Tìm m để hàm số có tiệm cận ngang

Giải toán 12

3 25.688

Cách tìm tiệm cận ngang của hàm số

A. Phương pháp giải
B. Công thức tính tiệm cận ngang của hàm phân thức hữu tỉ:
C. Công thức tính tiệm cận ngang của hàm phân thức vô tỷ
D. Bài tập vận dụng

Để giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập tốt hơn môn Toán, VnDoc xin mời các bạn tham khảo tài liệu Tìm tiệm cận ngang của hàm số. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả. Mời các bạn cùng theo dõi bài viết.

Tìm m để hàm số có tiệm cận ngang

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

A. Phương pháp giải

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính các giới hạn của hàm số đó tại vô cực (nếu có). Từ đó xác định đường tιệm cận ngang.

B. Công thức tính tiệm cận ngang của hàm phân thức hữu tỉ:

Tìm m để hàm số có tiệm cận ngang

C. Công thức tính tiệm cận ngang của hàm phân thức vô tỷ

Tìm m để hàm số có tiệm cận ngang

D. Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Tìm tất cả giá trị tham số m sao cho đồ thị hàm số $y = \frac{{2x - \sqrt {\left( {m - 1} \right){x^2} + 1} }}{{x - 1}}$ có đúng hai tiệm cận ngang.

A. $m \in \left[ {1;4} \right]$	B. $m > 1$
C. $m < 1$	D. $m \in \left( {1;4} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)$

Hướng dẫn giải

Để hàm số xác định trên $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$ thì $m - 1 \geqslant 0 \Leftrightarrow m \geqslant 1$

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{2x - \sqrt {\left( {m - 1} \right){x^2} + 1} }}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\dfrac{{2x - \sqrt {\left( {m - 1} \right){x^2} + 1} }}{x}}}{{\dfrac{{x - 1}}{x}}} = 2 - \sqrt {m - 1}$

$\Rightarrow y = 2 - \sqrt {m - 1}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - \sqrt {\left( {m - 1} \right){x^2} + 1} }}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\dfrac{{2x - \sqrt {\left( {m - 1} \right){x^2} + 1} }}{x}}}{{\dfrac{{x - 1}}{x}}} = 2 + \sqrt {m - 1}$

$\Rightarrow y = 2 + \sqrt {m - 1}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Để đồ thị có hai tiệm cận ngang $\Leftrightarrow \sqrt {m - 1} \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1$

Vậy m > 1

Đáp án D

Bài tập 2: Tìm tất cả giá trị tham số m sao cho đồ thị hàm số $y = \frac{{\sqrt {\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + x + 2} }}{{x + 1}}$ có đúng một tiệm cận ngang.

A. $m > 1$	B. $m < 1$
C. $m = \pm 1$	D. $\forall m \in \mathbb{R}$

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: $x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 1$

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + x + 2} }}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + x + 2} }}{x}}}{{\dfrac{{x + 1}}{x}}} = \sqrt {{m^2} - 1}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + x + 2} }}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + x + 2} }}{x}}}{{\dfrac{{x + 1}}{x}}} = - \sqrt {{m^2} - 1}$

Để đồ thị có duy nhất một tiệm cận ngang

$\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} - 1} = - \sqrt {{m^2} - 1} \hfill \\ \Leftrightarrow m = \pm 1 \hfill \\ \end{gathered}$

Đáp án C

Bài tập 3: Cho đồ thị hàm số $y = \sqrt {m{x^2} + 2x} - x$ . Tìm tất cả giá trị tham số m để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.

A. $m > 0$	B. $m = - 2$
C. $m = \pm 1$	D. $m = \left\{ {1; - 2} \right\}$

Hướng dẫn giải

Ta có: $y = \sqrt {m{x^2} + 2x} - x = \frac{{m{x^2} + 2x - {x^2}}}{{\sqrt {m{x^2} + 2x} + x}} = \frac{{\left( {m - 1} \right){x^2} + 2x}}{{\sqrt {m{x^2} + 2x} + x}}$

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi và chỉ khi bậc của tử bé hơn bậc của mẫu và tồn tại

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 0} \\ {m - 1 = 0} \end{array} \Leftrightarrow m = 1} \right.$

Đáp án A

Bài tập 4: Cho hàm số Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số có tiệm cận . Đồ thị hàm số nhận trục hoành và trục tung làm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng. Tính giá trị biểu thức P = m + n.