Toán 12 Bài 4: Hàm số mũ Hàm số Logarit
Hàm số mũ, Hàm số logarit Toán 12
Trong chương trình Toán 12, Hàm số mũ và Hàm số Logarit là hai chủ đề quan trọng giúp học sinh chuẩn bị vững vàng cho kỳ thi THPT Quốc gia. Bài học Toán 12 Bài 4: Hàm số mũ và Hàm số Logarit không chỉ cung cấp những kiến thức lý thuyết cơ bản mà còn bao gồm những bài tập ứng dụng, giúp học sinh vận dụng kiến thức vào thực tiễn.
Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ lý thuyết và bài tập về Hàm số mũ và Hàm số Logarit Toán 12, giúp các em dễ dàng làm quen với các dạng bài thường gặp trong đề thi và nâng cao khả năng giải quyết các bài toán phức tạp. Các bài tập sẽ đi từ dễ đến khó, với đáp án chi tiết, giúp học sinh củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán. Đặc biệt, với sự phân tích rõ ràng và dễ hiểu, bài viết này sẽ là tài liệu ôn thi cực kỳ hữu ích cho các bạn học sinh lớp 12.
- Hình lăng trụ là gì? Lăng trụ tam giác đều, tứ giác đều, lục giác
- Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác
- 300 câu hỏi trắc nghiệm môn Toán lớp 12 (Có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm cực trị của hàm số và điểm uốn (Có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm thể tích khối đa diện (Có đáp án)
A. Lý thuyết Hàm số mũ, Hàm số Logarit
1. Hàm số mũ
- Hàm số mũ cơ số a là hàm số có dạng
\(y=a^x,a\in\mathbb{R},a\neq1\) - Tập xác định hàm số mũ: \(D=\mathbb{R}\)
- Đạo hàm hàm số mũ:
\(\forall x\in\mathbb{R},\left ( e^x \right )'=e^x\)
\(\forall x \in \mathbb{R}, a>0,a\neq1\\\left ( a^u \right )'=a^u.lna\)
- Khảo sát sự biến thiên của hàm số mũ:
- Nếu \(a>1\) hàm số luôn đồng biến
- Nếu \(0 < a<1\) hàm số luôn nghịch biến
- Tiệm cận: Trục Ox là tiệm cận ngang
- Đồ thị nằm hoàn toàn phía trên trục hoành và luôn cắt trục tung tại điểm \((0,1)\) và đi qua điểm \((1,a)\)
2. Hàm số Logarit
- Hàm số Logarit là hàm số có dạng \(y=log_ax,(a>0,a\neq1)\)
- Hàm số \(y=log_ax,(a>0,a\neq1)\) có đạo hàm tại mọi \(x>0\) và \((log_ax)'=\dfrac{1}{x.lna}\)
- Khảo sát sự biến thiên của Hàm số Logarit:
- Nếu \(a>1\) hàm số luôn đồng biến
- Nếu \(0< a<1\) hàm số luôn nghịch biến
- Oy là tiệm cận đứng
- Đồ thị hàm số đi qua các điểm \((1,0),(a,1)\) nằm phía bên phải trục tung
3. Bảng đạo hàm các hàm số lũy thừa, mũ, logarit
| Đạo hàm hàm sơ cấp | Đạo hàm hàm hợp |
| \(\left( {{x}^{\alpha }} \right)'=\alpha .{{x}^{\alpha -1}}\) |
\(\left( {{u}^{\alpha }} \right)'=\alpha .{{u}^{\alpha -1}}.u'\) |
| \(\left( {{e}^{x}} \right)'={{e}^{x}}\) |
\(\left( {{e}^{u}} \right)'={{e}^{u}}.u'\) |
| \(\left( {{a}^{x}} \right)'={{a}^{x}}.\ln a\) |
\(\left( {{a}^{u}} \right)'={{a}^{u}}.u'.\ln u\) |
| \(\left( \ln x \right)'=\frac{1}{x}\) |
\(\left( \ln u \right)'=\frac{u'}{u}\) |
| \(\left( {{\log }_{a}}x \right)'=\frac{1}{x.\ln a}\) |
\(\left( {{\log }_{a}}u \right)'=\frac{u'}{u.\ln a}\) |
Ví dụ 1. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên tập xác định của nó?
\(y = log_{\sqrt{2}}x\); \(y = log_{\pi}2x\); \(y = log_{2}x\); \(y = log_{\frac{e}{2\pi}}x\)
Hướng dẫn giải:
Hàm số \(y = log_{\frac{e}{2\pi}}x\) có \(0 < \frac{e}{2\pi} < 1\) là hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.
Các hàm số \(y = log_{\sqrt{2}}x\); \(y = log_{\pi}2x\); \(y = log_{2}x\) có cơ số lớn hơn 1 nên đồng biến trên tập xác định của nó.
