Bài toán lãi suất - Có đáp án
Bài toán lãi suất
Để giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập tốt hơn môn Toán, VnDoc xin mời các bạn tham khảo tài liệu Bài toán lãi suất - Có đáp án. Bộ tài liệu giới thiệu đến bạn đọc những bài tập về tính lãi đơn, lãi kép, vay vốn ngân hàng, ... được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và đề thi THPT Quốc gia. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.
Bài tập 1: Sinh viên B nhập học đại học vào tháng 8 năm 2016. Tháng 9/2016 anh bắt đầu vay ngân hàng 1 khoản 5 triệu đồng với lãi suất 0.9%/tháng vào ngày mồng 1 đầu tháng. Lãi tháng trước được cộng vào số nợ để tiếp tục tính lãi cho tháng tiếp theo. Vào ngày mồng 1 hàng tháng kể từ tháng 9/2018 anh B không vay ngân hàng nữa và trả được cho ngân hàng 3 triệu đồng. Hỏi sau khi kết thúc ngày ra trường (30/06/2020) anh B còn nợ ngân hàng bao nhiêu tiền? (làm tròn đến hàng nghìn đồng)
| A. 86.416.000 đồng | B. 87.577.000 đồng |
| C. 89.368.000 đồng | D. 88.641.000 đồng |
Hướng dẫn giải
- Ta xác định được
+ Giai đoạn 1: Từ tháng 9/2016 đến hết 30/8/2016 là bài toán lãi suất kép
+ Giai đoạn 2: Từ tháng 9/2016 đến tháng 6/2020 là bài toán vay vốn trả góp
Đặt 
\(a = 0,9 \% = 0.009,M_{0} =5000000\)
- Tính tổng số tiền anh B vay từ tháng 9/2016 đến hết 30/8/2016 (sau 24 tháng)
+ Số tiền anh B vay sau tháng thứ nhất, thứ hai, …., tháng thứ 24 là:
\(\begin{align}
& {{M}_{1}}={{M}_{0}}\left( 1+a \right) \\
& {{M}_{2}}=\left( {{M}_{1}}+{{M}_{0}} \right)\left( 1+a \right)={{M}_{0}}{{\left( 1+a \right)}^{2}}+{{M}_{0}}\left( 1+a \right) \\
& {{M}_{3}}=\left( {{M}_{2}}+{{M}_{0}} \right)\left( 1+a \right)={{M}_{0}}{{\left( 1+a \right)}^{3}}+{{M}_{0}}{{\left( 1+a \right)}^{2}}+{{M}_{0}}\left( 1+a \right) \\
& ... \\
& {{M}_{24}}={{M}_{0}}{{\left( 1+a \right)}^{24}}+{{M}_{0}}{{\left( 1+a \right)}^{23}}+....+{{M}_{0}}\left( 1+a \right) \\
\end{align}\)
\(\Rightarrow {{M}_{24}}={{M}_{0}}\left( 1+a \right).\frac{{{\left( 1+a \right)}^{24}}-1}{a}\approx 132.080.000\) (đồng) = T
- Số tiền anh B còn nợ sau mỗi tháng, tính từ 9/2016 đến 30/06/2020 (22 tháng). Đặt
+ Số tiền anh còn nợ sau tháng thứ nhất, thứ hai, …., tháng thứ 22 lần lượt là:
\(\begin{align}
& {{T}_{1}}=\left( T-{{T}_{0}} \right)\left( 1+a \right)=T\left( 1+a \right)-{{T}_{0}}\left( 1+a \right) \\
& {{T}_{2}}=\left( {{T}_{1}}-{{T}_{0}} \right)\left( 1+a \right)=T{{\left( 1+a \right)}^{2}}-{{T}_{0}}{{\left( 1+a \right)}^{2}}-{{T}_{0}}\left( 1+a \right) \\
& {{T}_{3}}=\left( {{T}_{2}}-{{T}_{0}} \right)\left( 1+a \right)=T{{\left( 1+a \right)}^{3}}-{{T}_{0}}{{\left( 1+a \right)}^{3}}-{{T}_{0}}{{\left( 1+a \right)}^{2}}-{{T}_{0}}\left( 1+a \right) \\
& .... \\
& {{T}_{22}}=\left( {{T}_{21}}-{{T}_{0}} \right)\left( 1+a \right)=T{{\left( 1+a \right)}^{22}}-{{T}_{0}}{{\left( 1+a \right)}^{22}}-{{T}_{0}}{{\left( 1+a \right)}^{21}}-...-{{T}_{0}}\left( 1+a \right) \\
\end{align}\)
\(\Rightarrow {{T}_{22}}=T{{\left( 1+a \right)}^{22}}-{{T}_{0}}\left( 1+a \right).\frac{{{\left( 1+a \right)}^{22}}-1}{a}\approx 87.577.000\)(đồng)
Chọn đáp án B
Bài toán 2: Một người vay ngân hàng 270.000.000 đồng theo hình thức trả góp trong 3 năm, mỗi tháng người đó phải trả số tiền gốc như nhau và tiền lãi. Giả sử lãi suất không thay đổi trong toàn bộ quá trình trả nợ là 0,7%/tháng. Tổng số tiền mà người đó phải trả cho ngân hàng trong toàn bộ quá trình trả nợ là:
| A. 304.965.000 đồng | B. 305.144.000 đồng |
| C. 340.235.000 đồng | D. 312.781.000 đồng |
Hướng dẫn giải
