Bài tập Tìm tham số m để hàm số nghịch biến trên tập số thực
Tìm m để hàm số nghịch biến trên R - Có đáp án
Dạng toán tìm tham số m để hàm số nghịch biến trên tập số thực là nội dung trọng tâm trong chương Ứng dụng đạo hàm và thường xuyên xuất hiện ở các câu hỏi vận dụng trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán. Bài viết này tuyển chọn hệ thống bài tập tiêu biểu, hướng dẫn cách xét dấu đạo hàm trên ℝ một cách chặt chẽ, kèm đáp án rõ ràng, giúp học sinh nắm vững phương pháp và tránh những sai lầm thường gặp khi xử lý hàm số chứa tham số.
A. Cách tìm m để hàm số nghịch biến trên R
Cho hàm số 
\(y = f(x)\)có đạo hàm trên tập \(\mathbb{R}\). Hàm số \(y = f(x)\)nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)khi và chỉ khi \(f'(x) \leq 0\) với mọi giá trị x thuộc \(\mathbb{R}\). Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.
Lưu ý:
- Cho hàm số \(y = ax^{3} + bx^{2} + cx +
d\). Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi:
\(f'(x) \leq 0;\forall x\mathbb{\in R
\Leftrightarrow}\left\lbrack \begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
a < 0 \\
\Delta \leq 0
\end{matrix} \right.\ \\
\left\{ \begin{matrix}
a = 0 \\
b = 0 \\
c < 0
\end{matrix} \right.\
\end{matrix} \right.\)
- Hàm số \(f(x) = \frac{ax + b}{cx + d},(ad -
bc \neq 0,c \neq 0)\)nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi \(ad - bc < 0\)
B. Bài tập minh họa tìm m để hàm số nghịch biến trên tập số thực
Ví dụ 1. Cho hàm số \(y = - x^{3} - mx^{2}
+ (4m + 9)x + 5\) với \(m\) là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để hàm số nghịch biến trên khoảng \(( - \infty; + \infty)?\)
Hướng dẫn giải
TXĐ: \(D\mathbb{= R}\).
Đạo hàm \(y' = - 3x^{2} - 2mx + 4m +
9.\)
Để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(( - \infty; + \infty)\) thì \(y' \leq 0,\forall x\mathbb{\in R}\) (\(y' = 0\) có hữu hạn nghiệm)
\(\Leftrightarrow \Delta' \leq 0
\Leftrightarrow m^{2} + 3(4m + 9) \leq 0\) \(\Leftrightarrow - 9 \leq m \leq -
3\)\(\overset{m\mathbb{\in Z}}{\rightarrow}m
= \left\{ - 9; - 8;...; - 3 \right\}.\)
Ví dụ 2. Tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số \(y
= (m - 1)x^{3} - 3(m - 1)x^{2} + 3(2m - 5)x + m\)nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) là
A. \(m < 1\). B. \(m \leq 1\). C. \(m = 1\). D. \(- 4
< m < 1\)
Hướng dẫn giải
Chọn B
Cách 1: (Tự luận)
* Tập xác định \(D\mathbb{=
R}\).
* Ta có \(y' = 3(m - 1)x^{2} - 6(m -
1)x + 3(2m - 5)\).
Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R
\Leftrightarrow}y' \leq 0,\forall x\mathbb{\in R}\); dấu bằng chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm
\(\Leftrightarrow (m - 1)x^{2} - 2(m - 1)x
+ 2m - 5 \leq 0\ (1)\),\(\forall
x\mathbb{\in R}\).
+ Trường hợp 1: \(m =
1\overset{(1)}{\Rightarrow} - 3 \leq 0\) luôn thỏa với \(\forall x\mathbb{\in R}\).
