Tìm m để hàm số có tiệm cận ngang
Tìm tham số m để hàm số có tiệm cận
Trong chương trình Toán 12, chuyên đề về đường tiệm cận của đồ thị hàm số là một nội dung quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học kỳ và đặc biệt là kỳ thi THPT Quốc gia. Một trong những dạng bài hay gặp chính là yêu cầu tìm tham số m để hàm số có tiệm cận ngang. Đây là dạng toán vừa kiểm tra khả năng nắm vững kiến thức lý thuyết, vừa đánh giá kỹ năng biến đổi đại số và tư duy phân tích của học sinh.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cách nhận biết tiệm cận ngang, điều kiện để hàm số có tiệm cận ngang và đặc biệt là cách tìm tham số m để hàm số có tiệm cận ngang một cách nhanh chóng và chính xác. Bên cạnh đó, bài viết còn cung cấp ví dụ minh họa chi tiết và hướng dẫn từng bước giải để giúp bạn nắm vững dạng toán này.
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.
A. Cách tìm tiệm cận ngang
- Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.
- Bước 2. Tính các giới hạn của hàm số đó tại vô cực (nếu có). Từ đó xác định đường tιệm cận ngang.
B. Điều kiện để hàm số có tiệm cận ngang
- Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
\(\lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) =
y_{0};\lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = y_{0}\)
- Để tồn tại các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{ax + b}{cx + d}\) thì \(\left\{ \begin{matrix}
c \neq 0 \\
ad - bc \neq 0 \\
\end{matrix} \right.\)
- Khi đó phương trình đường tiệm cận ngang là \(y = \frac{a}{c}\).
- Điều kiện để đồ thị hàm số \(y =
\frac{f(x)}{g(x)}\) có tiệm cận ngang là bậc f(x) không lớn hơn bậc của g(x).
C. Công thức tính tiệm cận ngang của hàm phân thức hữu tỉ
D. Công thức tính tiệm cận ngang của hàm phân thức vô tỷ
D. Bài tập tìm tham số m để hàm số có tiệm cận ngang
Bài tập 1: Tìm tất cả giá trị tham số m sao cho đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - \sqrt {\left( {m - 1} \right){x^2} + 1} }}{{x - 1}}\) có đúng hai tiệm cận ngang.
| A. \(m \in \left[ {1;4} \right]\) |
B. \(m > 1\) |
| C. \(m < 1\) |
D. \(m \in \left( {1;4} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\) |
Hướng dẫn giải
Để hàm số xác định trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) thì \(m - 1 \geqslant 0 \Leftrightarrow m \geqslant 1\)
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{2x - \sqrt {\left( {m - 1} \right){x^2} + 1} }}{{x - 1}}\)\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\dfrac{{2x - \sqrt {\left( {m - 1} \right){x^2} + 1} }}{x}}}{{\dfrac{{x - 1}}{x}}} = 2 - \sqrt {m - 1}\)
\(\Rightarrow y = 2 - \sqrt {m - 1}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - \sqrt {\left( {m - 1} \right){x^2} + 1} }}{{x - 1}}\)\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\dfrac{{2x - \sqrt {\left( {m - 1} \right){x^2} + 1} }}{x}}}{{\dfrac{{x - 1}}{x}}} = 2 + \sqrt {m - 1}\)
\(\Rightarrow y = 2 + \sqrt {m - 1}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Để đồ thị có hai tiệm cận ngang \(\Leftrightarrow \sqrt {m - 1} \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1\)
Vậy m > 1
Đáp án D
Bài tập 2: Tìm tất cả giá trị tham số m sao cho đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + x + 2} }}{{x + 1}}\) có đúng một tiệm cận ngang.
| A. \(m > 1\) |
B. \(m < 1\) |
| C. \(m = \pm 1\) |
D. \(\forall m \in \mathbb{R}\) |
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định: \(x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 1\)
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + x + 2} }}{{x + 1}}\)\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + x + 2} }}{x}}}{{\dfrac{{x + 1}}{x}}} = \sqrt {{m^2} - 1}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + x + 2} }}{{x + 1}}\)\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + x + 2} }}{x}}}{{\dfrac{{x + 1}}{x}}} = - \sqrt {{m^2} - 1}\)
Để đồ thị có duy nhất một tiệm cận ngang
\(\begin{matrix}
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) \hfill \\
\Leftrightarrow \sqrt {{m^2} - 1} = - \sqrt {{m^2} - 1} \hfill \\
\Leftrightarrow m = \pm 1 \hfill \\
\end{matrix}\)
Đáp án C
Bài tập 3: Cho đồ thị hàm số \(y = \sqrt {m{x^2} + 2x} - x\). Tìm tất cả giá trị tham số m để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang.
