Một số phương trình lượng giác thường gặp
Một số phương trình lượng giác thường gặp Toán 11
Phương trình lượng giác là một trong những chủ đề quan trọng và thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra và kỳ thi Toán 11. Việc nắm vững các phương trình lượng giác thường gặp sẽ giúp học sinh có thể giải quyết nhanh chóng và chính xác các bài toán liên quan đến hàm số lượng giác. Đặc biệt, trong chuyên đề phương trình lượng giác lớp 11, bạn sẽ gặp phải những dạng phương trình cơ bản như phương trình chứa sin, cos, tan, cot, và các phương trình có biến số trong các góc lượng giác.
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số phương trình lượng giác thường gặp, từ các phương trình đơn giản đến phức tạp, giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết từng dạng bài tập. Chúng tôi cũng sẽ cung cấp các phương pháp giải nhanh và mẹo học tập giúp bạn dễ dàng áp dụng vào thực tế. Bất kỳ ai đang học Toán lớp 11 đều có thể tìm thấy những kiến thức hữu ích trong bài viết này để củng cố và nâng cao kỹ năng giải phương trình lượng giác.
- Bất đẳng thức Cosi
- Bài Tập Lượng Giác Lớp 11 cơ bản và nâng cao
- 35 bài tập hệ thức lượng trong tam giác có hướng dẫn
Tài liệu do VnDoc.com biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.
Các dạng phương trình lượng giác thường gặp
I. Ví dụ minh họa các dạng phương trình thường gặp
Câu 1: Giải phương trình lượng giác sau:
 \(a.8{{\cos }^{2}}x-\cos 4x=1\) |
\(b. 1+\cos 2x+\sin x=2{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}\) |
\(c. 2{{\sin }^{3}}x=\sin 3x\)
Hướng dẫn giải
\(a. 8{{\cos }^{2}}x-\cos 4x=-1\)
\(\Leftrightarrow 8{{\cos }^{2}}x-2{{\cos }^{2}}2x+1=-1\)
\(\Leftrightarrow 4\left( \cos 2x+1 \right)-2{{\cos }^{2}}2x+2=0\)
\(\Leftrightarrow -2{{\cos }^{2}}2x+4\cos 2x+6=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\cos 2x=-1 \\
\cos 2x=3\text{ }\left( L \right) \\
\end{matrix} \right.\)
\(\cos 2x=-1\Leftrightarrow 2x=\pi +k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)
\(b. 1+\cos 2x+\sin x=2{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}\)
\(\Leftrightarrow 1+2{{\cos }^{2}}x-1-2{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}x-1-\cos x=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\cos x=1 \\
\cos x=\dfrac{-1}{2} \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=k2\pi \\
x=\pm \dfrac{2\pi }{3} \\
\end{matrix} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)
\(c. 2{{\sin }^{3}}x=\sin 3x\)
\(\Leftrightarrow 2{{\sin }^{3}}x=3\sin x-4{{\sin }^{3}}x\)
\(\Leftrightarrow 6{{\sin }^{3}}x-3\sin x=0\)
\(\Leftrightarrow 3\sin x\left( 2{{\sin }^{2}}x-1 \right)=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\sin x=0 \\
-\cos x=0 \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=k\pi \\
x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\
\end{matrix}\left( k\in \mathbb{Z} \right) \right. \right.\)
Câu 2: Giải các phương trình lượng giác sau:
| \(a, 1+\sin 2x=\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\) |
\(b, 2\sin x+\cos x=\frac{1}{\cos x}\) |
Hướng dẫn giải
a.Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{matrix}
1-\tan x\ne 0 \\
\cos x\ne 0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x\ne \dfrac{\pi }{4}+k\pi \\
x\ne \dfrac{\pi }{2}+k\pi \\
\end{matrix} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)
\(1+\sin 2x=\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\Leftrightarrow 1+\sin 2x=\frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}\)
