VnDoc.com

Bài toán lãi suất - Có đáp án (Tiếp theo)

Bài tập Toán 12

Bài trước

Tải về

Bài sau

Bài toán lãi suất (Tiếp theo)

Để giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập tốt hơn môn Toán, VnDoc xin mời các bạn tham khảo tài liệu Bài toán lãi suất - Có đáp án (Tiếp theo). Bộ tài liệu giới thiệu đến bạn đọc những bài tập về tính lãi đơn, lãi kép, vay vốn ngân hàng, ... được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và đề thi THPT Quốc gia. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại

Bài tập 1: Một người vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 0.5%/ tháng theo hình thức lãi kép với thỏa thuận: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay thì ông bắt đầu trả nợ và đều đặn cứ mỗi tháng người đó sẽ trả cho ngân hàng 8 triệu đồng cho đến khi hết nợ (biết tháng cuối cùng có thể trả dưới 8 triệu đồng). Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó trả hết nợ?

A. 22 tháng	C. 24 tháng
B. 23 tháng	D. 25 tháng

Hướng dẫn giải

- Xây dựng công thức cho bài toán: Vay M đồng, lãi a%/tháng. Hỏi hàng tháng phải trả bao nhiêu để sau n tháng thì trả hết nợ.

- Gọi T là số tiền trả hàng tháng.

+ Cuối tháng 1, người đó nợ: _{$M (1 + a)$}

+ Trả T đồng nên còn nợ: _{$M (1 + a) - T$}

Cuối tháng 2, người đó nợ:

${{M}_{1}}\left( 1+a \right)=\left[ M\left( 1+a \right)-T \right]\left( 1+a \right)=M{{\left( 1+a \right)}^{2}}-T\left( 1+a \right)$ $M_{1} (1 + a) = [M (1 + a) - T] (1 + a) = M {(1 + a)}^{2} - T (1 + a)$

+ Trả T đồng nên còn nợ: _{$M {(1 + a)}^{2} - T (1 + a) - T$}

…..

Lặp lại quá trình trên, theo quy nạp toán học ta có:

+ Cuối tháng n, người đó nợ:

${{M}_{n-1}}\left( 1+a \right)=M{{\left( 1+a \right)}^{n}}-T{{\left( 1+a \right)}^{n-1}}-T{{\left( 1+a \right)}^{n-2}}-...-T\left( 1+a \right)$ $M_{n - 1} (1 + a) = M {(1 + a)}^{n} - T {(1 + a)}^{n - 1} - T {(1 + a)}^{n - 2} - . . . - T (1 + a)$

+ Trả được T đồng nên còn nợ:

$\begin{align} & M{{\left( 1+a \right)}^{n}}-T{{\left( 1+a \right)}^{n-1}}-T{{\left( 1+a \right)}^{n-2}}-...-T\left( 1+a \right)-T \\ & =M{{\left( 1+a \right)}^{n}}-T\left[ {{\left( 1+a \right)}^{n-1}}+{{\left( 1+a \right)}^{n-2}}+....+\left( 1+a \right)+1 \right] \\ & =M{{\left( 1+a \right)}^{n}}-T\frac{{{\left( 1+a \right)}^{n}}-1}{a} \\ \end{align}$ $\begin{aligned} (1) & M {(1 + a)}^{n} - T {(1 + a)}^{n - 1} - T {(1 + a)}^{n - 2} - . . . - T (1 + a) - T \\ (2) & = M {(1 + a)}^{n} - T [{(1 + a)}^{n - 1} + {(1 + a)}^{n - 2} + . . . . + (1 + a) + 1] \\ (3) & = M {(1 + a)}^{n} - T \frac{{(1 + a)}^{n} - 1}{a} \end{aligned}$

+ Để trả hết nợ sau n tháng thì số tiền T phải trả là:

$T=\frac{M.a.{{\left( 1+a \right)}^{n}}}{{{\left( 1+a \right)}^{n}}-1}\Rightarrow n\approx 23,92$ $T = \frac{M . a . {(1 + a)}^{n}}{{(1 + a)}^{n} - 1} \Rightarrow n \approx 23, 92$

Chọn đáp án C

Bài toán 2: Anh A muốn mua một chiếc ô tô trị giá 2 tỉ đồng, nhưng vì chưa đủ tiền nên ông chọn mua bằng hình thức trả góp hàng tháng với lãi suất 14% và trả trước 800 triệu đồng. Hỏi mỗi tháng anh phải trả số tiền gần nhất với số tiền nào dưới đây để sau đúng 2 năm kể từ ngày mua xe, anh trả hết nợ, biết kì trả nợ đầu tiền sau ngày mua ô tô đúng một tháng và chỉ tính lãi hàng tháng trên số dư nợ thực tế của tháng đó?

