Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm
Đóng
Điểm danh hàng ngày
  • Hôm nay +3
  • Ngày 2 +3
  • Ngày 3 +3
  • Ngày 4 +3
  • Ngày 5 +3
  • Ngày 6 +3
  • Ngày 7 +5
Bạn đã điểm danh Hôm nay và nhận 3 điểm!
Nhắn tin Zalo VNDOC để nhận tư vấn mua gói Thành viên hoặc tải tài liệu Hotline hỗ trợ: 0936 120 169
VnDoc.com Lớp 12 Toán 12 Chuyên đề Toán 12
Đóng
Bạn đã dùng hết 1 lần làm bài Trắc nghiệm miễn phí. Mời bạn mua tài khoản VnDoc PRO để tiếp tục! Tìm hiểu thêm
Mua VnDoc PRO chỉ từ 79.000đ

Tổng hợp câu hỏi trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm ẩn Phần 3

Luyện thi THPT Quốc gia môn Toán

Bài tập trắc nghiệm hàm ẩn vận dụng cao có đáp án chi tiết

Ở Phần 3, chuyên đề trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm ẩn tiếp tục khai thác các dạng bài vận dụng cao trong Toán 12. Đây là nội dung thường xuất hiện trong đề luyện thi THPT Quốc gia môn Toán, yêu cầu học sinh kết hợp linh hoạt đạo hàm và kỹ năng biến đổi hàm ẩn. Bài viết giúp bạn luyện tập chuyên sâu và nâng cao độ chính xác khi làm bài.

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 20 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 20 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu!!
00:00:00
  • Câu 1: Vận dụng cao
    Chọn đáp án chính xác

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x + 1)e^{x}, có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong đoạn \lbrack - 2019;2019\rbrack để hàm số y = g(x) = f\left( \ln x \right) - mx^{2} + mx - 2 nghịch biến trên \left( 1;e^{2} \right).

    Hướng dẫn:

    Trên \left( 1;e^{2} \right) ta có g'(x) = \frac{1}{x}.f'\left( \ln x \right) - 2mx + m = \ln x + 1 - (2x - 1)m

    Để hàm sốy = g(x) nghịch biến trên \left( 1;e^{2} \right) thì

    g'(x) = \ln x + 1 - (2x - 1)m \leq 0,\forall x \in \left( 1;e^{2} \right)

    \Leftrightarrow \ln x + 1 - (2x - 1)m \leq 0,\forall x \in \left( 1;e^{2} \right)

    \Leftrightarrow \frac{\ln x + 1}{2x - 1} \leq m,\forall x \in \left( 1;e^{2} \right)

    Xét hàm số h(x) = \frac{\ln x + 1}{2x - 1} trên\left( 1;e^{2} \right), ta có h'(x) = \frac{- \frac{1}{x} - 2lnx}{(2x - 1)^{2}} < 0,\forall x \in \left( 1;e^{2} \right), từ đây suy ra m \geq 1. Vậy có 2019 giá trị nguyên của m thỏa bài toán.

  • Câu 2: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ.

    Hàm số y = g(x) = f\left( x^{2} \right) nghịch biến trên khoảng

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    g'(x) = 2x.f'\left( x^{2} \right).

    Nhận xét:

    + f'(t) > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 1 < t < 1 \\ 4 < t \end{matrix} \right..

    + f'(t) < 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t < - 1 \\ 1 < t < 4 \end{matrix} \right..

    Hàm số g nghịch biến \Leftrightarrow g'(x) < 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x < 0 \\ f'\left( x^{2} \right) > 0 \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x > 0 \\ f'\left( x^{2} \right) < 0 \end{matrix} \right.\ \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} x < 0 \\ - 1 < x^{2} < 1 \vee 4 < x^{2} \end{matrix} \right.\ \\ \left\{ \begin{matrix} x > 0 \\ x^{2} < - 1 \vee 1 < x^{2} < 4 \end{matrix} \right.\ \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x < - 2 \\ - 1 < x < 0 \\ 1 < x < 2 \end{matrix} \right..

    Vậy hàm số y = g(x) = f\left( x^{2} \right) nghịch biến trên các khoảng ( - \infty; - 2), ( - 1;0) và (1;2).

  • Câu 3: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = 1 - x^{2}. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số y = g(x) = f\left( x^{2} + 2x \right) + 2m\left( lnx - \frac{1}{x} \right) nghịch biến trên khoảng (1; + \infty).