- Mỗi tháng người đó phải trả số tiền gốc là như nhau: \(\frac{270.000.000}{36}=75.000.000\)(đồng)
- Tháng đầu tiên người đó phải trả số tiền lãi là:
\(270.000.000\text{ }\times \text{ }0.7\%\text{ }=\text{ 36}\times \text{7}\text{.500}\text{.000}\times \text{0}\text{.7 }\!\!\%\!\!\text{ }\)
- Tháng thứ hai người đó phải trả số tiền lãi là:
\(262.500.000\text{ }\times \text{ }0.7\%\text{ }=\text{ 35}\times \text{7}\text{.500}\text{.000}\times \text{0}\text{.7 }\!\!\%\!\!\text{ }\)
- Tháng cuối cùng người đó phải trả số tiền lãi là:
\(\text{7}\text{.500}\text{.000}\times \text{0}\text{.7 }\!\!\%\!\!\text{ =1}\times \text{7}\text{.500}\text{.000}\times \text{0}\text{.7 }\!\!\%\!\!\text{ }\)
Vậy tổng số tiền lãi người đó phải trả là:
\(\left( 1+2+3+....+36 \right)\times 7.500.000\times \text{0}\text{.7 }\!\!\%\!\!\text{ =34}\text{.965}\text{.000}\) (đồng)
Vậy tổng số tiền người đó phải trả cho ngân hàng trong toàn bộ quá trình tra nợ là:
\(270.000.000+34.965.000=304.965.000\) (đồng)
Chọn đáp án B
Bài toán 3: Chị X vay ngân hàng 100 triệu đồng vưới lãi suất 1%/ tháng. Chị muốn trả nợ cho ngân hàng theo cách sau: sau đúng một tháng kể từ ngày vay, chị bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi tháng là như nhau và chị X trả hết nợ sau đúng 5 năm kể từ ngày vay. Biết rằng mỗi tháng ngân hàng chỉ tính tiền lãi trên số dư nợ thực tế của tháng đó. Hỏi số tiền mỗi tháng chị X trả cho ngân hàng gần nhất với số tiền nào dưới đây?
| A. 2.500.000 đồng | B. 2.320.000 đồng |
| C. 2.220.000 đồng | D. 3.100.000 đồng |
Hướng dẫn giải
- Gọi V là số tiền vay ban đầu, ta có: V = 100.000.000 đồng
- Gọi a là số tiền lãi suất trên một tháng, ta có: a = 1% = 0.01
- Gọi T là số tiền chị X phải trả hàng tháng
- Cuối tháng 1, chị X còn nợ số tiền là: \({{V}_{1}}=V\left( 1+a \right)-T\)
- Cuối tháng 2, chị X còn nợ số tiền là:
\({{V}_{2}}={{V}_{1}}\left( 1+a \right)-T=\left[ V\left( 1+a \right)-T \right]\left( 1+a \right)-T=V{{\left( 1+a \right)}^{2}}-T\left( 1+a \right)-T\)
- Cuối tháng 3, chị X còn nợ số tiền là:
\({{V}_{3}}={{V}_{2}}\left( 1+a \right)-T=\left[ V{{\left( 1+a \right)}^{2}}-T\left( 1+a \right)-T \right]\left( 1+a \right)-T\)
\(=V{{\left( 1+a \right)}^{3}}-T{{\left( 1+a \right)}^{2}}-T\left( 1+a \right)-T\)
…..
Vậy cho tới cuối tháng n, quy nạp toán học ta có:
- Cuối tháng n chị X còn nợ số tiền là:
\(\begin{align}
& {{V}_{n}}={{V}_{n-1}}\left( 1+a \right)-T=V{{\left( 1+a \right)}^{n}}-T{{\left( 1+a \right)}^{n-1}}-T{{\left( 1+a \right)}^{n-2}}-...-T \\
& =V{{\left( 1+a \right)}^{n}}-T\left[ 1+...+{{\left( 1+a \right)}^{n-2}}+{{\left( 1+a \right)}^{n-1}} \right] \\
\end{align}\)
Dễ thấy:
\(1+...+{{\left( 1+a \right)}^{n-2}}+{{\left( 1+a \right)}^{n-1}}={{u}_{1}}.\left( \frac{{{q}^{n}}-1}{q-1} \right)=\frac{{{\left( 1+a \right)}^{n}}-1}{\left( 1+a \right)-1}=\frac{{{\left( 1+a \right)}^{n}}-1}{a}\)
Do đó: \({{V}_{n}}=V{{\left( 1+a \right)}^{n}}-T\left[ \frac{{{\left( 1+a \right)}^{n}}-1}{a} \right]\)
Để trả hết nợ thì \({{V}_{n}}=0\Leftrightarrow V{{\left( 1+a \right)}^{n}}-T\left[ \frac{{{\left( 1+a \right)}^{n}}-1}{a} \right]=0\Leftrightarrow T=\frac{V.a.{{\left( 1+a \right)}^{n}}}{{{\left( 1+a \right)}^{n}}-1}\)
Vì sau đúng 5 năm chị X tra hết nợ nên n = 60. Thay V = 100.000.000, a = 0.01, n = 60 ta được:
\(T=\frac{V.a.{{\left( 1+a \right)}^{n}}}{{{\left( 1+a \right)}^{n}}-1}\approx 2.224.000\) (đồng)
Chọn đáp án C
--------------------------------------------------------------------
Mời bạn đọc tham khảo thêm tài liệu liên quan: Bài toán lãi suất - Có đáp án (Tiếp theo)
