Giao diện mới của VnDoc Pro: Dễ sử dụng hơn - chỉ tập trung vào lớp bạn quan tâm. Vui lòng chọn lớp mà bạn quan tâm: Lưu và trải nghiệm

Công thức Logarit Toán 12

Để giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập tốt hơn môn Toán, VnDoc xin mời các bạn tham khảo tài liệu Công thức Logarit Toán 12. Bộ tài liệu giúp bạn củng cố công thức logarit, đạo hàm logarit, ... được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và đề thi THPT Quốc gia. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 12, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 12 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 12. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

1. Định nghĩa Logarit

- Cho hai số dương a và b với a\ne 1a1. Số \omegaω thỏa mãn đẳng thức {{a}^{\omega }}=baω=b được gọi là logarit cơ số a của b. Kí hiệu: \log _{a}^{b}=\omegalogab=ω

2. Logarit thập phân và logarit tự nhiên

- Logarit thập phân hay logarit cơ số 10, log10b sẽ được viết lại thành log b hoặc lg b.

- Logarit số tự nhiên là logarit cơ số e \left( {e = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}^n} \approx 2,71828182845...} \right)(e=limn(1+1n)n2,71828182845...), kí hiệu là lnb

3. Tính chất của logarit

a. Logarit của đơn vị và logarit của cơ số

Với cơ số tùy ý, ta luôn có loga1 = 0 và logaa = 1.

b. Phép mũ hóa và phép logarit hóa theo cùng cơ số

Chú ý: Đây là hai phép toán ngược nhau. Nếu mũ hóa số thực a theo cơ số a là tính a0 thì logarit hóa số dương b theo cơ số a là tính logab.

Ta có: 

  • ∀a > 0, a ≠ 1, ∀ b > 0, {a^{{{\log }_a}b}} = balogab=b
  • ∀a > 0, a ≠ 1, {\log _a}{a^n} = nlogaan=n

c. Logarit và các phép toán:

- Phép logarit hóa biến phép nhân thành phép cộng, phép chia thành phép trừ, phép nâng lên lũy thừa thành phép nhân, phép khai căn thành phép chia:

  •  ∀a,b1,b2 > 0 ( a≠1), loga(b1b2) = logab1 + logab2
    loga(b1/b2) = logab1 - logab2
  •  ∀a,b > 0 (a ≠ 1), ∀α, logabα = αlogab

d. Đổi cơ số

- Có thể chuyển các phép lấy logarit theo những cơ số khác nhau về việc tính logarit theo cùng một cơ số chung, cụ thể là:

  • ∀a, b, c > 0 (a, c ≠ 1), logab = logcb / logca
  • ∀a, b (a, b ≠1) logab = 1/logba=1/logba
  • ∀a, b > 0 (a ≠ 1), ∀α, β (α ≠ 0), {\log _{{a^\alpha }}}b = \frac{1}{\alpha }{\log _a}b,{\log _{{a^\alpha }}}{b^\beta } = \frac{\beta }{\alpha }{\log _a}blogaαb=1αlogab,logaαbβ=βαlogab

4. Bảng công thức Logarit đầy đủ

Với x,y>0x,y>0

{{\log }_{a}}1=0,{{\log }_{a}}a=1loga1=0,logaa=1 \begin{align}

 & {{\log }_{{{m}^{\alpha }}}}x=\frac{1}{\alpha }{{\log }_{m}}x \\

& {{\log }_{{{m}^{\alpha }}}}{{x}^{\beta }}=\frac{\beta }{\alpha }{{\log }_{m}}x \\

\end{align}(1)logmαx=1αlogmx(2)logmαxβ=βαlogmx
{{\log }_{a}}\left( \frac{x}{y} \right)=-{{\log }_{a}}\left( \frac{y}{x} \right)loga(xy)=loga(yx) {{\log }_{a}}\left( x.y \right)={{\log }_{a}}x+{{\log }_{a}}yloga(x.y)=logax+logay
{{\log }_{a}}{{a}^{m}}=mlogaam=m \lg a=\log a={{\log }_{10}}alga=loga=log10a
\begin{align}