    Hướng dẫn:

    Ta có y = g(x) = f\left( x^{2} + 2x \right) + 2m\left( lnx - \frac{1}{x} \right).

    Suy ra g'(x) = (2x + 2)f'\left( x^{2} + 2x \right) + \frac{2m(x + 1)}{x^{2}}.

    Để hàm số y = g(x)nghịch biến \ \forall x \in (1; + \infty) thì g'(x) \leq 0\ \ \ \ \forall x \in (1; + \infty).

    Hay (2x + 2)\left\lbrack f'\left( x^{2} + 2x \right) + \frac{m}{x^{2}} \right\rbrack \leq 0\ \ \ \forall x \in (1; + \infty)

    \Leftrightarrow f'\left( x^{2} + 2x \right) + \frac{m}{x^{2}} \leq 0\ \ \ \forall x \in (1; + \infty). (Vì 2x + 2 > 0\ \ \ \forall x \in (1; + \infty)).

    Do đó 1 - \left( x^{2} + 2x \right)^{2} + \frac{m}{x^{2}} \leq 0\ \ \ \forall x \in (1; + \infty) \Leftrightarrow m \leq \left\lbrack x^{2}\left( x^{2} + 2x \right)^{2} - x^{2} \right\rbrack\ \ \ \ \forall x \in (1; + \infty)

    Đặt h(x) = x^{2}\left( x^{2} + 2x \right)^{2} - x^{2}, a

    Phương trình 3x^{5} + 4x^{4} + 6x^{3} + 8x^{2} - 1 = 0 không có nghiệm x > 1.

    Từ bảng biến thiên ta thấy m \leq 8. Mà m \in \mathbb{Z}_{+}. Suy ra m có 8 giá trị.

  • Câu 4: Vận dụng cao
    Tìm các số nguyên dương m của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàmf'(x) = x(x - 1)^{2}(x^{2} + mx + 9) với mọi \forall x \in R. Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số g(x) = f(3 - x) đồng biến trên khoảng (3; + \infty)?

    Hướng dẫn:

    Từ giả thiết suy ra f'(3 - x) = (3 - x)(2 - x)^{2}\lbrack(3 - x)^{2} + m(3 - x) + 9\rbrack.

    Ta có g'(x) = - f'(3 - x).

    Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (3; + \infty) khi và chỉ khi

    g'(x) \geq 0,\forall x \in (3; + \infty).

    \Leftrightarrow - f'(3 - x) \leq 0,\forall x \in (3; + \infty).

    \Leftrightarrow (3 - x)(2 - x)^{2}\lbrack(3 - x)^{2} + m(3 - x) + 9\rbrack \leq 0,\forall x \in (3; + \infty).

    \forall x \in (3; + \infty) thì (3 - x) \leq 0,(2 - x)^{2} \geq 0, suy ra (3 - x)^{2} + m(3 - x) + 9 \geq 0,\forall x \in (3; + \infty).

    \Leftrightarrow m \leq \frac{(3 - x)^{2} + 9}{(x - 3)},\forall x \in (3; + \infty)

    \Leftrightarrow m \leq \underset{(3; + \infty)}{Min}\frac{(3 - x)^{2} + 9}{(x - 3)}.

    Ta có

    \frac{(3 - x)^{2} + 9}{(x - 3)} = (x - 3) + \frac{9}{x - 3} \geq 2\sqrt{(x - 3).\frac{9}{x - 3}} = 6.

    Suy ra m \leq 6.

    Vì m nguyên dương suy ra m \in \left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}.

  • Câu 5: Vận dụng cao
    Tìm khoảng nghịch biến của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \mathbb{R} và f'(x) = x(2x - 1) \cdot \left( x^{2} + 3 \right) + 2. Hàm số y = f(3 - x) + 2x + 2019 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

    Hướng dẫn:

    Ta có y'\ = - f'(3 - x) + 2.

    y' > 0 \Leftrightarrow - f'(3 - x) + 2 > 0 \Leftrightarrow f'(3 - x) < 2

    \Leftrightarrow (3 - x)\left\lbrack 2(3 - x) - 1 \right\rbrack\left\lbrack (3 - x)^{2} + 3 \right\rbrack + 2 < 2

    \Leftrightarrow (3 - x)(5 - 2x)\left\lbrack (3 - x)^{2} + 3 \right\rbrack < 0

    Vì \left\lbrack (3 - x)^{2} + 3 \right\rbrack > 0,\forall x\mathbb{\in R}.

