Chuyên đề Phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz Mức độ Thông hiểu
Phương trình đường thẳng trong không gian – Mức độ Thông hiểu
Trong chương trình Hình học không gian Oxyz Toán 12, chuyên đề Phương trình đường thẳng trong không gian – Mức độ Thông hiểu giúp học sinh vận dụng linh hoạt các công thức, nhận diện mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng, cũng như giải quyết những bài toán có tính tư duy cao hơn mức độ nhận biết.
Bài viết này tổng hợp đầy đủ kiến thức trọng tâm, công thức cần nhớ, ví dụ minh họa có đáp án chi tiết nhằm giúp học sinh ôn thi THPT Quốc gia môn Toán một cách hiệu quả, củng cố kỹ năng viết phương trình đường thẳng và phân tích hình học không gian một cách khoa học, logic.
Phần I. Đề bài trắc nghiệm Phương trình đường thẳng
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ 
\(Oxyz,\) cho tam giác \(Oxyz\) với \(A(1;4; - 1),B(2;4;3),C(2;2; - 1)\). Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với BC là:
A. \(\left\{ \begin{matrix}
x = 1 \\
y = 4 + t \\
z = - 1 + 2t
\end{matrix} \right.\ .\) B. \(\left\{ \begin{matrix}
x = 1 \\
y = 4 + t \\
z = 1 + 2t
\end{matrix} \right.\ .\) C. \(\left\{ \begin{matrix}
x = 1 \\
y = 4 + t \\
z = - 1 - 2t
\end{matrix} \right.\ .\) D. \(\left\{ \begin{matrix}
x = 1 \\
y = 4 - t \\
z = - 1 + 2t
\end{matrix} \right.\ .\)
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho tam giác \(ABC\) có \(A(2;1;
- 2),B(4; - 1;1),C(0; - 3;1)\). Phương trình \(d\) đi qua trọng tâm của tam giác \(ABC\) và vuông góc với mặt phẳng \(d\) là:
A. \(\left\{ \begin{matrix}
x = 2 + t \\
y = - 1 - 2t \\
z = - 2t
\end{matrix} \right.\ .\) B. \(\left\{ \begin{matrix}
x = - 2 + t \\
y = - 1 - 2t \\
z = - 2t
\end{matrix} \right.\ .\) C. \(\left\{ \begin{matrix}
x = 2 + t \\
y = 1 - 2t \\
z = - 2t
\end{matrix} \right.\ .\) D. \(\left\{ \begin{matrix}
x = 2 + t \\
y = 1 + 2t \\
z = 2t
\end{matrix} \right.\ .\)
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho hai điểm \(A(1;4;2)\) và \(B( - 1;2;4)\). Phương trình d đi qua trọng tâm của \(\Delta OAB\) và vuông góc với mặt phẳng \((OAB)\) là:
A. \(\frac{x}{2} = \frac{y - 2}{- 1} =
\frac{z - 2}{1}.\) B. \(\frac{x}{2} = \frac{y + 2}{- 1} =
\frac{z + 2}{1}.\)
C. \(\frac{x}{2} = \frac{y - 2}{1} =
\frac{z - 2}{1}.\) D. \(\frac{x}{2} = \frac{y + 2}{1} =
\frac{z + 2}{1}.\)
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho tam giác ABC có \(A(0;1;2),B( - 2; - 1; - 2),C(2; - 3;3)\). Đường thẳng d đi qua điểm B và vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\). Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của đường thẳng \(d\).
