Mặt Trụ Tròn Xoay Toán 12: Tổng hợp Lý thuyết và Công thức
Lý thuyết mặt trụ tròn xoay Toán 12
Mặt trụ tròn xoay là nội dung quan trọng trong phần hình học không gian Toán 12, liên quan trực tiếp đến các bài toán về hình trụ, diện tích và thể tích. Bài viết tổng hợp ngắn gọn lý thuyết, đặc điểm và công thức cần nhớ, giúp học sinh dễ học, dễ vận dụng khi làm bài tập Toán 12 có đáp án và ôn thi.
A. Mặt trụ tròn xoay là gì?
Trong mặt phẳng 
\((P)\) cho hai đường thẳng \(\Delta\) và \(l\) song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng \(r\). Khi quay mặt phẳng quanh trục cố định \(\Delta\) thì đường thẳng \(l\) sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ.
- Đường thẳng \(\Delta\) được gọi là trục.
- Đường thẳng \(l\) được gọi là đường sinh.
- Khoảng cách \(r\) được gọi là bán kính của mặt trụ.
Hình vẽ minh họa:
B. Hình trụ tròn xoay
Khi quay hình chữ nhật \(ABCD\) xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh \(AB\) thì đường gấp \(ADCB\) khúc tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ.
- Đường thẳng \(AB\) được gọi là trục
- Đường thẳng \(CD\) được gọi là đường sinh
- Độ dài đoạn thẳng \(AB=CD=h\) được gọi là chiều cao của hình trụ.
- Hình tròn tâm \(A\), bán kính \(r=AD\) và hình tròn tâm \(B\), bán kính \(r=BC\) được gọi là 2 đáy của hình trụ.
- Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ.
Hình vẽ minh họa:
C. Công thức diện tích và thể tích của hình trụ
Cho hình trụ có chiều cao bằng \(h\) và bán kính đáy bằng \(r\). Khi đó:
Diện tích xung quanh hình trụ
\({S_{xq}} = 2\pi rh\)
Diện tích toàn phần hình trụ
\({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2.{S_d} = 2\pi rh + 2\pi {r^2}\)
Thể tích khối trụ
\(V = R.h = \pi {r^2}h\)
D. Thiết diện của hình trụ khi cắt bởi mặt phẳng
|
Thiết diện là hình chữ nhật |
Thiết diện là hình chữ nhật |
Thiết diện là hình tròn |
|
|
|
- Nếu cắt hình trụ (có bán kính \(r\)) bởi một mặt phẳng \((P)\) vuông góc với trục \(\Delta\) thì ta được đường tròn tâm trên và có bán kính cùng bằng \(r\).
- Cho mặt phẳng \((P)\) song song với trục \(\Delta\) của hình trụ và cách \(\Delta\) một khoảng bằng \(d\). Nếu \(d < r\) thì mặt phẳng \((P)\) cắt hình trụ theo hai đường sinh. Khi đó thiết diện là hình chữ nhật.
-----------------------------------
Việc nắm vững lý thuyết mặt trụ tròn xoay cùng các công thức cơ bản giúp học sinh giải nhanh nhiều dạng bài hình học không gian Toán 12. Hãy kết hợp hệ thống kiến thức với bài tập mặt trụ tròn xoay có đáp án để củng cố kỹ năng và nâng cao hiệu quả ôn thi THPT Quốc gia.