\(\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x+2\sin x\cos x+{{\cos }^{2}}x=\frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}\)
\(\Leftrightarrow {{\left( \sin x+\cos x \right)}^{2}}=\frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\sin x+\cos x=0 \\
\left( \sin x+\cos x \right)\left( \cos x-\sin x \right)=1 \\
\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\sin \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)=0 \\
{{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x=1 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x+\dfrac{\pi }{4}=k\pi \\
\cos 2x=1 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=-\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\
x=k\pi \\
\end{matrix}\left( k\in \mathbb{Z} \right) \right.\)
b. Điều kiện: \(\cos x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)
\(2\sin x+\cos x=\dfrac{1}{\cos x}\Leftrightarrow 2\sin x\cos x+{{\cos }^{2}}x-1=0\)
\(\Leftrightarrow 2\sin x\cos x-{{\sin }^{2}}x=0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\sin x=0 \\
\cos x=\dfrac{1}{2} \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=k\pi \\
x=\pm \dfrac{\pi }{3}+k2\pi \\
\end{matrix} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)\)
Câu 3: Giải các phương trình lượng giác sau: \(\sin 3x+\sin 2x=\sin x\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \(\sin 3x+\sin 2x=\sin x\Leftrightarrow \sin 3x-\sin x=-\sin 2x\)
\(\Leftrightarrow 2\cos 4x\sin 2x=-\sin 2x\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\sin 2x=0 \\
\cos 4x=\dfrac{-1}{2} \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
2x=k2\pi \\
4x=\pm \dfrac{2\pi }{3}+k2\pi \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=k\pi \\
x=\pm \dfrac{\pi }{6}+\dfrac{k\pi }{2} \\
\end{matrix} \right.\).
Câu 4. Nghiệm của phương trình \(3cos^{2}x
= - \ 8cosx - 5\) là:
| A. \(x = \pi + k2\pi\). |
B. \(x = k2 \pi\). |
| C. \(x = \pm \frac{\pi}{2} + k2\pi\). |
D. \(x = k\pi\). |
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(3cos^{2}x = - \ 8cosx - 5\)
\(\Leftrightarrow 3cos^{2}x + 8cosx + 5 =
0\)
\(\Leftrightarrow \left\lbrack
\begin{matrix}
\cos x = - 1 \\
\cos x = - \frac{5}{3} < - 1
\end{matrix} \right.\ \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi\left(
k\mathbb{\in Z} \right)\)
Câu 5. Nghiệm của phương trình \(sin^{2}x -
4sinx + 3 = 0\) là
A. \(x = k2\pi, k\mathbb{\in Z}\) B. \(x = - \frac{\pi}{2} + k2\pi,\ \
k\mathbb{\in Z}\).
C. \(x = \pi + k2\pi,\ \ k\mathbb{\in
Z}\). D. \(x = \frac{\pi}{2} + k2\pi,\
\ k\mathbb{\in Z}\).
Hướng dẫn giải
Ta có: \(sin^{2}x - 4sinx + 3 = 0
\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}
\sin x = 1 \\
\sin x = 3
\end{matrix} \right.\).
Với \(\sin x = 1\) \(\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k2\pi,\ \
k\mathbb{\in Z}\).
Với \(\sin x = 3\) phương trình vô nghiệm.
Câu 6. Giải phương trình \(2sin^{2}x +\sqrt{3}\sin2x = 3\)
A. \(x = - \frac{\pi}{3} + k\pi\). B. \(x = \frac{\pi}{3} + k\pi\).
C. \(x = \frac{2\pi}{3} + k\pi\). D. \(x = \frac{5\pi}{3} + k\pi\).
Hướng dẫn giải
Ta có :
\(2\sin^{2}x + \sqrt{3}\sin2x = 3\Leftrightarrow 1 - \cos2x + \sqrt{3}\sin2x = 3\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{3}sin2x - cos2x =
2 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}sin2x - \frac{1}{2}cos2x =
1\)
\(\Leftrightarrow \sin\left( 2x -
\frac{\pi}{6} \right) = 1 \Leftrightarrow 2x - \frac{\pi}{6} =
\frac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3} +
k\pi\).