 & {{\log }_{a}}{{x}^{\beta }}=\beta {{\log }_{a}}x \\

 & {{\log }_{a}}{{x}^{2}}=2{{\log }_{a}}\left| x \right| \\

 \end{align}(3)logaxβ=βlogax(4)logax2=2loga|x| \begin{align}

& {{\log }_{a}}\left( \frac{x}{y} \right)={{\log }_{a}}x-{{\log }_{a}}y \\
 & {{\log }_{a}}\left( \frac{1}{y} \right)=-{{\log }_{a}}y \\

 \end{align}(5)loga(xy)=logaxlogay(6)loga(1y)=logay
{{a}^{{{\log }_{a}}b}}=balogab=b \ln a={{\log }_{e}},e=2,718...lna=loge,e=2,718...

5. Công thức đạo hàm Logarit

Đạo hàm hàm sơ cấp Đạo hàm hàm hợp
\left( {{x}^{\alpha }} \right)(xα)=α.xα1 \left( {{u}^{\alpha }} \right)(uα)=α.uα1.u
\left( {{e}^{x}} \right)(ex)=ex \left( {{e}^{u}} \right)(eu)=eu.u
\left( {{a}^{x}} \right)(ax)=ax.lna \left( {{a}^{u}} \right)(au)=au.u.lnu
\left( \ln x \right)(lnx)=1x \left( \ln u \right)(lnu)=uu
\left( {{\log }_{a}}x \right)(logax)=1x.lna \left( {{\log }_{a}}u \right)(logau)=uu.lna

4. Công thức Logarit Nepe

\ln a={{\log }_{e}}a,e=2,718...lna=logea,e=2,718... \left( \ln x \right)(lnx)=1x
\left( {{a}^{x}} \right)(ax)=ax.lna \left( {{a}^{u}} \right)(au)=au.u.lnu
\left( \ln x \right)(lnx)=1x \left( \ln u \right)(lnu)=uu

6. Công thức mũ Logarit

{{a}^{n}}=\underbrace{a.a.a....a}_{n}an=a.a.a....an {{\left( \frac{a}{b} \right)}^{n}}=\frac{{{a}^{n}}}{{{b}^{n}}}(ab)n=anbn
{{a}^{0}}=1,\forall a\ne 0a0=1,a0 {{\left( {{a}^{m}} \right)}^{n}}={{a}^{m.n}}={{\left( {{a}^{m}} \right)}^{n}}(am)n=am.n=(am)n
{{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}}an=1an \sqrt[n]{{{a}^{m}}}={{\left( \sqrt[n]{a} \right)}^{m}}={{a}^{\frac{m}{n}}}amn=(an)m=amn
{{a}^{m}}.{{a}^{n}}={{a}^{m+n}}am.an=am+n \sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a}akn=ank
\frac{{{a}^{m}}}{{{a}^{n}}}={{a}^{m-n}}aman=amn {{a}^{\frac{-m}{n}}}=\frac{1}{{{a}^{\frac{m}{n}}}}=\frac{1}{\sqrt[n]{{{a}^{m}}}}amn=1amn=1amn
{{\left( a.b \right)}^{n}}={{a}^{n}}.{{b}^{n}}(a.b)n=an.bn \sqrt[n]{{{a}^{m}}}=\left\{ \begin{matrix}

a,n=2k+1 \\

\left| a \right|,n=2k \\

\end{matrix} \right.amn={a,n=2k+1|a|,n=2k

7. Bài tập Logarit 

Câu 1. Có bao nhiêu số thực dương a \neq
1a1 để log_{a}265\mathbb{\in
Z}loga265Z?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

log_{a}265 = log_{a}2^{8} = 8.log_{a}2 =
\frac{8}{log_{2}a}loga265=loga28=8.loga2=8log2a

Để log_{a}265\mathbb{\in Z}loga265Z thì log_{2}a \in U(8) = \left\{ \pm 1; \pm 2;
\pm 4; \pm 8 \right\}log2aU(8)={±1;±2;±4;±8}

