Cách xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất hàm bậc 3 dựa vào bảng biến thiên
Tìm GTLN, GTNN của hàm số bậc ba khi biết bảng biến thiên
Trong các bài toán hàm số bậc ba, việc xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất dựa vào bảng biến thiên là kỹ năng quan trọng, giúp học sinh xử lý nhanh nhiều câu hỏi trắc nghiệm và tự luận. Nắm vững cách đọc chiều biến thiên và các điểm đặc biệt trên bảng biến thiên sẽ giúp tránh sai sót và tiết kiệm thời gian làm bài. Bài viết này trình bày phương pháp nhận diện rõ ràng, dễ áp dụng.
A. Cách tìm GTLN, GTNN hàm bậc ba theo bảng biến thiên
Bài toán tổng quát: Cho đồ thị hàm số bậc ba 
\(y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d;(a \neq 0)\). Xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất dựa vào bảng biến thiên.
-
Giá trị lớn nhất của hàm số là số lớn nhất thể hiện trong hàng y của bảng biến thiên.
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là số nhỏ nhất thể hiện trong hàng y của bảng biến thiên.
Chú ý:
-
Nếu hàng y có chứa
\(+ \infty\) thì không tồn tại giá trị lớn nhất. -
Nếu hàng y có chứa
\(- \infty\) thì không tồn tại giá trị nhỏ nhất. -
Để có giá trị lớn nhất, nhỏ nhắt thì tồn tại
\(x_{0} \in D\).
Ví dụ: Với bảng biến thiên:
-
Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số
\(y
= f(x)\) trên đoạn \(\lbrack a;\
b\rbrack\) ta so sánh \(f\left( x_{1}
\right)\) và \(f\left( x_{3}
\right)\) và chọn ra số lớn hơn. -
Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
\(y
= f(x)\) trên đoạn \(\lbrack a;\
b\rbrack\), ta so sánh \(f(a)\), \(f\left( x_{2} \right)\), \(f(b)\) và chọn ra số nhỏ nhất. -
Khi xác định GTLN, GTNN của hàm số
\(y
= f(x)\) trên \(K\), ta cần chú ý: -
Nếu tìm ra số nhỏ nhất (lớn nhất)
\(y_{0}\) mà \(y_{0} = f\left( x_{0} \right)\) và \(x_{0} \notin K\) thì \(y_{0}\) không phải là GTNN (GTLN). -
Nếu tìm ra số nhỏ nhất (lớn nhất)
\(y_{0}\) mà \(y_{0}\) là kết quả của giới hạn (nghĩa là \(\lim_{x \rightarrow - \infty}y =
y_{0}\) hoặc\(\lim_{x \rightarrow +
\infty}y = y_{0}\) hoặc \(\lim_{x
\rightarrow x_{0}^{+}}y = y_{0}\) hoặc \(\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}y = y_{0}\)) và \(\forall x \in K\), \(f(x) > y_{0}\) (\(f(x) < y_{0}\)) thì \(y_{0}\) không phải là GTNN (GTLN). -
\(\min_{K}y = y_{0}\) hoặc \(\max_{K}y = y_{0}\) của hàm số đạt tại \(x = x_{0}\) thì tại đó (tại \(x = x_{0}\)) đạo hàm \(f'(x)\)có thể bằng một số thực hoặc có thể không xác định.
-
Nếu trong phần giá trị
\(y\) của bảng biến thiên có \(+ \infty\) thì hàm số không có GTLN và có \(- \infty\) thì hàm số không có GTNN.
B. Bài tập GTLN GTNN hàm bậc ba theo bảng biến thiên
Ví dụ 1. Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục và có bảng biến thiên trong đoạn \(\lbrack - 2;\ 4\rbrack\) như sau:
Mệnh đề nào sau đây đúng khi nói về giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| f(x) \right|\)?
A. \(\max_{\lbrack - 2;\ 4\rbrack}\left|
f(x) \right|\) không tồn tại. B. \(\max_{\lbrack - 2;\ 4\rbrack}\left| f(x) \right| =
1\).
C. \(\max_{\lbrack - 2;\ 4\rbrack}\left|
f(x) \right| = 2\). D. \(\max_{\lbrack
- 2;\ 4\rbrack}\left| f(x) \right| = 3\).
Hướng dẫn giải
Chọn đáp án D.
Từ yêu cầu bài toán ta có bảng biến thiên cho hàm số \(y = \left| f(x) \right|\) như sau:
(Với \(x_{0} \in (0;\ 2)\) sao cho \(f\left( x_{0} \right) = 0\)).
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy \(\max_{\lbrack - 2;\ 4\rbrack}\left| f(x) \right| =
3\) khi \(x = 0\).
Ví dụ 2. Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số\(y = f\left(
|x| \right)\) trên đoạn \(\lbrack - 2;\
4\rbrack\) bằng
A. \(f(2)\). B. \(f(0)\). C. \(f(4)\). D. Không xác định được.
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C.
Từ yêu cầu bài toán ta có bảng biến thiên cho hàm số \(y = f\left( |x| \right)\) như sau:
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy \(\min_{\lbrack - 2;\ 4\rbrack}f\left( |x| \right) =
f(4)\).
Ví dụ 3. Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:
Mệnh đề nào sau đây đúng khi nói về hàm số \(y = \left| f\left( |x| \right)
\right|\)?
A. Hàm số \(y = \left| f\left( |x| \right)
\right|\) không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất.
B. Hàm số \(y = \left| f\left( |x| \right)
\right|\) không có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất bằng \(0\).
C. Hàm số \(y = \left| f\left( |x| \right)
\right|\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(0\) và không có giá trị lớn nhất.
D. Hàm số \(y = \left| f\left( |x| \right)
\right|\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(-
1\) và có giá trị lớn nhất bằng \(0\).
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án C.
Từ yêu cầu bài toán ta có bảng biến thiên cho hai hàm số \(y = f\left( |x| \right)\) và \(y = \left| f\left( |x| \right) \right|\) như sau:
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy \(\min_{\mathbb{R}}\left| f\left( |x| \right)
\right| = 0\) khi \(x = 0\) và \(\max_{\mathbb{R}}\left| f\left( |x| \right)
\right|\) không tồn tại.
-------------------------------------------------
Thông qua việc luyện tập tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số bậc ba từ bảng biến thiên, học sinh sẽ hiểu rõ mối liên hệ giữa đạo hàm, chiều biến thiên và giá trị đạt được của hàm số. Đây là nội dung trọng tâm trong chuyên đề GTLN – GTNN hàm bậc ba, hỗ trợ hiệu quả cho kiểm tra và ôn thi.