| A. \(m > 0\) |
B. \(m = - 2\) |
| C. \(m = \pm 1\) |
D. \(m = \left\{ {1; - 2} \right\}\) |
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(y = \sqrt {m{x^2} + 2x} - x = \frac{{m{x^2} + 2x - {x^2}}}{{\sqrt {m{x^2} + 2x} + x}}\)\(= \frac{{\left( {m - 1} \right){x^2} + 2x}}{{\sqrt {m{x^2} + 2x} + x}}\)
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi và chỉ khi bậc của tử bé hơn bậc của mẫu và tồn tại
\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m > 0} \\
{m - 1 = 0}
\end{array} \Leftrightarrow m = 1} \right.\)
Đáp án A
Bài tập 4: Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{(2m - 1)x + 1}{x - m}\) có đường tiệm cận ngang là \(y = 3\) ?
Hướng dẫn giải
Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là:
\(- m(2m - 1) - 1 \neq 0 \Rightarrow 2m^{2}
- m + 1 \neq 0\) luôn đúng với \(\forall x\mathbb{\in R}\)
Phương trình đường tiệm cận ngang là \(y =
2m - 1\) nên ta có \(2x - 1 = 3
\Rightarrow m = 2\)
Bài tập 5: Cho hàm số \(y = 2x + \sqrt{mx^{2} -
x + 1} + 1\) . Tìm giá trị của tham số \(m\) sao cho đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang?
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\begin{matrix}
y = (2x + 1) + \sqrt {m{x^2} - x + 1} \hfill \\
\Rightarrow y = \dfrac{{4{x^2} + 4x + 1 - \left( {m{x^2} - x + 1} \right)}}{{2x + 1 - \sqrt {m{x^2} - x + 1} }} \hfill \\
\Rightarrow y = \dfrac{{(4 - m){x^2} + 5x}}{{2x + 1 - \sqrt {m{x^2} - x + 1} }} \hfill \\
\end{matrix}\)
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi và chỉ khi bậc của tử số bé hơn hoặc bằng bậc của mẫu số
Đồng thời \(\lim_{x \rightarrow \infty}y =
y_{0} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
m > 0 \\
4 - m = 0 \\
\end{matrix} \Rightarrow m = 4 \right.\)
Bài tập 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{x + 2}{x^{2} - 4x + m}\) có đúng một tiệm cận ngang và đúng một tiệm cận đứng.
A. \(m < 4.\) B. \(m > 4.\)
C. \(m = 4,m = - 12.\) D. \(m \neq 4.\)
Hướng dẫn giải
Ta có \(\lim_{x \rightarrow \pm
\infty}\frac{x + 2}{x^{2} - 4x + m} = 0 \rightarrow y = 0\) là tiệm cận ngang với mọi \(m.\)
Để đồ thị hàm số \(y = \frac{x + 2}{x^{2} -
4x + m}\) có đúng một tiệm cận ngang và đúng một tiệm cận đứng \(\Leftrightarrow\)Phương trình \(x^{2} - 4x + m = 0\) có nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng \(- 2\)
\(\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
\Delta' = 4 - m = 0 \\
\left\{ \begin{matrix}
\Delta' = 4 - m > 0 \\
( - 2)^{2} - 4( - 2) + m = 0 \\
\end{matrix} \right.\ \\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
m = 4 \\
m = - 12 \\
\end{matrix} \right.\)
Bài tập 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{x + 2}{x^{2} - 4x + m}\) có tiệm cận ngang mà không có tiệm cận đứng.
A. \(m = - 12.\) B. \(m > 4.\) C. \(m = - 12,m > 4.\) D. \(m \neq 4.\)
Hướng dẫn giải
Ta có \(\lim_{x \rightarrow \pm
\infty}\frac{x + 2}{x^{2} - 4x + m} = 0y = 0\) là tiệm cận ngang với mọi \(m\).
Do đó để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang mà không có tiệm cận đứng thì phương trình \(x^{2} - 4x + m = 0\) vô nghiệm \(\Leftrightarrow \ \ \Delta'
< 0\ \ \Leftrightarrow \ \ m > 4\).
Nhận xét. Bạn đọc dễ nhầm lẫn mà xét thêm trường hợp mẫu thức \(x^{2} - 4x + m = 0\) có nghiệm \(x = - 2 \rightarrow m = - 12\). Điều này là sai, vì với \(m = - 12\) thì hàm số trở thành \(y = \frac{1}{x - 6}\). Đồ thị này vẫn còn tiệm cận đứng là \(x =
6\).
Bài tập 8: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho đồ thị của hàm số \(y = \frac{x + 1}{\sqrt{mx^{2} + 1}}\) có hai tiệm cận ngang.
