Cách xác định cực trị hàm bậc ba khi biết bảng biến thiên
Xác định cực đại cực tiểu hàm bậc ba
Trong các dạng toán hàm số bậc ba, câu hỏi xác định cực trị khi đã cho bảng biến thiên thường xuất hiện ở đề ôn luyện và đề thi THPT Quốc gia. Việc đọc đúng chiều biến thiên và nhận diện điểm đổi dấu giúp học sinh nhanh chóng xác định số cực trị và vị trí cực đại – cực tiểu. Bài viết này hướng dẫn cách làm ngắn gọn, dễ nhớ và hiệu quả.
A. Cách tìm cực trị hàm bậc ba dựa vào bảng biến thiên
Bài toán tổng quát:
Xác định cực tiểu (CT) và cực đại (CĐ) của hàm số 
\(y = f(x)\) trên \(K\).
Quan sát bảng biến thiên, ta có:
Nếu \(f'(x)\) đổi dấu từ âm \(( - )\) sang \(( + )\) khi qua \(x_{0}^{}\) (theo chiều tăng) và tồn tại \(f\left( x_{0} \right)\) thì hàm số đạt cực tiểu tại \(x_{0}^{}\) và \(f\left( x_{0} \right)\) là giá trị cực tiểu.
Nếu \(f'(x)\) Đổi dấu từ âm \(( + )\) sang \(( - )\) khi qua \(x_{0}^{}\) (theo chiều tăng) và tồn tại \(f\left( x_{0} \right)\) thì hàm số đạt cực đại tại \(x_{0}^{}\) và \(f\left( x_{0} \right)\) là giá trị cực đại.
Khi xác định cực trị của hàm số \(y =
f(x)\) trên \(K\), ta cần chú ý:
- Nếu tại \(x = x_{0}\) hàm số \(y = f(x)\) không xác định thì nó không có cực trị tại \(x = x_{0}\).
- Cực trị của hàm số đạt tại \(x =
x_{0}\) thì tại đó (tại \(x =
x_{0}\)) đạo hàm \(f'(x)\)có thể bằng \(0\) hoặc có thể không xác định.
B. Bài tập minh họa Cực trị hàm số bậc ba dựa vào đồ thị hàm số
Ví dụ 1. Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash\left\{ -
1 \right\}\) và có bảng biến thiên như sau;
Mệnh đề nào sau đây sai khi nói về hàm số \(y = f(x)\)?
A. Hàm số \(y = f(x)\) không có cực tiểu và không có cực đại.
B. Hàm số \(y = f(x)\) không có cực tiểu và có cực đại.
C. Hàm số \(y = f(x)\) có cực tiểu và có cực đại.
D. Hàm số \(y = f(x)\) có cực tiểu và không có cực đại.
Hướng dẫn giải
Chọn đáp án B.
Ví dụ 3. Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash\left\{ -
1 \right\}\) và có bảng biến thiên như sau:
Mệnh đề nào sau đây sai khi nói về hàm số \(y = f\left( |x| \right)\)?
A. Hàm số \(y = f\left( |x|
\right)\) có giá trị nhỏ nhất.
B. Hàm số \(y = f\left( |x|
\right)\) có cực đại.
C. Hàm số \(y = f\left( |x|
\right)\) có cực tiểu.
D. Hàm số \(y = f\left( |x|
\right)\) có giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn giải
Chọn đáp án D.
Từ yêu cầu bài toán ta có bảng biến thiên cho hàm số \(y = f\left( |x| \right)\) như sau:
Nhìn vào \(\mathbb{R}\)bảng biến thiên ta \(\lim_{x \rightarrow \pm
\infty}f\left( |x| \right) = + \infty\) nên hàm số \(y = f\left( |x| \right)\) không có giá trị lớn nhất.
Ví dụ 4. Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:
Hỏi hàm số \(y = \left| f(x)
\right|\) có bao nhiêu cực trị?
A. \(3\). B. \(2\). C. \(5\). D. \(4\).
Hướng dẫn giải
Chọn đáp án C.
Từ yêu cầu bài toán ta có bảng biến thiên cho hàm số \(y = f\left( |x| \right)\) như sau:
Với \(x_{1}\) và \(x_{2}\) là hai nghiệm của phương trình \(f(x) = 0\).
Ví dụ 5. Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:
Mệnh đề nào sau đây đúng khi nói về hàm số \(y = \left| f\left( |x| \right)
\right|\)?
A. Hàm số \(y = \left| f\left( |x| \right)
\right|\) không có cực tiểu và không có cực đại.
B. Hàm số \(y = \left| f\left( |x| \right)
\right|\) không có cực tiểu và có cực đại.
C. Hàm số \(y = \left| f\left( |x| \right)
\right|\) có cực tiểu và không có cực đại.
D. Hàm số \(y = \left| f\left( |x| \right)
\right|\) có cực tiểu và có cực đại.
Hướng dẫn giải
Chọn đáp án C.
Từ yêu cầu bài toán ta có bảng biến thiên cho hai hàm số \(y = f\left( |x| \right)\) và \(y = \left| f\left( |x| \right) \right|\) như sau:
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có cực tiểu và không có cực đại.
---------------------------------------
Thông qua việc luyện tập xác định cực trị của hàm số bậc ba dựa vào bảng biến thiên, học sinh sẽ nắm vững mối liên hệ giữa đạo hàm và chiều biến thiên của hàm số. Đây là kỹ năng quan trọng giúp xử lý nhanh các câu hỏi ôn thi THPT Quốc gia môn Toán, đặc biệt trong phần hàm số.