+ Trường hợp 2: \(m \neq 1\), khi đó điều kiện của bài toán trở thành
\(\left\{ \begin{matrix}
a = m - 1 < 0 \\
\Delta' = (m - 1)^{2} - (m - 1)(2m - 5) \leq 0
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m < 1 \\
- m^{2} + 5m - 4 \leq 0
\end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m < 1 \\
\left\lbrack \begin{matrix}
m \leq 1 \\
m \geq 4
\end{matrix} \right.\
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow m < 1\).
Vậy các giá trị cần tìm của \(m\) là \(m \leq 1\).
Cách 2: (Trắc nghiệm)
Chọn \(m = 1 \Rightarrow y = - 9x +
1\) luôn nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) nên \(m = 1\) thỏa mãn, suy ra loại A, D.
Chọn \(m = 0 \Rightarrow y = - x^{3} +
3x^{2} - 15x\) có \(y' = - 3x^{2} +
6x - 15 < 0\), \(\forall
x\mathbb{\in R}\) nên hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\), suy ra loại C .
Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) sao cho để hàm số \(f(x) = - \frac{1}{3}x^{3} - (m - 1)x^{2} + (m -
7)x - 2\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
A. 6. B. 4. C. 5. D. 3.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có \(f'(x) = - x^{2} - 2(m - 1)x + m
- 7\)
Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R
\Leftrightarrow}f'(x) \leq 0,\forall x\mathbb{\in R}\)
\(\Leftrightarrow - x^{2} - 2(m - 1)x + m
- 7 \leq 0,\forall x\mathbb{\in R}\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a < 0 \\
\Delta' \leq 0
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
- 1 < 0\ (hiennhien) \\
\left\lbrack - (m - 1) \right\rbrack^{2} + (m - 7) \leq 0
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow m^{2} - m - 6 \leq 0
\Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 3\)
Do \(m \in \mathbb{N}^{*}\)nên \(m \in \left\{ 1;2;3 \right\}\).
Vậy có 3 giá trị nguyên dương của tham số \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
C. Bài tập vận dụng có đáp án chi tiết
Bài tập 1. Các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y
= mx^{3} - 3mx^{2} - 3x + 2\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị của nó không có tiếp tuyến song song với trục hoành là.
A. \(- 1 < m < 0\). B. \(- 1 \leq m \leq 0\).
C. \(- 1 \leq m < 0\). D. \(- 1 < m \leq 0\).
Bài tập 2. Tìm \(m\) để hàm số: \(f(x) = (m + 2)\frac{x^{3}}{3} - (m + 2)x^{2}
+ (m - 8)x + m^{2} - 1\) luôn nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
A. \(m < - 2\). B. \(m \geq - 2\). C. \(m\mathbb{\in R}\). D. \(m \leq - 2\).
Bài tập 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y
= - \frac{1}{3}x^{3} - mx^{2} + (2m - 3)x + 2018\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
A. \(m \leq 1\). B. \(- 3 \leq m \leq 1\).
C. \(- 3 < m < 1\). D. \(m \geq 1; m \leq -3\).
Bài tập 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y
= \frac{m}{3}x^{3} - (m + 1)x^{2} + (m - 2)x - 3m\) nghịch biến trên khoảng \(( - \infty; +
\infty)\).
A. \(\frac{- 1}{4} \leq m < 0\). B. \(m \leq - \frac{1}{4}\). C. \(m < 0\). D. \(m > 0\).
Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu
---------------------------------------------------
Qua việc luyện tập các bài toán tìm m để hàm số nghịch biến trên ℝ, bạn sẽ nâng cao khả năng phân tích điều kiện đạo hàm và rèn kỹ năng tư duy logic khi làm bài trắc nghiệm. Chuyên đề này là nền tảng quan trọng để chinh phục các câu hỏi mức độ vận dụng – vận dụng cao trong đề thi THPT Quốc gia. Hãy kết hợp thêm các dạng đồng biến, cực trị và GTLN – GTNN để hoàn thiện kỹ năng khảo sát hàm số.