A. Không có giá trị thực nào của \(m\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
B. \(m < 0\). C. \(m = 0\). D. \(m > 0\).
Hướng dẫn giải
Khi \(m > 0,\) ta có:
\(\lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{x +
1}{\sqrt{mx^{2} + 1}} = \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{1 +
\frac{1}{x}}{\sqrt{m + \frac{1}{x^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{m}}
\rightarrow y = \frac{1}{\sqrt{m}}\) là TCN ;
\(\lim_{x \rightarrow - \infty}y = \lim_{x
\rightarrow - \infty}\frac{x\left( 1 + \frac{1}{x} \right)}{|x|\sqrt{m +
\frac{1}{x^{2}}}} = \frac{- 1 - \frac{1}{x}}{\sqrt{m + \frac{1}{x^{2}}}}
= - \frac{1}{\sqrt{m}} \rightarrow y = - \frac{1}{\sqrt{m}}\) là TCN.
Với \(m = 0\) suy \(y = \frac{x + 1}{1}\) suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận.
Với \(m < 0\) thì hàm số có TXĐ là một đoạn nên đồ thị hàm số không có TCN.
Vậy với \(m > 0\) thì đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang.
Bài tập 9: Biết đồ thị hàm số \(y = \frac{(2m -
n)x^{2} + mx + 1}{x^{2} + mx + n - 6}\) nhận trục hoành và trục tung làm hai tiệm cận. Tính giá trị m + n?
Gợi ý:
Điều kiện để đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{f(x)}{g(x)}\) là x0 là nghiệm của g(x) nhưng không là nghiệm của f(x) hoặc x0 là nghiệm bội n của g(x) đồng thời là nghiệm bội m của f(x) và m < n.
Hướng dẫn giải
Điều kiện \(x^{2} + mx + n - 6 \neq
0\)
Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là \(y = 2m - n\)
=> \(2m - n = 0(*)\)
Đặt \(\left\{ \begin{matrix}
f(x) = (2m - n)x^{2} + mx + 1 \\
g(x) = x^{2} + mx + n - 6 \\
\end{matrix} \right.\)
Nhận thấy \(f(x) \neq 0\) với mọi m, n nên đồ thị nhận trục tung x = 0 làm tiệm cận đứng thì g(0) = 0
=> n – 6 = 0 => n = 6
Kết hợp với (*) => m = 3
Vậy m + n = 9.
Bài tập 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{x - 3}{x + \sqrt{mx^{2} + 4}}\) có đúng một tiệm cận ngang.
A. \(m = 0,m = 1.\) B. \(m \geq 0.\) C. \(m = 1.\) D. \(m =0.\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\lim_{x \rightarrow + \infty}y = \lim_{x
\rightarrow + \infty}\frac{x - 3}{x + \sqrt{mx^{2} + 4}} = \frac{1}{1 +
\sqrt{m}}\) với \(m \geq
0\);
\(\lim_{x \rightarrow - \infty}y = \lim_{x
\rightarrow - \infty}\frac{x - 3}{x + \sqrt{mx^{2} + 4}} = \frac{1}{1 -
\sqrt{m}}\) với \(m \geq 0,m \neq
1.\)
Nếu \(m = 1\) thì \(\lim_{x \rightarrow - \infty}y = \lim_{x
\rightarrow - \infty}\frac{(x - 3)\left( \sqrt{x^{2} + 4} - x
\right)}{4}\)
\(= \lim_{x \rightarrow -
\infty}x^{2}.\frac{\left( 1 - \frac{3}{x} \right)\left( - \sqrt{1 +
\frac{4}{x^{2}}} - 1 \right)}{4} = - \infty\) suy ra hàm số chỉ có đúng một tiệm cận ngang là \(y =
\frac{1}{2}\) (Do\(\lim_{x \rightarrow
+ \infty}y = \frac{1}{2}\) khi \(m =
1\))
Do đó giá trị \(m = 1\) thỏa yêu cầu bài toán.
Nếu \(\left\{ \begin{matrix}
m \geq 0 \\
m \neq 1
\end{matrix} \right.\), để đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang \(\Leftrightarrow \frac{1}{1 + \sqrt{m}} =
\frac{1}{1 - \sqrt{m}} \Leftrightarrow m = 0.\)
Vậy \(m = 0,m = 1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài tập 11: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{x^{2} + 2}{\sqrt{mx^{4} + 3}}\) có đường tiệm cận ngang.
A. \(m = 0\) B. \(m < 0\) C. \(m > 0\) D. \(m \geq 0\)
Hướng dẫn giải
Đồ thị hàm số \(y = \frac{x^{2} +
2}{\sqrt{mx^{4} + 3}}\) có đường tiệm cận ngang khi và chỉ khi các giới hạn \(\lim_{x \rightarrow +
\infty}y\) và \(\lim_{x \rightarrow -
\infty}y\) tồn tại hữu hạn.