Ví dụ 2. Hãy xác định hàm số đồng biến trên toàn tập xác định của nó trong các hàm số dưới đây?
\(y = log_{\sqrt{5}}x\); \(y = \left( 3\sqrt{2} \right)^{- x}\); \(y = log_{\frac{\pi}{6}}x\); \(y = \left( \frac{e}{3\pi} \right)^{x}\)
Hướng dẫn giải:
Hàm số \(y = log_{\sqrt{5}}x\) có \(\sqrt{5} > 1\) nên hàm số \(y = log_{\sqrt{5}}x\) đồng biến trên tập xác định của nó là \((0; +
\infty)\).
Hàm số \(y = \left( 3\sqrt{2} \right)^{-
x}\) có \(0 < \frac{1}{3\sqrt{2}}
< 1\) nên nghịch biến trên tập xác định của nó.
Hàm số \(y = \left( \frac{e}{3\pi}
\right)^{x}\) có \(0 <
\frac{e}{3\pi} < 1\) nên hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.
Hàm số \(y = log_{\frac{\pi}{6}}x\) có \(0 < \frac{\pi}{6} < 1\) nên hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.
Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên của dương của tham số \(m\) để hàm số \(y
= (6 - m)^{x}\) đồng biến trên tập số thực?
Hướng dẫn giải:
Hàm số \(y = (6 - m)^{x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(6 - m > 1 \Leftrightarrow m <
5\)
Mà \(m \in \mathbb{Z}^{+} \Rightarrow m \in
\left\{ 1;2;3;4 \right\}\)
Vậy có 4 giá trị của tham số m thỏa mãn điều kiện đề bài.
Ví dụ 4. Bác H gửi ngân hàng 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 6%/ 1 năm theo hình thức lại kép nghĩa là nếu bác không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi cần ít nhất bao lâu để bác H nhận được số tiền nhiều hơn 400 triệu bao gồm cả gốc và lãi?
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức lại kép thì sau n năm số tiền bác H nhận được là \(T = 10^{8}.1,06^{n}\)
Để nhận được số tiền hơn 400 triệu thì
\(T > 4.10^{8} \Leftrightarrow
10^{8}.1,06^{n} > 4.10^{8}\)
\(\Leftrightarrow 1,06^{n} > 4
\Leftrightarrow n > log_{1,06}4 \approx 23,79\)
Vậy sau ít nhất 24 năm thì bác H nhận được số tiền như mong muốn.
B. Giải SGK Toán 12 Bài 4
Trong Sách giáo khoa Toán lớp 12, các bạn học sinh chắc hẳn sẽ gặp những bài toán khó, phải tìm cách giải quyết. Hiểu được điều này, VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho các bài tập trong Sách giáo khoa Toán lớp 12. Mời các bạn học sinh tham khảo:
C. Giải SBT Toán 12 Bài 4
Sách bài tập Toán 12 tổng hợp các bài Toán từ cơ bản tới nâng cao, đi kèm với đó là đáp án. Tuy nhiên, nhiều đáp án không được giải chi tiết khiến cho các bạn học sinh gặp nhiều khó khăn khi tiếp xúc với dạng bài mới. VnDoc đã tổng hợp và gửi tới các bạn học sinh lời giải và đáp án chi tiết cho từng dạng bài tập trong Sách bài tập để các bạn có thể nắm vững, hiểu rõ hơn về dạng bài tập này. Mời các bạn học sinh tham khảo:
D. Bài tập Hàm mũ, Hàm Logarit
Để ôn tập lại kiến thức cũng như rèn luyện nâng cao hơn phần bài tập Giải tích 12 này, VnDoc xin gửi tới các bạn học sinh Tài liệu Hàm mũ, Hàm Logarit Toán 12 do VnDoc biên soạn. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh hiểu sâu hơn và nắm rõ hơn lý thuyết cũng như bài tập của bài học này. Mời các bạn học sinh tham khảo:
----------------------------------------------------
Hy vọng rằng bài viết về Hàm số mũ và Hàm số Logarit Toán 12 sẽ giúp các em học sinh có thêm tài liệu ôn thi hữu ích và nắm vững kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 12. Việc nắm vững lý thuyết và luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em giải quyết thành thạo các bài toán về hàm số mũ và logarit, từ đó đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc gia.
Để ôn luyện hiệu quả hơn, các em học sinh có thể tham khảo thêm các bài tập trắc nghiệm, lý thuyết và các chuyên đề khác của Toán 12 trên trang web của chúng tôi. Việc tiếp cận với các bài tập đa dạng sẽ giúp các em hiểu sâu hơn về các dạng bài thi và tăng cường kỹ năng giải quyết vấn đề.
Đừng quên chia sẻ bài viết này với bạn bè và người thân để cùng nhau ôn luyện và đạt kết quả thi tốt nhất. Chúc các bạn học sinh ôn thi hiệu quả, tự tin và thành công trong kỳ thi sắp tới!
