Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Để giúp các bạn học sinh lớp 12 học tập tốt hơn môn Toán, VnDoc xin mời các bạn tham khảo tài liệu Cách tìm tiệm cận. Bộ tài liệu hướng dẫn chi tiết về tiệm cận ngang, cách tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số cho trước được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 12 và đề thi THPT Quốc gia. Hi vọng tài liệu này sẽ giúp các bạn ôn thi THPT Quốc gia môn Toán trắc nghiệm hiệu quả.

• 300 câu hỏi trắc nghiệm môn Toán lớp 12 (Có đáp án)
• Bài tập trắc nghiệm cực trị của hàm số và điểm uốn (Có đáp án)
• Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R
• Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng 

Cách tìm tiệm cận ngang Toán 12

Bản quyền thuộc về VnDoc.
Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.

1. Tiệm cận ngang

- Cho đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ có tập xác định D.

- Nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=y_0$ hoặc $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=y_0$ thì đường thẳng $y=y_0$ được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

2. Cách tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Phương pháp giải

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính các giới hạn của hàm số đó tại vô cực (nếu có). Từ đó xác định đường tιệm cận ngang.

Công thức tính tiệm cận ngang của hàm phân thức hữu tỉ:

Hàm số		Tiệm cận ngang
$y=\frac{a_0{x}^m+a_1{x}^{m-1}+...+a_m}{b_0{x}^n+b_1{x}^{n-1}+...+b_m}$ $a_0\ne 0,b_0\ne 0;m⩾1;n⩾1;m,n\in \mathbb{Z}$	m = n	$y=\frac{a_0}{b_0}$
	m > n	Không có tiệm cận ngang
	m < n	y = 0

Công thức tính tiệm cận ngang của hàm phân thức vô tỷ:

Hàm số		Tiệm cận ngang
$y=\frac{ax+b}{\sqrt{c{x}^2+dx+e}}$	c < 0	Không có tiệm cận ngang
$a,c\ne 0$	c > 0	$y=\pm \frac{a}{\sqrt{c}}$

3. Bài tập tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{c}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{x+\sqrt{4x^2-3}}{2x+3}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\hfill \\ \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{x+\sqrt{4x^2-3}}{2x+3}}={\displaystyle \frac{-1}{2}}\hfill \end{array}$

Vậy $y=\frac{3}{2};y=\frac{-1}{2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Hướng dẫn giải

$\begin{array}{c}\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1-\frac{1}{x}}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{3}{x}}+{\displaystyle \frac{2}{x^2}}}}}=1\hfill \\ \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1-{\displaystyle \frac{1}{x}}}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{3}{x}}+{\displaystyle \frac{2}{x^2}}}}}=-1\hfill \end{array}$

Vậy y =1 và y = -1 là hai tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (C)

Đáp án D

Hướng dẫn giải

Ta có: $y=\sqrt{m{x}^2+2x}-x=\frac{m{x}^2+2x-x^2}{\sqrt{m{x}^2+2x}+x}=\frac{\left(m-1\right)x^2+2x}{\sqrt{m{x}^2+2x}+x}$

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi và chỉ khi bậc của tử bé hơn bậc của mẫu và tồn tại

$\iff \{\begin{array}{c}m>0\\ m-1=0\end{array}\iff m=1$

Đáp án A

Hướng dẫn giải

a. Ta có: $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x-3}{6-3x}=-\frac{1}{3}$ nên đường thẳng $y=-\frac{1}{3}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\{\begin{array}{c}\underset{x\to 2^{+}}{lim}y=\underset{x\to 2^{+}}{lim}\frac{x-3}{6-3x}=+\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to 2^{-}}{lim}y=\underset{x\to 2^{-}}{lim}\frac{x-3}{6-3x}=-\mathrm{\infty }\end{array}$ nên đường thẳng $x=2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là 2.

b. Ta có:

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)=1$ suy ra $y=1$ là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)=-1$ suy ra $y=-1$ là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy tổng số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho bằng 2.

Hướng dẫn giải

$y=\frac{2}{3x+2}$ có $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}y=0$ suy ra $y=0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. (Loại)

$y=\frac{2x^3-3}{x+2}$ có $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}y=\mathrm{\infty }$ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang (loại)

$y=\frac{2x^2+x-1}{(x+1)(3-x)}=\frac{2x^2+x-1}{-x^2+2x+3}$ có $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}y=-2$ suy ra $y=-2$ là tiệm cận ngang (Thỏa mãn).

Vậy đường thẳng $y=-2$ là đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\frac{2x^2+x-1}{(x+1)(3-x)}$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=2m+1$ suy ra $d:y=2m+1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Do $A(1;-3)\in d\iff 2m+1=-3\iff m=-2$

Hướng dẫn giải

Từ bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)$ ta có: $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty };\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$ nên đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.

Và $\{\begin{array}{c}\underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)=4;\underset{x\to 0^{-}}{lim}f(x)=4\\ \underset{x\to 3^{-}}{lim}f(x)=-1;\underset{x\to 3^{+}}{lim}f(x)=-1\end{array}$ nên đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận.

Hướng dẫn giải

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là $-2m-m\ne 0\iff m\ne 0$

Khi đó đồ thị hàm số có:

Tiệm cận đúng: $x=1$, song song với $Oy$ và cắt $Ox$ tại điểm $A(1;0)$

Tiệm cận ngang: $y=2m$ song song với $Ox$ và cắt $Oy$ tại điểm $B(2m;0)$

Diện tích hình chữ nhật tạo bởi hai đường tiệm cận cùng với hai trục tọa độ là

$S=OA.OB=1.|2m|=8\iff m=\pm 4$

--------------------------------------------------------------------

Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Tiệm cận Toán 12. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Giải bài tập Toán lớp 12, Thi THPT Quốc gia môn Toán.