\Rightarrow a \in \left\{
\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{16};\frac{1}{256};2;4;16;256
\right\}a{12;14;116;1256;2;4;16;256}

Vậy có tất cả 8 số thực dương a \neq
1a1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 2. Cho ba số thực dương a \neq 1,b
\neq 1,c \neq 1a1,b1,c1 thỏa mãn phương trình\left\{ \begin{matrix}
log_{a}b = 2log_{b}c = 4log_{c}a \\
a + 2b + 3c = 48 \\
\end{matrix} \right.{logab=2logbc=4logcaa+2b+3c=48. Khi đó giá trị biểu thức P = a.b.c =P=a.b.c=243 bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Theo bài ra: a \neq 1,b \neq 1,c \neq
1a1,b1,c1

\Rightarrow log_{a}b \neq 0;log_{b}c \neq
0;log_{c}a \neq 0logab0;logbc0;logca0

Khi đó ta có:

log_{a}b = 2log_{b}clogab=2logbc

\Rightarrow log_{a}c.log_{c}b =
2log_{b}clogac.logcb=2logbc

\Rightarrow log_{a}c =
2log_{b}^{2}clogac=2logb2c

log_{a}b = 4log_{c}alogab=4logca

\Rightarrow log_{a}c.log_{c}b =
4log_{c}alogac.logcb=4logca

\Rightarrow log_{c}b =
4log_{c}^{2}alogcb=4logc2a

Nên log_{a}c.log_{c}b =
8log_{b}^{2}c.log_{c}^{2}alogac.logcb=8logb2c.logc2a

\Leftrightarrow log_{a}b =
8log_{b}^{2}alogab=8logb2a

\Leftrightarrow log_{a}^{3}b = 8
\Leftrightarrow log_{a}b = 2 \Leftrightarrow b = a^{2}loga3b=8logab=2b=a2

log_{a}b = 2log_{b}clogab=2logbc

\Leftrightarrow log_{a}b = 2log_{a^{2}}c
\Leftrightarrow b = clogab=2loga2cb=c

Ta lại có: a + 2b + 3c = 48a+2b+3c=48

\Leftrightarrow a + 2a^{2} + 3a^{2} =
48a+2a2+3a2=48

\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
a = - \frac{16}{5}(ktm) \\
a = 3(tm) \\
\end{matrix} \right.[a=165(ktm)a=3(tm)

Vậy \left\{ \begin{matrix}
a = 3 \\
b = 9 \\
c = 9 \\
\end{matrix} \right.\  \Rightarrow P = a.b.c = 243{a=3b=9c=9 P=a.b.c=243

Câu 3. Biết m,nm,n là hai số dương tùy ý thì \log\left( m^{3}n^{2}
\right)log(m3n2) có giá trị tương ứng với biểu thức nào sau đây?

  1. 3logm + 2logn3logm+2logn
  2. 3logm + \frac{1}{2}\log n3logm+12logn
  3. 2logm + 3logn2logm+3logn
  4. 3\left( \log m + \frac{1}{2}\log n
\right)3(logm+12logn)

Hướng dẫn giải:

Ta có: m,n > 0m,n>0

\log\left( m^{3}n^{2} \right) = \log
m^{3} + \log n^{2} = 3logm + 2lognlog(m3n2)=logm3+logn2=3logm+2logn

Câu 4. Biết log_{m^{2}}\left(
\frac{m^{3}}{\sqrt[5]{n^{3}}} \right) = 3logm2(m3n35)=3 với m,n > 0;m \neq 1m,n>0;m1. Hỏi giá trị của biểu thức log_{m}nlogmn bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

log_{m^{2}}\left(
\frac{m^{3}}{\sqrt[5]{n^{3}}} \right) = 3logm2(m3n35)=3

\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left(
log_{m}m^{3} - log_{m}n^{\frac{3}{5}} \right) = 312(logmm3logmn35)=3

