VnDoc.com

Bài toán lãi suất - Có đáp án (Tiếp theo)

Bài tập Toán 12

Bài toán lãi suất (Tiếp theo)

Để giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập tốt hơn môn Toán, VnDoc xin mời các bạn tham khảo tài liệu Bài toán lãi suất - Có đáp án (Tiếp theo). Bộ tài liệu giới thiệu đến bạn đọc những bài tập về tính lãi đơn, lãi kép, vay vốn ngân hàng, ... được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và đề thi THPT Quốc gia. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 12, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 12 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 12. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại

Bài tập 1: Một người vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 0.5%/ tháng theo hình thức lãi kép với thỏa thuận: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay thì ông bắt đầu trả nợ và đều đặn cứ mỗi tháng người đó sẽ trả cho ngân hàng 8 triệu đồng cho đến khi hết nợ (biết tháng cuối cùng có thể trả dưới 8 triệu đồng). Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó trả hết nợ?

A. 22 tháng	C. 24 tháng
B. 23 tháng	D. 25 tháng

Hướng dẫn giải

- Xây dựng công thức cho bài toán: Vay M đồng, lãi a%/tháng. Hỏi hàng tháng phải trả bao nhiêu để sau n tháng thì trả hết nợ.

- Gọi T là số tiền trả hàng tháng.

+ Cuối tháng 1, người đó nợ: _{$M\left( 1+a \right)$}

+ Trả T đồng nên còn nợ: _{$M\left( 1+a \right)-T$}

Cuối tháng 2, người đó nợ:

${{M}_{1}}\left( 1+a \right)=\left[ M\left( 1+a \right)-T \right]\left( 1+a \right)=M{{\left( 1+a \right)}^{2}}-T\left( 1+a \right)$ ${{M}_{1}}\left( 1+a \right)=\left[ M\left( 1+a \right)-T \right]\left( 1+a \right)=M{{\left( 1+a \right)}^{2}}-T\left( 1+a \right)$

+ Trả T đồng nên còn nợ: _{$M{{\left( 1+a \right)}^{2}}-T\left( 1+a \right)-T$}

…..

Lặp lại quá trình trên, theo quy nạp toán học ta có:

+ Cuối tháng n, người đó nợ:

${{M}_{n-1}}\left( 1+a \right)=M{{\left( 1+a \right)}^{n}}-T{{\left( 1+a \right)}^{n-1}}-T{{\left( 1+a \right)}^{n-2}}-...-T\left( 1+a \right)$ ${{M}_{n-1}}\left( 1+a \right)=M{{\left( 1+a \right)}^{n}}-T{{\left( 1+a \right)}^{n-1}}-T{{\left( 1+a \right)}^{n-2}}-...-T\left( 1+a \right)$

+ Trả được T đồng nên còn nợ:

$\begin{align} & M{{\left( 1+a \right)}^{n}}-T{{\left( 1+a \right)}^{n-1}}-T{{\left( 1+a \right)}^{n-2}}-...-T\left( 1+a \right)-T \\ & =M{{\left( 1+a \right)}^{n}}-T\left[ {{\left( 1+a \right)}^{n-1}}+{{\left( 1+a \right)}^{n-2}}+....+\left( 1+a \right)+1 \right] \\ & =M{{\left( 1+a \right)}^{n}}-T\frac{{{\left( 1+a \right)}^{n}}-1}{a} \\ \end{align}$ $\begin{align} & M{{\left( 1+a \right)}^{n}}-T{{\left( 1+a \right)}^{n-1}}-T{{\left( 1+a \right)}^{n-2}}-...-T\left( 1+a \right)-T \\ & =M{{\left( 1+a \right)}^{n}}-T\left[ {{\left( 1+a \right)}^{n-1}}+{{\left( 1+a \right)}^{n-2}}+....+\left( 1+a \right)+1 \right] \\ & =M{{\left( 1+a \right)}^{n}}-T\frac{{{\left( 1+a \right)}^{n}}-1}{a} \\ \end{align}$

+ Để trả hết nợ sau n tháng thì số tiền T phải trả là:

$T=\frac{M.a.{{\left( 1+a \right)}^{n}}}{{{\left( 1+a \right)}^{n}}-1}\Rightarrow n\approx 23,92$ $T=\frac{M.a.{{\left( 1+a \right)}^{n}}}{{{\left( 1+a \right)}^{n}}-1}\Rightarrow n\approx 23,92$