A. 72.965.000 đồng	B. 72.019.000 đồng
C. 73.235.000 đồng	D. 74.781.000 đồng

Hướng dẫn giải

Bài toán đặt ra: Vay M đồng từ ngân hàng với lãi suất a%. Hỏi hàng tháng phải trả bao nhiêu tiền để sau n tháng trả hết nợ.

Phương pháp:

- Gọi số tiền trả hàng tháng là T đồng

- Cuối tháng thứ nhất, số tiền người đó nợ là: _{$M (1 + a) - T$}

- Cuối tháng thứ 2, số tiền người đó còn nợ: _{$M {(1 + a)}^{2} - T (1 + a) - T$}

- Cuối tháng thứ 3, số tiền người đó còn nợ: _{$M {(1 + a)}^{3} - T {(1 + a)}^{2} - T (1 + a) - T$}

…….

- Cuối tháng thứ n, số tiền người đó còn nợ:

$\begin{align} & M{{\left( 1+a \right)}^{n}}-T{{\left( 1+a \right)}^{n-1}}-T{{\left( 1+a \right)}^{n-2}}-...-T \\ & =M{{\left( 1+a \right)}^{n}}-T\frac{{{\left( 1+a \right)}^{n}}-1}{a} \\ \end{align}$ $\begin{aligned} (4) & M {(1 + a)}^{n} - T {(1 + a)}^{n - 1} - T {(1 + a)}^{n - 2} - . . . - T \\ (5) & = M {(1 + a)}^{n} - T \frac{{(1 + a)}^{n} - 1}{a} \end{aligned}$

- Để trả hết nợ sau n tháng thì

$M{{\left( 1+a \right)}^{n}}-T\frac{{{\left( 1+a \right)}^{n}}-1}{a}=0\Leftrightarrow T=\frac{M{{\left( 1+a \right)}^{n}}.a}{{{\left( 1+a \right)}^{n}}-1}$ $M {(1 + a)}^{n} - T \frac{{(1 + a)}^{n} - 1}{a} = 0 \Leftrightarrow T = \frac{M {(1 + a)}^{n} . a}{{(1 + a)}^{n} - 1}$

Lãi suất là 14% năm nên mỗi tháng lãi suất là $\frac{7}{6}%$ $\frac{7}{6}$ . Thời gian trả trong 2 năm là 24 tháng, trả trước 800 triệu nên số nợ ban đầy anh A nợ là 1 tỉ 500 triệu

Áp dụng công thức mua trả góp, ta có số tiền anh A phải trả mỗi tháng là:

_{$T = \frac{M {(1 + a)}^{n} . a}{{(1 + a)}^{n} - 1} = \frac{1500.000 .000 \times {(1 + \frac{7}{6} %)}^{24} \times \frac{7}{6} %}{{(1 + \frac{7}{6} %)}^{24} - 1} \approx 72.019 .000$}(đồng)

Chọn đáp án B

Bài toán 3: Chị A gửi 600 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0.6%/ tháng từ ngày 1/1/2020. Từ đó cứ mỗi tháng, chị đến ngân hàng rút 8 triệu để chi tiêu cho gia đình. Hỏi đến ngày 1/1/2021 sau khi rút tiền, số tiền tiết kiệm của chị A còn lại bao nhiêu? Biết lãi suất trong thời gian chị gửi là không thay đổi

A. 550.500.000 đồng
B. 545.422.000 đồng
C. 560.220.000 đồng
D. 555.100.000 đồng

Hướng dẫn giải

Xây dựng công thức cho bài toán: Gửi vào ngân hàng M đồng, lãi suất a%, mỗi tháng rút ra R đồng vào ngày ngân hàng tính lãi. Hỏi sau n tháng, số tiền còn lại là bao nhiêu?

