Chuyên đề Xét sự đơn điệu của hàm đa thức
Chuyên đề Toán 12: Sự đồng biến, nghịch biến hàm đa thức
Xét sự đơn điệu của hàm đa thức là nội dung cốt lõi trong chương Ứng dụng đạo hàm Toán 12, thường xuất hiện dưới nhiều hình thức trong đề thi THPT Quốc gia. Chuyên đề này giúp học sinh hệ thống lý thuyết trọng tâm, phương pháp xét dấu đạo hàm của hàm đa thức, kết hợp bài tập minh họa có định hướng giải, từ đó nắm chắc bản chất đồng biến – nghịch biến và nâng cao kỹ năng làm bài trắc nghiệm.
A. Cách xét sự đơn điệu của hàm đa thức
Xác định tham số xét tính đơn điệu của hàm đa thức.
Giả sử 
\(y = f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx +d\)\(\Rightarrow f'(x) = 3ax^{2} + 2bx + c.\)
Các dạng thường gặp
Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi:
\(f'(x) \geq 0;\forall x\mathbb{\in R
\Leftrightarrow}\left\lbrack \begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
a > 0 \\
\Delta \leq 0
\end{matrix} \right.\ \\
\left\{ \begin{matrix}
a = 0 \\
b = 0 \\
c > 0
\end{matrix} \right.\
\end{matrix} \right.\)
Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi:
\(f'(x) \leq 0;\forall x\mathbb{\in R
\Leftrightarrow}\left\lbrack \begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
a < 0 \\
\Delta \leq 0
\end{matrix} \right.\ \\
\left\{ \begin{matrix}
a = 0 \\
b = 0 \\
c < 0
\end{matrix} \right.\
\end{matrix} \right.\)
Chú ý: Trường hợp 2 thì hệ số c khác 0 vì khi \(a = b = c = 0\) thì \(f(x) = d\)
(Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox thì không đơn điệu)
Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba \(y = f(x;m) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d\) đơn điệu một chiều trên khoảng có độ dài \(l\) ta giải như sau:
-
Bước 1: Tính
\(f(x) = 3ax^{2} + 2bx +
c.\) -
Bước 2: Hàm số đơn điệu trên
\(\left(
x_{1};x_{2} \right) \Leftrightarrow y' = 0\)có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a \neq 0 \\
\Delta > 0
\end{matrix} \right.\ \ \ \ (*)\) -
Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài
\(l \Leftrightarrow \left| x_{1} - x_{2} \right| = l\Leftrightarrow \left( x_{1} + x_{2} \right)^{2} - 4x_{1}x_{2} =l^{2}(**)\) -
Bước 4: Giải (*) và kết hợp với (**) dể suy ra giá trị m cần tìm.
B. Bài tập minh họa Xét sự đơn điệu của hàm đa thức
Ví dụ 1. Cho hàm số \(y = ax^{3} + bx^{2} +
cx + d\). Hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi.
A. \(\left\lbrack \begin{matrix}a = b = 0;c > 0 \\a > 0;b^{2} - 4ac \leq 0\end{matrix} \right.\). B. \(a \geq0;b^{2} - 3ac \leq 0\).
C. \(\left\lbrack \begin{matrix}a = b = 0;c > 0 \\a > 0;b^{2} - 3ac \geq 0\end{matrix} \right.\). D. \(\left\lbrack \begin{matrix}a = b = 0;c > 0 \\a > 0;b^{2} - 3ac \leq 0\end{matrix} \right.\).
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có \(y' = 3ax^{2} + 2bx +
c\)
TH1: \(a = 0\) có \(y' = 2bx + c\) để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R \Leftrightarrow}y' \geq0,\forall x\mathbb{\in R \Leftrightarrow}\left\{ \begin{matrix}b = 0 \\c > 0\end{matrix} \right.\).
TH2: \(a \neq 0\) để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R \Leftrightarrow}y' \geq0,\forall x\mathbb{\in R}\)
\(\Leftrightarrow\left\{ \begin{matrix}a > 0 \\\Delta' = b^{2} - 3ac \leq 0\end{matrix} \right.\)
Vậy để để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R\Leftrightarrow}y' \geq 0,\forall x\mathbb{\in R\Leftrightarrow}\left\lbrack \begin{matrix}a = b = 0;c > 0 \\a > 0;b^{2} - 3ac \leq 0\end{matrix} \right.\).
Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho hàm số \(f(x) = \frac{1}{3}x^{3} + mx^{2} + 4x + 3\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có: \(f'(x) = x^{2} + 2mx +
4\)
Hàm số \(f(x) = \frac{1}{3}x^{3} + mx^{2} +
4x + 3\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
\(\Leftrightarrow f'(x) = x^{2} + 2mx
+ 4 \geq 0,\ \ \forall x\)
\(\Leftrightarrow {\Delta'}_{f'(x)}
= m^{2} - 4 \leq 0,\ \ \forall x \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq
2\) mà \(m\mathbb{\in Z
\Leftrightarrow}m \in \left\{ - 2; - 1;0;1;2 \right\}\).
Có 5 giá trị nguyên của tham số \(m\).
Ví dụ 3. Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}x^{3}
- \frac{(m + 2)}{2}x^{2} + 2mx + 1\) với \(m\) là tham số thực. Tập hợp các giá trị của \(m\) để hàm số đồng biến trên khoảng \((0;1)\) là
A. \(( - \infty;1\rbrack\). B. \(\lbrack 1; + \infty)\). C. \(( - \infty;1)\). D. \((1; + \infty)\).
Hướng dẫn giải
Chọn B
Cách 1:
Ta có:
\(y = \frac{1}{3}x^{3} - \frac{(m +
2)}{2}x^{2} + 2mx + 1 \Rightarrow y' = x^{2} - (m + 2)x +
2m\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
x = m \\
x = 2
\end{matrix} \right.\)
Để hàm số đồng biến trên khoảng \((0;1)\) thì \(\left\lbrack \begin{matrix}
0 < 1 \leq m \leq 2 \\
0 < 1 \leq 2 \leq m
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow m \geq 1\).
Do đó \(m \in \lbrack 1; +
\infty)\)
Cách 2:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \((0;1)
\Leftrightarrow y' = x^{2} - (m + 2)x + 2m \geq 0;\forall x \in
(0;1)\)
\(\Leftrightarrow (x - 2)(x - m) \geq
0;\forall x \in (0;1) \Leftrightarrow x \leq m;\forall x \in
(0;1)\)
Vậy \(m \in \lbrack 1; +
\infty)\).
C. Bài tập vận dụng có đáp án chi tiết
Bài tập 1. Cho hàm số: \(y = -
\frac{x^{3}}{3} + (a - 1)x^{2} + (a + 3)x - 4\). Tìm \(a\) để hàm số đồng biến trên khoảng \((0;\ \ 3)\)
A. \(a \geq \frac{12}{7}\). B. \(a < - 3\). C. \(a \leq - 3\). D. \(a > \frac{12}{7}\).
Bài tập 2. Cho hàm số \(y\ =
\frac{1}{3}x^{3}\ - \ mx^{2}\ + \ (m\ - \ 2\ )x + 5\). Với \(0 < m < 9\) thì có bao nhiêu giá trị \(m\) là số tự nhiên sao cho hàm số đồng biến trên \(\lbrack
2;5\rbrack\) ?
A. \(7\). B. \(5\). C. \(3\). D. \(1\).
Bài tập 3. Với mọi giá trị \(m \geq
a\sqrt{b}\), \(\left( a,\ \
b\mathbb{\in Z} \right)\) thì hàm số \(y
= 2x^{3} - mx^{2} + 2x\) đồng biến trên khoảng \(( - 2\ ;0)\). Khi đó \(a + b\) bằng?
A. \(2\). B. \(1\). C. \(3\). D. \(4\).
Bài tập 4. Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên dương của \(m\) để hàm số \(y = x^{3} - 3(2m + 1)x^{2} + (12m + 5)x +
2\) đồng biến trên khoảng \((2;\ +
\infty)\). Số phần tử của \(S\) bằng
A. \(1\) B. \(2\) C. \(3\) D. \(0\)
Bài tập 5. Tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số \(f(x) = x^{3} - 2mx^{2} + x\) nghịch biến trên khoảng \((1;2)\)là:
A. \(m \geq \frac{13}{8}.\) B. \(1 \leq m \leq \frac{13}{8}.\) C. \(m \leq 0.\) D. \(m > \frac{13}{8}.\)
Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu
--------------------------------------------------------
Thông qua chuyên đề xét sự đơn điệu của hàm đa thức, bạn sẽ hiểu rõ cách vận dụng đạo hàm để phân tích tính đồng biến, nghịch biến một cách chính xác và khoa học. Đây là nền tảng quan trọng để giải nhanh các bài toán liên quan đến tham số m, cực trị và đồ thị hàm số trong đề thi THPT Quốc gia. Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn tự tin hơn khi gặp các câu hỏi vận dụng cao.
