Cho hàm số y = f(u(x)) xét sự đơn điệu của hàm y = f(x)
Cách tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm hợp, hàm ẩn
Trong chương trình Toán 12, việc xét sự đơn điệu của hàm số là kỹ năng nền tảng giúp học sinh hiểu sâu bản chất đạo hàm và mối liên hệ giữa các hàm thành phần. Đặc biệt, dạng toán cho hàm y = f(u(x)) yêu cầu xét sự đơn điệu của hàm y = f(x) thường khiến nhiều học sinh nhầm lẫn khi xử lý dấu đạo hàm và xác định khoảng đồng biến – nghịch biến.
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Bài tập tổng quát: Cho hàm 
\(y =
f(u(x))\) hoặc hàm \(y =
f'(u(x))\) xét sự biến thiên của hàm \(y = f(x)\).
Cách giải: Giả sử ta có: \(f'(u(x)) > 0
\Leftrightarrow x \in D\) . Ta cần giải bất phương trình \(f'(x) > 0\).
- Đặt \(t = u(x) \Rightarrow x =
v(t)\)
- Giải BPT: \(f'(t) > 0
\Leftrightarrow f'(u(x)) > 0 \Leftrightarrow x \in D
\Leftrightarrow x = v(t) \in D \Leftrightarrow t \in
D'\).
- Vậy \(f'(x) > 0 \Leftrightarrow x
\in D'\).
B. BÀI TẬP MINH HỌA XÉT SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
Ví dụ 1. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Hàm số \(y = f'(3x - 1)\) có đồ thị như hình vẽ:
Hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. \((2;6)\). B. \(( - \infty; - 7)\). C. \(( - \infty; - 6)\). D. \(\left( - \infty; - \frac{1}{3}
\right)\).
Hướng dẫn giải
Ta cần giải BPT dạng \(f'(x) >
0\).
Ta có \(f'(3x - 1) > 0
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
x < - 2 \\
1 < x < 2
\end{matrix} \right.\). Đặt \(t = 3x - 1 \Rightarrow x = \frac{t +
1}{3}\)
Do đó:
\(f'(t) > 0 \Leftrightarrow f'(3x - 1) > 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x < - 2 \\1 < x < 2\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}\frac{t + 1}{3} < - 2 \\1 < \frac{t + 1}{3} < 2\end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}t < - 7 \\2 < t < 5\end{matrix} \right.\)
Vậy \(f'(x) > 0 \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
x < - 7 \\
2 < x < 5
\end{matrix} \right.\).
Chọn đáp án B.
Nhận xét: Dạng 1 cho hàm \(y =
f(x)\) tìm sự đơn điệu của hàm \(y =
f(u(x))\) có bước tính đạo hàm của hàm \(y = f(u(x))\) nhưng Dạng 3 cho hàm \(y = f(u(x))\) không có bước tính đạo hàm của hàm \(y = f(x)\).
Ví dụ 2. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Hàm số \(y = f'(2 - x)\) bảng xét dấu như sau:
Hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. \(( - \infty;0)\). B. \(( - \infty;1)\). C. \((2; + \infty)\). D. \((0;2)\).
Hướng dẫn giải
Ta có\(f'(2 - x) < 0 \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
x < - 1 \\
x > 2
\end{matrix} \right.\). Đặt \(t = 2 -
x \Leftrightarrow x = 2 - t\)
Khi đó \(f'(t) < 0 \Leftrightarrow f'(2 - x) < 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x < - 1 \\x > 2\end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}2 - t < - 1 \\2 - t > 2\end{matrix} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}t > 3 \\t < 0\end{matrix} \right.\)
Vậy \(f'(x) < 0 \Leftrightarrow
\left\lbrack \begin{matrix}
x > 3 \\
x < 0
\end{matrix} \right.\) .
Chọn đáp án A
Ví dụ 3. Cho hàm số \(y = f(x)\) có liên tục trên \(\mathbb{R}\). Hàm số \(y = f(3 - 4x)\) đồ thị như sau:
Hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. \(( - 7;1)\). B. \(( - \infty; - 1)\). C. \((7; + \infty)\). D. \(( - 1;6)\).
Hướng dẫn giải
Từ đồ thị ta suy ra \(f'(3 - 4x) < 0
\Leftrightarrow - 1 < x < 1\).
Đặt \(t = 3 - 4x \Leftrightarrow x =
\frac{3 - t}{4}\) \(\Leftrightarrow - 1 < x < 1\)
\(\Leftrightarrow- 1 < 3 - 4t < 1 \Leftrightarrow - 1 < t < 7\).
Khi đó \(f'(t) < 0 \Leftrightarrow f'(3 - 4x) < 0\)
Vậy \(f'(t) < 0 \Leftrightarrow - 1< t < 7\) hay \(f'(x) < 0 \Leftrightarrow - 1 < x< 7\).
Chọn đáp án D.
Toàn bộ nội dung đã sẵn sàng! Nhấn Tải về để tải đầy đủ tài liệu
-----------------------------------------
Qua nội dung bài viết, bạn đã hiểu rõ cách xét sự đồng biến – nghịch biến của hàm số, đặc biệt trong trường hợp hàm hợp dạng y = f(u(x)) và khi cần suy luận tính đơn điệu của y = f(x). Việc nắm vững quy tắc dấu của f′(x), f′(u(x)) và u′(x) sẽ giúp bạn xử lý chính xác mọi dạng bài liên quan tới hàm hợp, hàm ẩn trong chương trình Giải tích.