Phương pháp:

- Sau tháng 1, người đó có số tiền là: ${{M}_{1}}=M+M.a=M\left( 1+a \right)$ $M_{1} = M + M . a = M (1 + a)$

Sau khi rút R đồng, số tiền còn lại là: ${{M}_{1}}$ ${M_{1}}^{'} = M + M . a - R$

- Sau tháng thứ 2, người đó có số tiền là: ${{M}_{2}}={{M}_{1}}$ $M_{2} = {M_{1}}^{'} + {M_{1}}^{'} . a = (1 + a) [(1 + a) M + R]$

- Sau khi rút R đồng cả vốn và lãi là: ${{M}_{2}}$ ${M_{2}}^{'} = (1 + a) [(1 + a) M + R] - R = {(1 + a)}^{2} M - R \frac{{(1 + a)}^{2} - 1}{a}$

……

Chứng minh quy nạp ta có công thức sau: _{${M_{n}}^{'} = {(1 + a)}^{n} M - R \frac{{(1 + a)}^{n} - 1}{a}$}

Áp dụng công thức trên ta có số tiền còn lại là:

${{M}_{12}}$ ${M_{12}}^{'} = {(1 + 0, 006)}^{12} {.6 .10}^{8} - {8.10}^{6} \frac{{(1 + 0, 006)}^{12} - 1}{0, 006} = 545.422 .000$ (đồng)

Chọn đáp án B

Bài toán 4: Minh gửi tiết kiệm ở ngân hàng, An gửi tiết kiệm ở ngân hàng B. Cả hai đều nhận lại kép. Số tiền gửi của 2 người có thể khác nhau và lãi suất ở hai ngân hàng có thể khác nhau nhưng không đổi theo thời gian. Giả sử số tiền Minh gửi sau 12 tháng bằng số tiền An gửi sau 5 tháng và số tiền của Minh sau 36 tháng bằng số tiền của An sau 10 tháng. Vậy số tiền của Minh sau 60 tháng bằng số tiền của An sau bao nhiêu tháng.

A. 11 tháng
B. 18 tháng
C. 22 tháng
D. 15 tháng

Hướng dẫn giải

- Gọi số tiền gửi vào ngân hàng của Minh và An lần lượt là: ${{M}_{1}},{{M}_{2}}$ $M_{1}, M_{2}$ với lãi suất lần lượt là: ${{a}_{1}},{{a}_{2}}$ $a_{1}, a_{2}$

- Vì số tiền của Minh sau 12 tháng bằng số tiền An gửi sau 5 tháng nên ta có:

_{$M_{1} {(1 + a_{1})}^{12} = M_{2} {(1 + a_{2})}^{5}$} (1)

- Vì số tiền Minh gửi sau 36 tháng bằng số tiền An gửi sau 10 tháng nên ta có:

_{$M_{1} {(1 + a_{1})}^{36} = M_{2} {(1 + a_{2})}^{10}$} (2)

Bình phương hai vế của (2) rồi chia cho (1) ta có:

${{M}_{1}}{{\left( 1+{{a}_{1}} \right)}^{60}}={{M}_{2}}{{\left( 1+{{a}_{2}} \right)}^{15}}$ $M_{1} {(1 + a_{1})}^{60} = M_{2} {(1 + a_{2})}^{15}$

Vậy số tiền của Minh sau 60 tháng bằng số tiền của An gửi sau 15 tháng

Chọn đáp án D

Bài tập 5: Trong vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bởi công thức: $m(t) = m_{0}\left(\frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{T}}$ $m (t) = m_{0} {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{T}}$ , trong đó $m_{0}$ $m_{0}$ là khối lượng ban đầu của chất phóng xạ (tại thời điểm t = 0); T là chu kì bán rã (tức là khoảng thời gian để một nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác). Chu kì bán rã của Cabon $^{14}C$ $^{14} C$ là khoảng 5730 năm. Người ta tìm được trong một mẫu đồ cổ một lượng Cabon và xác định được nó đã mất khoảng 25% lượng Cabon ban đầu của nó. Hỏi mẫu đồ cổ đó có tuổi là bao nhiêu?