    Suy ra y' > 0 khi và chỉ khi (3 - x)(5 - 2x) < 0 \Leftrightarrow \frac{5}{2} < x < 3.

    Vậy hàm số y = f(3 - x) + 2x + 2019 đồng biến trên khoảng \left( \frac{5}{2};3 \right).

  • Câu 6: Vận dụng
    Tìm khoảng nghịch biến của hàm số

    Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ. Hàm số y = g(x) = f(3 - 2x) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

    Hướng dẫn:

    Từ đồ thị (C):y = f'(x); f'(x) > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 2 < x < 2 \\ x > 5 \end{matrix} \right. (1)

    Mà g'(x) = - 2.f'(3 - 2x) (2)

    (1), (2); g^{'(x)} < 0 \Leftrightarrow f^{'(3 - 2x)} > 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 2 < 3 - 2x < 2 \\ 3 - 2x > 5 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \frac{1}{2} < x < \frac{5}{2} \\ x < - 1 \end{matrix} \right..

    Vậy hàm số g(x) nghịch biến trên các khoảng \left( \frac{1}{2};\frac{5}{2} \right) và ( - \infty; - 1).

  • Câu 7: Vận dụng cao
    Định các giá trị nguyên của tham số m

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x^{2} + 2x - 3,\forall x\mathbb{\in R}. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn \lbrack - 10;20\rbrack để hàm số g(x) = f\left( x^{2} + 3x - m \right) + m^{2} + 1 đồng biến trên (0;2)?

    Hướng dẫn:

    Ta có

    f'(t) = t^{2} + 2t - 3 \geq 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} t \leq - 3 \\ t \geq 1 \end{matrix} \right.\ \ \ \ (*).

    Có g'(x) = (2x + 3)f'\left( x^{2} + 3x - m \right)

    Vì 2x + 3 > 0,\forall x \in (0;2) nên g(x) đồng biến trên (0;2) \Leftrightarrow g'(x) \geq 0,\forall x \in (0;2)

    \Leftrightarrow f'\left( x^{2} + 3x - m \right) \geq 0,\forall x \in (0;2)

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} + 3x - m \leq - 3,\forall x \in (0;2) \\ x^{2} + 3x - m \geq 1,\forall x \in (0;2) \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} + 3x \leq m - 3,\forall x \in (0;2) \\ x^{2} + 3x \geq m + 1,\forall x \in (0;2) \end{matrix} \right. (**)

    Có h(x) = x^{2} + 3x luôn đồng biến trên (0;2) nên từ (**) \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m - 3 \geq 10 \\ m + 1 \leq 0 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m \geq 13 \\ m \leq - 1 \end{matrix} \right.

    Vì \left\{ \begin{matrix} m \in \lbrack - 10;20\rbrack \\ m\mathbb{\in Z} \end{matrix} \right.\ \Rightarrow Có 18 giá trị của tham số m.

    Vậy có 18 giá trị của tham số m cần tìm.

  • Câu 8: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có f'(x) = x.(x + 1)^{3}.(x - 1)^{4}.(x - 4)^{5}. Giá trị của tham số m để hàm số y = g(x) = f(1 - x) + \frac{1}{x^{2} + mx + m^{2} + 1} chắc chắn luôn đồng biến trên ( - 3;0).

    Hướng dẫn:

    Điều kiện: x^{2} + mx + m^{2} + 1 \neq 0 (luôn đúng vì x^{2} + mx + m^{2}+ 1= \left( x + \frac{m}{2} \right)^{2} + \frac{3m^{2}}{4} + 1 >0)

    g'(x) = - f'(1 - x) - \frac{2x + m}{\left( x^{2} + mx + m^{2} + 1 \right)^{2}}

    Đặt t = 1 - x;x \in ( - 3;0) \Rightarrow t \in (1;4)

    \Rightarrow - f'(1 - x),x \in ( - 3;0) chính là - f'(t),t \in (1;4).