Chọn đáp án C

Bài toán 2: Anh A muốn mua một chiếc ô tô trị giá 2 tỉ đồng, nhưng vì chưa đủ tiền nên ông chọn mua bằng hình thức trả góp hàng tháng với lãi suất 14% và trả trước 800 triệu đồng. Hỏi mỗi tháng anh phải trả số tiền gần nhất với số tiền nào dưới đây để sau đúng 2 năm kể từ ngày mua xe, anh trả hết nợ, biết kì trả nợ đầu tiền sau ngày mua ô tô đúng một tháng và chỉ tính lãi hàng tháng trên số dư nợ thực tế của tháng đó?

A. 72.965.000 đồng	B. 72.019.000 đồng
C. 73.235.000 đồng	D. 74.781.000 đồng

Hướng dẫn giải

Bài toán đặt ra: Vay M đồng từ ngân hàng với lãi suất a%. Hỏi hàng tháng phải trả bao nhiêu tiền để sau n tháng trả hết nợ.

Phương pháp:

- Gọi số tiền trả hàng tháng là T đồng

- Cuối tháng thứ nhất, số tiền người đó nợ là: _{$M\left( 1+a \right)-T$}

- Cuối tháng thứ 2, số tiền người đó còn nợ: _{$M{{\left( 1+a \right)}^{2}}-T\left( 1+a \right)-T$}

- Cuối tháng thứ 3, số tiền người đó còn nợ: _{$M{{\left( 1+a \right)}^{3}}-T{{\left( 1+a \right)}^{2}}-T\left( 1+a \right)-T$}

…….

- Cuối tháng thứ n, số tiền người đó còn nợ:

$\begin{align} & M{{\left( 1+a \right)}^{n}}-T{{\left( 1+a \right)}^{n-1}}-T{{\left( 1+a \right)}^{n-2}}-...-T \\ & =M{{\left( 1+a \right)}^{n}}-T\frac{{{\left( 1+a \right)}^{n}}-1}{a} \\ \end{align}$ $\begin{align} & M{{\left( 1+a \right)}^{n}}-T{{\left( 1+a \right)}^{n-1}}-T{{\left( 1+a \right)}^{n-2}}-...-T \\ & =M{{\left( 1+a \right)}^{n}}-T\frac{{{\left( 1+a \right)}^{n}}-1}{a} \\ \end{align}$

- Để trả hết nợ sau n tháng thì

$M{{\left( 1+a \right)}^{n}}-T\frac{{{\left( 1+a \right)}^{n}}-1}{a}=0\Leftrightarrow T=\frac{M{{\left( 1+a \right)}^{n}}.a}{{{\left( 1+a \right)}^{n}}-1}$ $M{{\left( 1+a \right)}^{n}}-T\frac{{{\left( 1+a \right)}^{n}}-1}{a}=0\Leftrightarrow T=\frac{M{{\left( 1+a \right)}^{n}}.a}{{{\left( 1+a \right)}^{n}}-1}$

Lãi suất là 14% năm nên mỗi tháng lãi suất là $\frac{7}{6}%$ $\frac{7}{6}%$. Thời gian trả trong 2 năm là 24 tháng, trả trước 800 triệu nên số nợ ban đầy anh A nợ là 1 tỉ 500 triệu

Áp dụng công thức mua trả góp, ta có số tiền anh A phải trả mỗi tháng là:

_{$T=\dfrac{M{{\left( 1+a \right)}^{n}}.a}{{{\left( 1+a \right)}^{n}}-1}=\dfrac{1500.000.000\times {{\left( 1+\frac{7}{6}\% \right)}^{24}}\times \dfrac{7}{6}\%}{{{\left( 1+\dfrac{7}{6}\% \right)}^{24}}-1}\approx 72.019.000$}(đồng)

Chọn đáp án B

Bài toán 3: Chị A gửi 600 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0.6%/ tháng từ ngày 1/1/2020. Từ đó cứ mỗi tháng, chị đến ngân hàng rút 8 triệu để chi tiêu cho gia đình. Hỏi đến ngày 1/1/2021 sau khi rút tiền, số tiền tiết kiệm của chị A còn lại bao nhiêu? Biết lãi suất trong thời gian chị gửi là không thay đổi

A. 550.500.000 đồng
B. 545.422.000 đồng
C. 560.220.000 đồng
D. 555.100.000 đồng

Hướng dẫn giải

Xây dựng công thức cho bài toán: Gửi vào ngân hàng M đồng, lãi suất a%, mỗi tháng rút ra R đồng vào ngày ngân hàng tính lãi. Hỏi sau n tháng, số tiền còn lại là bao nhiêu?