\Leftrightarrow 3 - \frac{3}{5}log_{m}n
= 6335logmn=6

\Leftrightarrow log_{m}n = -
5logmn=5

Câu 5. Với log_{2}x = \sqrt{5}log2x=5 thì biểu thức log_{2x}xlog2xx có giá trị bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

log_{2}x = \sqrt{5} \Rightarrow x =
2^{\sqrt{5}} > 1log2x=5x=25>1

\Rightarrow
log_{x}2;log_{x}x;log_{x}2xlogx2;logxx;logx2x đều xác định và log_{x}2x \neq 0logx2x0 khi đó:

log_{2x}x = \frac{1}{log_{x}2x} =
\frac{1}{log_{x}2 + log_{x}x}log2xx=1logx2x=1logx2+logxx

= \frac{1}{\frac{1}{log_{2}x} + 1} =
\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{5}} + 1} = \frac{\sqrt{5}}{1 +
\sqrt{5}}=11log2x+1=115+1=51+5

Câu 6. Cho x,yx,y là các số thực dương lớn hơn 1 thỏa mãn m^{2} + 9n^{2} =
6mnm2+9n2=6mn. Tính giá trị biểu thức T =
\frac{1 + log_{12}m + log_{12}n}{2log_{12}(m + 3n)}T=1+log12m+log12n2log12(m+3n)?

Hướng dẫn giải:

Ta có: m^{2} + 9n^{2} = 6mnm2+9n2=6mn

\Leftrightarrow (m - 3n)^{2} = 0
\Leftrightarrow m = 3n(m3n)2=0m=3n

\Rightarrow T = \frac{1 + log_{12}m +
log_{12}n}{2log_{12}(m + 3n)} = \frac{log_{12}36n^{2}}{log_{12}36n^{2}}
= 1T=1+log12m+log12n2log12(m+3n)=log1236n2log1236n2=1

Câu 7. Tính giá trị của biểu thức log_{\sqrt[6]{x}}\left(
x^{\frac{7}{4}}.\sqrt[6]{y} \right)logx6(x74.y6) biết \left\{ \begin{matrix}
x,y > 0,x \neq 1 \\
log_{x}y = \sqrt{2022} \\
\end{matrix} \right.{x,y>0,x1logxy=2022?

  1. 42 + \frac{\sqrt{2022}}{6}42+20226
  2. \frac{7}{4} + 6\sqrt{2022}74+62022
  3. \frac{21}{2} + \sqrt{2022}212+2022
  4. \frac{4}{7} + 3\sqrt{2022}47+32022

Hướng dẫn giải:

Ta có:

log_{\sqrt[6]{x}}\left(
x^{\frac{7}{4}}.\sqrt[6]{y} \right) = log_{\sqrt[6]{x}}x^{\frac{7}{4}} +
log_{\sqrt[6]{x}}\sqrt[6]{y}logx6(x74.y6)=logx6x74+logx6y6

= 6.\frac{7}{4} + \sqrt{2022} =
\frac{21}{2} + \sqrt{2022}=6.74+2022=212+2022

Câu 8. Cho tam giác vuông ABC có a,ba,b là độ dài hai cạnh góc vuông, cc là độ dài cạnh huyền với điều kiện c - b \neq 1;c + b \neq 1cb1;c+b1. Chọn kết luận đúng.

  1. log_{c + b}a + log_{c - b}a = 2log_{c +
b}a.log_{c - b}alogc+ba+logcba=2logc+ba.logcba
  2. log_{c + b}a + log_{c - b}a = log_{c +
b}a.log_{c - b}alogc+ba+logcba=logc+ba.logcba
  3. log_{c + b}a + log_{c - b}a = - 2log_{c
+ b}a.log_{c - b}alogc+ba+logcba=2logc+ba.logcba
  4. log_{c + b}a + log_{c - b}a = - log_{c +
b}a.log_{c - b}alogc+ba+logcba=logc+ba.logcba

Hướng dẫn giải:

Do tam giác ABC vuông nên ta có:

c^{2} = a^{2} + b^{2}c2=a2+b2

\Rightarrow a^{2} = c^{2} -
b^{2}a2=c2b2

\Rightarrow a^{2} = (c - b)(c +
b)a2=(cb)(c+b)