    Do đó - f'(t) > 0,\forall t \in (1;4) \Leftrightarrow - f'(1 - x) > 0,\forall x \in ( - 3;0)

    Yêu cầu bài toán \Leftrightarrow - \frac{2x + m}{\left( x^{2} + mx + m^{2} + 1 \right)^{2}} \geq 0,\forall x \in ( - 3;0)

    \Leftrightarrow 2x + m \leq 0,\forall x \in ( - 3;0)\Leftrightarrow m \leq - 2x,\forall x \in ( - 3;0)

    \Leftrightarrow m \leq \min_{\lbrack - 3;0\rbrack}( - 2x) \Leftrightarrow m \leq 0. Vậy m \in \lbrack 0; + \infty)

  • Câu 9: Vận dụng cao
    Định khoảng nghịch biến của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) xác định trên \mathbb{R} và có đạo hàm f'(x) thỏa mãn f'(x) = (1 - x)(x + 2)g(x) + 1 trong đó g(x) < 0,\forall x\mathbb{\in R}. Hàm số y = f(1 - x) + x + 2 nghịch biến trên các khoảng nào?

    Hướng dẫn:

    Ta có: f'(x) = (1 - x)(x + 2)g(x) + 1 \Rightarrow f'(1 - x) = x(3 - x)g(1 - x) + 1

    Mặt khác:

    y' = \left( f(1 - x) \right)' + 1 = - f^{'(1 - x)} + 1

    = - \left\lbrack x.(3 - x).g(1 - x) + 1 \right\rbrack + 1 = - x.(3 - x).g(1 - x)

    Ta có: y' < 0 \Leftrightarrow - x.(3 - x).g(1 - x) < 0\ \ (*)

    Do g(x) < 0,\forall x\mathbb{\in R \Rightarrow}g(1 - x) < 0,\forall x\mathbb{\in R}

    \Rightarrow (*) \Leftrightarrow x.(3 - x) < 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x > 3 \\ x < 0 \end{matrix} \right..

    Vậy hàm số y = f(1 - x) + x + 2 nghịch biến trên các khoảng ( - \infty;0) và (3; + \infty).

  • Câu 10: Vận dụng cao
    Chọn đáp án thích hợp

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = (x - 1)^{2}\left( x^{2} - 2x \right) với mọi x\mathbb{\in R}. Có bao nhiêu số nguyên m \leq 20 để hàm số g(x) = f\left( x^{2} - 8x + m \right) đồng biến trên (4; + \infty).

    Hướng dẫn:

    Ta có:g'(x) = (2x - 8)f'\left( x^{2} - 8x + m \right)

    Hàm số g(x) đồng biến trên (4; + \infty)\Leftrightarrow g'(x) \geq 0,\forall x \in (4; + \infty)

    \Leftrightarrow f'\left( x^{2} - 8x + m \right) \geq 0,\forall x \in (4; + \infty) (Vì 2x - 8 > 0,\forall x \in (4; + \infty)).

    Ta có f'(x) \geq 0 \Leftrightarrow (x - 1)^{2}\left( x^{2} - 2x \right) \geq 0

    \Leftrightarrow (x - 1)^{2}x(x - 2) \geq 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x \geq 2 \\ x \leq 0 \end{matrix} \right..

    Do đó f'\left( x^{2} - 8x + m \right) \geq 0,\forall x \in (4; + \infty)

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x^{2} - 8x + m \geq 2,\forall x \in (4; + \infty)(1) \\ x^{2} - 8x + m \leq 0,\forall x \in (4; + \infty)(2) \end{matrix} \right..

    Xét h(x) = x^{2} - 8x + m. Ta có h'(x) = 2x - 8.

    Lập bảng biến thiên của h(x) = x^{2} - 8x + m, ta được

    Dựa vào bảng biến thiên:

    + (2) vô nghiệm vì x^{2} - 8x + m \geq m - 16,\forall x \in (4; + \infty).

    + (1) \Leftrightarrow m - 16 \geq 2 \Leftrightarrow m \geq 18.

    Theo giả thiết thì m \leq 20 và m là số nguyên nên m \in \left\{ 18;19;20 \right\}. 

  • Câu 11: Vận dụng cao
    Tìm khoảng nghịch biến của đồ thị hàm số

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có đạo hàm f'(x) thỏa mãn: f'(x) = \left( 1 - x^{2} \right)(x - 5) Hàm số y = 3f(x + 3) - x^{3} + 12x nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

    Hướng dẫn:

    Chọn B

    Ta có: f'(x) = \left( 1 - x^{2} \right)(x - 5)

    Suy ra f'(x + 3)= \left\lbrack 1 - (x + 3)^{2} \right\rbrack(x + 3 - 5)= - (x + 4)(x +2)(x - 2).

    Mặt khác:

    y' = 3.f'(x + 3) - 3x^{2} + 12

    = - 3\left\lbrack (x + 4)(x + 2)(x - 2) + \left( x^{2} - 4 \right) \right\rbrack

    = - 3(x - 2)(x + 2)(x + 5).

    Xét y' < 0 \Leftrightarrow - 3(x - 2)(x + 2)(x + 5) < 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 5 < x < - 2 \\ x > 2 \end{matrix} \right..

    Vậy hàm số y = 3f(x + 3) - x^{3} + 12x nghịch biến trên các khoảng ( - 5\ ;\ - 2) và (2\ ;\ + \infty).

  • Câu 12: Vận dụng cao
    Tìm m để hàm số đồng biến trên tập số thực

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = \frac{x + 2}{\sqrt{x^{2} + 1}}, \forall x\mathbb{\in R}. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc khoảng ( - 20\ ;\ 20) để hàm số g(x) = f(x + 1) - mx + 1 đồng biến trên \mathbb{R}?

    Hướng dẫn:

    Ta có:  g'(x) = f'(x) - m.

    Hàm số g(x) = f(x + 1) - mx + 1 đồng biến trên \mathbb{R \Leftrightarrow}g'(x) \geq 0\ \ \forall x.

    \Leftrightarrow f^{'(x + 1)} \geq m \forall x \Leftrightarrow \frac{x + 3}{\sqrt{x^{2} + 2x + 2}} \geq m \forall x

    \Leftrightarrow \min_{\mathbb{R}}\left( \frac{x + 3}{\sqrt{x^{2} + 2x + 2}} \right) \geq m (*).

    Đặt h(x) = \frac{x + 3}{\sqrt{x^{2} + 2x + 2}}.

    Ta có h'(x) = \frac{- 1 - 2x}{\left( x^{2} + 2x + 2 \right)\sqrt{x^{2} + 2x + 2}}.

    Cho h'(x) = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2} \Rightarrow h\left( - \frac{1}{2} \right) = \sqrt{5}.

    Bảng biến thiên

    Từ bảng biến thiên ta thấy (*) \Leftrightarrow m \leq - 1.

    Vì m\mathbb{\in Z},\ \ m \in ( - 20\ ;\ 20) nên m \in \left\{ - 19\ ;\ - 18\ ;\ - 1 \right\}.

  • Câu 13: Vận dụng
    Chọn khẳng định đúng

    Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \mathbb{R} và có đạo hàm f'(x) thỏa mãn f'(x) = (x + 1)(x - 1)(x - 4). Xét hàm số g(x) = 12f\left( x^{2} \right) + 2x^{6} - 15x^{4} + 24x^{2} + 2019. Khẳng định đúng là:

    Hướng dẫn:

    Tập xác định của hàm số g(x) là D\mathbb{= R}.

    Ta có

    g^{'(x)} = 24xf^{'\left( x^{2} \right)} + 12x^{5} - 60x^{3} + 48x

    = 12x\left\lbrack 2f'\left( x^{2} \right) + x^{4} - 5x^{2} + 4 \right\rbrack

    = 12x\left\lbrack \left( x^{2} + 1 \right)\left( x^{2} - 1 \right)\left( x^{2} - 4 \right) + \left( x^{2} - 1 \right)\left( x^{2} - 4 \right) \right\rbrack

    = 12x\left( x^{2} - 1 \right)\left( x^{2} - 4 \right)\left( x^{2} + 2 \right)

    g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} = 4 \\ x^{2} = 1 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm 2 \\ x = \pm 1 \end{matrix} \right..

    Ta có bảng biến thiên của hàm số g(x) như sau:

    Qua bảng biến thiên ta có phương án Dlà phương án đúng.

  • Câu 14: Vận dụng cao
    Xác định giá trị nguyên âm của tham số m

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x^{2}(x + 2)\left( x^{2} + mx + 5 \right) với \forall x\mathbb{\in R}. Số giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số g(x) = f\left( x^{2} + x - 2 \right) đồng biến trên khoảng (1; + \infty) là

    Hướng dẫn:

    Ta có g'(x) = (2x + 1)f'\left( x^{2} + x - 2 \right).

    Hàm số g(x) = f\left( x^{2} + x - 2 \right) đồng biến trên khoảng (1; + \infty)

    \Leftrightarrow g'(x) \geq 0,\forall x \in (1; + \infty)

    \Leftrightarrow (2x + 1)f'\left( x^{2} + x - 2 \right) \geq 0,\forall x \in (1; + \infty)

    \Leftrightarrow f'\left( x^{2} + x - 2 \right) \geq 0,\forall x \in (1; + \infty) (vì 2x + 1 > 0,\forall x \in (1; + \infty))

    \Leftrightarrow \left( x^{2} + x - 2\right)^{2}\left( x^{2} + x \right)\left\lbrack \left( x^{2} + x - 2\right)^{2} + m\left( x^{2} + x - 2 \right) + 5 \right\rbrack \geq0,\forall x \in (1; + \infty)

    \left\lbrack \left( x^{2} + x - 2 \right)^{2} + m\left( x^{2} + x - 2 \right) + 5 \right\rbrack \geq 0,\forall x \in (1; + \infty) (*) (Vì {\left( {{x^2} + x - 2} \right)^2}\left( {{x^2} + x} \right) \geqslant 0;\left( {1; + \infty } \right)).

    Đặt t = x^{2} + x - 2. Khi đó x > 1 \Rightarrow t > 0.

    (*) trở thành t^{2} + mt + 5 \geq 0,\forall t > 0 \Leftrightarrow m \geq - t - \frac{5}{t},\forall t > 0.

    Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có t + \frac{5}{t} \geq 2\sqrt{5} \Leftrightarrow - t - \frac{5}{t} \leq - 2\sqrt{5}.

    Dấu " = " xảy ra \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} t = \frac{5}{t} \\ t > 0 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow t = \sqrt{5}.

    \Rightarrow \max_{(0; + \infty)}\left( - t - \frac{5}{t} \right) = - 2\sqrt{5} \Rightarrow m \geq - 2\sqrt{5}.

    Mà m nguyên âm nên m \in \left\{ - 4; - 3; - 2; - 1 \right\}. Vậy có 4 giá trị mthỏa mãn bài toán.

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Định số nguyên m thỏa mãn yêu cầu

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = (x + 1)(x - 1)(x - 4);\ \ \forall x\mathbb{\in R}.Có bao nhiêu số nguyên m < 2019 để hàm số g(x) = f\left( \frac{2 - x}{1 + x} - m \right) đồng biến trên (2;\ \ + \infty).

    Hướng dẫn:

    Ta có: g'(x) = - \frac{3}{(x + 1)^{2}}f'\left( \frac{2 - x}{1 + x} - m \right).

    Hàm số g(x) đồng biến trên (2;\ \ + \infty)

    \Leftrightarrow g'(x) \geq 0;\ \ \forall x \in (2;\ \ + \infty)

    \Leftrightarrow - \frac{3}{(x + 1)^{2}}f'\left( \frac{2 - x}{1 + x} - m \right) \geq 0;\ \ \forall x \in (2;\ \ + \infty)

    \Leftrightarrow f'\left( \frac{2 - x}{1 + x} - m \right) \leq 0;\ \ \forall x \in (2;\ \ + \infty)

    Ta có: f^{'(x)} \leq 0

    \Leftrightarrow (x + 1)(x - 1)(x - 4) \leq 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x \leq - 1 \\ 1 \leq x \leq 4 \end{matrix} \right.

    Do đó:f'\left( \frac{2 - x}{1 + x} - m \right) \leq 0;\ \ \forall x \in (2;\ \ + \infty)

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \frac{2 - x}{1 + x} - m \leq - 1;\ \ \forall x \in (2;\ \ + \infty)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1) \\ 1 \leq \frac{2 - x}{1 + x} - m \leq 4;\ \ \forall x \in (2;\ \ + \infty)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) \end{matrix} \right.

    Hàm số h(x) = \frac{2 - x}{1 + x} - m; x \in (2;\ \ + \infty) có bảng biến thiên:

    Căn cứ bảng biến thiên suy ra: Điều kiện (2) không có nghiệm m thỏa mãn.

    Điều kiện (1) \Leftrightarrow - m \leq - 1 \Leftrightarrow m \geq 1,kết hợp điều kiện m < 2019 suy ra có 2018 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  • Câu 16: Vận dụng cao
    Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng

    Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x + 1)(x - 2). Tìm m để hàm số y = g(x) = f(x + 2) - mxđồng biến trên khoảng ( - 1;2).

    Hướng dẫn:

    Ta có y = g(x) = f(x + 2) - mx.

    Suy ra g'(x) = f'(x + 2) - m.

    Để hàm số y = g(x)đồng biến \ \forall x \in ( - 1;2) thì g'(x) \geq 0\ \ \ \forall x \in ( - 1;2).

    Hay f^{'(x + 2)} \geq m\ \forall x \in ( - 1\ ;2)

    \Leftrightarrow m \leq f^{'(x + 2)}\forall x \in ( - 1;2)

    \Leftrightarrow m \leq x(x + 3)\ \ \forall x \in ( - 1;2).

    m \leq \underset{x \in ( - 1;2)}{Min}\left( x^{2} + 3x \right)\.

    Đặt h(x) = x^{2} + 3x, h'(x) = 2x + 3,\ h'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{- 3}{2}.

    Ta có bảng biến thiên như sau:

    Dựa vào bảng biến thiên ta thấy m \leq - \frac{9}{4}.

     

  • Câu 17: Vận dụng cao
    Tìm khoảng đồng biến của hàm số

    Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên \mathbb{R} có f'(x) = (x - 2)(x + 5)(x + 1) và f( - 5) = f(2) = 1. Hàm số g(x) = \left\lbrack f\left( x^{2} \right) \right\rbrack^{2} đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?

    Hướng dẫn:

    Từ giả thiết ta có f'(x) = (x - 2)(x + 5)(x + 1) \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 2 \\ x = - 5 \\ x = - 1 \end{matrix} \right.

    Bảng biến thiên của y = f(x)

    Từ BBT suy ra f(x) > 0\ \ \ \forall x\mathbb{\in R}.

    Xét hàm số g(x) = \left\lbrack f\left( x^{2} \right) \right\rbrack^{2} g^{'(x)} = \left( \left( f^{'\left( x^{2} \right)} \right)^{2} \right)'

    = 4x.f^{'\left( x^{2} \right)}f\left( x^{2} \right)

    = 4x\left( x^{2} - 2 \right)\left( x^{2} + 5 \right)\left( x^{2} + 1 \right)f\left( x^{2} \right)

    Do f(x) > 0\ \ \ \forall x\mathbb{\in R \Rightarrow}f\left( x^{2} \right) > 0\ \ \forall x\mathbb{\in R}

    Xét g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm \sqrt{2} \end{matrix} \right.

    BBT của g(x) = \left\lbrack f\left( x^{2} \right) \right\rbrack^{2}

    Từ BBT trên ta chọn đáp án \left( - \sqrt{2};0 \right) \cup \left( \sqrt{2}; + \infty \right).

  • Câu 18: Vận dụng cao
    Tìm tham số m thỏa mãn điều kiện

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên \mathbb{R} là f'(x) = (x - 1)(x + 3). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn \lbrack - 10\ ;\ 20\rbrack để hàm số y = f\left( x^{2} + 3x - m \right) đồng biến trên khoảng (0\ ;\ 2)?

    Hướng dẫn:

    Xét dấu f'(x) ta được

    Description: C:\Users\admin\Desktop\113.PNG

    Ta có: y' = (2x + 3)f'\left( x^{2} + 3x - m \right).

    Vì 2x + 3 > 0,\forall x \in (0\ ;\ 2).

    Do đó, để hàm số y = f\left( x^{2} + 3x - m \right) đồng biến trên khoảng (0\ ;\ 2) thì f'\left( x^{2} + 3x - m \right) \geq 0,\forall x \in (0\ ;\ 2) (*).

    Đặt t = x^{2} + 3x - m. Vì x \in (0\ ;\ 2) \Rightarrow t \in ( - m\ ;10 - m).

    (*) trở thành: f'(t) \geq 0,\forall t \in ( - m\ ;\ 10 - m).

    Dựa vào bảng xét dấu của f^{'(x)} ta có: \left\lbrack \begin{matrix} 10 - m \leq - 3 \\ 1 \leq - m \end{matrix} \right.

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m \geq 13 \\ m \leq - 1 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} \left\lbrack \begin{matrix} 13 \leq m \leq 20 \\ - 10 \leq m \leq - 1 \end{matrix} \right.\ \\ m \in Z \end{matrix} \right.

    \Rightarrow m \in \left\{ - 10; - 9;..; - 1;3;4;..;20\} \right..