Phương pháp:

- Sau tháng 1, người đó có số tiền là: ${{M}_{1}}=M+M.a=M\left( 1+a \right)$ ${{M}_{1}}=M+M.a=M\left( 1+a \right)$

Sau khi rút R đồng, số tiền còn lại là: ${{M}_{1}}$ ${{M}_{1}}'=M+M.a-R$

- Sau tháng thứ 2, người đó có số tiền là: ${{M}_{2}}={{M}_{1}}$ ${{M}_{2}}={{M}_{1}}'+{{M}_{1}}'.a=\left( 1+a \right)\left[ \left( 1+a \right)M+R \right]$

- Sau khi rút R đồng cả vốn và lãi là: ${{M}_{2}}$ ${{M}_{2}}'=\left( 1+a \right)\left[ \left( 1+a \right)M+R \right]-R={{\left( 1+a \right)}^{2}}M-R\frac{{{\left( 1+a \right)}^{2}}-1}{a}$

……

Chứng minh quy nạp ta có công thức sau: _{${{M}_{n}}'={{\left( 1+a \right)}^{n}}M-R\frac{{{\left( 1+a \right)}^{n}}-1}{a}$}

Áp dụng công thức trên ta có số tiền còn lại là:

${{M}_{12}}$ ${{M}_{12}}'={{\left( 1+0,006 \right)}^{12}}{{.6.10}^{8}}-{{8.10}^{6}}\frac{{{\left( 1+0,006 \right)}^{12}}-1}{0,006}=545.422.000$(đồng)

Chọn đáp án B

Bài toán 4: Minh gửi tiết kiệm ở ngân hàng, An gửi tiết kiệm ở ngân hàng B. Cả hai đều nhận lại kép. Số tiền gửi của 2 người có thể khác nhau và lãi suất ở hai ngân hàng có thể khác nhau nhưng không đổi theo thời gian. Giả sử số tiền Minh gửi sau 12 tháng bằng số tiền An gửi sau 5 tháng và số tiền của Minh sau 36 tháng bằng số tiền của An sau 10 tháng. Vậy số tiền của Minh sau 60 tháng bằng số tiền của An sau bao nhiêu tháng.

A. 11 tháng
B. 18 tháng
C. 22 tháng
D. 15 tháng

Hướng dẫn giải

- Gọi số tiền gửi vào ngân hàng của Minh và An lần lượt là: ${{M}_{1}},{{M}_{2}}$ ${{M}_{1}},{{M}_{2}}$ với lãi suất lần lượt là: ${{a}_{1}},{{a}_{2}}$ ${{a}_{1}},{{a}_{2}}$

- Vì số tiền của Minh sau 12 tháng bằng số tiền An gửi sau 5 tháng nên ta có:

_{${{M}_{1}}{{\left( 1+{{a}_{1}} \right)}^{12}}={{M}_{2}}{{\left( 1+{{a}_{2}} \right)}^{5}}$} (1)

- Vì số tiền Minh gửi sau 36 tháng bằng số tiền An gửi sau 10 tháng nên ta có:

_{${{M}_{1}}{{\left( 1+{{a}_{1}} \right)}^{36}}={{M}_{2}}{{\left( 1+{{a}_{2}} \right)}^{10}}$} (2)

Bình phương hai vế của (2) rồi chia cho (1) ta có:

${{M}_{1}}{{\left( 1+{{a}_{1}} \right)}^{60}}={{M}_{2}}{{\left( 1+{{a}_{2}} \right)}^{15}}$ ${{M}_{1}}{{\left( 1+{{a}_{1}} \right)}^{60}}={{M}_{2}}{{\left( 1+{{a}_{2}} \right)}^{15}}$

Vậy số tiền của Minh sau 60 tháng bằng số tiền của An gửi sau 15 tháng

Chọn đáp án D

--------------------------------------------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Bài toán lãi suất - Có đáp án (Tiếp theo). Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Thi THPT Quốc gia môn Toán, Thi THPT Quốc gia môn Văn, Thi THPT Quốc gia môn Lịch sử mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.