Bài tập 1. Giải phương trình \(\sqrt{3}\cos\left( x + \frac{\pi}{2} \right) +
\sin\left( x - \frac{\pi}{2} \right) = 2sin2x.\)
A. \(\left\lbrack \begin{matrix}
x = \frac{\pi}{18} + k\frac{2\pi}{3} \\
x = - \frac{\pi}{18} + k\frac{2\pi}{3}
\end{matrix} \right.\ ,\ k\mathbb{\in Z}.\) B. \(\left\lbrack \begin{matrix}
x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \\
x = \frac{\pi}{18} + k\frac{2\pi}{3}
\end{matrix} \right.\ ,\ k\mathbb{\in Z}.\)
C. \(\left\lbrack \begin{matrix}
x = \frac{7\pi}{6} + k2\pi \\
x = - \frac{\pi}{18} + k\frac{2\pi}{3}
\end{matrix} \right.\ ,\ k\mathbb{\in Z}.\) D. \(\left\lbrack \begin{matrix}
x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \\
x = \frac{7\pi}{6} + k2\pi
\end{matrix} \right.\ ,\ k\mathbb{\in Z}.\)
Bài tập 2. Nghiệm của phương trình \(sin^{2}x + \sqrt{3}\sin x\cos x = 1\) là:
A. \(x = \frac{\pi}{6} + k2\pi;x =
\frac{5\pi}{6} + k2\pi\). B. \(x =
\frac{\pi}{2} + k2\pi;x = \frac{\pi}{6} + k2\pi\).
C. \(x = - \frac{\pi}{6} + k2\pi;x = -
\frac{5\pi}{6} + k2\pi\). D. \(x =
\frac{\pi}{2} + k\pi;x = \frac{\pi}{6} + k\pi\).
Bài tập 3. Phương trình: \(\left( \sqrt{3}+ 1 \right)\sin^{2}x - 2\sqrt{3}\sin x\cos x + \left( \sqrt{3} - 1\right)cos^{2}x = 0\) có các nghiệm là:
A. \(\left\lbrack \begin{matrix}
x = \frac{\pi}{4} + k\pi \\
x = \alpha + k\pi
\end{matrix} \right.\) (Với \(\tan\alpha = 2 -\sqrt{3}\)).
B. \(\left\lbrack \begin{matrix}
x = - \frac{\pi}{8} + k\pi \\
x = \alpha + k\pi
\end{matrix} \right.\)(Với \(\tan\alpha = - 1 + \sqrt{3}\)).
C. \(\left\lbrack \begin{matrix}
x = \frac{\pi}{8} + k\pi \\
x = \alpha + k\pi\ \ \ \
\end{matrix} \right.\)(Với \(\tan\alpha = 1 - \sqrt{3}\)).
D. \(\left\lbrack \begin{matrix}
x = - \frac{\pi}{4} + k\pi \\
x = \alpha + k\pi\ \ \ \
\end{matrix} \right.\)(Với \(\tan\alpha = - 2 + \sqrt{3}\)).
Bài tập 4. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình \(sin^{2}x - \left( \sqrt{3}
+ 1 \right)\sin x\cos x + \sqrt{3}\ cos^{2}x = \sqrt{3}\).
A. \(\sin\left( x + \frac{\pi}{2} \right) = 1\). B. \(\left( \cos x - 1
\right)\left( \tan x - \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} \right) =
0\).
C. \(\left( \tan x + 2 + \sqrt{3}
\right)\left( cos^{2}x - 1 \right) = 0\). D. \(\sin x = 0\).
