Một số phương trình lượng giác thường gặp

Chuyên đề phương trình lượng giác lớp 11

Một số phương trình lượng giác thường gặp Toán 11

VnDoc.com xin giới thiệu tới quý thầy cô và các bạn học sinh tài liệu tham khảo Một số phương trình lượng giác thường gặp. Nội dung tài liệu giới thiệu tới bạn đọc một vài dạng phương trình lượng giác thường gặp phổ biến. Tài liệu được VnDoc biên soạn và đăng tải, hi vọng sẽ giúp các bạn ôn tập kiến thức môn Toán hiệu quả, sẵn sàng cho những kì thi sắp tới. Mời các bạn tham khảo và tải về miễn phí tại đây!

Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 11, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 11 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 11. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.

Tài liệu do VnDoc.com biên soạn và đăng tải, nghiêm cấm các hành vi sao chép với mục đích thương mại.

Các dạng phương trình lượng giác thường gặp

I.Ví dụ minh họa các dạng phương trình thường gặp

Câu 1: Giải phương trình lượng giác sau:

$a.8{{\cos }^{2}}x-\cos 4x=1$ $a.8{{\cos }^{2}}x-\cos 4x=1$

$b. 1+\cos 2x+\sin x=2{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}$ $b. 1+\cos 2x+\sin x=2{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}$

$c. 2{{\sin }^{3}}x=\sin 3x$ $c. 2{{\sin }^{3}}x=\sin 3x$

Hướng dẫn giải

$a. 8{{\cos }^{2}}x-\cos 4x=-1$ $a. 8{{\cos }^{2}}x-\cos 4x=-1$

$\Leftrightarrow 8{{\cos }^{2}}x-2{{\cos }^{2}}2x+1=-1$ $\Leftrightarrow 8{{\cos }^{2}}x-2{{\cos }^{2}}2x+1=-1$

$\Leftrightarrow 4\left( \cos 2x+1 \right)-2{{\cos }^{2}}2x+2=0$ $\Leftrightarrow 4\left( \cos 2x+1 \right)-2{{\cos }^{2}}2x+2=0$

$\Leftrightarrow -2{{\cos }^{2}}2x+4\cos 2x+6=0$ $\Leftrightarrow -2{{\cos }^{2}}2x+4\cos 2x+6=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \cos 2x=-1 \\ \cos 2x=3\text{ }\left( L \right) \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \cos 2x=-1 \\ \cos 2x=3\text{ }\left( L \right) \\ \end{matrix} \right.$

$\cos 2x=-1\Leftrightarrow 2x=\pi +k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$ $\cos 2x=-1\Leftrightarrow 2x=\pi +k2\pi \Leftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$

$b. 1+\cos 2x+\sin x=2{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}$ $b. 1+\cos 2x+\sin x=2{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}$

$\Leftrightarrow 1+2{{\cos }^{2}}x-1-2{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}=0$ $\Leftrightarrow 1+2{{\cos }^{2}}x-1-2{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}=0$

$\Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}x-1-\cos x=0$ $\Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}x-1-\cos x=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \cos x=1 \\ \cos x=\dfrac{-1}{2} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=k2\pi \\ x=\pm \dfrac{2\pi }{3} \\ \end{matrix} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \cos x=1 \\ \cos x=\dfrac{-1}{2} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=k2\pi \\ x=\pm \dfrac{2\pi }{3} \\ \end{matrix} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)$

$c. 2{{\sin }^{3}}x=\sin 3x$ $c. 2{{\sin }^{3}}x=\sin 3x$

$\Leftrightarrow 2{{\sin }^{3}}x=3\sin x-4{{\sin }^{3}}x$ $\Leftrightarrow 2{{\sin }^{3}}x=3\sin x-4{{\sin }^{3}}x$

$\Leftrightarrow 6{{\sin }^{3}}x-3\sin x=0$ $\Leftrightarrow 6{{\sin }^{3}}x-3\sin x=0$

