hàm tăng trên $\lbrack 0;1\rbrack$ $\lbrack 0;1\rbrack$.

$M = \max_{\lbrack 0;1\rbrack}\left| f(t) \right| = \frac{f(1) - f(0) + \left| f(1) + f(0) \right|}{2} = \left| a + \frac{1}{2} \right| + \frac{1}{2}$ $M = \max_{\lbrack 0;1\rbrack}\left| f(t) \right| = \frac{f(1) - f(0) + \left| f(1) + f(0) \right|}{2} = \left| a + \frac{1}{2} \right| + \frac{1}{2}$.

Nếu $f(0).f(1) \leq 0$ $f(0).f(1) \leq 0$ thì $m = 0$.

Trường hợp này loại vì $M \geq\dfrac{1}{2}\forall a$ $M \geq\dfrac{1}{2}\forall a$.

Nếu $f(0).f(1) > 0 \Leftrightarrow a(a + 1) > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a > 0 \\ a < - 1 \\ \end{matrix} \right.$ $f(0).f(1) > 0 \Leftrightarrow a(a + 1) > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a > 0 \\ a < - 1 \\ \end{matrix} \right.$thì $m = \left| a + \frac{1}{2} \right| - \frac{1}{2}$ $m = \left| a + \frac{1}{2} \right| - \frac{1}{2}$.

$M \leq 2m \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \notin [- 1;0]\\ \left| a + \dfrac{1}{2} \right| + \dfrac{1}{2} \leq 2\left( \left| a + \dfrac{1}{2} \right| - \dfrac{1}{2} \right) \\ \end{matrix} \right.$ $M \leq 2m \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a \notin [- 1;0]\\ \left| a + \dfrac{1}{2} \right| + \dfrac{1}{2} \leq 2\left( \left| a + \dfrac{1}{2} \right| - \dfrac{1}{2} \right) \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a \geq 1 \\ a \leq - 2 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a \geq 1 \\ a \leq - 2 \\ \end{matrix} \right.$.

Từ đây suy ra $a \in \left\{ - 3; - 2;1;2;3 \right\}$ $a \in \left\{ - 3; - 2;1;2;3 \right\}$.

📚 Phần tiếp theo của tài liệu đã được tổng hợp trong file đính kèm, mời bạn tải về để đọc tiếp.

----------------------------------------------------------------

Chuyên đề tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối không chỉ giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số và đạo hàm mà còn rèn luyện tư duy phân tích, kỹ năng xử lý các bài toán cực trị thường gặp trong đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán. Việc nắm vững các phương pháp phá dấu giá trị tuyệt đối, xét khoảng biến thiên và đánh giá biểu thức sẽ giúp học sinh giải nhanh, chính xác nhiều dạng bài từ cơ bản đến nâng cao.

Hy vọng hệ thống lý thuyết, ví dụ minh họa và bài tập tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối có đáp án trong bài viết sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho quá trình ôn thi THPT Quốc gia. Đừng quên luyện tập thường xuyên các dạng toán liên quan đến GTLN, GTNN của hàm số để nâng cao kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt trong các kỳ kiểm tra, thi thử cũng như kỳ thi tốt nghiệp THPT sắp tới.

Luyện tập mở rộng

Tải về

Chọn file muốn tải về: