Bài tập tìm m để hàm số đồng biến trên tập số thực
Tìm m để hàm số đồng biến trên R - Có đáp án
Dạng toán tìm tham số m để hàm số đồng biến trên tập số thực là nội dung quan trọng trong chuyên đề Ứng dụng đạo hàm Toán 12, thường xuất hiện trong các đề kiểm tra và đề thi THPT Quốc gia. Bài viết này hệ thống các bài tập tiêu biểu, tập trung vào cách xét dấu đạo hàm trên ℝ, kèm đáp án rõ ràng, giúp học sinh nắm vững phương pháp giải và rèn kỹ năng xử lý nhanh các bài toán hàm số chứa tham số.
A. Cách tìm m để hàm số đồng biến trên R
Cho hàm số 
\(y = f(x)\) có đạo hàm trên tập \(\mathbb{R}\). Hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(f'(x) \geq 0\) với mọi giá trị x thuộc \(\mathbb{R}\). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.
-
Cho hàm số
\(y = ax^{3} + bx^{2} + cx +
d\). Hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(\left\lbrack \begin{matrix}a = b = 0;c > 0 \\a > 0;b^{2} - 3ac \leq 0\end{matrix} \right.\) -
Cho hàm số
\(f(x) = \frac{ax + b}{cx +
d},(ad - bc \neq 0,c \neq 0)\) đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi \(ad - bc >
0\).
B. Bài tập minh họa tìm m để hàm số đồng biến trên tập số thực
Ví dụ 1. Hàm số \(y = 2mx + \sin x\) đồng biến trên tập số thực khi và chi khi giá trị của \(m\) là
A. \(m \geqslant - \frac{1}{2}\) . B. \(m \in R\). C. \(m \geqslant \frac{1}{2}\). D. \(- \frac{1}{2} \leqslant m \leqslant \frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có: \(y' = 2m + \cos x\)
Hàm số đồng biến trên tập số thực
\(\Leftrightarrow y' \geq 0\ \forall
x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}2m + \cos x \geq 0\ \forall x\mathbb{\in
R}\)
\(\Leftrightarrow m \geq - \frac{1}{2}\cos
x\ \forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}m \geq
\frac{1}{2}\)
Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\)để đồ thị hàm số \(y = \sin x + \cos x + mx\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
A. \(- \sqrt{2} < m <
\sqrt{2}.\) B. \(m \geq
\sqrt{2}.\) C. \(- \sqrt{2} \leq m \leq
\sqrt{2}.\) D. \(m \leq -
\sqrt{2}.\)
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có: \(y = \sin x + \cos x +
mx\)
\(y' = \cos x - \sin x +
m\)
Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R
\Leftrightarrow}y' \geq 0,\forall x\mathbb{\in R}.\)
\(\Leftrightarrow m \geq \sin x - \cos
x,\forall x\mathbb{\in R}.\)
\(\Leftrightarrow m \geq
\max_{\mathbb{R}}\varphi(x),\) với \(\varphi(x) = \sin x - \cos x.\)
Ta có: \(\varphi(x) = \sin x - \cos x =
\sqrt{2}\sin\left( x - \frac{\pi}{4} \right) \leq \sqrt{2}.\)
Do đó: \(\max_{\mathbb{R}}\varphi(x) =
\sqrt{2}.\) Từ đó suy ra \(m \geq
\sqrt{2}.\)
C. Bài tập vận dụng có đáp án chi tiết
Bài tập 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để hàm số \(y
= 3x + m\left( \sin x\ + \cos x + m \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
A. \(3\). B. Vô số. C. \(4\). D. \(5\).
Bài tập 2. Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y
= \sqrt{x^{2} + 1} - mx - 1\) đồng biến trên khoảng \(( - \infty; + \infty)\).
A. \(\lbrack 1; + \infty)\). B. \(( - \infty; - 1\rbrack\). C. \(\lbrack - 1;1\rbrack\). D. \(( - \infty;1)\).
Bài tập 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y
= 2sinx - 3cosx + mx\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
A. \(m \in \left( - \infty\ ; - \sqrt{13}
\right\rbrack.\) B. \(m \in \left( -
\infty\ ;\sqrt{13} \right\rbrack.\)
C. \(m \in \left\lbrack \sqrt{13}\ ; +
\infty \right).\) D. \(m \in
\left\lbrack - \sqrt{13}\ ; + \infty \right).\)
Bài tập 4. Để hàm số \(y =
\frac{1}{3}\left( m^{2} - 1 \right)x^{3} + (m + 1)x^{2} + 3x +
5\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) thì tất cả giá trị thực của tham số \(m\) là:
A. \(- 1 < m \leq 2\). B. \(- 1 \leq m \leq 2\). C. \(\left\lbrack \begin{matrix}
m \geq 2 \\
m < - 1
\end{matrix} \right.\). D. \(\left\lbrack \begin{matrix}
m \geq 2 \\
m \leq - 1
\end{matrix} \right.\).
Bài tập 5. Một học sinh giải bài toán: “Tìm tất cả giá trị của tham số \(m\) sao cho hàm số \(y = mx^{3} + mx^{2} + (m - 2)x + 10\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).” theo các bước như sau:
- Bước 1. Hàm số xác định trên \(\mathbb{R}\) và \(y' = 3mx^{2} + 2mx + m - 2\).
- Bước 2. Yêu cầu bài toán tương đương với \(y' > 0,\forall x\mathbb{\in R}\)
- \(\Leftrightarrow 3mx^{2} + 2mx + m - 2
> 0,\forall x\mathbb{\in R}\).
- Bước 3. \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
a = 3m > 0 \hfill \\
\Delta ' = 6m - 2{m^2} < 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
m > 0 \hfill \\
\left[ \begin{gathered}
m < 0 \hfill \\
m > 3 \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
- Bước 4. \(\Leftrightarrow m >
3\). Vậy \(m > 3\).
Học sinh này đã bắt đầu sai ở bước nào?
A. Bước \(2\). B. Bước \(3\). C. Bước \(1\). D. Bước \(4\).
Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu
--------------------------------------------------
Thông qua việc luyện tập bài tập tìm m để hàm số đồng biến trên ℝ, bạn sẽ củng cố kiến thức về tính đơn điệu của hàm số và nâng cao khả năng vận dụng đạo hàm một cách chính xác. Chuyên đề này là nền tảng quan trọng để giải tốt các câu hỏi mức độ vận dụng trong chương khảo sát hàm số Toán 12. Đừng quên kết hợp thêm các dạng nghịch biến, cực trị để hoàn thiện kỹ năng làm bài.