$\Leftrightarrow 3\sin x\left( 2{{\sin }^{2}}x-1 \right)=0$ $\Leftrightarrow 3\sin x\left( 2{{\sin }^{2}}x-1 \right)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \sin x=0 \\ -\cos x=0 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=k\pi \\ x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ \end{matrix}\left( k\in \mathbb{Z} \right) \right. \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \sin x=0 \\ -\cos x=0 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=k\pi \\ x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ \end{matrix}\left( k\in \mathbb{Z} \right) \right. \right.$

Câu 2: Giải các phương trình lượng giác sau:

$a, 1+\sin 2x=\frac{1-\tan x}{1+\tan x}$ $a, 1+\sin 2x=\frac{1-\tan x}{1+\tan x}$

$b, 2\sin x+\cos x=\frac{1}{\cos x}$ $b, 2\sin x+\cos x=\frac{1}{\cos x}$

Hướng dẫn giải

a.Điều kiện xác định: _{$\left\{ \begin{matrix} 1-\tan x\ne 0 \\ \cos x\ne 0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x\ne \dfrac{\pi }{4}+k\pi \\ x\ne \dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ \end{matrix} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)$}

$1+\sin 2x=\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\Leftrightarrow 1+\sin 2x=\frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}$ $1+\sin 2x=\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\Leftrightarrow 1+\sin 2x=\frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}$

$\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x+2\sin x\cos x+{{\cos }^{2}}x=\frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}$ $\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x+2\sin x\cos x+{{\cos }^{2}}x=\frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}$

$\Leftrightarrow {{\left( \sin x+\cos x \right)}^{2}}=\frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}$ $\Leftrightarrow {{\left( \sin x+\cos x \right)}^{2}}=\frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \sin x+\cos x=0 \\ \left( \sin x+\cos x \right)\left( \cos x-\sin x \right)=1 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \sin x+\cos x=0 \\ \left( \sin x+\cos x \right)\left( \cos x-\sin x \right)=1 \\ \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \sin \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)=0 \\ {{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x=1 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x+\dfrac{\pi }{4}=k\pi \\ \cos 2x=1 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=-\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\ x=k\pi \\ \end{matrix}\left( k\in \mathbb{Z} \right) \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \sin \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)=0 \\ {{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x=1 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x+\dfrac{\pi }{4}=k\pi \\ \cos 2x=1 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=-\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\ x=k\pi \\ \end{matrix}\left( k\in \mathbb{Z} \right) \right.$

b. Điều kiện: _{$\cos x\ne 0\Leftrightarrow x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$}

$2\sin x+\cos x=\dfrac{1}{\cos x}\Leftrightarrow 2\sin x\cos x+{{\cos }^{2}}x-1=0$ $2\sin x+\cos x=\dfrac{1}{\cos x}\Leftrightarrow 2\sin x\cos x+{{\cos }^{2}}x-1=0$

$\Leftrightarrow 2\sin x\cos x-{{\sin }^{2}}x=0$ $\Leftrightarrow 2\sin x\cos x-{{\sin }^{2}}x=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \sin x=0 \\ \cos x=\dfrac{1}{2} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=k\pi \\ x=\pm \dfrac{\pi }{3}+k2\pi \\ \end{matrix} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \sin x=0 \\ \cos x=\dfrac{1}{2} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=k\pi \\ x=\pm \dfrac{\pi }{3}+k2\pi \\ \end{matrix} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)$

Câu 3: Giải các phương trình lượng giác sau: _{$\sin 3x+\sin 2x=\sin x$}

Hướng dẫn giải

$\sin 3x+\sin 2x=\sin x\Leftrightarrow \sin 3x-\sin x=-\sin 2x$ $\sin 3x+\sin 2x=\sin x\Leftrightarrow \sin 3x-\sin x=-\sin 2x$

$\Leftrightarrow 2\cos 4x\sin 2x=-\sin 2x$ $\Leftrightarrow 2\cos 4x\sin 2x=-\sin 2x$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \sin 2x=0 \\ \cos 4x=\dfrac{-1}{2} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} 2x=k2\pi \\ 4x=\pm \dfrac{2\pi }{3}+k2\pi \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=k\pi \\ x=\pm \dfrac{\pi }{6}+\dfrac{k\pi }{2} \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \sin 2x=0 \\ \cos 4x=\dfrac{-1}{2} \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} 2x=k2\pi \\ 4x=\pm \dfrac{2\pi }{3}+k2\pi \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=k\pi \\ x=\pm \dfrac{\pi }{6}+\dfrac{k\pi }{2} \\ \end{matrix} \right.$