Bài tập 5. Gọi \(S\) là tập nghiệm của phương trình \(2sin^{2}x + 3\sqrt{3}\sin
x\cos x - cos^{2}x = 2\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(\left\{ \frac{\pi}{4};\frac{5\pi}{12}
\right\} \subset S.\) B. \(\left\{\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{6} \right\} \subset S.\)
C. \(\left\{ \frac{\pi}{3};\pi\right\} \subset S.\) D. \(\left\{
\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2} \right\} \subset S.\)
Bài tập 6. Giải phương trình \(sin^{2}x -
\left( \sqrt{3} + 1 \right)\sin x\cos x + \sqrt{3}cos^{2}x =
0.\)
A. \(\left\lbrack \begin{matrix}
x = \frac{\pi}{3} + k\pi \\
x = \frac{\pi}{4} + k\pi
\end{matrix} \right.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} \right).\) B. \(x = \frac{\pi}{4} + k\pi\ \left(
k\mathbb{\in Z} \right).\)
C. \(\left\lbrack \begin{matrix}
x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \\
x = \frac{\pi}{4} + k2\pi
\end{matrix} \right.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} \right).\) D. \(x = \frac{\pi}{3} + k2\pi\ \left(
k\mathbb{\in Z} \right).\)
Đáp án bài tập tự rèn luyện
Bài tập 1.
Ta có \(\cos\left( x + \frac{\pi}{2}
\right) = - \sin x\) và \(\sin\left( x
- \frac{\pi}{2} \right) = - \cos x\).
Do đó phương trình \(\Leftrightarrow -
\sqrt{3}\sin x - \cos x = 2sin2x\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{3}\sin x + \cos x =- 2sin2x\).
\(\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x
+ \frac{1}{2}\cos x = - sin2x\)
\(\Leftrightarrow \sin\left( x +\frac{\pi}{6} \right) = - \sin2x\)
\(\Leftrightarrow \sin\left( x +
\frac{\pi}{6} \right) = \sin( - 2x)\).
\(\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x + \dfrac{\pi}{6} = - 2x + k2\pi \\x + \dfrac{\pi}{6} = \pi + 2x + k2\pi\end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = - \dfrac{\pi}{18} + k\dfrac{2\pi}{3} \\x = - \dfrac{5\pi}{6} - k2\pi\end{matrix} \right.\ \ \left( k\mathbb{\in Z} \right).\)
Xét nghiệm \(x = - \frac{5\pi}{6} -
k2\pi\overset{k = - 1 - k'}{\rightarrow}x = \frac{7\pi}{6} +
k'2\pi\).
Vậy phương trình có nghiệm \(x = -\frac{\pi}{18} + k\frac{2\pi}{3}, x = \dfrac{7\pi}{6} + k'2\pi \left( k, k' \mathbb{\in Z} \right).\)
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!
---------------------------------------------------------------
Như vậy, việc nắm vững và hiểu rõ một số phương trình lượng giác thường gặp là chìa khóa giúp bạn giải quyết nhanh chóng các bài toán phương trình lượng giác trong chương trình Toán 11. Các phương trình này không chỉ xuất hiện trong các bài kiểm tra mà còn là nền tảng quan trọng giúp bạn tiếp cận các bài toán phức tạp hơn trong Toán học nâng cao và kỳ thi quốc gia.
Để thành thạo trong việc giải các phương trình lượng giác này, bạn cần luyện tập thường xuyên và áp dụng các phương pháp giải nhanh, hiểu rõ mối quan hệ giữa các hàm số lượng giác và cách chuyển đổi giữa các công thức. Bài viết này hi vọng đã giúp bạn có cái nhìn tổng quát và chi tiết về các phương trình lượng giác cơ bản. Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào về cách giải quyết các phương trình lượng giác lớp 11 hoặc cần thêm ví dụ cụ thể, đừng ngần ngại để lại câu hỏi trong phần bình luận. Chúng tôi luôn sẵn sàng giải đáp và cung cấp thêm tài liệu học tập để bạn cải thiện kỹ năng của mình.