A. \(\left\{ \begin{matrix}
x = - 2 - t \\
y = - 1 - 3t \\
z = - 2 + 2t
\end{matrix} \right.\ .\) B. \(\left\{ \begin{matrix}
x = - 2 + t \\
y = - 1 + 3t \\
z = - 2 - 2t
\end{matrix} \right.\ .\) C. \(\left\{ \begin{matrix}
x = - 2 - 6t \\
y = - 1 - 18t \\
z = - 2 + 12t
\end{matrix} \right.\ .\) D. \(\left\{ \begin{matrix}
x = - 2 - t \\
y = - 1 - 3t \\
z = - 2 - 2t
\end{matrix} \right.\ .\)
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(M(2;1; - 5),\) đồng thời vuông góc với hai vectơ \(\overrightarrow{a} =
(1;0;1)\)và \(\overrightarrow{b} =
(4;1; - 1)\) là :
A. \(\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 1}{5} =
\frac{z + 5}{1}.\) B. \(\frac{x + 2}{- 1} = \frac{y + 1}{5} =
\frac{z - 5}{1}.\)
C. \(\frac{x + 2}{1} = \frac{y + 1}{- 5} =
\frac{z - 5}{- 1}.\) D. \(\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 5}{1} =
\frac{z - 1}{- 5}.\)
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A(1; - 1;1),\ B( - 1;2;3)\) và đường thẳng \(\Delta\ :\frac{x + 1}{- 2} = \frac{y - 2}{1}
= \frac{z - 3}{3}\). Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(A\), đồng thời vuông góc với hai đường thẳng \(AB\) và \(\Delta\) là:
A. \(\frac{x - 7}{1} = \frac{y - 2}{- 1} =
\frac{z - 4}{1}.\) B. \(\frac{x - 1}{7} = \frac{y + 1}{2} =
\frac{z - 1}{4}.\)
C. \(\frac{x + 1}{7} = \frac{y - 1}{- 2} =
\frac{z + 1}{4}.\) D. \(\frac{x + 1}{7} = \frac{y - 1}{2} =
\frac{z + 1}{4}.\)
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho hai đường thẳng \(d_{1}:\frac{x - 2}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z +
1}{- 1}\) và \(d_{2}:\left\{
\begin{matrix}
x = 1 + t \\
y = 3 - 2t \\
z = 5 - 2t
\end{matrix} \right.\). Phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(A(2;3; - 1)\) và vuông góc với hai đường thẳng \(d_{1},\ d_{2}\) là:
A. \(\left\{ \begin{matrix}
x = - 8 + 2t \\
y = 1 + 3t \\
z = - 7 - t
\end{matrix} \right.\ .\) B. \(\left\{ \begin{matrix}
x = 2 - 8t \\
y = 3 + 3t \\
z = - 1 - 7t
\end{matrix} \right.\ .\) C. \(\left\{ \begin{matrix}
x = - 2 - 8t \\
y = - 3 + t \\
z = 1 - 7t
\end{matrix} \right.\ .\) D. \(\left\{ \begin{matrix}
x = - 2 + 8t \\
y = - 3 - t \\
z = 1 + 7t
\end{matrix} \right.\ .\)
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \((P):2x + y + 2z - 1 = 0\) và đường thẳng \(\Delta\ :\frac{x + 1}{2} = \frac{y}{- 1} =
\frac{z - 3}{3}\). Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(B(2; - 1;5)\) song song với \((P)\) và vuông góc với \(\Delta\) là :
A. \(\frac{x - 2}{- 5} = \frac{y + 1}{2} =
\frac{z - 5}{4}.\) B. \(\frac{x + 2}{- 5} = \frac{y - 1}{2} =
\frac{z + 5}{4}.\)
C. \(\frac{x + 2}{5} = \frac{y - 1}{- 2} =
\frac{z + 5}{- 4}.\) D. \(\frac{x - 5}{2} = \frac{y + 2}{- 1} =
\frac{z + 4}{5}.\)
Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho hai mặt phẳng \((P):x - 2y + 2z + 3 = 0\) và \((\beta):3x - 5y - 2z - 1 = 0\). Phương trình đường thẳng d đi qua điểm \(M(1;3; -
1)\), song song với hai mặt phẳng \((\alpha);(\beta)\) là:
A. \(\left\{ \begin{matrix}
x = 1 + 14t \\
y = 3 + 8t \\
z = - 1 + t
\end{matrix} \right.\ .\) B. \(\left\{ \begin{matrix}
x = - 1 + 14t \\
y = 3 + 8t \\
z = - 1 + t
\end{matrix} \right.\ .\) C. \(\left\{ \begin{matrix}
x = - 1 + t \\
y = 3 + 8t \\
z = 1 + t
\end{matrix} \right.\ .\) D. \(\left\{ \begin{matrix}
x = - 1 + t \\
y = 3 - t \\
z = 1 + t
\end{matrix} \right.\ .\)
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho mặt phẳng \((\alpha):2x - y + 2z - 3 = 0\). Phương trình đường thẳng d đi qua điểm \(A(2; - 3; -
1)\), song song với hai mặt phẳng \((\alpha);(Oyz)\)là:
A. \(\left\{ \begin{matrix}
x = 2 - t \\
y = - 3 \\
z = - 1 + t
\end{matrix} \right.\ .\) B. \(\left\{ \begin{matrix}
x = 2 \\
y = - 3 + 2t \\
z = - 1 + t
\end{matrix} \right.\ .\) C. \(\left\{ \begin{matrix}
x = 2 \\
y = - 3 - 2t \\
z = - 1 + t
\end{matrix} \right.\ .\) D. \(\left\{ \begin{matrix}
x = 2t \\
y = 2 - 3 \\
z = 1 - t
\end{matrix} \right.\ t.\)
Phần II. Đáp án tổng quan bài tập trắc nghiệm
|
1 - B |
2 - A |
3 - A |
4 - D |
5 - A |
6 - B |
7 - B |
8 - A |
9 - A |
10 – B |
|
11 - D |
12 - C |
13 - D |
14 - D |
15 - D |
16 - C |
17 - A |
18 - D |
19 - A |
20 – D |
|
21 - D |
22 - A |
23 - B |
24 - B |
25 - D |
26 - C |
27 - A |
28 - D |
29 - D |
30 - B |
Phần III. Hướng dẫn giải chi tiết bài tập trắc nghiệm
Câu 1:
Gọi \(d\) là đường thẳng cẩn tìm.