II.Bài tập tự luyện

Bài 1: Giải các phương trình sau:

$\cos 3 x+\sqrt{2-\cos ^{2} 3 x}=2\left(1+\sin ^{2} 2 x\right)$ $\cos 3 x+\sqrt{2-\cos ^{2} 3 x}=2\left(1+\sin ^{2} 2 x\right)$

${{\cos }^{3}}x-{{\sin }^{2}}x+2\sin x-1=0$ ${{\cos }^{3}}x-{{\sin }^{2}}x+2\sin x-1=0$

$9 \sin x+6 \cos x-3 \sin 2 x+\cos 2 x=8$ $9 \sin x+6 \cos x-3 \sin 2 x+\cos 2 x=8$

$\cos x=2\left( \tan \frac{x}{2}+1 \right)$ $\cos x=2\left( \tan \frac{x}{2}+1 \right)$

$\sin ^{3} x \cos 3 x+\cos ^{3} x \sin 3 x=\sin ^{3} 4 x$ $\sin ^{3} x \cos 3 x+\cos ^{3} x \sin 3 x=\sin ^{3} 4 x$

$\cot x-\tan x=\sin x+\cos x$ $\cot x-\tan x=\sin x+\cos x$

$\sin x+\sin 2 x+\sin 3 x=0$ $\sin x+\sin 2 x+\sin 3 x=0$

$\cos 3 x \cos ^{3} x-\sin 3 x \sin ^{3} x=\cos ^{3} 4 x+\dfrac{1}{4}$ $\cos 3 x \cos ^{3} x-\sin 3 x \sin ^{3} x=\cos ^{3} 4 x+\dfrac{1}{4}$
$2\cos 2x+7=\dfrac{1}{\cos x}+8\cos x$ $2\cos 2x+7=\dfrac{1}{\cos x}+8\cos x$

Bài 2: Giải các phương trình:

$1+2{{\cos }^{2}}+5\sin x=0$ $1+2{{\cos }^{2}}+5\sin x=0$
$\sin ^{2} x=\cos ^{2} 2 x+\cos ^{2} 3 x$ $\sin ^{2} x=\cos ^{2} 2 x+\cos ^{2} 3 x$
$8 \cos ^{3}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\cos 3 x$ $8 \cos ^{3}\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\cos 3 x$
$|\sin x-\cos x|+|\sin x+\cos x|=2$ $|\sin x-\cos x|+|\sin x+\cos x|=2$
${{\cos }^{6}}x+{{\sin }^{6}}x-\frac{1}{8}{{\cos }^{2}}2x=0$ ${{\cos }^{6}}x+{{\sin }^{6}}x-\frac{1}{8}{{\cos }^{2}}2x=0$
$1-2\sin 2x=-3\tan x$ $1-2\sin 2x=-3\tan x$
$\sin 3 x=\cos x \cos 2 x\left(\tan ^{2} x+\tan 2 x\right)$ $\sin 3 x=\cos x \cos 2 x\left(\tan ^{2} x+\tan 2 x\right)$
$9^{\sin ^{2} x}+9^{\cos ^{2} x}=10$ $9^{\sin ^{2} x}+9^{\cos ^{2} x}=10$
$6\sqrt{2}\sin x\cos x=8\cos x-4{{\cos }^{3}}x$ $6\sqrt{2}\sin x\cos x=8\cos x-4{{\cos }^{3}}x$

Trên đây VnDoc đã chia sẻ đến các bạn học sinh Một số phương trình lượng giác thường gặp nhằm cung cấp cơ sở kiến thức ôn tập cho các bạn học sinh, giúp các bạn tiếp xúc với nhiều dạng bài về hàm số lượng giác. Chúc các bạn ôn tập thật tốt!

Ngoài ra, VnDoc mời bạn đọc tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

Chia sẻ, đánh giá bài viết

1

6.664

Bài trước

Bài sau