A. 2400 năm B. 2300 năm C. 2387 năm D.2378 năm

Hướng dẫn giải

Giả sử khối lượng ban đầu của mẫu đồ cổ chứa Cabon là $m_{0}$ $m_{0}$ , tại thời điểm t tính từ thời điểm ban đầu ta có:

$m(t) = m_{0}e^{- \frac{ln2}{5730}t} \Leftrightarrow \frac{3m_{0}}{4} = m_{0}e^{- \frac{ln2}{5730}t}$ $m (t) = m_{0} e^{- \frac{l n 2}{5730} t} \Leftrightarrow \frac{3 m_{0}}{4} = m_{0} e^{- \frac{l n 2}{5730} t}$ $\Leftrightarrow t = \frac{5730ln\left( \frac{3}{4} \right)}{- ln2} \approx 2378$ $\Leftrightarrow t = \frac{5730 l n (\frac{3}{4})}{- l n 2} \approx 2378$ (năm)

Đáp án: D.

Bài tập 6: Một nghiên cứu cho thấy một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài động vật và được kiểm tra lại xem họ nhớ bao nhiêu % mỗi tháng. Sau t tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh được cho bởi công thức $M(t) = 75 - 20ln(t + 1),t \geq 0$ $M (t) = 75 - 20 l n (t + 1), t \geq 0$ (đơn vị %). Hỏi sau khoảng bao lâu thì nhóm học sinh nhớ được danh sách đó dưới 10%?

A. 25 tháng B. 23 tháng C. 24 tháng D. 22 tháng

Hướng dẫn giải

Theo công thức tính tỉ lệ % thì cần tìm t thỏa mãn:

$75 - 20ln(1 + t) \leq 10 \Leftrightarrow\ln(t + 1) \geq 3.25 \Leftrightarrow t \geq 24.79$ $75 - 20 l n (1 + t) \leq 10 \Leftrightarrow \ln (t + 1) \geq 3.25 \Leftrightarrow t \geq 24.79$

Đáp án: A.

Bài tập 7: Một công ty vừa tung ra thị trường sản phẩm mới và họ tổ chức quảng cáo trên truyền hình mỗi ngày. Một nghiên cứu thị trường cho thấy, nếu sau x quảng cáo được phát thì số % người xem mua sản phẩm là $P(x) = \frac{100}{1 + 49e^{- 0.015x}},x\geq 0$ $P (x) = \frac{100}{1 + 49 e^{- 0.015 x}}, x \geq 0$ . Hãy tính số quảng cáo được phát tối thiểu để số người mua đạt hơn 75%.

A. 343 B. 333 C. 330 D. 323

Hướng dẫn giải

Số quảng cáo phát ra tối thiểu để số người mua đạt hơn 75%

$75\% \leq \frac{100}{1 + 49e^{- 0.015x}} \Rightarrow x \geq 333$ $75 % \leq \frac{100}{1 + 49 e^{- 0.015 x}} \Rightarrow x \geq 333$

Đáp án: B.

Bài tập 8: Cường độ ánh sáng đi qua môi trường khác không khí (chẳng hạn sương mù, nước,…) sẽ giảm dần tùy thuộc độ dày của môi trường và hằng số $\mu$ $μ$ gọi là khả năng hấp thu của môi trường, tùy thuộc môi trường thì khả năng hấp thu tính theo công thức $I = I_{0}e^{- \mu x}$ $I = I_{0} e^{- μ x}$ với x là độ dày của môi trường đó và được tính bằng đơn vị mét. Biết rằng nước biển có $\mu = 1.4$ $μ = 1.4$ . Hãy tính cường độ ánh sáng giảm đi bao nhiêu khi từ độ sâu 2m xuống đến 20m?

A. $e^{25.2}$ $e^{25.2}$ B. $e^{22.5}$ $e^{22.5}$ C. $e^{32.5}$ $e^{32.5}$ D. $e^{52.5}$ $e^{52.5}$

Hướng dẫn giải

Cường độ ánh sáng thay đổi khi đi từ độ sâu $x_{1}$ $x_{1}$ đến độ sâu $x_{2}$ $x_{2}$ là:

$\frac{I_{1}}{I_{2}} = \frac{I_{0}e^{- \mu x_{1}}}{I_{0}e^{- \mu x_{2}}} = e^{\mu\left( x_{2} - x_{1} \right)}$ $\frac{I_{1}}{I_{2}} = \frac{I_{0} e^{- μ x_{1}}}{I_{0} e^{- μ x_{2}}} = e^{μ (x_{2} - x_{1})}$

Đáp án: A.