  • Câu 19: Vận dụng cao
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm f'(x) = (x + 2)\left( x^{2} - 9 \right)\left( x^{4} - 16 \right) trên \mathbb{R}. Hàm số y = g(x) = \left\lbrack f(2x - x^{2}) \right\rbrack^{2019} đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    f'(x) = (x + 2)\left( x^{2} - 9 \right)\left( x^{4} - 16 \right)

    = (x - 3)(x - 2)(x + 3)(x + 2)^{2}\left( x^{2} + 4 \right).

    g'(x) = 2019.\left\lbrack f(2x - x^{2}) \right\rbrack^{2018}\left\lbrack f(2x - x^{2}) \right\rbrack'

    = 2019.\left\lbrack f(2x - x^{2}) \right\rbrack^{2018}(2 - 2x)f'\left( 2x - x^{2} \right)

    = 2019\left\lbrack f(2x - x^{2}) \right\rbrack^{2018}(2 - 2x)\left( 2x - x^{2} - 3 \right)\left( 2x - x^{2} - 2 \right)

    \left( 2x - x^{2} + 3 \right)\left( 2x - x^{2} + 2 \right)^{2}\left\lbrack \left( 2x - x^{2} \right)^{2} + 4 \right\rbrack

    = (1 - x)\left( 2x - x^{2} + 3 \right)A

    Trong đó:

    A = 2.2019\left\lbrack f\left( 2x - x^{2} \right) \right\rbrack^{2018}\left( 2x - x^{2} + 2 \right)^{2}\left( x^{2} - 2x + 3 \right)

    \left( x^{2} - 2x + 2 \right)\left\lbrack \left( x^{2} - 2x \right)^{2} + 4 \right\rbrack \geq 0,\ \ \forall x\mathbb{\in R}

    Khi đó g'(x) \geq 0 \Rightarrow (1 - x)\left( 2x - x^{2} + 3 \right) \geq 0 \Leftrightarrow x \in \lbrack - 1;1\rbrack \cup \lbrack 3; + \infty)

    \Rightarrow Hàm số y = g(x) = \left\lbrack f(2x - x^{2}) \right\rbrack^{2019} đồng biến trên mỗi khoảng ( - 1;1)và (3; + \infty).

  • Câu 20: Vận dụng cao
    Tìm khoảng đồng biến của hàm số

    Cho hàm số f(x) có đạo hàm là f'(x) = (x - 1)(x - 2)^{2}(x - 3)(x - 4). Hàm số y = 3f(x + 2) - x^{3} + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

    Hướng dẫn:

    Ta có bảng xét dấu

    Xét y = 3f(x + 2) - x^{3} + 3x.

    Cách 1: y' = 3.\left\lbrack f'(x + 2) + \left( 1 - x^{2} \right) \right\rbrack

    Ta có f^{'(x + 2)} \geq 0

    \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} 1 \leq x + 2 \leq 3 \\ x + 2 \geq 4 \end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} - 1 \leq x \leq 1 \\ x \geq 2 \end{matrix} \right..

    Ta có \left\{ \begin{matrix} f'(x + 2) \geq 0,\forall x \in ( - 1;1) \\ 1 - x^{2} > 0,\forall x \in ( - 1;1) \end{matrix} \right.\ \Rightarrow y' > 0,\forall x \in ( - 1;1).

    Vậy ta chọn đáp án C.

    Cách 2:

    Xét y = 3f(x + 2) - x^{3} + 3x.

    y' = 3.\left\lbrack f'(x + 2) + \left( 1 - x^{2} \right) \right\rbrack

    Ta có y'\left( \frac{3}{2} \right) = 3.\left\lbrack f'\left( \frac{7}{2} \right) - \frac{5}{4} \right\rbrack < 0 nên loại đáp án (1; + \infty), (0;2).

    y'( - 2) = 3.\left\lbrack f'(0) - 3 \right\rbrack < 0 nên loại đáp án ( - \infty; - 1).

0/20
20 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (10%):
    2/3
  • Thông hiểu (90%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
  • Điểm thưởng: 0
Làm lại
Bạn còn 1 lượt làm bài tập miễn phí. Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để học không giới hạn nhé! Bạn đã HẾT lượt làm bài tập miễn phí! Hãy mua tài khoản VnDoc PRO để làm Trắc nghiệm không giới hạn và tải tài liệu nhanh nhé!
Mua ngay Đổi điểm
Tải file làm trên giấy
1
10 Bài viết đã được lưu
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
Xóa Đăng nhập để Gửi
Tìm bài trong mục này