\Rightarrow log_{a}a^{2} =
log_{a}\left\lbrack (c - b)(c + b) \right\rbracklogaa2=loga[(cb)(c+b)]

\Rightarrow 2 = log_{a}\lbrack c -
b\rbrack + log_{a}\lbrack c + b\rbrack2=loga[cb]+loga[c+b]

\Rightarrow 2 = log_{a}\lbrack c -
b\rbrack + log_{a}\lbrack c + b\rbrack2=loga[cb]+loga[c+b]

\Rightarrow 2 = \frac{1}{log_{c - b}a} +
\frac{1}{log_{c + b}a}2=1logcba+1logc+ba

\Rightarrow log_{c + b}a + log_{c - b}a
= 2log_{c + b}a.log_{c - b}alogc+ba+logcba=2logc+ba.logcba

Câu 9. Một người gửi 150 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,8%/tháng. Kể từ ngày gửi nếu mỗi cuối tháng người đó rút đều đặn 3 triệu đồng (trừ tháng cuối) thì sau bao nhiêu tháng số tiền đó sẽ được tút hết? (Tháng cuối cùng là tháng mà số tiền còn trong ngân hàng không vượt quá 3 triệu đồng và khi đó người đó rút hết toàn bộ số tiền còn lại).

  1. 6666 tháng
  2. 6060 tháng
  3. 6262 tháng
  4. 6464 tháng

Hướng dẫn giải:

Gọi A_{n}An là số tiền còn lại sau khi người đó rút đến tháng thứ n, AA là số tiền gửi vào, rr là lãi suất hàng tháng và XXlà số tiền rút ra hàng tháng.

Ta có:

A_{1} = A(1 + r) - XA1=A(1+r)X

A_{2} = A(1 + r)^{2} - X\left\lbrack (1
+ r) + 1 \right\rbrackA2=A(1+r)2X[(1+r)+1]

A_{3} = A(1 + r)^{3} - X\left\lbrack (1
+ r)^{2} + (1 + r) + 1 \right\rbrackA3=A(1+r)3X[(1+r)2+(1+r)+1]

….

A_{n} = A(1 + r)^{n} - X\left\lbrack (1
+ r)^{n - 1} + (1 + r)^{n - 2} + ... + (1 + r) + 1
\right\rbrackAn=A(1+r)nX[(1+r)n1+(1+r)n2+...+(1+r)+1]

\Rightarrow A_{n} = A(1 + r)^{n} -
X.\frac{(1 + r)^{n - 1} - 1}{r}An=A(1+r)nX.(1+r)n11r

\Rightarrow n = log_{1 + r}\frac{A_{n}.r
- X}{A.r - X}n=log1+rAn.rXA.rX

\Rightarrow n = log_{1 + 0,8\%}\frac{-
3.10^{6}}{150.10^{6}.0,8\% - 3.10^{6}} = 64,10827659n=log1+0,8%3.106150.106.0,8%3.106=64,10827659

Vậy n = 64 tháng.

--------------------------------------------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Công thức Lôgarit Toán 12. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Thi THPT Quốc gia môn Toán, Thi THPT Quốc gia môn Văn, Thi THPT Quốc gia môn Lịch sử mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Chia sẻ, đánh giá bài viết
8
Chọn file muốn tải về:
Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!
Đóng
79.000 / tháng
Đặc quyền các gói Thành viên
PRO
Phổ biến nhất
PRO+
Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp
Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí
Xem nội dung bài viết
Trải nghiệm Không quảng cáo
Làm bài trắc nghiệm không giới hạn
Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%
Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!
Số điện thoại này đã được xác thực!
Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây!
Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin
Sắp xếp theo
🖼️

Gợi ý cho bạn

Xem thêm
🖼️

Chuyên đề Toán 12

Xem thêm
Chia sẻ
Chia sẻ FacebookChia sẻ TwitterSao chép liên kếtQuét bằng QR Code
Mã QR Code
Đóng