Bài tập 9: Để đo độ phóng xạ của một chất phóng xạ $\beta^{-}$ $β^{-}$ người ta dùng máy đếm xung. Khi chất này phóng xạ ra các hạt $\beta^{-}$ $β^{-}$ , các hạt này đập vào máy khi đó trong máy xuất hiện một xung điện và bộ đếm tăng thêm 1 đơn vị. Ban đầu máy đếm được 960 xung trong một phút nhưng sau đó 3h thì chỉ còn 120 xung trong một phút (trong cùng điều kiện). Hỏi chu kỳ bán rã của chất này là bao nhiêu giờ?

A. 1giờ B. 2 giờ C. 0.5 giờ D. 1.5 giờ

Hướng dẫn giải

Gọi $\Delta N_1$ $Δ N_{1}$ là số hạt $\beta^{-}$ $β^{-}$ được phóng ra trong khoảng thời gian $\Delta t_{1}$ $Δ t_{1}$ kể từ thời điểm ban đầu. Ta có:

$\Delta N_{1} = N_{01} - N_{1} =N_{01}\left( 1 - e^{- k\Delta t_{1}} \right)$ $Δ N_{1} = N_{01} - N_{1} = N_{01} (1 - e^{- k Δ t_{1}})$ ( $N_{01}$ $N_{01}$ là số hạn phóng xạ $\beta^{-}$ $β^{-}$ ban đầu)

Sau 3 giờ số nguyên tử còn lại trong chất phóng xạ là: $N_{02} = N_{01}e^{- 3k}$ $N_{02} = N_{01} e^{- 3 k}$

Kể từ thời điểm này, trong khoảng thời gian $\Delta t_{2}$ $Δ t_{2}$ thì số hạt $\beta^{-}$ $β^{-}$ tạo thành là:

$\Delta N_{2} = N_{02} - N_{2} = N_{02}\left( 1 - e^{- k\Delta t_{2}} \right)$ $Δ N_{2} = N_{02} - N_{2} = N_{02} (1 - e^{- k Δ t_{2}})$

Cho $\Delta t_{1} = \Delta t_{1} =1$ $Δ t_{1} = Δ t_{1} = 1$ phút thì: $\Delta N_{1} =960,\Delta N_{2} = 120$ $Δ N_{1} = 960, Δ N_{2} = 120$ suy ra:

$\dfrac{\Delta N_{1}}{\Delta N_{2}} = \dfrac{N_{01}\left( 1 - e^{- k\Delta t_{1}} \right)}{N_{01}e^{- 3k}\left( 1 - e^{- k\Delta t2} \right)}$ $\frac{Δ N_{1}}{Δ N_{2}} = \frac{N_{01} (1 - e^{- k Δ t_{1}})}{N_{01} e^{- 3 k} (1 - e^{- k Δ t 2})}$

$\Leftrightarrow \frac{960}{120} = e^{3k} \Leftrightarrow ln8 = 3\frac{ln2}{T} \Leftrightarrow T = 1$ $\Leftrightarrow \frac{960}{120} = e^{3 k} \Leftrightarrow l n 8 = 3 \frac{l n 2}{T} \Leftrightarrow T = 1$

Đáp án: A.

--------------------------------------------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Bài toán lãi suất - Có đáp án (Tiếp theo). Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Thi THPT Quốc gia môn Toán, Thi THPT Quốc gia môn Văn, Thi THPT Quốc gia môn Lịch sử mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.

Chia sẻ, đánh giá bài viết

2

645

Bài trước

Bài sau

Chia sẻ bởi:
Ma Kết

Tải về

Chọn file muốn tải về:

Bài toán lãi suất - Có đáp án (Tiếp theo)

387,2 KB

Tải xuống Word
140,5 KB

Đóng Chỉ thành viên VnDoc PRO/PROPLUS tải được nội dung này!

Đóng

79.000 / tháng

Mua ngay

Đặc quyền các gói Thành viên

PRO

Phổ biến nhất

PRO+

Tải tài liệu Cao cấp 1 Lớp

Tải tài liệu Trả phí + Miễn phí

Xem nội dung bài viết

Trải nghiệm Không quảng cáo

Làm bài trắc nghiệm không giới hạn

Tìm hiểu thêm

Mua cả năm Tiết kiệm tới 48%

Xác thực tài khoản!

Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:

Số điện thoại chưa đúng định dạng!