Ta có:
Với \(m = 0\overset{}{\rightarrow}y =
\frac{x^{2} + 2}{\sqrt{3}}\).
Khi đó \(\left\{ \begin{matrix}
\lim_{x \rightarrow + \infty}y = + \infty \\
\lim_{x \rightarrow - \infty}y = + \infty
\end{matrix} \right.\) suy ra đồ thị không có tiệm cận ngang.
Với \(m < 0\), khi đó hàm số có tập xác định: \(D = \left( - \sqrt[4]{-
\frac{3}{m}};\sqrt[4]{- \frac{3}{m}} \right)\) nên ta không xét trường hợp \(x \rightarrow + \infty\) hay \(x \rightarrow - \infty\) được.
Do đó hàm số không có tiệm cận ngang.
Với \(m > 0\), khi đó hàm số có tập xác định \(D\mathbb{= R}\) và \(\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{x^{2}\left( 1
+ \frac{2}{x^{2}} \right)}{x^{2}\sqrt{m + \frac{3}{x^{4}}}} = \lim_{x
\rightarrow \pm \infty}\frac{1 + \frac{2}{x^{2}}}{\sqrt{m +
\frac{3}{x^{4}}}} = \frac{1}{\sqrt{m}}\)
\(\rightarrow y =
\frac{1}{\sqrt{m}}\) là tiệm cận ngang.
Bài tập 12. Tìm trên đồ thị hàm số \(y =
\frac{2x + 1}{x - 1}\) những điểm \(M\) sao cho khoảng cách từ điểm \(M\) đến tiệm cận đứng bằng ba lần khoảng cách từ \(M\) đến tiệm cận ngang của đồ thị.
A. \(M\left( - 4;\frac{7}{5}
\right)\) hoặc \(M(2;5)\). B. \(M(4;3)\) hoặc \(M( - 2;1)\).
C. \(M(4;3)\) hoặc \(M(2;5)\). D. \(M\left( -
4;\frac{7}{5} \right)\) hoặc \(M( -
2;1)\).
Hướng dẫn giải
Gọi \(M\left( a\ ;\ \frac{2a + 1}{a - 1}
\right)\) với \(a \neq 1\) là điểm thuộc đồ thị.
Đường tiệm cận đứng \(d:x = 1\ ;\) đường tiệm cận ngang \(d':y =
2\).
Theo yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow \ \
d\lbrack M,d\rbrack = 3d\left\lbrack M,d' \right\rbrack\\)
\(\Leftrightarrow \ \ |a - 1| = 3\left|
\frac{2a + 1}{a - 1} - 2 \right|\\)
\(\Leftrightarrow \ \ (a - 1)^{2} = 9\
\ \Leftrightarrow \ \ \left\lbrack \begin{matrix}
a = 4 \\
a = - 2
\end{matrix} \right.\ \ \ \Rightarrow \ \ \left\lbrack \begin{matrix}
M(4\ ;\ 3) \\
M( - 2\ ;\ 1)
\end{matrix} \right.\) .
Áp dụng công thức giải nhanh. \(\left|
\frac{cx_{0} + d}{c} \right| = k\left| \frac{ad - bc}{c\left( cx_{0} + d
\right)} \right| \rightarrow x_{0} = - \frac{d}{c} \pm
\sqrt{kp}\)
với \(c = 1,\ \ d = - 1,\ \ k = 3,\ \ p =
\left| \frac{ad - bc}{c^{2}} \right| = 3\).
Suy ra \(x_{0} = 1 \pm 3\).
--------------------------------------------------------------------
Dạng bài tìm tham số m để hàm số có tiệm cận ngang không chỉ giúp học sinh hiểu sâu hơn về bản chất của tiệm cận mà còn rèn luyện kỹ năng giải phương trình chứa tham số – một kỹ năng rất cần thiết trong các bài thi trắc nghiệm Toán 12. Việc thành thạo cách giải dạng toán này sẽ giúp bạn tiết kiệm thời gian làm bài và đạt điểm cao trong phần khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
Nếu bạn đang ôn thi tốt nghiệp THPT hoặc luyện đề chuẩn bị thi đại học, đừng quên luyện tập thêm nhiều bài tập có tham số m trong chuyên đề Đường tiệm cận – Giải toán 12. Ngoài ra, hãy thường xuyên theo dõi chuyên mục Toán lớp 12 trên website để cập nhật thêm các dạng toán hay, các mẹo giải nhanh bằng máy tính Casio và tài liệu ôn thi chất lượng cao.