\(\overrightarrow{BC} = (0; - 2; - 4) = -
2(0;1;2)\)
Vì \(d\) song song với BC nên d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a_{d}}\)
\(d\) qua \(A(1;4; - 1)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a_{d}}\)
Vậy phương trình tham số của d là \(\left\{
\begin{matrix}
x = 1 \\
y = 4 + t \\
z = - 1 + 2t
\end{matrix} \right.\)
Câu 2:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có G(2 ;-1 ; 0)
Gọi \(\overrightarrow{a_{d}}\)là vectơ chỉ phương của d
\(\overrightarrow{AB} = (2; -
2;3)\)
\(\overrightarrow{AC} = ( - 2; -
4;3)\)
\(d\bot(ABC) \Rightarrow \left\{
\begin{matrix}
d\bot AB \\
d\bot AC
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
{\overrightarrow{a}}_{d}\bot\overrightarrow{AB} \\
{\overrightarrow{a}}_{d}\bot\overrightarrow{AC}
\end{matrix} \right.\)
\(\Rightarrow {\overrightarrow{a}}_{d} =
\left\lbrack \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right\rbrack = (6;
- 12; - 12) = 6(1; - 2; - 2)\)
\(d\) đi qua \(G(2; - 1;0)\) và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{a_{d}} = (1; - 2; -
2)\)
Vậy phương trình tham số của \(d\) là \(\left\{ \begin{matrix}
x = 2 + t \\
y = - 1 - 2t \\
z = - 2t
\end{matrix} \right.\)
Câu 3:
Gọi G là trọng tâm \(\Delta OAB\), ta có \(G(0;2;2)\)
\(\begin{matrix}
\overrightarrow{OA} = (1;4;2) \\
\overrightarrow{OB} = ( - 1;2;4)
\end{matrix}\)
Gọi \(\overrightarrow{a_{d}}\) là vectơ chỉ phương của \(d\)
\(d\bot(OAB) \Rightarrow \left\{
\begin{matrix}
d\bot OA \\
d\bot OB
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{OA} \\
\overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{OB}
\end{matrix} \right.\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{a_{d}} =
\left\lbrack \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB} \right\rbrack =
(12; - 6;6) = 6(2; - 1;1)\)
Vậy phương trình của \(d\) là \(\frac{x}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z -
2}{1}\)
Câu 4:
Ta có: \(\overrightarrow{AB} = ( - 2; - 2;
- 4)\)
\(\overrightarrow{AC} = (2; - 4; -
5)\)
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm B(2;1;-5) và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{a_{d}} = \left\lbrack
\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right\rbrack = ( - 6; - 18;12)
= - 6(1;3; - 2)\)
Câu 5 :
\(\Delta\) đi qua điểm \(M(2;1; - 5),\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a_{\Delta}} = \left\lbrack
\overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \right\rbrack = ( -
1;5;1)\)
Vậy phương trình chính tắc của \(\Delta\) là \(\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 1}{5} = \frac{z +
5}{1}\)
Câu 6:
Gọi \(d\) là đường thẳng cần tìm và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a_{d}}\)
\(\overrightarrow{AB} = ( -
2;3;2)\)
\(\Delta\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a_{\Delta}} = ( -
2;1;3)\)
\(\left\{ \begin{matrix}
d\bot AB \\
d\bot\Delta
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
\overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{AB} \\
\overrightarrow{a_{d}}\bot\overrightarrow{a_{\Delta}}
\end{matrix} \right.\ \Rightarrow \overrightarrow{a_{d}} = \left\lbrack
\overrightarrow{AB};\overrightarrow{a_{\Delta}} \right\rbrack =
(7;2;4)\)
Vậy phương trình chính tắc của \(d\) là \(\frac{x - 1}{7} = \frac{y + 1}{2} =
\frac{z - 1}{4}\)
Bạn muốn xem toàn bộ tài liệu? Hãy nhấn Tải về ngay!
------------------------------------------------------
Sau khi học xong Chuyên đề Phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz mức độ Thông hiểu, bạn đã có thể vận dụng thành thạo các công thức, xác định mối quan hệ giữa đường thẳng với mặt phẳng, song song hay vuông góc, và giải được các bài toán tư duy cao trong hình học không gian.
Đây là chuyên đề quan trọng trong Toán 12, đồng thời là dạng bài thường xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán có đáp án.
Hãy tiếp tục luyện tập các mức độ Vận dụng và Vận dụng cao để củng cố kiến thức và làm chủ toàn bộ hệ thống bài tập về phương trình đường thẳng trong không gian.
